《试卷4份集锦》广东省汕尾市2022届数学高二下期末考试模拟试题.pdf

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1、2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单 选 题（本题包括12个小题，每小题3 5,共60分.每小题只有一个选项符合题意）1.在（2 x 十）的展开式中，一 项的系数为（）A.-40 B.40 C.-80 D.80【答案】D【解析】【分析】通过展开二项式即得答案.【详解】在（2 x-9）的展开式中，/的系数为C；23（-1）2 =8 0,故答案为D.【点睛】本题主要考查二项式定理，难度很小.2.已知随机变量J服从正态分布N（l,cr2）,且P（g a-3）,贝！J a=（）A.-2 B.2 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】由题意结合正态分布的对称性得到关于a的方程，解方程

2、即可求得实数a的值.【详解】随机变量&服从正态分布（l,cr2）,则正态分布的图象关于直线x=1对称，结合P C a-3）有8 二2 =1,解得：。=5.2本题选择c选项.【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：熟记 P（naXn+o）,P（n2oXn+2a）,P（“一3o i,所 以/(%)=f一2%+2,在g,加2 一加+2上的 最 小 值 为/(1)=1.由题意可知，当/(x)=x 2-2 x+2 =2,=%=0或2,nr-m+2 2,0 m.7 1【答案】D【解析】B.2C.%-2D.7+2X原 式=x +s i n x|2 =（工+s i n 工）一 一工+s i n（工）=

3、乃 +2 .故选 Dx 2 2 2 2 2二、填 空 题（本题包括4个小题，每小题5分，共2 0分）1 3.已知抛物线 2=8 X的 焦 点 为/，直线/过尸且依次交抛物线及圆（x 2 y +y 2=i于点A ,B,C,D四点，贝！1 1|+4 1 c o i的最小值为.【答案】13【解析】【分析】由抛物线的定义可知：|AF|=XA+2,从而得到|AB|=%A+1,同理|CD|=X0+1,分类讨论，根据不等式的性质，即可求得|A 5|+4|8|的最小值.【详 解】因 为y 2=8 x,所以焦点厂(2,0),准 线4：x =-2,由圆：(x 2)2 +y 2=,可 知 其 圆 心 为(2,0),

4、半 径 为1,由抛物线的定义得：|AF|=XA+2,又 因 为|AF|=|A+1,所 以|A同 =XA+I,同理当/_ L x轴 时，则4=芍=2,所 以|阴+4 1 c o i =2+1+4(2+1)=1 5,当/的 斜 率 存 在 且 不 为。时，设/:y =-x 2)时，代入抛物线方程，得：Fx2(#+8)x+4寸2=0,止+8 ，乙+芍=2，4产。=4,K,所以|+4 1 c q =区 +l)+4(x 0 +1)=5 +4+4XD 5 +2 yj4xA-xD=5+8 =1 3,当 且 仅 当.=4/，即 ,=1,4=4时取等号，综上所述，|A 0+4|C Z)|的 最 小 值 为1 3

5、,故答案是：1 3.【点 睛】该题考查的是有关抛物线的简单性质的问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离，直线与抛物线相交的问题，基本不等式求最值问题，在解题的过程中，注意认真审题是正确解题的关键.1 4.已知复数集中实系数一元二次方程无2 4 x +a =0有虚根二，则 忖 的 取 值 范 围 是.【答 案】(2,”)【解 析】【分 析】复 数 集 中 实 系 数 一 元 二 次 方 程4 x +a =0有 虚 根z,可得 4.利用求根公式可得z =2 V4 z,再利用模的计算公式即可得出.【详 解】复数集中实系数一元二次方程x2-4 x+a=0有虚根z ,则=1 6 4

6、。4.因为z =2 yja-4i,贝!J|z|=+Q-4=V a 2,所以|z|的取值范围是(2,+0 0).故答案为：(2,+0 0).【点睛】本题考查不等式的解法、实系数一元二次方程与判别式的关系、模的计算公式，考查推理能力与计算能力.1 5 .设集合 A =2,4,8 =2,6,8,则 A B =.【答案】2,4,6,8【解析】分析：AuB=2,4,6,8 详解：因为A =2,4,8 =2,6,8,ADB表示A集合和B集 合“加”起来的元素，重复的元素只写一个，所以AuB=2,4,6,8 点睛：在求集合并集时要注意集合的互异性.1 6 .已知曲线 =+4在x =l处的切线/与直线2 x+

7、3 y =0垂直，则实数。的值为.x a2【答案】【解析】【分析】2 3由题意可得直线2 x +3 y =0的斜率为-一，再由垂直可得曲线在x =l处的切线斜率为士，对曲线求导令3 2导函数为3可得。的值.2【详解】2 3解：直线2 x+3 y =0的 斜 率 为,可得曲线在x =1处的切线为一，3 2y=-x2+,当x =l,y=可得-1 +=,可得a =-e,a 2 a l 52故答案：a=-e.【点睛】本题考查了直线与直线的垂直关系及导函数的几何意义的应用、导数的计算，属于中档题.三、解答题(本题包括6个小题，共7 0分)17.在四棱锥 S ABC。中，ADI IBC,ACLBC,AC=

8、SD=2AD=2BC=2SC,E 为棱 SC 上一点（不包括端点），且满足AE_LAT.(1)求证：平面SAC_L平面ABCO；(2)/为SO的中点，求二面角尸-A C-B的余弦值的大小.【答案】(1)证明见解析；(2)-豆I .7【解析】【分析】(1)根据传递性，由3C_L平面SAC,得到平面S4C_L平面ABC。(2)作5。，4。于点。，过点。作Or/B C,建立空间直角坐标系，求出各平面法向量后根据夹角公式求得二面角余弦值【详解】(1)证明：因为4)8C,A E L A D,所以3C，A,又AC_L8C,ACcAE=A,所以3CJL平面理。又8。u平面ABC。，所以平面54c_L平面AB

9、C。.如图，作SO _LAC于点。，过点。作3/B C,则。x,OC,0 s两两垂直，故以。为坐标原点，直线Or,0C,0 s分别为x轴、轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.设8 c=1,则SC=1,SD=2,AD=,所以SA=6，又AC=2,所以SA_LSC,S0=，A0=。2 2所 以0(),0,0),A(o,-|,o),S 0,0,弓，c f o,1,o(i 3百因 为 尸 为S 的中点，所 以b(-2-4 4)A.r 1 3 6)=，A C =(0,2,0),令=(x,y,z)为 平 面F A C的法向量,n A F=0,即 n A C=0,则 有 1 3 石 c x H-y H-z=

10、0,2 4*42 y =0,不 妨 设z百，则=易 知 平 面A B C的一个法向量为OS3c o s(OS)-_ 2 币 一丽-.2 X 2因 为 二 角/一 4C-B为钝角,所 以 二 面 角 尸-AC-B的余弦值为 2立.7【点 睛】本题考查面面垂直证明与二面角的求法，如何建立空间直角坐标系是解题关键1 8./(x)=ex-a ex-(a +e)x+a +l(a e R).(1)讨 论/(x)的单调性；(2)若 对 任 意a e(0,l),关 于x的 不 等 式/0)/1 3 1-0)在 区 间(。-1,+8)上恒成立，求 实 数2的取值范围.【答 案】(1)见 解 析(2)A e【解

11、析】【分 析】(1)求 导 得 广(x)=e，+a -(a +e)=宜 二 二 )，再 分 成。4 0、0 a e,a =e、ae四种情 况，结合导数的符号得出函数的单调性;(2)设(a)=ln a-a +l,/?(。)=一一1,得单调性，贝|j ln a a l,由(1)可 得/。量抽=/(I)=1-,a-a-a(a-2 eal+1则-令g(a)=n-，求导8 (。)=丁 鬲-丁，令(a)=(a-2)e T+l,e-a e-a e-a)(a)=(a-l)e T ,根据导数可得出函数的单调性与最值，由此可以求出答案.【详解】解：(1)/(X)=e*+a e (a +e)=(/一 皿一 公，ex

12、当。4 0时，令/(x)N 0则xN l,令/(x)0,贝i j x l,./(X)在(F,1)上单调递减，在 1,M)单调递增；当()a e时，ln a l,令/(x)N 0,则x i l或x l n a,令/(x)0,则In a x )上单调递增，在 In 上单调递减；当a =e时，/(x)在R上单调递增；当 a e 时 ln a l,令/(x)2 0则 x N ln a 或In i,令/(x)0 则 l x ln a,/./(x)在(-)上单调递增,在 1,In句上单调递减；(2)当 0。1 时，l n a 0 ,a在(0,1)上递增，/?()/?(1)=0,/.n a a ,由(1)知

13、/(X)在(。-1)上递减，在(1,+8)上递增，e-a人 /、1 a 、八 n r,(a 2)e +1令 g(a)=-()a D，则 g (a)=，e-a (e-a)令(p(a)=(a-2)e T +1,(pa)=(a-l)ea-,当0 a l时，(a)g(0)=e,：.A/4_2=亚，由 AO _L 平面a,得乙48。是A3和平面a所成的角，由此能求出A8和平面a所成的角.【详解】(1)QAB是平面a的斜线，8为斜足，AO _L平面a,。为垂足，是平面a上的一条直线，:.AO BC,又OC L 8 C,且AO O C =O,BCJ_ 平面 A O C.(2)设3c=1,OCLBC于点C,Z

14、ABC=60。，N O B C =45。.8CJ_平面AO C,O C=1,O B Jl+1=y/2,A B-2,A O=J 4-2=y/2 QAO _L平面a,Z A B O是A B和平面a所成的角，A O =B O,P O 1 B O,.-.ZABO=45,AB和平面夕所成的角为45.【点睛】本题考查线面垂直的证明、线面角的求法、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，是中档题.2 0.如图，在四棱锥P-A B C D中，底面A 8 C D是边长为2的菱形，尸。_1 _平面A B C D,/P A D =N D A B=6 0 ，为 A B 的中点.（

15、1）证明：P E r CD；（2）求二面角A -P E-C的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）-巫.4【解析】【分析】（1）证明P D 1A B,再证明A B _ L平面P O E,即可证明（2）以。为原点建立空间直角坐标系，再求平面A P E以及平面P C E的法向量，再求两个平面法向量夹角的余弦值，结合图像即可求得二面角A-P E-C的余弦值.【详解】（1）证明：连接。E,BD.因为四边形A B C O是菱形且ND 4 3 =60 ,E为A 8的中点，所以D E上A8.因为平面A B C D,所以P D _ LA 6,又D E c P D =D,所以A B L平面P D E,则因为 A

16、3/C D,所以 P E L C D.（2）以。为原点建立空间直角坐标系。-孙x （其中。为A C与B O的交点），如图所示，则P（-l,0,2 7 3）,A（0,-V 3,0）,E-,-,0 ,C（0,V 3,0）./设平面A P E的法向量为=（玉，y,zj,则A P-”=0，A E n =Q-X 1 +5/3 y 1 +2 /3 Zj=0即16，|5%+力=。令 X、=6 得=（右，-1,1）.设平面PCE的法向量为7 =（/,，Z2），则 PC加=0，C E m =0,x2+垂%-2/3Z2=0即1 3 百 ，、，2 2-y2=o令为2=3 百，得 加=卜 百,1,2）.,nm 1 0

17、 J1 0所以 JU 少,n m V S x/3 2 4由图可知二面角A-PEC为钝角，故二面角A -PE-C的 余 弦 值 为 一 画.4【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化分析推理能力.2 1.已知二次函数，（幻=2+公+c （a,c 均为实数），满足a b+c=o,对于任意实数都有V*_1_ 1f（x）-x Q,并且当（0,2）时，有/（幻 4（一二）2.（1）求/的 值；并证明：a c -t1 6（2）当X e 1-2,2 且 a+C 取得最小值时，函数尸（x）=/（x）-a（加为实数）单调递增，求证：加4

18、 -4.2【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析【解析】试题分析：由函数的解析式可得f(l)=1,结合均值不等式的结论可得(2)由题意讨论二次函数的对称轴和单调性即可证得题中的结论.试题解析：(1)由题意=即。+匕+c=l,又a-Z?+c=O,贝(J x)-xNO=4 一%+北。恒成立(2)由(1)可得Q +c=b，当且仅当a=c=时取等号2 2 4此时E(X)=(X2+；-X+；,要使其在区间内单调递增，必有对称轴与其关系为1-2-/M2；(H)求函数y=/(x)的最小值.【答案】(I)|2%+1卜|-4|2的解集为(-0),-7)5 田).9(n)最小值2【解析】【分析】【详解】解：(

19、I)令丁=|2%+1卜次一4|，贝I-x 5,y=3x-3,x+5,M，一不，21)x 2 的解集为(一8,-7)3,+8)(D)由函数y=|2%+1卜|%-4|的图像可知，当x =g时，丁 =|2+1卜旧4|取得最小值一 1.2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单 选 题（本 题 包 括12个 小 题，每 小 题3 5,共60分.每 小 题 只 有 一 个 选 项 符 合 题 意）1.”所 有9的 倍 数 都 是3的 倍 数.某 数 是9的倍数，故 该 数 为3的倍数，”上述推理A.完全正确B.推理形式不正确C.错 误，因为大小前提不一致D.错 误，因为大前提错误【答 案】A

20、【解 析】【分 析】根据三段论定义即可得到答案.【详 解】根 据 题 意，符合逻辑推理三段论，于是完全正确，故 选A.【点 睛】本题主要考查逻辑推理，难度不大.2 22.椭 圆+1=1（。人 0）短轴的一个端点和两个焦径 为，则 该 椭 圆 的 离 心 率 为（）1 1 1A.-B.C.一2 3 4【答 案】C【解 析】【分 析】利用等面积法得出。、C的等式，可 得 出“、c的等量关系式，可求出椭圆的离心率.【详 解】V-2 V2由椭圆3 +方=1（。b 0）短轴的一个端点和两个焦点所构成的三角形面积为S =bc,该 三 角 形的周长为2a+2 c,由题意可得S=bc=；（2a+2 c g,可

21、 得a+c=5c,c 1 1得e=-=-,因此，该椭圆的离心率为一，故选：C.a 4 4【点 睛】本题考查椭圆离心率的计算，解题时要结合已知条件列出有关“、6、C的齐次等式，通过化简计算出离心率的值，考查运算求解能力，属于中等题.3.已知函数/（X）的 导 函 数 为 尸（X）,且 满 足 关 系 式/（x）=f+3矿 +产，则/（2）的 值 等 于（）B.y-2D.-卜【答案】D【解析】【分析】求得函数的导数，然后令x =2,求得/（2）的值.【详解】2依题意/（x）=2 x+3 f （2）+/,令x =2得/=4+3/（2）+e 2,/（2）=-2,故选D.【点睛】本小题在导数运算，考查运

22、算求解能力，属于基础题.4.函数/（x）=A s i（8 +e）（A 0 0,|。|0的 解 集 为R,则/nN 1”当 加=0时，2 x+3 N 0不是恒成立的.当 功w 0时，则Vm 0匠4（加+14i+3）4。解 得：心 所 以 正 礁故 选：A【点 睛】本题考查四种命题和互化和真假的判断，属于基础题.7.若a是第四象限角，s i n|+x j =-,则s i n(二-aV 3)13 6)D.1213【答 案】C【解 析】【分 析】确 定 角2 +a所处的象限，并 求 出c o s+a j的值，利用诱导公式求出s i n-a J的值.【详 解】37rQ?是第四象限角，则 手+2收。自 人

23、+2)7，117 71 7万 小 .(兀 1 5-F2 k ji 一+a v-F2 k 7c(Z:e Z),且s i n v a =-6 3 3 V 7 l 3 J 13所以，工+是第四象限角，则c o s(巳+a=3 13 J1213因此,故选C.【点睛】本题考查三角求值，考查同角三角函数基本关系、诱导公式的应用，再利用同角三角函数基本关系求值时,要确定对象角的象限，于此确定所求角的三角函数值符号，结合相关公式求解，考查计算能力，属于中等题.8 .曲 线/.(幻=/+一2在点P处的切线与直线x+4y+l =0垂直，则点p的坐标为()A.(1,0)B.(1,0)或(一1,-4)c.(2,8)D

24、.(2,8)或(-1,-4)【答案】B【解析】试题分析：设P($,%),f(x)=+x-2:.f(x)=3/+(%)=3婿 +1=41=1%=0 或：.%=-4,点 P 的坐标为(1,0)或(-1,-4)考点：导数的几何意义a (a b)A.(0,1)B.(-00,1)C.1,+c o)D.(0,1【答案】D【解析】分析：欲求函数y=l*2x的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值的取值范围即可.详解：当I d*时，即x 20时，函数y=l*2=l当lx时,即x 0由图知,函数y=l*2x 的值域为：(0,1.故选D.点睛：遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为

25、：根 据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；根据定义域和解析式画出函数的图象根据图象分析函数的性质.10.已知方程l n|x|2+耳=()有4 个不同的实数根，则实数。的取值范围是()D.吟【答案】A【解析】3分析：由于=,区-奴 2+5 是偶函数，因此只要在x0 时，方程有2 个根即可.用分离参数法转化为求函数的极值.3详解：由于y =l n|x|是偶函数，所以方程 n%依 2+3 =。有两个根，即 l nx+两个1 1 2 2 a =-x3根-设幻=口，则八幻二X3x-2x(l nx+-)_ 2(l nx+

26、l),.0 x Q,f(x)X4X3递增，时，/(X)0,/(X)递减，x =!时，X)取得极大值也是最大值/(1)=S，又 X f+0e e e 2In r。一时，/(x)f F,xf时，/(x)-0,所以要使 mx十 有 两 个 根，贝|j o a 0 令龙之一匕=0,得m m所以y =J/x；又双曲线的一条渐近线为2x+y =0,则J后=2,解得加=4,所以实数?=4.故选：C.【点睛】本题考查了利用双曲线的标准方程求渐近线方程的应用问题，是基础题.12.已知点F是抛物线C：y 2=8x的焦点，M是C上一点，F M的延长线交y轴于点N,若M是F N的中点，则M点的纵坐标为（）A.272

27、B.4 C.2夜 D.4【答案】C【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，推 出M的坐标，然后求解，得到答案.【详解】由题意，抛物线C：y 2=8x的焦 点/（2,0）,“是C上一点，的延长线交）,轴于点N,若 M为 F N 的中点,如图所示，可知M的横坐标为1,则 的 纵 坐 标 为 2/，故选C.本题主要考查了抛物线的简单性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、填 空 题(本 题 包 括 4 个 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分)13.如图所示，在 三 棱 锥。一 A B C 中，若 A B =C B,A D =C D,是 A C 的中点，则下列命题中正确的 是(填

28、序 号).平 面 ABC _1平 面 曲；平 面 4 B C 1.平 面 B C Q；平 面 ABC 1.平面B D E，且 平 面 A C)_L平面平面ABC _L平 面 A C D,且 平 面 ACD_L平 面 B)E.【答 案】【解 析】【分 析】由 AB=BC,AD=CD,说明对棱垂直，推 出 平 面 ABCJ_平 面 BD E,且 平 面 ADC_L平 面 B D E,即可得出结论.【详 解】因 为 AB=C B,且 E是 AC的中点，所 以 BEJ_AC,同 理 有 DE_LAC,于 是 AC_L平 面 BDE.因 为 AC在 平 面 ABC内，所 以 平 面 ABCJ_平 面 B

29、 D E.又 由 于 ACu平 面 A C D,所 以 平 面 ACD_L平 面 BDE,故答案为：.【点 睛】本题考查了平面与平面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.a314.设 a e R,函 数 f (x)=e*+x 是偶函数，若 曲 线 y=f(x)的 一 条 切 线 的 斜 率 是,则切点的横坐标为.【答 案】ln2【解 析】【分 析】3先 根 据 f(x)为 偶 函 数 求 得。=1,再 由 r(x)=e*-e T=7 解 得 X.【详 解】由 题 意 可 得f(x)=f(-x),即e*+=e-x +,，变 形 为(1一。)/一5=0为 任 意x e R时都成立，所

30、以a =l,所 以/(x)=e*+e-*,/(x)=e*-*设 切 点 为(工,%),3 3f x)=ex-e-x=-,由 于/(x)是R上的单调递增函数，且 广(l n 2)=辛 所 以%=由2.填 l n 2.【点 睛】本题考查函数的奇偶性与单调性及由曲线的斜率求切点横坐标.15.若复数二=a+：二 是纯虚数(:是虚数单位)，支为实数，则复数二的模为.【答 案】2【解 析】分 析：先 化z为代数形式，再 根 据 纯 虚 数 概 念 得a,最后根据复数模的定义求结果.详 解：因为z =(a +1)?=苏一 1+2a t是纯虚数，所 以 伍？一 1=0 ，1 2 aH0 二。=1所以|z|=(

31、v a1+T)2=a:+1=2.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a +d:)(c +由)=(a c-M)+(a d +bc)i.(a,b,c.d e R y其次要熟悉复数相关基本概念，如复数a +b t(a,b c R)的实部为a、虚 部 为 小 模 为 赤 阡 萨、对应点为(心与、共舸为&一垃.16 .已 知 条 件，：|4x-3|l；条 件q：x2-(2 +l)x +a(a +l)0,若 力 是 F的必要不充分条件，则 实 数。的取值范围是【答 案】【解 析】分 析：条 件，化 为-l?4 x 3?1,夕化为a W x W a +1,由 力 是 F的必要不

32、充分条件，根据包含关系列不等式求解即可.详 解：条 件：|4 x-3|?1,化 为-l?4 x 3?1,解 得;(7：x2-(2a +l)x+a2+a 0 ,解 得a W x W a +1,若P是 F的必要不充分条件，则p是4的充分不必要条件，1-A 2,解 得O W aW：,1 +1 2则实数”的取值范围是O W aW；,故答案为点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法以及充分条件与必要条件的定义，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于简单题.三、解 答 题（本题包括6 个小题，共 7 0分）1 7.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气

33、象局与某医院抄录了 1至 6月份每月1 0号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料：m 期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昌茂m 差X C C）1011131286一三222529261612该兴趣小组确定的研究方案是:先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程，再 用 1 月和6月的2 组数据进行检验.（1）请根据2、3、4、5月的数据，求出y 关于x的线性回归方程夕=法+；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2 人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?一 三）（,一 刃 Z；）一 时

34、（参考公式：bZ：2-2a-y-bx)参考数据：1 1 X 25+1 3 X 29+1 2X 26+8 X 1 6=1 1 x 25+1 3 x 29+1 2x 26+8 x 1 6 =1 09 2,l l2+1 32+1 22+82=4 9 8.i o【答案】（1）y =yX-y；（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据所给的数据，求出x,y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b,把b 和 x,y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程.（2）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为1 0和 6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的1 0和 6 对应的值做差，差的绝对

35、值不超过2,得到线性回归方程理想.试题解析：（1）由数据求得了=1 1,9=2 4由公式求得人二亍30再由a=y法=-1 Q QA所以y关于x的线性回归方程为/=亍1-牛.(2)当x=10时，=母，-2 2 2；*70 78同样，当x=6时，y=,y-1 2 2所以，该小组所得线性回归方程是理想的.1 Q1 8.已知函数.f(x)=lnx a x+-l(a G R).x(1)当a 4 时,讨论/(x)的单调性；2(2)设g(_r)=f -2bx+4,当a=时，若对任意x,e(),2),存 在 w工2使/&),g(x2),求实数。取4值.【答案】(1)当“M0时，函数/*)在(0,1)上单调递减

36、；函数f(x)在(1,e)上单调递增；当。=工 时，函2数f(X)在(0,+8)上单调递减；当0 :时，函数/(%)在(0,1)上单调递减；函数/(%)在(1 2一 1)上单调递增；函数/(x)在 己 1,+00)2 a a17上单调递减；(2)彳,+8).O【解析】分析：(D先求定义域，再对函数求导，广 丁一：+1-。x e(o,4w),令(%)=2 一 x+i a xe(0,+oo),分 a=0,。=；，0 a ；，a(),此时_ f(x)0,函数x)单调递增；当x e (1,物)时，/?(%)0,函数/(x)单调递增(i i)当()时，由/(x)=(),即以2-%+1一。=0,解 得 玉

37、=1,=,一1a当”;时，%=%，(x)20恒成立，此时/(x)W0,函数“X)在(0,”)上单调递减;当0 4 1 02 a尤e(O,l)时，(x)0,此 时/(x)0,函数“X)单调递减；x e 1,，1)时，/z(x)，此时/(x)0,函数/(x)单调递减；当。0时，由于工1 0,此 时/(同 0,函数/(力单调递减；x G(0,+O)时，/2(x)0,函数/(力单调递增；综上所述：当a W 0时，函数“X)在(0,1)上单调递减；函数“X)在(1,物)上单调递增；当a =g时,函数“X)在(0,小)上单调递减；当0 a g时,函数/(力在(0,1)上单调递减；函数“X)在 1,：-1

38、1上单调递增；函数/(x)在卜1,上单调递减(2)因为a =；w(0,g),由于(I)知，玉=1,%2=3企(0,2),当x e(O,l)时，/(x)0,函数/(x)单调递增，所以/(x)在(0,2)上的最小值为由 于“对任意与 0,2),存 在 超 叩,2,使，a”g(w)”等 价 于“g(x)在 1,2上的最小值不大于/(X)在(0,2)上的最小值一g”又g(x)=(x 4+4，x e l,2,所以当b 0,此时与(*)矛盾当匕G L 2时，因为 g(X)L =4 -除 之0,同样与(*)矛盾当b e(2+8)时，因为 g(x)L =g(2)=8 4 8,解不等式8 4 b V g1 7可

39、得6 2 8 1 7综上，b的取值范围是,+_ O点睛：本题综合考查用导数结合分类讨论思想求含参函数的单调区间，及恒成立问题与存在性问题的理解,即转化为最值问题，同时也考查了一元二次函数“三点一轴”求最值问题，题目综合性较强，分类较多，对学生的能力要求较高。x=2 c o s(P1 9.在平面直角坐标系x O y中，椭圆C的参数方程为 .(为参数).以坐标原点。为极点，x轴y =s i n ep =-*-r-a G R)的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为 工)，直线/经过椭圆。的右c o s +一I 3j焦点尸.(1)求实数”的值；(2)设直线/与椭圆C相交于A,6两点，求II

40、A FI I 8列的值.【答案】(1)a =且；(2)?2 7【解析】【分析】X=Q C O S。(1)利用消参，可得椭圆的普通方程，以及利用.八可得直线的直角坐标方程，然后利用直线y=夕s m 9过 点 尸，可得结果.（2）写出直线的参数方程，根 据 参 数r的几何意义，以及联立椭圆的普通方程，得 到 关 于f的一元二次方程，使用韦达定理，可得结果.【详 解】x-2cos。（1）将 曲 线C的参数方程.（夕为参数），y=sin2可 得 曲 线C的普通方程为 +/=1,4二椭圆C的 右 焦 点F（百,0）直 线/的 极 坐 标 方 程 为0 cos。-0/jsin。-2a=（）,x=pcosO

41、y=psinO得 尤-0 y-2a=0直线/过 点 尸（百,0）,.二 且；2（2）设 点A 5对应的参数分别为乙出，石+乌21-t2x=将 直 线/的 参 数 方 程，y=（，为参数）代 人 工+丁=1,化 简 得7产+124=0,4f 127I+f2=一/.IIAF|-18刊=,|一闻|=|彳+修=亍【点 睛】本题考查极坐标方程，直角坐标方程以及参数方程的互化，重点在于对直线参数方程f的几何意义的理解,难点在于计算，属中档题.2 0.某 连 锁 经 营 公 司 所 属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表商店名称ABCDE销 售 额x（千万元）35679(1)画出散点图.观察散点图，说明

42、两个变量有怎样的相关性.利润额y(百万元)23345,百万元Z肝 万 用(2)用最小二乘法计算利润额y 对销售额x的回归直线方程.当销售额为4(千万元)时，估计利润额的大小.a=y-b x【答案】(1)见 解 析(2)5 =0.5 x+0.4(3)2.4(百万元)【解析】【分析】(1)根据所给的这一组数据，得到5 个点的坐标，把这几个点的坐标在直角坐标系中描出对于的点，即可得到散点图，可判断为正相关；(2)根据这组数据，利用最小二乘法求得/；的值，即可求解回归直线的方程；(3)利用作出的回归直线方程，把尤=4 的值代入方程，估计出对应的 的值.【详解】(1)根据所给的这一组数据，得到5 个点的

43、坐标：(3,2),(5,3),(6.3),(7,4),(9,5),把这几个点的坐标在直角坐标系中描出对应的点，得到如下的散点图：yX(2)设回归直线的方程是：y h x +a,由表格中的数据，可得元=6,y=3.4,一f 牛,-*)(一-3x(-1.4)+(-l)x(-0.4)+lx0.6+3xl.6 10 1又由8=-=-=R _、2 9+1 +1+9 20 2i=l-1 -1a y x=3.4 x6=0.4,即 g=0.5x+0.42 2 y对销售额x的回归直线方程为v=0.5%+0.4(3)当销售额为4(千万元)时，利润额为：夕=0.5x4+04=2.4(百万元).【点睛】本题主要考查了

44、回归直线方程的求解及其应用，其中解答中正确求得线性回归直线的方程的系数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.2 1.为回馈顾客，新华都购物商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球(球的大小、形状一模一样)，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为40元，其余3个所标的面值均为20元，求顾客所获的奖励额J的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是30000元，并规定袋中的4个球由标有面值为20元和40元的两种球共同组成，或标有面值为15元和45元的两种球共同

45、组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡.请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.提示：袋中的4个球由标有面值为a元和b元的两种球共同组成，即袋中的4个球所标的面值“既有a元又 有b元”.【答案】(1)分布列见解析；期望为50；(2)应该选择面值设计方案“20,2(),4(),40”,即标有面值20元和面值40元的球各两个【解析】【分析】(1)设顾客获得的奖励额为4,随机变量J的可能取值为40,60,分别求出对应概率，列出分布列并求出期望即可；(2)分析可知期望为60元，讨论两种方案：若 选 择“20,20,20,40”的面值设计，只有“2

46、0,20,40,40”的面值组合符合期望为60元，求出方差；当球标有的面值为15元和45元时，面值设计 是“15,15,45,45”符合期望为60元，求出方差，比较两种情况的方差，即可得出结论.【详解】解：(1)设顾客获得的奖励额为自，随机变量J的可能取值为4(),6().c2 1 cc 1P4 =40)=发=不，P =6 Q)=-=,乙 4 乙所以X的分布列如下:J4060pj _2_ 1 _2所以顾客所获的奖励额的期望为E =40 x 1 +60 x i =5 0.(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为30 0 0 0 +5 0 0 =60元.所以可先寻找使期望为60元的可能方案：当

47、球标有的面值为2 0元和40元时，若 选 择“2 0,2 0,2 0,40”的面值设计，因为6()元是面值之和的最大值，所以期望不可能为6()；若 选 择“40,40,40,2 0 的面值设计，因为6()元是面值之和的最小值，所以期望不可能为6().因此可能的面值设计是选择“2 0,2 0,40,40”，设此方案中顾客所获得奖励额为X,则X,的可能取值为40,60,8 0.c2 1 ccP(X,=40)=-=-,P(X,=60)=-C4 o C41-6-Gc;2-3X 1的分布列如下：X 140608 0121r6361 2 1所以 X的期望为 E(X 1)=40 x +60 x +8 0 x

48、 =60.6 3 6i 2 1X 1 的方差为 7)(%,)=(40-60)2 x-+(60-60)2 x-+(8 0-60)2 x-=6 3 640 0当球标有的面值为1 5元和45元时，同理可排除“1 5,1 5,1 5,45”、45,45,45,1 5”的面值设计,所以可能的面值设计是选择“1 5,1 5,45,45”，设此方案中顾客所获的奖励额为X2,则X?的可能取值为30,60,9().1C2 1 C 1 cd 2 C2P(X2=30)=-=-,P(X2=60)=-=-,P(X2=9 0)=-=6,x2的分布列如下:X?30609 0p62361 2 1所以 X?的期望为 E(X 2

49、)=30 x +60 x +9 0 x =60.6 3 6I?1X2 的方差为。(乂2)=(30-60)2 X-+(6O-60)2 X-+(9 0-60)2 x-=30 0.6 3 6因为E(X|)=E(X 2),r (x,)D(x2)即两种方案奖励额的期望都符合要求，但面值设计方案“2 0,2 0,4 0,4 0”的奖励额的方差要比面值设计方案“15,15,4 5,4 5”的方差小，所以应该选择面值设计方案”2 0,2 0,4 0,4 0”，即标有面值2()元和面值4()元的球各两个.【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了期望与方差的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题.2 2.

50、根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:m m)对工期的影响如下表：降水量XX300300X700700X900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于3 0 0,7 0 0,9 0 0 的概率分别为0.3,0.7,0.9.求:工期延误天数Y的均值与方差；【答案】见解析【解析】分析：先求P(X 3 0 0)、P(3 0 0 X 7 0 0),P(7 0 0 X 9 0 0),再求工期延误天数Y 的均值与方差.详解：由已知条件和概率的加法公式有：P(X 3 0 0)=0.3,P(3 0 0 X 7 0 0)=P(X 7 0 0)-P(X 3 0 0)=0.7-