初三中考复习专题三.pdf

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1、六.四 边 形柏黎平太仓市双凤中学【近四年江苏省中考四边形的分值与比率】（仅供参考）2007 年2008 年2010 年分值（分）比率（%）分值（分）比率（%）分值（分）比率（%）南京市65.001210.001714.17苏州市1411.201713.0832216.92无锡市2216.9296.921310.00常州市108.33108.33119.17镇江市1714.171613.3354.17扬州市2013.33138.67138.67泰州市117.33138.6785.33南通市1510.00117.3385.33盐城市2013.331812.001812.00淮安市128.0021

2、14.0064.00宿迁市85.33106.672416.00徐州市1510.00149.331714.17连云港市1510.001812.001610.67合计185182178平均15.4211.0815.1710.8613.6910.05【09年江苏省中考数学为全省统一命题，分值为26分，比率为17.33%】【课标要求】1.探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念.2.掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性.3.探索并掌握四边形是平行四边形的条件.4.探索并掌握四边形是矩形、菱形、正方形的条件.5.探索并了解等腰梯形

3、的有关性质和四边形是等腰梯形的条件.6.通过探索平面图形的镶嵌,知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面,并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计.【课时分布】四边形部分在第一轮复习时大约需要6个课时，下表为内容及课时安排(仅供参考).2.基础知识(1)平行四边形是中心对称图形,具有两组对边分别平行且相等、对角相等及邻角互补、两条对角线互相平分等特征.(2)平行四边形的识别方法两组对边分别平行的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形.(3)矩形的定义：“有一个

4、角是直角的平行四边形叫做矩形”.(4)菱形的定义：“有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”.(5)矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形,它们除了具有平行四边形的所有特征外，还具有以下性质：矩形：四个角都是直角、对角线互相平分且相等，轴对称图形.菱形：四条边都相等、对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角，轴对称图形.正方形：四条边都相等、四个角都是直角、对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角(具有矩形、菱形的所有特征).(6)矩形、菱形、正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形；矩形、菱形都有两条对称轴，而正方形的有四条对称轴，它们的对称中心都是对角线的交点.(7)矩形、菱形、正

5、方形的识别方法有一个角是直角的平行四边形是矩形：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形.有一组邻边相等的平行四边形是菱形：四条边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；(8)一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形,这组平行的边叫做梯形的上底与下底,不平行的两边叫做梯形的腰,两腰相等的梯形叫做等腰梯形,有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.(9)等腰梯形是轴对称图形,它的对称轴是过两底中点的直线,它还具有的特征：等腰梯形的两条腰相等；等腰梯形同一底上的两个底角相等；等腰梯形的两条对角线相等.(1 0

6、)等腰梯形的识别方法同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；两条对角线相等的梯形是等腰梯形.(1 1)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于上底和下底且等于上下底和的一半.(1 2)多边形内角和公式:(-2)x l8 0。；多边形外角和为3 6 0 .3.能力要求例 1 下列哪一个角度可能成为某个多边形的内角和()A.2 6 0 B.1 9 8 0 C.6 0 0 D.2 1 8 0 0【分析】多边形问题一般可转化为三角形问题来解决，从“边形的一个顶点出发可以连结(八一3)条对角线，可将n边形分割成(一2)个三角形，内角和为(-2)8 0。，因此，”边形的内角和必为1 8 0。的整数倍.【解】：1

7、9 8 0 是 1 8 0 的整数倍，故选B.【说明】本题要求学生熟记多边形的内角和与外角和公式，也可以利用公式求出多边形的边数，教师在复习时要引导学生掌握用分割法确定多边形的对角线条数、三角形的个数等变化规律.例 2 R t A A B C 与 R t 尸E O 是两块全等的含3 0 、6 0 角的三角板，按如图6-1 所示拼在一起，C8与 O E 重合.(1)求证：四边形A B F C 为平行四边形；（2）取B C中点0,将A A B C绕点O顺时钟方向旋转到如图6-2中 位置，直线8 C 与A3、C尸分别相交于P、Q两点，猜想。、0 P长度的大小关系，并证明你的猜想.（3）在的条件下,指

8、出当旋转角至少为多少度时，四边形P C Q B为菱形.【分析】（1）由全等三角形对应边相等易得得出四边形两组对边相等，可证平行四边形.（2）可证 AC O。/A B O P,从而得出。P=。.（3）因为对角线互相垂直平分的四边形为菱形，所以只需P Q J _BC既可.【解】（1）AABC 丝 AFC B：.AB=CF,ACBF：.四边形A B C F为 平 行 四 边 形（用其它判定方法也可）（2）O P=O Q理由如下：O C =OB/C OQ =NB OP/OC Q =N P B O C O Q BO P ：.O P=O Q（用平行四边形对称性证明也可）（3）当旋转角度至少为9 0 时，四

9、边形P C Q B为菱形.由（2）得。片。，由题意得0 C=0 8,；.四边形P C Q 8为平行四边形又；.四边形P C Q 8为 菱 形.【说明】解决本题的关键是熟悉三角形全等的性质与识别、旋转的性质、菱形的识别等.平行四边形的性质和判定是本章的重点，它是菱形、矩形、正方形的基础和铺垫，复习时要引导学生从基础入手，熟练掌握平行四边形的性质和判定方法，以及解决几何证明问题的基本思路、方法等.另外平移、旋转、对称等变换也已成为中考的热点，在复习时可以给予一定的重视，从图形中的数量关系和位置关系上多考虑.例3如图6-3,在等腰梯形4 B C O中，A D/B C.。是C。边的中点，以。为圆心，O

10、 C长为半径作圆，交B C边于点E.过E作垂足为H.已知。与A B边相切，切点为尸求证：O E/AB-,（2）求证：E H=-A B；2 若 也 ，求我.的值.BE 4 CE【分析】（1）考虑到4 8 与NOEC是同位角，只需证明N 8=N 0EC既可.（2）本题可有多种证明办法，最为简单的可先 证 四 边 形OEHF为 平 行 四 边 形，则E H=O F=CD=L AB.2 2图 6-3（3）考虑到已知也=_ 1,而求的典也是比值，故而可用设左 法结合相似求解.BE 4 CE【解】（1）证明：在等腰梯形A8C。中，AB=D C,:./B=N C.O E=O C.：.Z O E C=ZC.:

11、./B=N O E C.：.O E AB.证 明:连 结 OF:。与AB相切与点E/.O F1AB.J E H 1AB,：.O F E H.又：OE4B,.四边形。尸为平行四边形.：.E H=O F.OF=-CD=-AB EH=-AB.2 2 2 解：连结。E,:CD 是直径，ZD E C=9 0 ZD E C=ZE H B.又,：/B=/C,:.E H Bs丛DEC.，叫=变.CE CD;幽=_L,设 BH=k,则 BE=4k,E H=7BE2-B H2=4k,B E 4C D =2 E H =2/k,.典=当=4tL=2 ACE CD 2y/l5k 15【说明】本题是难得一见的多种几何知识

12、综合的好题，其考查学生在平行线、等腰三角形、四边形、圆、相似三角形等方面的知识，其内容几乎涵盖了整个初中几何知识的学习，解题方法常规又可多样.建议老师在复习时注重几何常规解题思想、常见辅助线上的训练，不必求偏、求难、求技巧.例4如图6-4-1,若四边形4BC。、四 避 GFE。都是正方形，显然图中有AG=CE,AGCE.（1）当正方形G F E D绕D旋转到如图6-4-2的位置时，A G=C E是否成立？若成立,请给出证明；若不成立，请说明理由.（2）当正方形GFEO绕。旋转到如图6-4-3的位置时，延长CE交4G于 H,交AD于陈 求 证：AGVCH-,当AO=4,Q G=0 时，求 C 4

13、 的长.【分析】（1）可 证 A G、C E 所 在 的 A GO 与 C E C 全等.（2）将放在A”M 中，利用 全 等 证 N”A M+N，MA=90.（3）考 虑 到 图 6-4-3为 旋 转 中 的 特 殊 情 况，本 小 题 可 从 特 殊 角 度 着 手解 决 问 题，立 足 于 a A G。中/GD M=45,必 要 时 可 作 辅 助 线，再结合 相 似 解 决 问 题.【解】（1）AG=CE成立.四边形ABC。、四边形。EFG是正方形，:.GD=DE,AD=DC,Z GDE=Z ADC=90.：.Z GDA=900-Z ADE=Z EDC.：.AGD CED.：.AG=C

14、E.(2)类 似(1)可得 AGO 三 CE,:G A D=N E C D.又：Z HMA=Z DMC.：.Z AHM=Z ADC=90.即 AG 1 CH.解法一：过 G作 GP1 A。于尸由题意有 G P=PZ)=&xsin45o=l,AP=3,则 tan NGAQ=-.AP 3而NGi40=N ECD,tan/E C D=-tan NGAQ=.DC 34 8:.DM=，E P AM=A D-D M =-.3 3在 用 ADMC 中，CM=7CD2+)M28而.也=处，即 A =3 ,D C C M 4 4 V 1 03.4 而 A H =-5再连接AC,显然有A C =4正，CH =VA

15、C2-A W2=J（4何 一（警=争（本题还可通过考虑四边形A C O G的面积来解决问题）【说明】本题以正方形为背景考查学生全等三角形、相似三角形、勾股定理等知识，由于正方形兼具矩形和菱形的性质，因此中考中以正方形为背景的题目也是较为常见的.其中往往包含了 些几何基本图形.建议老师在复习时多注意各种背景下基本图形的变式训练，强化特殊图形的特殊解决方法.例5如图6-5-1,图6-5-2所示，矩形4 8 C。的边长4 B=6,8 C=4,点尸在D C上，DF=2.动点M、N分别从点。、8同时出发，沿射线D 4、线段8 4向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点4时，M,N

16、两点同时停止运动.连接F M、F N,当F、N、M不在同一直线时，可得尸MN,过4尸MN三边的中点作 P W Q.设动点用、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒.试解答下列问题：（1）说明 F M N s/X Q W P；（2）设0 W x W 4 （即M从。到A运动的时间段）.试 问x为何值时，P W 0为直角三角形？当x在何范围时，P Q W不为直角三角形？(3)问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值.【分析】(1)根据三角形中位线平行于第三边的性质易证平行四边形，再证两角对应相等.(2)由(1)可得，只要对 F M N为直角三角形进行探究既可，用含x的代数式表示出所有相

17、关线段的长后用勾股定理结合一元二次方程解决问题.(3)要考虑0 W x W 4和4 V x W 6两种情况时的最值.【解】(1)；P、。、W分别是 F M N的中点：.P Q/N F,QW/M F,P W/M N二四边形尸。卬 尸、M QW P,P Q N W都是平行四边形，：.ZF=ZP QW,Z M=Z P W Q：.X F M N s X Q 3P.(2)：/FM N AQW P,P W Q 为直角三角形也是直角三角形：MF2=4+X2,M N2=(4一x)2+(6-x)2,M F2=42+(4-X)2,二若 M二为斜边,则 4+/=(4-x)2+(6-x)2+42+(4-x)2解得X=

18、7 J F 7,因 0 W x W 4得，x =7-4vi；若 M N 为斜边，则(4-x)2+(6-x)2=4+X2+42+(4-X)24解得x =;3若 N尸为斜边，则 4?+(4-x)2=(4-x)2+(6-x)2+4+/此方程无实数解.综上，当x =7-J F 7或x=4时.，P W。为直角三角形；3而当0 或万或7 J万 +2 ,此时，当x=5时，有最小值为五.综上，x=5时，MN有最小值为后.【说明】本题以矩形为背景，实则为动态几何型问题.重点考查学生对三角形中位线、平行四边形、勾股定理、一元二次方程及建立函数模型求最值问题等知识的综合运用能力.动态儿何问题是近几年各地中考试题常见

19、的压轴试题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能.建议老师在复习时要引导学生通过模拟动态全过程，加强学生对运动过程全局的把握，弄清其内在本质，“以静制动”，把动态问题，变为静态问题来解决.【复习建议】1.夯实双基，发展合情推理和几何表达能力四边形中有为数众多的基础知识和基本方法，面对这么多的四边形的性质与识别，在复习中光靠简单的重复和记忆是绝不可能收到良好效果的.要引导学生结合图形的基础上理解，把握这些知识之间的内在联系，再通过分类比较、整理综合形成系统的知识结构.中考几何问题常以一些四边形中基本图形为背景经一系列变化而成，因此老师在复习时要多进行以基本图形为主的变式训练，牢固掌握一些基本

20、结论和基本解题方法（如常用辅助线添法）等，只有打下扎实的基础，才会有更进一步的提高.四边形内容还是考查学生从基本事实出发进行合情推理进而用几何语言表达能力的最好载体，尤其是证明题，直接显示出学生的数学思维推理能力，要避免因表述不清而导致的中考失分情况.在复习教学中要注重对学生能有条理的思考和表达能力的培养，进一步发展合情推理能力.2.加强知识间相互关系，注重数学思想方法渗透平行四边形的性质与判断是本章内容的重点，它是菱形、矩形、正方形的基础和铺垫.复习时要注意梳理知识间的衔接与过渡，掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的之间的区别与联系.四边形与三角形都是平面几何的基本图形，复习时可通过将多边形

21、分割，将四边形问题转化为三角形问题，运用平移、对称的有关知识将梯形分割成三角形、平行四边形等熟悉图形，启迪学生在实际问题的转化过程中要善于多角度寻求解决问题的途经，筛选简捷的解法、积累解决问题的策略.复习中多关注生活中四边形与特殊四边形图案在实际问题情境中的应用，培养学生从现实生活中抽象为数学模型的本质特征，体验数学建模思想.多关注中考中不断出现的以特殊四边形为背景设计与三角形、相似形、圆、方程、函数等相结合的综合题，通过解题要善于总结反思，正确认识特殊与般的关系，注意方程思想、对称思想以及转化思想的渗透，形成知识间的网络结构，达到融会贯通，明了通性通法，进一步学会多角度分析、探索问题的本质、

22、学会思考、学会思维，提高综合应用能力.3.关注中考热点，聚焦考查难点老师要对特别注意对课本例题、习题、及历年中考试题的研究，中考试卷都具有一定的科学性和导向性.四边形这部分内容中考中常以填空题、选择题、证明题、计算综合题、探究操作题的形式呈现，重点考查平行四边形及特殊平行四边形的性质在实际中的应用、梯形问题及多边形问题的研究方法，还会考查学生的动手操作和实践创新能力，识图、分析、灵活运用儿何知识解决实际问题的能力及探索、发现问题解决问题的能力，很多综合题也都是以四边形为背景考查学生的综合应用知识能力.七.解直角三角形陈凤霞张家港市护漕港中学【近四年江苏省十三大市中考中解直角三角形的分值与百分比

23、】（仅供参考）2007 年2008 年2010 年分值（分）比率闾分值（分）比率巡）分值（分）比率（船南京市97.586.6775.83苏州市64.886.1543.07无锡市129.286.15118.46常州市10.886.6721.67镇江市21.721.6721.67扬州市3242.67106.67泰州市53.353.33106.67南通市6474.67128.0盐城市3285.33117.33淮安市3210.67138.67宿迁市42.73232.0徐州市86.6786.6786.7连云港市3242.6774.67合计6574100平均5.003.745.694.267.695.49

24、【2009年江苏省中考数学为全省统一命题，分值为1 1,比率为7.33%】【课标要求】1.测量和勾股定理学会利用相似三角形的知识和锐角三角函数知识设计测量方案，通过测量和计算，解决一些不可测量的实际问题（如物体的高度等）.（2）掌握勾股定理及其逆定理,会应用勾股定理及其逆定理解决相关的数学问题.2.锐角三角函数认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA、cos A、tan A）；掌握并灵活运用3 0 、4 5 、6 0 角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角.(苏州市中考要求不使用计算器)(2)知道四个锐角三角函数间的关系.3.解直角三角

25、形及应用(1)在直角三角形中，若“已知两边”或“一边一角”，会运用解直角三角形的知识,求出其余的边或角.(2)运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.(3)能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决生活中的实际问题.【课时分布】解直角三角形在第一轮复习时大约需要5课时,其中包括单元测试及评析.下表为 内 容 及 课 时 安 排(仅 供 参 考).课时数内容1测量和勾股定理1锐角三角函数2解直角三角形及应用2单元测试与评析【知识回顾】1.知识脉络2.基础知识 测 量测量是最基本 的 数 学 活 动，要学会利用相似三角形的知识设计测量方案，通过测量和计算,解决一些不可测量的问题.(2)勾

26、股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.即：如果直角三角形的两条直角边分别为4、b,斜边为C,那么。2+b2=C2.勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.锐角三角函数锐角三角函数的定义如图 7-1,在 RtAABC 中，ZC=90,则图7-1曾 边=3,A野 边士斜边 C 斜边 C/A的 对 边a NA的 邻 边btanA=-、,=,cot A=-=NA的 邻 边b NA的 对 边asin A、cos A、tan 4、cot4 分别叫做锐角乙4 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角/A 的三角函数.锐角三角

27、函数的取值范围0sinA 0,cot A 0.各锐角三角函数间的关系sin2 A+cos 2 A=1,tan A cot A=1.特殊角的三角函数值asin acos atan acot a3026TT上45也2V 221160V3V_26V3(4)解直角三角形解直角三角形的依据角的关系：两个锐角互余；边的关系：勾股定理；边角关系：锐角三角函数特殊结论：在直角三角形中如果一个锐角等于3 0 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.解直角三角形的基本类型及解法在 R t A A B C 中，/C=9 0 ,类型已知条件解法两边两直角边a,b(1)C =JcJ+。

28、2；(2)由t a n A =q求出乙4；b(3)Z B =9 09-ZA,一直角边a,斜边c(1)b=Jc?-a1；(2)由 s in A =3求出/A；c(3)ZB=9 0-ZA.一边一锐角一直角边a ,锐角A(1)Z B =9 0 -ZA；(2)b =，一;t a n A(3)c =-.s in A斜边c,锐角A(1)N 8 =9 0 0-N A；(2)a =c-s in A ；(3)b=c-co s A.实际问题中术语的含义如 图7-2,在进行测量时,从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.铅垂线视线鲍 _丽 i 痴函、视线图7-2图7-3如图7

29、-3,坡面的铅垂高度（力）和水平宽度（/）的比叫做坡面的坡度（或坡比）,坡度通常写成1 ：m的形式,如i=1 ：6.h坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有i=tana.I显然,坡度越大,坡角a就越大,坡面就越陡.方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于9 0 角的为方位角.（小学概念）解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题.在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度确定答案.3.能力要求例1 N a在方格纸中的位置如图7-4所示，则ta n a的值是.（）【分析】观察角a的边与格子线组成的直角三角形，发现有一个近似

30、以3为对边、43为邻边的直角三角形，根据三角函数的定义可得tan a的值接近一.4【解】选C.【说明】本题用网格为背景，以考查锐角三角函数定义为目的.教学中，老师要让学生熟练掌握在网格中构造适当的直角三角形，并体现了锐角三角函数一种近似计算的方法.例 2如图7-5,是一张宽加的矩形台球桌A8CD,一球从点M（点M 在长边CO上）出发沿虚线M N 射 向 边 然 后 反 弹 到 ,R边 A 8 上 的 尸 点.如 果 MC=，A C MN=a .那么尸点与B 点 的 距 离 为.,N_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _D M C【分析】首先根据锐

31、角三角函数的定义在RtA 囱闵/7一 5.MNC中用含4、的代数式表 示 出C N,进 步表示出B N,利用入射角等于反射角的背景知识构造出与RtZiMNC相似放 PNB,再用三角函数的定义或相似三角形的性质表示出P8.-m-n-tan a 解-.tana【说明】本题涉及作图、构造相似三角形、锐角三角函数等知识，需要学生深刻领会构造法在数学教学中的重要作用.教学中，可以比较一下利用解直角三角形知识与相似三角形知识解决问题的区别与联系.例 3如图7-6,某人在。处测得山顶C 的仰角为30,向前走200米来到山脚A 处，测得山坡AC 的坡度 为/=1 ：0.5,求 山 的 高 度（不计测角仪的高度

32、，百 七 1.7 3,结果保留整数）.图 7-6【分析】建立直角三角形的模型，根据坡角列比例式，利用三角函数的定义来解题.【解】设山高8C=x,T 山坡 AC 的坡度为 i=l：0.5,A 8=x.2在 RtADBC 中，NC=90,liltan30=，得(26-l)x =400.B D200+X2解得 x =4=4 （2 6+C-1 6 2 米.2 7 3-1 1 1，山的高度约为1 6 2 米.【说明】本题涉及仰角、坡度、水平宽度、铅垂高度、锐角三角函数等概念，对此类问题，要引导学生熟悉相关的定义、术语的含义,学会利用解直角三角形的相关知识和方程思想来解决问题，这是解决数学问题常用的方法，

33、沟通了方程和解直角三角形之间的联系.例 4如 图 7-7：把,张给定大小的长方形卡片A B C D放在宽度为1 0 m m 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线匕已知a =3 2 ,求长方形卡片的周长.（参考数据 s i n 3 2 心0.5 c o s 3 2 =0.8 t a n 3 2 0.6）【分析】过点A作A F_ L，4，交 4 于 E，交 于 凡 在 R t B D C、R t Z X A O C 中即可求解.【解】作交4 于 E，交乙于尸，如图7-8图7-8则 4B E 和A FZ）均为直角三角形.在 R t Z v l B E 中，4 8E=Na=3 2 ,AR 2 0 2 0

34、在 R t A 48 E 中，s i n Z A B E =，：.A B =40.A B s i n 3 2 0.5/Z F A D=9 0c-Z B A E ,Na =9 0 -N B 4 E,A Z F A D=Z a =32A F A F 4 0在 R t A F D 中，c o s Z F A D =，A A D =-=5 0.A D c o s 3 2 0 0.8，长方形卡片A B C。的周长为(4 0+5 0)x 2=1 8 0 (mm).【说明】本题涉及到了平行线、矩形的相关知识，引导学生正确作图、寻找到两个直角三角形是解决问题的关键，在教学中要注意训练与强化.例 5 某商场为缓

35、解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，图 7-9 是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，AB1BD,N 8 A O=1 8,C在 8。上，8 C=0.5 m.根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入.小 明认为C D的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度.小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果.（结果精确到0.1 m）图7-9【分析】汽车在坡道上行驶，以点C到坡道的距离作为限制的高度，构 建“双直角三角形”求解.【解】点 C到坡道的距离为限制的高度，所以小亮的说法是正确的.B D在A B。中，Z A B D=9 0

36、Z B A D=8 ,BA=IO,：.tanZBAD=.BA/.B D=lO x t an 1 8 A CD=B D B C 1 O x t an 1 8 0.5.在 4 B O 中，ZCDE=90 Z B A D=7 2:C E L ED,：.sinZCDE=.C DCE=s i n ZC D ExC D=s i n 7 2 x (1 O x t an 1 8 0.5)2.6 (m).答：C E 为 2.6 m .【说明】本题考查学生从图形获取信息的能力，以及构造基本图形解决问题的能力.老师要引导学生结合图形挖掘题目中所含的条件,正确解答,及时进行归纳、总结.此题在问题情境设置匕体现了科学精

37、神与人文精神的和谐发展.例 6 某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图7-1 0(1),已知测出树48的影长 4C为 1 2 米，并测出此时太阳光线与地面成3 0 夹角.(、历=1.4,6 =1.7)(1 )求出树高4 8.(2 )因水土流失，此时树A8沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变.(用图7-1 0 (2)解答)求树与地面成4 5 角时的影长；求树的最大影长.【分析】问题(1)根据三角函数的概念解答.问题(2),根据树长的不变性得Ag 的长，再作B/N L A C 交 AC于点M 在 R tZ X A B M 构成的“双直角三角形”中分别

38、求出4 N、N G,进而求出影长A C,.考虑到当光线8 2 c 2 与半径为AB 的。4相切时影长最大，求出最大影长A C 2，问题得以解决【解】A 3=4 aan 3 0 0 =1 2 义 巨=4 百 27（米）.3如图 7-12 BH=AN=A5sin45=4后 X（米）2NC|=NB|tan60=276 x 米），4C|=AN+NC|=5+8=13（米）.答：树与地面成4 5 角时影长约13米.图 7-11（2）当树与地央成60。角时影长最AC?（或树怀光线垂直时影长最大可光线与半径为AB的。A 相切时影长最大），4G=24外弋1 （米）.答：树的最大影长约为14米.【说明】本题以实际

39、生活情境为背景，用到圆的定义、圆的切线构造含特殊角的直角三角形进行求解，体现了动态儿何中 动中取静”的方法.这一问题的解决，会让学生进一步感悟到数学知识在现实生活中的广泛应用.【复习建议】1.复习时，要注意对锐角三角函数概念和性质的理解,适当加强对勾股定理与锐角三角函数知识的应用.如例1、例 2.2.应注意对仰角、俯角、坡角和坡度（或坡比）等概念的理解与掌握.如例3.3.重视提高学生分解、组合图形的能力，引导学生学会构建数学模型，将复杂的问题（实际问题）化归到基本图形上来解决.如例4、例 5 和例6.4.要加强解直角三角形知识与方程知识、函数知识、相似三角形知识、图形设计、网格问题以及其它学科

40、知识之间的联系，注重数学思想与方法的渗透，提高学生综合运用数学知识的水平.5.本专题题型多以中、低档的填空题和选择题为主,也有小型综合题和应用题,近几年的试题多与航海、测量、环境污染、设计等社会热点相关，考查学生构造数学模型，将实际问题转化成数学问题的能力.八.圆高建东常熟市第一中学【近三年江苏省十三大市中考圆的分值与比率】（仅供参考）2007 年2008 年2010 年分值（分）比率（%）分值（分）比率闾分值（分）比率（%）南京市1411.671714.171411.67苏州市86.4086.151511.54无锡市129.23129.2386.15常州市43.3343.3365.00镇江市

41、75.83108.33108.33扬州市117.33128.001914.62泰州市1510.001912.672114.00南通市1711.331812.001610.67盐城市106.67106.6732.00淮安市106.671610.67138.67宿迁市138.672214.67138.67徐州市117.3353.3365.00连云港市74.671812.00128.00合计139171156平均11.588.2614.2510.10128.79【09年江苏省中考数学为全省统一命题，分值为9分，比率为6.00%.】【课标要求】1.理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了

42、解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系.2.探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征.3.了解三角形的内心和外心.4.了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线.5.了解正多边形的概念.6.会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积.【知识框架】【基本概念】1 .圆、圆心、半径、直径、弦、弧（优弧、劣弧、等弧）、圆心角、圆周角、同心圆、等圆.2 .三角形的外接圆、圆的内接三角形、三角形的外心.3 .直线与圆相交、直线与圆相切、圆的切线、切点、直线与圆相离.4 .三角形的内切圆、圆的外切三角形、三角形的内心.

43、5 .切线、切线长.6 .圆与圆的位置关系：外离、外切、相交、内切、内含.7 .正多边形.8 .圆周率、扇形、圆锥的母线、圆锥的高.【基本结论】1 .如果。的半径为厂，点 P到圆心。的距离为d,那么点P在圆内od r.2.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.3 .在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.4 .在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.5 .圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.6 .圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴.7 .垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.8 .

44、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于该弧所对圆心角的度数的一半.9 .直 径（或半圆）所对的圆周角是直角；9 0 的圆周角所对的弦是直径.1 0 .不在同一直线上的三点确定一个圆.1 1 .三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.1 2 .如果。的半径为r ,圆 心。到直线/的距离为d,那么直线/与。相交 J r .1 3 .经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.1 4 .圆的切线垂直于经过切点的半径.1 5 .三角形的内心到三角形三边的距离相等.1 6 .从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.1 7 .如果两圆的半径为R、r

45、,圆心距为d,那么两圆外离=dR +r：两圆外切O d =R+r；两圆相交oR-rd d =R-r（R r）；两圆内含。d r）.njrr1 8 .弧长公式：/=（其中为圆心角的度数，/为半径）.1802.厂 I1 9 .扇形面积公式：S 扇形=（其中为圆心角的度数，r 为半径）或 S 扇形=一/r3 6 0 2（其中/为弧长，一为半径）.【补充内容及教学要求】1 .垂径定理的推论1:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.教学要求：掌握该推论.2 .垂径定理的推论2：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.教学要求：掌握该推论.3 .垂径定理的推论3

46、：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.教学要求：掌握该推论.4 .圆内接四边形的性质：圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.教学要求：了解该性质.5 .相交弦定理：圆内两条相交弦被交点分成的两条线段的长的积相等.教学要求：了解相交弦定理并能用它进行简单计算.6.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.教学要求：了解切割线定理并能用它进行简单计算.7 .割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的长的积相等.教学要求：了解割线定理并能用它进行简单计算.【课时分布】圆的部分在第一轮复习时

47、大约需要8个课时.下表为内容及课时安排（仅供参考）.课时数内容1圆的认识及有关概念2与圆有关的位置关系1与圆有关的计算2圆的综合性问题2圆的单元测试与评析例 已知：如图8-1,。的半径为5,点P是圆外一点,P 0=8,N O 4=3 0 ,求 A 8 的长.图8-13 .圆的许多性质是由圆的对称性推出的，在解决圆的有关问题时要指导学生注意利用圆的对称性.4 .对于圆中常见的辅助线，教师要有意识地引导，指导学生进行归纳整理，熟知它们的作用.例 如图8-2,2XABC内接于。，CM_L48于 M,CN为直径,F 为AB弧的中点.求证：CF平分2MCN.5.复习教学中要让学生体会圆中一些隐含条件的作

48、用，如：”同弧所对的圆周角相等”；“半径都相等”等，培养挖掘隐含条件的意识和能力.6.复习教学中要注意渗透转化的思想、方程化的思想、分类讨论的思想、由特殊到一般等思想方法以及运动变化、变中含不变的观点，教师对有关思想方法应及时归纳和指导，以提高学生解决圆的综合性问题的能力例 如图8-3,2XABC内接于4 B 为。直径，且N C 4E=/8.(1)试说明AE与。相切于点民(2)如图8-4,若 4 B 是。非直径的弦，且/C 4 E=/B,AE还与。相切于点4 吗？图 8-3【能力要求】例 1如图8-5,A C为。的直径，B、。、E 都是。的点，求乙4+/B+/C 的度数.图8-5【分析】由AC

49、为直径，可以得出它所对的圆周角是直角，所以连结A E,这样将/CAO(NA)、N C放在了AEC中，而与NEA。是同弧所对的圆周角相等，这样问题迎刃而解.【解】连结AE是。的直径，.ZAEC=90.：.ZCAD+ZEAD+ZC=90。.ED=ED,：.Z B=Z E A D.：.ZC A D+ZB+ZC =90.【说明】这里通过将/B转化为N E 4 O,从而使原本没有联系的NA、N B、/C都在a A E C中，又利用“直径对直角”得到它们的和是9 0 .解题中一方面注意到了隐含条件“同弧所对的圆周角相等”，另一方面也注意到了将“特殊的弦”(直径)转化为“特殊的角”(直角)，很好地体现了“转

50、化”的思想方法.例2已知：如图8-6,M是弧A B的中点，过点M的 弦 交A B于点C,设QO 的半径为 4cm,MN=4y/3 cm.(1)求圆心O至lj弦M N的距离；(2)求/A C M的度数.【分析】本题要求弦心距，可利用垂径定理，过。作O O LM N于。，连结。”，构成直角三角形，先求再求。D.【解】(1)过点。作O Q LM N于点。，连结。M.由垂径定理，得M D=LMN=2 B2在中，0M=4,MD=243,：.0D=4OM2-M D2=2,图 8-6故圆心。至lj弦M N的距离为2 cm.点M是弧A 8的中点，.OM1.AB.M D V3又 c o s Z O M D=-=