第16讲变化率与导数、导数的计算（解析版）-2023年高考数学一轮总复习（新高考专用）.pdf

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1、第16讲 变化率与导数、导数的计算变化率与导数、导数的计算考点1：导数的运算0 且 a W l）f(x)-aln_a3.导数的运算法则 孙)土g(x)=/(x)g G)./U)=l o g M(x 0,。0 且 W 1)j dn ay(x)=l nx(x 0)/(x)=(2)U(x)-g(x)f(x)g(x)+J(x)g(x).g (x)1J_-/(X)g(Xg )(Sx)2 g，(x)(g(x)N),能考 点 探 究-题 型 突 破 /考 点1导数的运算 名师点睛=一 港 乘 麻 方 屋 虚 三 算 而 多 看 正 的 至 正 再 承导.数 不 正 戒 疝 葭 而 装 后 结 而 语 定 虚

2、石鼠正言的;数或较为简单的分式函数，再求导H U .-.运3屣/京 奖 启 濡1窠届1承算：二二二二二二二二二二二二二二二二二二二.根式形式：先化为分数指数集的形式，再求导万.-法.三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形,I 式再求导对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似_/U)=/(x o)g(x)+(x)(x o为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确/Q o)是常数，其导数值为0.因此先求导数/(X),令x=x o,即可得到/(X O)的值，进而得到函数解析式,求得所求导数值.典例1.(2022浙江高三专题练习)请用函数求导法则求出下列函数的导数.(1)y=e(3)y=l n(2

3、 x+3)；(4)y=(x2+2)(2 x-l)；(5)y=cos(2x+q j.【解】(1)因为 y=则 y=*J(sinx)=*cosx;因 为 反，则”(/(2小+可一 x+2(x+2)-(x+2)-(3)因为y=ln(2x+3),则 y +；4人I J 4人 I J(4)因为y=(V+2)(2 x-l),贝Iy=(x2+2)(2x-l)+(x2+2)(2x-l)=2x(2x-l)+2(x2+2)=6x2-2x+4；(5)因为y=cos(2x+J 故y=-(2x+?)sin2x+q)=-2sin(2x+。)2.(2022全国高三专题练习)已知函数f(x)的导数为f(x),且/(x)=20

4、(e)+In x,则f(e)=()A.B.1 C.1 D.ee【答案】B【解析】由/(x)=2矿(e)+lnx得广(x)=2/(e)+J,当 x=e 时，f(e)=2f(e)+,解得r(e)=-1,所以f(x)=+Inx,/(e)=-+ln e=-l.e e故选：B举一反三1.(2021 江苏省阜宁中学高三阶段练习)下列求导运算不正确的是()A.(尢2)-2x B.(sinx)Z=cosxc.(3*)=3，ln3 D.(e，+ln3)=e+g【答案】D【解析】对于A：(行=2故选项A正确；对于 B：(sin%y=cosx，故选项B正确；对于C(3)=3，l n 3,故选项c正确；对于 D：(e

5、*+l n 3)=(e )+(l n 3)=e*+0 =e 3 故选项 D 不正确；所以求导运算不正确的是选项D,故选：D.2.(2 0 2 2 全国高三专题练习)若函数“X),g(x)满足 力+空(力=/1,且/(1)=1,则/+g (l)=()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】取x =l,则有./(l)+g(l)=0,W g(l)=-/(1)=-1,又因为/(x)+x g(x)=x 2 l,所以/(x)+g(x)+x g (x)=2 x,所以/+g +g =2,所以/+g =2 g =2+1 =3.故选：C3.(2022全国河源市河源中学模拟预测)已知实数彳满足2/()+矿(

6、刈=2 氏0$2 丫+2(8$丫+$出),x 0 ,/图=5,那么/(兀)的值为()A.0 B.1 C.2 D.乃【答案】C【解析】由2/(x)+j/(x)=2 x c o s 2 x +2(c o s x+s i n x)2 两边同时乘工可得：2xf(x)+x2/z(x)=2x2 c o s2x+2 x s i n 2x+2x=x?/(尤),X(x2 s i n 2 x +x2)=2x2 c o s 2 x +2 x s i n 2x+2x，因此f/(x)=f s i n Zx +f+c./2 )由/g =5,g|J x 5=s i n 7t+c,可得 =兀2,4 4 42/(x)=s i

7、n 2 x +T +l ,2/./(K)=s i n 2 7i +1 =2 .n故选：C .4.(2022江苏,高三专题练习)下列求导数运算正确的有()A.(sinx)r=cosxB()z=-5-X XC-0gM =3lnxD.(In x)f=X【答案】AD【解析】A：（sinx）=c o s x,故正确;B：（与=-2,故错误；X Xc：（iog3x y=-!,故错误：xln3D：（lnx/=-,故正确.x故选：AD5.（2022全国,高三专题练习）求下列函数的导数:(1)y=x(/+,+二)；x xL 1(2)y=(y/x+1)Cr 1);yjx(3)y=xtanx；x x(4)y=x-s

8、iny cosy；(5)y=31nx+or(tz0,且。，1).1 1 1 2【解】解：（1）（f +）=/+1+二；则函数的导数六 3/-下.XX X XL 1 /-1 1(2)y=(y/x+1 )(7 7)=1-V X+-y=-l=-V X+-y=,则 广一/c、xsinx(3)y=xtanx=-cosx则y=(xsinx)cosx-xsinx(cos)x,(sin x+x cos x)cos x+x sin2 xcos2 xcos2 xsin xcosx+xcos2x+xsbrx sin xcos x+xcos xcos2xJ Q X(4)y=x-sin cos=x sinx；2 2 2

9、贝 ij y=i-cosx.3(5)y,=axna.xA考 点2导数的几何意义 名师点睛利用导数求切线方程的一般过程已知曲线y=/U)过点尸(x o,州)，求曲线过点尸的切线方程，需分点P是切点和不是切点两种情况求解:1 .若 P(x o,泗)是切点，则曲线的切线方程为yyo=f (x o)(x-x o);2 .若 P(M),则)不是切点，则分以下几个步骤：设出切点坐标P 3,yi).(2)写出过P(x i,X)的切线方程一(x i)-(x-x i).(3)将点P(x(),yo)的坐标代入切线方程求出x i.(4)将 的值代入方程yyi=f (x D(x-x i)得到所求切线方程.提示“在”和

10、“过”的区别：(1)“曲线y=/(x)在点尸(x o,州)处的切线”指点尸(x o,泗)是切点，切 线 的 斜 率(x o);(2)“曲线y=/(x)过点P(x o,%)的切线”指点尸(为，泗)只是切线上一点，不一定是切点.典例1.(2022广东茂名模拟预测)曲线f(x)=s i n x-2 c o s l 在点怎,0)处的 切 线 方 程 为.【答案】2 x-y-兀=0【解析】/(x)=c o s x+2 s i n x,则曲线y=x)在 第 1 处的切线斜率&=吟+2 峭=2,.切线方程为y=21x-?,即2 一一兀=0.故答案为：2x-y-n=0.2.(2022全国高三专题练习)已知兀c

11、)=f,则过点P(1,0),曲线y=/(x)的切线方程为【答案】y=0 或4x+y+4=0【解析】点尸(一1,0)不在负X)=K 上，设切点坐标为(X 0,%2),由y(x)=f 可得/(x)=2 x,切线的斜率&=f(%)=2%.切线方程为y=2%(x+l).切线过点尸(-1,0),:.k=-；=2xo,解得 x=0 或 x o=-2,%+1.,.k=0或一4,故所求切线方程为y=0 或 4x+y+4=0.故答案为：N =0 或4x+y+4=03.（2022河南三模）曲线y=d +m（x 0）在点A处的切线方程为）=3x+2,”-2,则切点A的坐标为.【答案】（-1,3）【解析】由y=3 d

12、=3,得彳=1,因为x =/+*+。在点加（1,0）处的切线与直线了7-2 =0 垂直，则。的值为（）A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】设 x）=V+凉+c,则/（力=3/+次，直线x-y-2 =0 的斜率为1,I/=3+26=7 伍=-2由题意可得八，解得,.l）=/?+c+l=0 c=l故选：C.2.（2022重庆一中高三阶段练习）己知偶函数/（力，当x 0 时，x）=f-/x+2,则 x）的图象在点（-2,/（-2）处的切线的斜率为（）A.3 B.3 C.5 D.5【答案】A【解析】.当x o时,fx）=2 x-r（i）,r（i）=2-r（i）,解 得:r（i）=i,当x

13、 0时，/（X）=%2-X+2；当 0,.*./(-X)=X2+X+2,又f（x）为偶函数，.,./（力=（一 力=/+%+2,即x 0）的两条切线，则（）A.ba0 B.a-b0aaC.0a-b b a-K a 0a a【答案】D【解析】作出y =x-J（x 0）的图象，由图可知，若过点（。可以作曲线y =x-/（x 0）的两条切线，点（“应在曲线外，设切点为（%,%）（%0）,所 以%=%-,丫 =1 +/，“0所 以 切 线 斜K率-1为 1 _%十 y 苍玉）一。/一整理得（-3片-2/+。=0,即方程在修。上有两个不同的解，所以4-4(一/?)02(a _力)a01 ,a 0,a0所

14、以且4 0.a故选：D.4.(20 22山东潍坊二模)已知函数/(x)=l n x-x+f,直线/:y =-；x+l n 2+2,点 P&J(x。)在函数y =x)图像上，则以下说法正确的是()A.若直线/是曲线y =/(x)的切线，则.=一3B.若直线/与曲线y=f(x)无公共点，贝 h -3C.若r =-2,则点P到直线/的最短距离为D.若f=-2,当点P到直线/的距离最短时，x0=2【答案】D【解析】7U)定义域为(0,+o o),r(x)=：i,若直线/是曲线y =/(x)的切线，则r(x)=-；=1 =-g =x =2,代入 y-_；+1 1 1 2+2得1=l +l n 2,f(2

15、)=1+I n 2=l n 2 2+/=1+I n 2 n z =3,故 A 错误；当/=一 2 时，当在点P处的切线平行于直线/时，P到切线直线/的最短距离，则(%)=一 5=-1 =-5=*(,=2,故 D正确；X()Z此时 2)=l n 2-4,故 P 为(2 n 2 4),P 至 lj/：x+2y-21 n 2-4=0 的距离为|2+2(l n 2-2-21 n 2 4|=,J 5故 C错误；1x没 I n%x +Z x+l n 2+2 t I n x +I n 2+2,2 2令g(x)=g-l n x+l n 2+2,则/(6 =；=彳 2,当x e(O,2)时，g,(x)0,g(x

16、)单调递增,；g(x)向n =g =3，又X f 0时,g(X)-+8；X f+8 时，g(x)f+8,.若直线/与曲线y =/（x）无公共点，贝h 0）可得x）=巴*，设切点坐标为（?,（初 0）,m-tn-2=0则*=nm(加-1)1，解得w =2 V 2，故选A.777 26.（2022福建泉州模拟预测）若直线/=4（+1）-1与曲线），=e，相切，直线y （x+l）-l与曲线y =I n x相切，则K网的 值 为（）A.y B.1 C.e D.e2【答案】B【解析】设直线/=匕（x+1）1与曲线y =e，相切于点（不炉），直线y =&（x+l）l与曲线y =l n x相切于点（%2，1

17、啖），e七+1则”且 而所WJ,且&=5x2 x2+1所以入2如 2=1，令/(x)=x l n x ,/f(x)=l +l n x,当时，f(x)0,x)单调递增,且/=0，l m/W =-所以当x e(0，l)时，/(x)0,所以W e(l,+a),eA|e(l,+a 5),所以X 2=e*,故%他=e*=1故选：B7.(20 22全国高三专题练习)若两曲线y =l n x-l 与、=以 2存在公切线，则正实数。的取值范 围 是()A.(0,2e B.e-3,+o o C.0,e-3 D.2e,+o o)【答案】B【解析】设公切线与曲线)，=1 n x-l 和 =数 2的 交 点 分 别

18、为1 n Ai-1),(%,5)，其中芭0,对于 丫 =1 1 1 一 1 有:/=，则 y =l n x-l 上的切线方程为 y-(l n-l)=-(x-x j,即 y =-+(l n x L 2),x X X对于y =有 y =2 a v,则=双 2 上的切线方程为y 一竭二2 倏(工一)，y=2ax2x-ax；,=2 t 2 X 1 1所 以 王 ，W-=l n -2,即一=2 x：-x：l n X 1%0 ,1 c 2 4 a x i 4 aI n X j -2 =-ax2令 g (x)=2 x2-x2 I n x,g (x)=3 x 2 x I n x =x(3-2 1 n x),令

19、 研 x)=0,得.I，(3 当0,1时，x)0,g(x)单调递增，/当XG时，X)0,g(X)单调递减，所以g(x L 0)与曲线卜=-丁+心-6(%0)的公切线，则()A.tn=2B.m =-lC.n=6D.n=l【答案】A D【解析】解：设直线y =3 x+机与曲线y =x%x 0)相切于点(a,/),与曲线y =-丁+n r-6 (x 0)相切于点(A,3 6+加)，对于函数y =V(x 0),y =3 x2,则3 a 2=3(a 0),解得。=1,所以F=3 +加，即m =-2.对于函数 y =-x2+n x-6(x 0),/=-2x+n,则一如+=3(b 0),又-b2+nb-6=

20、3b-2所以一片+/7(3 +2/7)-6 =3 8 2,又人 0,所以Z?=2,7 1 =7.故选：A D9.(2022重庆三模)曲线y =g +l n(2 x+2)+5 在点6,3)处的切线方程为.【答案】y =-2 x+2【解析】由y =2+l n(2 x+2)+5,y=-L+-L,则切线的斜率为NLI=-4 +2 =-2 .所以曲线y =J+l n(2 x +2)+5 在点-别 处的切线方程为：y-3 =-2(x +g),即 y =-2 x+2.因此所求切线的方程为=-2X+2.故答案为：y=-2x+2.1 0.(2022浙江高三专题练习)已如函数/(x)=e (x)=l n x.若曲

21、线y =/(x)在点(5,占)处的切线与曲线 y =f(x)在点(,g(x 2)处的切线平行，则X 1+g(%)=;若(幻=2 万 一 8(幻 一 号 +1,则人(x)的最大值为.【答案】0 2-2 e +l n 21*I【解析】由已知尸(X)=e g (x)=，所以e =一,即X 2=e f,所以 +g(%)=X I +l n e f =%(_ 为=0.2xh(x)=2x-lnx-+l,定义域为(0,+8),x“2%)=2 -工-D _ 2 炉-7(21)_ (21)(7)X X4-p(x)=x-e2 则 p(x)=l-2 e ,x 0 时,p(x)0 时，p(x)p(0)=-l,所以 0

22、0,力(x)递增，x -E l ,hx)0,M x)递减，2 2所以(初皿=()=l-l n g*+l =2-2 e +l n 22故答案为：0；2-2 e +l n 2.11.(2022河北廊坊模拟预测)设直线y =?+8 是曲线y =si n x,x e(U)的一条切线，则实数。的值是【答案】包一工2 6【解析】设切点坐标为(%,%),因为y =c o sx,所以有,%=$而与1 ,%=/+1cosx=因为x e(o,m,所以与=工,%=,所以/,=%-_/=立 工3 2 2 2 6故答案为：2 61 2.(2022全国高三专题练习)曲线y =si n x+2 x +l 在点户处的切线方程

23、是3 x-y +l =0,则切点p 的坐标是【答案】(。,1)【解析】由函数y =si n x+2 x +l,则：/=85 1+2,设切点尸的坐标为(,%),则斜率k=y L f =c o s/+2 =3,所以8 S X o=l,解得%=2%r(A e Z),当k=0时，切点为(0,1),此时切线方程为3x-y+l=o：当4 x 0,切点为(2fcr,4左 左+1)伏e Z),不满足题意,综上可得，切点为(0,1).故答案为：(0,1).13.(2022重庆巴蜀中学高三阶段练习)设三次函数 耳=加+凉+c x+d,若曲线y=/(x)在点(0,0)处的切线与曲线g(x)=4。)在点(1,2)处的

24、切线重合，则g2)=.【答案】-32【解析】由题知：/(0)=。，.4=0,f(x)=3ax2+2bx+cfM 在(0,0)处的切线为 y-0 =/W x-0),即 y=f(0)x,V g(x)=/*)+xfXx),g()=/(1)+广。)，.g(x)在(1,2)处的切线方程为：y=g(l)xg(l)+2又因为两条切线重合，.r(o)=g =2,-g(1)+2=0又.)=f =2,g()=l)+/尸(0)=c=2 a=-2/=0,.(f(X)=3a+2b+c=0 解得 6=2f(V)=a+b+c=2 c=2/(x)=-2x3+2x2+2x,f(x)=-6x2+4x+2,g，(2)=f(2)+4

25、，(2)=-32.故答案为：-32.14.(2022广东执信中学高三阶段练习)已知f(x)=e*-l(e 为自然对数的底数)，g(x)=ln x+l,则 工)与g(x)的 公 切 线 条 数 为.【答案】2【解析】根据题意,设直线/与/(x)=e*-l相切于点(/n,e”-l),与解x)相切于点(n,ln +l),对于/(x)=e、-l,其导数为1(x)=e则有=r(，“)=e，则直线/的方程为 y+l-em=e(x-m),即 y=ex+e(l-/n)-l,对于g(x)=hw +2,其导数为g，(x)=，X则有=g ()=Ln则直线/的方程为 y-(l n +l)=(x )，即 y =-x +l n 7?,n n直线/是/与g。)的公切线，,1e 则，可得(l-M(e”-l)=O,(l-/n)em-1 =I n n则m=0或?=1,故直线/的方程为=x或y =e x-l ；则f M与g(x)的公切线条数是2条.故答案为：2.