2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-22年真题)专题17向量中的隐圆问题.pdf

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1、专题1 7向量中的隐圆问题【考 点 预 测】一.向 量 极 化恒 等 式 推 出 的 隐 圆乘 积 型：PAPB=A定 理：平面内，若A,8为定点，且 后 丽=2,则P的轨迹是以M为圆心为半径的圆证 明：由=根据极化恒等式可知，PM2-A B2=A,所以=4以M为圆心为半径的圆.二.极 化 恒 等 式 和 型：PA2+PB2=AA-A B2定 理：若4,8为定点，P满 足 以2+依2=3则/的轨迹是以45中 点 用 为 圆 心，11为半径的圆。(A.-AB2 0)A.-AB2证 明：PA2+PB2=21PM2+AB)2=A,所以PM=1，即P的 轨 迹 是 以 他 中 点M为圆三.定 幕 方

2、和 型mPA2+PB2=n若A,B为定点，4川+加 郎 二 ，则 尸 的轨迹为圆.mPA2+nPB2=A证 明：mPA2+PB2=n m(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=M=(/+l)(x2+x2+y2+x+。+。_ L=。.机+1 zn+1四.与 向 量 模 相 关 构 成 隐 圆【典例例题】例1.(2022 江苏扬中市第二高级中学模拟预测)己知与B为单位向量，且2，万，向 量 满 足I 3-力1=2,则|3|的 可 能 取 值 有()A.6 B.5 C.4 D.3【答 案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标计算公式可得-a-5 =(x-L y-D,进而由向量模的计算公

3、式可得(x-l)2 +(y-l)2=4,分析可得C在以(l,l)为圆心，半径为2的圆上，结合点与圆的位置关系分析可得答案.【详解】根据题意，设 丽=&，O B =b O C =c以。为坐标原点，砺 的 方向为x轴正方向，砺 的 方向为y轴的正方向建立坐标系，则 A(1,O),8(0,1),设 C(x,y),贝(j 一1一 5 =(x-l,y-1),c-a-b =2,则有(f 2+(y _ l)2=4,则C在以(U)为圆心，半径为2的圆上，设(1,1)为点“，贝 则有 IO M 倒。C|+I OM I,即 2-检J|OC|2 +6.,则1司的取值范围为 2-血,2 +0；故选：D.例2.(2 0

4、 2 2.全 国.高 三 专 题 练 习)在 中，A C =3,8 C =4,NC=90。.P为AABC所在平面内的动点，且P C =1,则丽.方的取值范围是()A.-5,3 B.-3,5 C.1-6,4 D.-4,6【答案】D【解析】【分析】依题意建立平面直角坐标系，设P(8 s 0,s i n 0),表示出 百，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C(0,0),4(3,0),8(0,4),因为PC=1,所以P 在以。为圆心，I为半径的圆上运动,设 P(cos 仇 sin )，O e.0,2句，所以 A4=(3-co s

5、,-sin),尸 尸=(一 cos6,4 sin。),所以 P/C P=(-cos6)x(3-cos，)+(4-sin6)x(-sin。)./3 4=cos?6 一 3cos。一 4sin6+sin2。=l-3 co s0-4 sin =l-5 sin(+),其中sine=,cos=-因为一 l s in(e+0)B.y2 c.G D.2由0-2 )4 坂-工)得，将转化为(0,0)和圆上点(x,y)之间的距离，即可求出最大值.【详 解】设c=(x,y),则4_2。=(2_2%_2,),/?_。，=(_ 占1_,),(tz-2c)-(-c)=(2-2x)-(-x)+(-2y)-(l-)=2x2

6、-2x+2y2-2y=0,整理得X-1则 点(x,y)在 以(,为圆心,孝 为 半径的圆上，则(卜 乒 丁 表 示(0,0)和+丁22圆上点 y)之间的距离,X-12匚上,故 口的最大值是2x曰=技故 选：B.例4.(2022.全国.高三专题练习)己知平面向量,例c，满 足 同 明=石=2,且3-2斗 伍 一 =0,则|-4的 最 小 值 为(A.旦2【答 案】B【解 析】【分 析】)V32D.互2D.-2根据向量数量积的夹角公式可 得 色 9=1,设4(1，石)，3(2,0),c(x,y),S=(2,0),=(1,G),c=(x,y),根据数量积的坐标表示可得点C(x,y)的轨迹为圆 ，由几

7、何意义可知：的最小值为|加4|减去半 径R即可求解.【详 解】I LI 一 一 /r f a b 2 1因 为 卜 卜 忖=为=2,所 以cos(a力广丽=Q=5,因 为0 4。勺4兀，所 以(洒.不妨设 A0,右)，8(2,0),C(x,y),乱 丽=(2,0),2=丽=(1,6),c=OC=(x,y),则办一c=(2-x,-y),a-2c=(l-2x,石-2y),因为=0,所以(2 x)(l_2x)(退一2y)y=0,化简为：卜-胃+卜=)=?,所以 =(x,y)对应的点C(x,y)是以知 仁,坐)为 圆心，半径为/?=等的圆,所 以 的 最 小 值 为|K 4|-R =岑)-等故选：B.

8、例5.(2022全国高三专题练习)已知平面向量公，b，满足W=W=2,与石的夹角为60,且片_ 2 7 +3=0,则|力+；|的最小 值 为()A.#,-1 B.1C.G D.2/3-1【答案】D【解析】【分析】由题意可得/=4,将原等式化为7-2 7 +才=1，得出(-)2=1,设 =(x,y),=(1,6)石=(2,0),进而得出。-1)2+()-6)2 =1,表示以C(l，6),半径为1的圆；而B+4,=&x +2)+/衣不圆心到定点8(-2,0)的距离减去半径，利用数形结合的思想即可解得答案.I 1 m m【详解】由题意知，同=忖=2,(石)=6 0 ,则片=4，由 c-一 2a c+

9、3=0 可得。一 2 c+=1,即(a-c)2=1 ,设c=(x,y),a=(1,5/3),=(2,0),则 4一。=(1-x,百一 y),B+c=(x+2,y),所以 0 _ 1厂 +(y =1,忸 +d=J(x+2)+)/,所以 =。，y)表示以。(1，6),半径为1的圆，R+=J（x+2）+y2表 示 圆C上 的 点（x，y）到 定 点8（-2,0）的距离，而|）+；|的最小值即为圆心到定点伙-2,0）的距离减去半径，如图所示,又 BC=1+2)2+(6-=2+，所 以 忸 +，=8C_=2G _1.A.-2 PC的 最 小 值 是（例6.（2022全国高三专题练习）已知A8CD是 边

10、长 为2的正方)口 5B.-2C.-3D.-4【答 案】B【解 析】【分 析】根据给定条件建立平面直角坐标系，利用向量运算的坐标表示即可计算作答.【详 解】A8CZ）是 边 长 为2的正方形，则 以 点A为原点，直 线A8,AD分 别 为x轴，），轴建立平面直角坐标系，如图:设点尸（y）,PA=(-x,-y),PB=(2-x,-y),PC=(2-x,2-y),于是得:_._.3 5(PA+PB)-PC=(2-2x-2y)-(2-x,2-y)=2(x-l)(x-2)+2y(y-2)=2(x-)2+2(y-l)2-,3_.5当x=/,y =l时，（丽+丽）.前 取得最小值一：,所 以（西+方）.定

11、 的最小值是-|.故选：B例7.（2 02 2 江西 新余市第一中学模拟预测（理）已 知 平 面 向 量 满 足 忖=羽=7 5 =4,r-4t+9=-3,则 的 最 小 值 为（）A.7 2-1 B.立 一1 C.7 5-2 D.V7-22【答案】D【解析】【分析】根据已知条件可得W =4,同=2,=设 砺=（2,0）,O B =b=2,2,O C =c =x,y）,可得点C（x,y）的轨迹为圆，由圆的性质即可求解.【详解】因为恸=羽=4=4,所以忖=4,同=2,侬（砌=前 =因为0 词4兀，所以（词g设 O A =（2,0）,0 3 =5 =（2,2 6）,O C =c =（x,y）,c-

12、a=x-2y y）,c +石=（x +2,2 /5 +y）,所以（2 2）伍+5）=（%2）（工 +2）+），（26+），）=一3 ,即 x?+（y +百）=4 ,所以点c（x,y）在以M（o,-石）为圆心，半径=2的圆上，J（x _ 2 +y 2表示圆/+卜+石）=4上的点（x,y）与定点A（2,0）的距离，所以4 4 的最小值为|M 4|r=，（0-2）2+96-0）2-2 =五一2 ,故选：D.例8.（2 02 2 全国高三专题练习）设向量心b.5满足|初=|6|=1,a-f t =-,（a-c）-（b-c）=0,则|c：|的最小值是（）A.1土!B.立二1 C.6 D.12 2【答案】

13、B【解析】建立坐标系,以向量a,方的角平分线所在的直线为x轴，使得1,5的坐标分别为2设5的坐标为（X,1），由已知可得+1 表示以母 可 为 圆心，/为半径的圆，求出圆心到原点的距离，再减去半径即为所求【详 解】解：建立坐标系，以向 量 入5的角平分线所在的直线为X轴，使 得G,B的坐标分别为设C的坐标为(x,y),H (a-c)-0-c)=O,则任I的 最 小 值 表 示 圆I二 的点到原点的距离的最小值,因为圆到原点的距离为4，所以圆上的点到原点的距离的最小值为日十【点睛】此题考查平面向量的数量积运算，解题的关键是写出满足条件的对应的点，考查数学转化思想，考查数形结合的思想，属于中档题例

14、9.（2022全国高三专题练 习）已知向量入b，工满足忖=4,在 方 向 上 的 投 影 为2,c-a）=-3,则|B-|的 最 小 值 为（）A.6,-1 B.百+1 C.2石-2 D.273+2【答 案】A【解 析】【分 析】设2，B向量的夹角为e,可得CS，=R,即可求in。，不妨设1=)=(2,2抬)，各=砺=(皿0)(巾 0),设 三 方=(x,y),由 -)=-3,整理可知点C的轨迹是以(1,G)为圆心，半径厂=1的圆，而b-c=m-x)2+y2=B C,结合圆的性质，可求出怛。的最小值.【详解】2 2 1设2,坂向量的夹角为e，则Wco s 6 =2,则co s”甲厂5，因为。(

15、),所以6 =1.不妨设a=西=(2,2道)，b=O B=(/n,0)(w 0),设 c=O C =(x,y),贝|3伍 _4=(,/)(_2,)，_ 2 6)=_ 3,g S W(-l)2+(y-V3)2=l.所以点c的轨迹是以(i,G)为圆心，半径厂=i的圆，记圆心为。，又B-c=(LX,_y),B P|S-c|=+y2=|B C，当直线BC过圆心O,且垂直于x轴时，忸。可取得最小值，即忸q“6-r=x/5-l.本题考查向量的模，考查向量的数量积及向量的投影，注意利用数形结合的方法，属于难题.例1 0.(2 02 2全国高三专题练习)己知A4?C是边长为4省的等边三角形，其中心为O,尸为平

16、面内一点，若O P =1,则丽.丽 的最小值是A.1 1 B.6 C.3 D.1 5【答案】A【解析】【分析】作出图像如下图所示，取A8的中点为。，由。=1,则P在以。为圆心，以1为半径的圆上，再由公式可哈蟀+珂 一(西 一 可 Q 时 一(叫.“一 2,可得选项4 4【详解】作出图像如下图所示，取 A 8的中点为。，则0=4 6X1X =2,因为OP=1,则 P 在以。为圆心，以2 31为半径的圆上，则 丽 而：(丽 时-例 一 时 R 呵：(时=P 4-1 2 又为圆。上的点0 到。的距离，则4 4/.丽.丽 的 最 小值为-11.故选：A.本题考查向量的数量积的最值，转化法是解决此类问题

17、的常用方法，属于中档题.例 11.(2022陕西 西北工业大学附属中学高三阶段练习(理)已知工为单位向量，向量2 满足:R-.(G-5 =0,贝雨+0 的最大值为()A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】可设;=(1,0),=(x,y),根据(2-q-0-5 )=0,可得x,y 的关系式，并得出x，y 的范围，a+e=x +)2+y2,将 用x 表示，再根据函数的最值即可得解.【详解】解：可设e=(l,0),a=(x,y),则(a-e).(a-5 e)=(x-l,y)-(x-5,y)=x2-6x+5+y2=0,GP(x-3)2+y2=4,则 K十，-2 这 yW 2,卜 z+

18、=(x+1)2+y1=j8 x-4 ,当x=5 时，j8 x-4 取得最大值为6,即k+e|的最大值为6.故选：C例 12.（2022 全国高三专题练习）已知向量入b，3为平面向量，同 咽=2 3=1,且 使得2-2 2 与所成夹角为60，则口的最大值为（）A.73+1B.6D.77+1【答案】A【解析】【分析】先根据已知条件求出向量,5 的夹角，建立平面直角坐标系，设3（1，），设）=，OB =bO X 根据线性运算可得-2ci=H e，c-b=BC ZACB=60,结合正弦定理可求出点C 的轨迹，当C M。三点共线时取得最大值，即可求解.【详解】因为同=W=2 4 =1 ,所以2同卡 05

19、（石）=1,可得cos.B）=；,因为0 Y 3）M180。，所以（=6（T,如图所示：在平面直角坐标系中，A 岑）8（1,0）,不妨设双=日，OB=b 延长OA到OA使得。A=A 4,则 两=2公，点C 为平面直角坐标系中的点，O C =c，贝匹-2d=近，c-b=BC则满足题意时，Z ACB=60,结合点A,8 为定点，且MM=6，由正弦定理可得：-=2 R,可得R=l,则点C 的轨迹是以M 住，坐 为圆心，1为半径的优弧上，sin 60 12 2 J当C M,O 三点共线，即点C 位于图中点/位置时，口取得最大值，6丫+1 =百 +1，故选：A.例13.(2022北 京 市 第 十 二

20、中 学 三 模)为 等 边 三 角 形,且 边 长 为2,则 而 与 灰 的 夹 角 大 小 为120、若|叫=1,C E =E A，则 而.诙 的最小值为【答 案】-3-6【解 析】【分 析】以 点B为坐标原点，丽、丽 分 别 为x、V轴的正方向建立平面直角坐标系，设 点D(cosasine),利用平面向量数量积的坐标运算以及余弦函数的有界性可求 得 而 丽 的最小值.【详 解】因 为AA8C是边长为2的等边三角形，且 屋=丽，则E为AC的中点，故BEJ.AC,所 以，而 丽=G(c o s e-6)*-G-3,当且仅当cos6=T时，等号成立，因此，而 丽 的 最小值为-石-3.故答案为：

21、-6-3.例14.(2022.江苏泰州.模拟预测)平面向量4,5 1满 足 同=1,同=2,G与的夹角为60、且传-2 4(-5)=0则 的 最 小 值 是【答案】6-1#-1+6【解析】【分析】设,=(1,0),6=设 历=d=(x,y),根据e-2 1 卜-6)=0 结合数量积的运算求得c 的轨迹是以加,3)为圆心，1为半径的圆，利用国的几何意义可求得答案.【详解】由题意不妨设0 为坐标原点，令。=。,0)，B=设 反=5=(x,y),由于e-21卜-5)=0,(x-2,y)(x-1,y-/3)=0,x2-3x+2+y2-y/3y=0,即f 卜一等)=1,故 c 的轨迹是以M(|当为圆心，

22、1为半径的圆，故 z H O M IT =6-1，故答案为：/3 1例 15.(2022浙江嘉兴模拟预测)平面向量2 尻a 满足|万|=|6|=2dZ=l,5=/i?+(2-/l)B(/leR)j1+4 6|=J I,则|1+1|的最小值为.【答案】石-友【解析】【分析】设=OA,h=OB,c=OC,d=-O D,利用平面向量的几何意义及平面向量等和线定理进行求解.【详解】解析：几何意义+等和线由题记2=砺 石=而 忑=反,7=-无，则由|初=仍|=2万 4 =1,.jr得|西 1=1 砺|=1,MZAOB=y .作图，如右图所示:CAOBQABNQBMN 为正三角形,O M =M E，由乙=

23、/11+(2 彳明，得 C 在直线M N 匕y.d+4b=-O D +O E=D E ：.DE=d+4b=y/2 ,即点。在以点E 为圆心，&为半径的圆匕：.c+d =O C-O D =D C -.故答案为：百-0.例 16.(2022浙江金华三模)已知平面向量,b，工满足3 2 =3 5 =同 明=1,当R-斗 -?取到最小值时，对任意实数4,+(1-为4 的最小值是.【答案】74#z 2【解析】【分析】构造单位圆，设出向 量 诙=,而=3，OC=c.由题设得到CA、C 8是圆。的两条切线，后=不，从COS，而 由 当 取 到 最 小 值 时，求得cos”2一，结合痛+(1 肪表示的是以O

24、为起点，终点在A8上的向量，可求得答案.【详解】如图，设0 4 0 8 为单位圆。的两条半径，记 方=,而 乩，元=入设/4 6 =/8。=，,。（0,1）,由题意A=AB=W=W=1,一 1可 知。、C 8是圆。的两条切线，则 中 高故（。-c）仿-c）=J +&B-2=+cos 2 0-2 ）cos 0 4+2COS261-325/2-3,COS-0当且仅 当 忌 万=2cos2,即co s2 =#时取“=，此时3。=2一；，因为苏+(1-，而表示的是以。为起点，终点在A 3上的向量,故当该向量垂直于向 量 血 时，其模卜+(I T)4最小,记 A fin o c=。，则 O_LA3,则k

25、 2+（1-/1肪1=|0 4|=1 xcos=2石，故答案为：2 a例 1 7.（2 0 2 2 浙江绍兴模拟预测）己知平面向量万、及 d 满足：M 与5的夹角为手（1卜-5）=0,同 丽=2,记 M 是卜一小|的最大值，则 M 的最小值是.【答案】叵 口2【解析】【分析】设 次=昆 丽=尻 反=不,E 为43中点，令|万|=x,|5|=y,|A8|=2 r,|O E|=f,结合图形，利用向量的线性运算求出=-及-5 1 a=|函|+|觉|,转化为函数求最小值即可.【详解】设 砺=互 而=瓦 历=当 王 为 AB 中 点,4-1 1=x,|&|=y,A B|=2 r,|O E|=t,7 I

26、T贝 ijZ AO B=w，x+y=2 ，因为 o Z =，（O A+O B）,AB =O B-O A,2故 有 丽 丽=|O E|2 -1|A B2-xy=t2-r2,尤 2 +j2 _A,2cosZAO B =-=-jQ 7 =x2+y2-4 r2 n 4产=（x+y）2-xy，2 xy由得产=1-,从而/=/一（孙=1 _ 1 孙平（0,1 ,4 2 4因为伍一）卜 一 5）=0,所以A C L8C,即点C 在以48为直径的圆E 匕.c-a-b=c-a+b）O E+E C-W E E O+E C E O +EC,.-.M =lc-a-blmax=I Edl+I ECI=r+r=ll-jx

27、y+J l-x y -,当且仅当|利=出|=1 时，即盯=1 时等号成立.故答案为：避 过2【点睛】关键点点睛：在平面上分别作出向量对应的有向线段，利用极化恒等式得出3丽联立4方程后可得产曰 一?，产=1-1 孙 孙 e(0 是解题的关键，再将向量模用孙表示出来，即可利用函数单调性求最值.例 18.(2022 浙江慈溪中学模拟预测)已知平面向量满足|=3出|=3,若=(2 2/L”+3(/lw R),且 沫=器，则cos(,3 一 的最小值为.【答案】半【解析】【分析】根据题意作出图形，设 =囱，b=OB c=OC 23=两，32=砥，39=函，则C=(l-X)函+2函(2 e R),再根据题

28、意得点C 是直线Aq 与 NAOB的角平分线的交点，得到B.C OB,3 1 _ T玄=京=1=5,进而得到co sa，3 a-c)=cosNC3。，求解计算即可.【详解】如卜图所小，设 Q=OA,b=O B，c=O C，2tz=O ,3a=OA,3B=OB、,因为=(2 2；1)+3/1灰；1 1 /(x-1)2+y2=x+l y2=4x,即8的轨迹为抛物线：丁=4万.设4(3,0),则g=两，3&-5=丽，设 =HC，.同=1，故C的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，/.|3 a-S +c|=|B C|,可看作抛物线上任意点B到以A (3,o)为圆心，半径为1的圆上任一点C的距离，则忸C|2

29、忸A _l =J(x _3)2 +y 2 _i =J(X-3)2+4X-1=(X-1)2+8-1N2/5-1，当x =l 时取等号.故 忻-B+q的最小值为2&-1.故答案为：2 0-1.例2 2.(2 02 2浙江高三专题练 习)己 知 心 石、工是平面向量，工是单位向量.若/_ 4 7 +2 2=0，t-3b e+2 e=0 则/一2/+42 的 最 大 值 为【答案】7【解析】【分析】作诙=，丽=，O E =e分析可知则点8在以线段CE为直径的圆。匕 点A在以点C为圆心，0为半径的圆C 上，可得/-2 7 B +2片=|网丽。设NBCE=6,利用圆的几何性质结合二次函数的基本性质可求得二

30、一痴石+2 2 的最大值.【详解】因为片-4 力+2工 J o,则*2 甲=2,即归2 4=也,因为7 _3尻工+2%=0-即倒一切.2=0,作 函=，OB=b，OE=e OC=2e，则|1 2 片 同=0,（h-e）（b-2）=EB-CB=0,则固定点E，则E 为O C的中点，则点8 在以线段CE为直径的圆。上，点A在以点C 为圆心，及 为 半 径的圆C 匕如下图所示：设 NBCE=e,则,q =cose,因 为 阈=2,OB=（CB-CO）2=CB2-2|CB|C O|COS6 +CO2=4-3COS2（9,故 J-2 Z 历+2 4（B q +及+|2=（cos，+0）2+4-3cos2

31、（J 5 Y=-2cos，6+2&cose+6=-2 cos。-+77,I2 J当cos8=等 时，等号成立，即/_ 打 出+%2的最大值为7.故答案为：7.【点睛】方法点睛：求向量模的常见思路与方法：-2 I12（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用。=，勿忘记开方：（2）7 =/=或 同=正，此性质可用来求向量的模，可实现实数运算与向量运算的相互转化；一些常见的等式应熟记：如仅土坂）=a 2ctb+b,（+今（一 石）=2-六等例 2 3.（2022浙江舟山市田家炳中学高三开学考试）已知向量）与万的夹角为。，sin9=,|a-S|=4,7向量c-a,c-B 的夹角

32、为言，|c-a|=2 6 ,则a-c 的最大值是.【答案】25【解析】【分析】根据题意作出图形，根据正弦定理可求出。尸=近.记线段A C的中点为M,AB的中点N,在RtZPAN中，可求出 cos NPAB=义,sin ZPAN=g，从而可求出 cos ZPAM=cosf NPAB+2 =，然后在 PAM 中,币 币 1 6）2百根据余弦定理求出P =7，从 而 可 求 出 砺 反=两；!5 1 2 5.4【详解】如图，作圆 P,使得 AB=4,sinNAO8=2 ,且点0 在优弧A 8上，点 C 满足AC_LBC,AC=2 G，则厉=,砺=反 近=2,符合题意.记线段A C的中点为M,在AOA

33、B中,由正弦定理,得。=用，取 AB的中点N,连接P N,在RtAPAN中，PA=OP=y/l，AN=2,2所以 cos/PAB=万,sin Z.PAN=6万所以 cos ZPAM=cos(NPA8+j =环,在fAW 中，由余弦定理，M PM1=PA1+AM2-2PA-AM cos ZPAM=7,HOM J1,uu uuu uu-1 -1 -因为+0 3=2%，OA-OC=C A 所以04=0 时+5。,=0 时 _/。,所以7 2 =西.反=（两彳可（丽彳司=丽2_；次0=|西-3 4 25,当且仅当点P在 线 段 上 时，等号成立所以7的最大值是2 5.故答案为：2 5.例2 4.(2

34、0 2 2 浙江,模拟预测)已知平面向量万,反d2满足|不|=|5|=2,alb,b+2 c=2,(d-a)-(d+2 b)|=2,则可设 1 =。4 =(2,0),5 =0月=(0,2),i 5 c=O C,d=O D,-2 b=O E .由|5 +2 C|=2 n 5-1=1 知 C在以 N(0,-l)为圆心，1 为半径的圆上,取AE的中点为M(l,-2),由(2 _ 4 (2+2 5)=(而 _)(而 _ 诙)=而.而=(祝+砺 (而 +砺)=-(疯+丽)丽)=应2 _忒.又AE=2B所以(1 _泊(2+2 5)=面2 _凉2=蠲2 _ 5 4 4=|。知区3所以。在以M(l,-2)为圆

35、心3为半径的圆内(含边界)，如图所示.作圆N关于x轴的对称圆圆尸，其中P(0,l),则五+2|=|2-(-心|表示圆面M 内一点与圆P 上 一点之间的距离,所以|+2|=|2_(_)|4|Cq=|MP|+z;+4=M+l+3=Vi+4,即忆+力 的最大值为Jid+4.故答案为：/10+4.例 25.(2022四川省泸县第四中学模拟预测(理)已知,坂是平面内两个互相垂直的单位向量，若 向 量 满足R-4 侬一2)=0,则 同 的 最 大 值 是.【答案】苴2【解析】【分析】由题意可设石的坐标，设 =(x,y)，利用-斗 倡-22)=0 求得 =(x,y)的终点的轨迹方程，即可求得答案.【详解】因

36、为石是平面内两个互相垂直的单位向量，故不妨设。=(1,0),五=(0/)设c=(x,y),由(-)0-2,=0 得：(l-x,-y (-2 x,l-2 y)=0,印一 2x(1-x)-y(l-2y)=0,即(x_2)2+(y-J)?=,2 4 16则工的终点在以g,;)为圆心，半径为。的圆上，故H 的最大值为J(g)2+(；兄+=-故答案为：立2例 26.(2022全国模拟预测)已知,B满足问=1,忖=&,则|岳+,+|扃-4 的最大值为_ _ _ _ _ _.【答案】4【解析】【分析】同=1邛 卜 夜，得到同=1,|血=及，从而画图，点4,B在以原点为圆心，以 正 为 半径的圆上，作出平行四

37、边形，利用差向量与和向量分别为平行四边形的两条对角线向量，结合三角函数有关公式和性质求得结果.【详解】因为同=1,欠=夜，如图，7BA/圆。的半径为&，点4 3在圆上，以O A,0B为邻边作平行四边形O AC B,设)=衣;，0 B=b，贝1网=|应-4|o c|=|+|.TStZAOC=&o 0。4 一。q=1 =1,因为同=2,令1（2.0）,根据几何性质，点 8 在以（2,0）为圆心，1 为半径的圆上，（位 叫 毛=0=应 石=1又因为W =p|,利用数量积公式展开可得C O SG，】=,Q=4 5 ,所以点C 的轨迹为以（及，闾 或（也-3）为圆心，半径为1 的圆,所 以 C 的横坐标的最大值为0+1 ,cos,c）,即为 在 上的投影，最大值 为 夜+1.关键点点睛：解决本题的关键是利用几何图形的关系转化向量的关系.例 29.（2022 全国高三专题练习）已知平面向量丽,而 满 足 网=|丽|=1,丽 丽=一 若 国 =1，则|正|的 最 大 值 为.【答案】石+1#1+石【解析】【分析】以 P 为原点，以 为 x 轴建立坐标系，求出C 的轨迹即可求解.【详解】以 为 X 轴建立坐标系.V|BC|=1,故 C 在以8 为圆心，1 为半径的圆B 匕P(0,0),A(1,O),B明 的 最 大值为：|阴+1=+1 =y/3+1.故答案为：石+L