2022年全国硕士研究生招生考试数学三303预测卷4和答案解析.pdf

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1、2 0 2 2年全国硕士研究生招生考试数 学（三）预 测 卷（四）（科目代码:303）考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。3.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。（以下信息考生必须认真填写）考生编号考生姓名一、选择题：110小题,每小

2、题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的.f tan J1.设当7 时，函数，（工）=J（tan t-与g（z）=sin 是同阶无穷小，则常数a 的值为A.2.B.-?*.C.-4-,D.3.乙o2.若函数/C r）=lim 土二辿 在（-8,+8）内连续，则常数a,的值分别为03 ze”+2A.0,2.B.2,0.C.1,1.D.-1,3.23.设可导函数/C r）满足方程工/（工）一八公且/=不，则曲线y=f（N）1 r x 4A.是凹的，且有两条渐近线.B.是凸的，且有两条渐近线.C.是凹的，且有一条渐近线.D.有拐点，且有两条渐近线.4.设/（H,y）

3、=|了一了|火（7，？），其中函数中（H，）在点（0，。）的某邻域内连续，则仪。，。）=0是函数/（n y）在点（0,0）处可微的A.充分非必要条件.B.必要非充分条件.C.充分必要条件.D.非充分非必要条件.5.设 3 维列向量组6.图线性无关次，/均为非零实数，Pi=ka+la p：=ka+/。3,仿=kaa+如，则向量组4 .住加线性相关的充分必要条件为A.k-1=0.B.A +/=0.C.k-/#0.D.&+/#0.6.设 A 为”阶可逆矩阵,以非零常数4 乘A 的第i 行得矩阵B,则A.以J乘（A）T的第i 行得矩阵（B1）T.RB.以 A乘（A 1 ）T的第i行得矩阵（B）】C.以

4、春乘（AD 1的第i 列得矩阵RD.以A乘（A）i 的第，列得矩阵（B）T.7.设A.B均为阶不可逆方阵，若齐次线性方程组Ar=0 的基础解系可由齐次线性方程组Bx=0 的基础解系线性表示,则下列方程组中与Ax=0 不同解的为4A1x=0.B.x=0.f Bx=0.D.x=0.-BBB8.掷一枚不均匀的硬币，正面朝上的概率为1，将此硬币连掷3次，则至少2次正面朝上的概率是数 学（三）预 测 卷（四）试题 第1页（共3页）9.设总体X 的期望与方差均存在,X _X z，,X,是来自总体X 的一个简单随机样本，记6 9y=x,z=X x,，则丫与z 的相关系数为i=l i=4A.0.B.0.3.C

5、.0.4.D.0.5.10.设二维随机变量（X,y）N（X,信;音，;P），则下列结论中错误的是A.XN Q M）,丫N 5,筱）.B.E（X+Y）=内+外.C.D（X+Y）=后+扇.D.COV（X,Y）poOz.二、填空题：1116小题，每小题5 分，共 30分.11.曲 线 y=3/-5 在 其 拐 点 处 的 法 线 方 程 为.12.设某二阶常系数齐次线性微分方程有一个特解y=口 巴 则 该 微 分 方 程 为.13.差 分 方 程 2y 3f=0 的通解为.14.定积分厂1：业的值为J -2 X -15.设A 是3 阶方阵孙，外,03是线性无关的3维列向量组，若 4al=Q i+收+

6、小，4 x 2 =。1+2a2+。3，/0,=a I+a2+3a3,A*为 A 的伴随矩阵，则|A|=.16.设二维随机变量（x,y）的概率密度为/C 3）=产 露 八&1-4 X2 =.三、解答题：1722小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分11分）将函数/（Z）=7展开成才的基级数.3）十 Z）18.（本题满分11分）设函数/（外在口，+8）上连续，非负，且f=0,由 曲 线 与 直 线 工=4 D，y=o所围成的曲边三角形记为D 已知。的面积A（t）=9（）一+，当，=2时，求 D 绕y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.19.（本题满分12分）计算二

7、重积划（城+/）比曲,其中I）D=（X,J）|X2+（J-1）2 1,-2 2,02 0.（本题满分12分）设函数/（工）在闭区间 0，口上连续，在（0.1）内可导，且f 八 为 口=，证明：在（0,1）内至少存在一点久使得+=2.数学（三）预测卷（四）试题 第2页（共3页）2 1 .（本题满分1 2 分）已知二次型/（J?I,亚，4）=o r f+z i +&r：+4 7 0 2 +4 力工3 +4 工 2 工 3 经正交变换x=Qy可化为标准形一 乂 一兄十3求常数a，b的值及所用正交变换.2 2 .（本题满分1 2 分）三 e-z 0设总体X 的概率密度为/（Z=俨 其中。为未知参数，且

8、 J 0,X1,.0,H&0,Xz，,X,为来自总体X 的简单随机样本.求：（1）。的矩估计量；（2）0 的最大似然估计量.数学（三）预测卷（四）试题 第3页（共3页）数学（三）预测卷（四）试题答案及评分参考一、选择题1.答 应 选 C.f t n n 1J o a n )也 t a n(t a n x)t a n x s ec2x-：-=I i ms i n -j LO+(COS-Dta n(ta n x)ta n x v se c2(ta n JC)-l se c2j?-：-=I i m-一 5azl A+-a O a-D x3-2乙z-aC Sa D x32当且仅当a =4 时，l i

9、m 等 存 在 且 不 为 零，即当且仅当a =|时,/Cr)与g(z)为同阶3 z+爪了)3无穷小.2.答应 选 B.x V 19x =-1,-1 x 1.显然，函数/(X)在(一8,一 1)U (1,1)U(1，+8)内连续，所以要使/(X)在(-8,+8)解/(x)=l i m+21 -a +。，l+a+63，用/一1）+a r +62数学（三）预测卷（四）试题答案及评分参考 第2 4页（共33页）内连续，只要/C r)在 I =1与z=1处连续.于是,f A(-i r =/t(T)+1=八一 I),1/(r)=/(l+)=/，b a=-2,即 彳 故 a=2,=0.6+a=2,3.答应

10、选A.解方 程 一/g=T当 可 改 写 为f (工)-/(jr)=X 1 +x这是一阶线性微分方程，其通解为/(x)=x(arctan x+C).由于/(I)=，故 C=0,从而/(z)=jrarctan z,定义域为(-8,4-oo).求导得/(z)=arctan xz r=2l+W (1+/产由于，(z)0,因此曲线y=f 是凹的.因为 lim 八 )=lim arctan z=告，且jr*4-oo X x-*+Zlim F/(JT)-5-|=lim T-*too L/arctan x arctan x lim7t 2 1.1+x2 i=lim-=-1,X所以直线y=x-是曲线y=/(z

11、)的斜渐近线.因为 lim 乂 义=lim arctan 1=一 ，且_ _ arctanlim/()一(一今1)=lim arctan JT+=lim-r oo L /，工.co ，/x-*o oX所以直线=-f x-l 是曲线y=f(x)的斜渐近线.因为函数/(X)=zarctan JC的定义域为(-8,+oo)，所以曲线y=/(j)没有铅直渐近线.综上，曲线=/(i)是凹的，且有两条斜渐近线.数学(三)预测卷(四)试题杂案及评分参考 第2 5页(共3 3页)4.答应选C.解 若中（0,0）=0,则由于w（z,y）在点（0,0）处连续，因此=卬（0.0）=0.jOy-Q由于o 4孑“）-.

12、/（00）-r 0（-r-0）+0（.y-0）1=lim 工-.2-伊（/.了）=o.x/x2+y所以函数f（x,y）在点（0,0）处可微.反 之,若 函 数 在 点（0,0）处可微，则/：（0,0）与（0,0）都存在.由于lim 八 三，。）二/（。，0）=碑（工，）=lim 以工,0）：|=-0,0）,lim.三=lim=lim/r,0）=（0,0）.Z-0 L.Jl a，因此k 0 I（从,住道）=（a】a y：,）I k 0.0 I k由于6 ,。2，Q3线性无关，因此（。1，。2，。3 ）是可逆矩阵，故r（m,）=r（B）,其中kB =I0k 0|0|=I k0 I0 Ik 00=分

13、+1.于是，0 生邛 线性相关 r（P,生,生）3|B|=0分+Z3 =0 0 4+1=0.数学（三）预测卷（四）试题答案及评分参考 第2 6页（共3 3页）6.答应选A.解 记E S）为以非零常数6 乘单位矩阵E 的第i 行所得的初等矩阵，则E,（QA=B.从而 川 国 了 =于是,E,了 尸（4 丁 尸=由于国 丁 尸=国 丁=E,（1）.因此,以 乘（AD 1的第，行得矩阵（BD LR7.答应选B.解 由于齐次线性方程组Ar=0 的基础解系可由齐次线性方程组Bx=0 的基础解系线性表示，因此方程组Ax=0 的解也是方程组Bx=0 的解,从而方程组Ax=0 与方程组Ax=0 同解.若*=&

14、是方程组Ax=0 的解，则 M=（）.且 线=0,从而（A+B）=0,（A-B）g=0.即 X=g 是方程组 X=0 的解;反之，若 x=是方程组/x=0 的解,则A B A BM+线=0 且 必 一 线=0,从 而 隹=0,即x=皆是方程组Ax=0 的解.因此，方程组Ax=0 与方程组F *=（）同解.A-B若 x=是方程组Ax=0 的解，则 必=0,从而A1=A1（必）=AO=0,故方程组Ax=0 的解也是方程组A Ax=0 的解;反之，若 x=是方程组A Ar=0 的解,则A 幽=0,从而（幽）丁 （心）=针芭=针（A芯）=葭0=0,故 西=0,即方程组与Ar=0 的解也是方程组Ax=（

15、）的解.因此，方程组Ar=0 与方程组 A lx =0 同解.同理,方程组Bx=（）与 方 程 组=0 同解.因此,方程组Ax=04 AA与 方 程 组 T *=（）同解.U B8.答应选D.解 将同一枚硬币连掷3 次，相当于3 重伯努利试验.设A 表示“掷 1 次硬币得正面朝上”，则P（A）=4.将硬币连掷3 次，至少2 次正面朝上，即事件A 至少发生2次.于是，所求概率为仁 信）V +C囹 嚼9.答 应选D.解 由题设知,D(X1=D(X)(i=1,2,“,9),且*：与*,相互独立(3)=1.2,-.9；i R j),故 Cov(X,X,)=0(iJ =1,2,，9”，)，从而数学（三）

16、预测卷（四）试叁答案及评分参考 第2 7页（共3 3页）6 9 6C ov(y,Z)=22cov(X,X,)=C ov(X；,X,)=3 D(X).i=l=4 i=4又6 9D(y)=X D(X,)=6D(X).D(Z)=X D(X,)=6D(X),Hl故y与z的相关系数为pn=,C ov(Y,Z)=.3 D(X,)=0八.5r.y yiXYy TlXZ)7 6D(X)，6D(X)1 0.答应选c.解 因为题中没有给出x与y相互独立的条件，所以C ov(x,y)不一定为零.因此，D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2 C ov(X,y)=a?+2 C ov(X,Y).二、填空题IL答应填y =苦

17、0 0解 y=1 5 x4 20J?3,，=60 x3 60 x2=60X2(JT 1).令)=0得z=0或Z =1.显然，在i=0的两侧y同号，在 n=1的两侧y异号，所以点(1,2)是曲线？=3/一5父 的拐点.由于/(1)=一5,因此曲线在其拐点(1,一2)处的法线的斜率为4 =春.于是，曲线在其拐点处的法线方程为y =春工一些 1 2.答 应填 y -4 +4 y =0.解由题设知，微分方程的通解为y =(G +C 2?)e (G，C z 为任意常数)，从而特征方程的根为r,=r2=2,所以微分方程的特征方程为(r 2)z=0,即/-4 十4 =0.于是，所求微分方程为y 4 y +4

18、 j =0.1 3.答 应 填 凹=C +%一?，其中C为任意常数.解 原 方 程 可 改 写 为y =相应的齐次方程的特征方程为r-l=0,特征方程的根为r=1,相应的齐次方程的通解为y =C =C.可设原方程的一个特解为y*=t (A t+B)=A/2+,将其代入原方程，得A =-.故原方程的通解为y =C +多2去，其中C为任意常数.数学(三)预测卷(四)试题答案及评分参考 第 2 8 页(共 3 3 页)1 4.答应 填 一 冬解令 i=se c，则-2 JCta n1 tdt=(se c21 1)ta n2/d/ta n2 f d(ta n Z)+(se c2 Z -1)d/=寺 t

19、a n3/1 2+(ta n t-t)=-2 L3,1 5.答解应 填4.令 P =（Q1,0 2，。3），则A P=A(U a ta3)=(A a=(Q i+c t 2 +见 ,a +2 a2+0 3 a;a2+3小)=(6 )1112111 11 231 1113因 为。1血2 y 3线 性 无 关，所 以P可逆.1 1 11 1 11 6.于是,k 二，即A.因 此。|A|2,|A|=A 2=4.答应 填 告1121131 1111112 11 32113l-4x2JcyA yo解 P yl-4X2=1-P Y 1 -4 X2=1-p d r J=1 o2 x(1 4 产 d r =三、

20、解答题1411 7.解长）=JC 311 三3x-3(jr +2)2 x-3T S(f)=玄/-1Cz+2)2(-3 V z V 3).3 分1+y”=0z+2 _-71(-l)nxn(-2 x/2八),+4 176分数学（三）预测卷（四）试题答案及评分参考 第2 9页（共33页）-1(z +2)2/1 Y _ r y (i)y ，=G(L刍 21 J 一 与 一游 l(一 2 V 1 V2).9分于是，/、x-3 +I A (T _+2)2 _-g -尹%.一V (I2)”一/二 y 一久”y1(1)田(+1)7”-Z-J Q n+1 O n”=0 0 n=0 乙=乙*V|_-(-1-)+2

21、;-(-，-+-1-)-尹1 11产 n(一 D2 /N /v八 2).1111 分zy18.解 由题设知，j/(x)d r=tz+j.上式两边对，求导，得f(t)=/(，)+.(，)一 ,/G)-/(t)=1,这是一阶线性微分方程，其通解为f（.t）=Z（ln/+C）.由于/（D=0,故C=0,从而/=八 八 八 即/（7）=xln x.5分于是，当z=2时,D绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积为V=2K J x f（J7）clr=2冗 j/In jrdr=U In j*d（j-3）=-1-7r(jr3ln J?)I -|-7r f x2dr=(ln 2 )K.11 分3li 3 J i 3

22、 9/19.解 法一 记 D=C r,y)|，2、一一&#&2,0 4 y W 2，则由对称性得C 2 C 2 C 2 ,_=2 J dyj 石 了?2必=2 J(2y2y2 y/2y y2)dy=警 2 1y2 Ml-(y I)2dy.6 分6 J o.工厂 1 +Sl 挈-2(1+2sin t+sin2f)cos2fd/3 J-才=擎 一4 f(1+sin2Z)cos2fdzo J o=警 一4(1-sin4Z)dz数学（三）预测卷（四）试题答案及评分参考 第3 0页（共33页）号412分法 二 记n =（x,y）|x2+（j-i）2 i,D2=Cr,y）|-2&z&2,oy 2）,D（=

23、Cr,y）|一 十（y I）?&1,工人Q,Di=（3）|0 J dr djz5分D D2 D|2sintfH sin dro=2 2y2dy dr-2 P d0J 0 J J 0 J 0=等一 8 1sinW dJ =_8 xAxlxlxX=_AJ t.o J o o 6 4 Z Z 3 4=2。y2 drdy 20y2 drdyM 5.12分20.证 由 人 工 也=4，得（外 一 句=0,根据积分中值定理，存在H。e（0,1）,J 0 c Jo使得f（jr0）一70=0.4分令以）=z /（z）z ,则（p（x）在闭区间O,/o上连续，在（O,7o）内可导，且a（0）=g o）=o.根据

24、罗尔定理存在E e（O,N。）u （o,i）,使 得/=o,即/（e）-e+?/（e）-i o,也即/（?）+-1/（e）=2.12 分21.解二次型/的矩阵为a 2 2A=2 1 2.2 2 b因为二次型/经正交变换x=Qy可化为标准形一乂 一 修+“所以A 的特征值为Ai=/2=1,九=A.对 一E -A 作初等行变换，得-a-1 -2 -2 1 1 1E A=-2 2 2 0a 1 a 1 ,2 2-h 1 0 0 b 1由于A 为实对称矩阵，因此A 的二重特征值储=A2=-1对应两个线性无关的特征向量 从而厂（一E A）=3 2=1,因此 a=L.4 分1 2 2故4=2 1 2,由

25、特 征 值 的 性 质 得 为+&+不=（A）,即（-1）+（1）+入=3,2 2 1.所以a=5.因此,A 的特征值为Q=A2=-1,兀=5.对于尢=入2 =1，数学（三）预测卷（四）试题答案及评分参考 第 3 1 页（共 3 3 页）-2 -2 -2111E A=-2 -2 -20 0 0-2 -2 -2,0 0 0齐次线性方程组(一 E-A)x =0 的基础解系为备=(-金=(-1,0,1)T,此即对应于特征值A.=A2=-1的线性无关的特征向量.8分将其正交化，得功=(l,l,0)T,地=或一m=再单位化，得对于入3 =5 ,4-2-210-15 E-A =-24-2 0 1-1、一2

26、-240 00齐次线性方程组(5 E A)x=0 的基础解系为或=(1,1,1)、将其单位化，得令。=|,0 2 ,0 3 )=/=则。为正交矩阵.作正交变换x=Qy,则二次型/可化为标准形f=-y y2+5 y|.1 2 分2 2.解(1)由于f-H 于 2 1 r+oo E(X)=xf(x；0)ir =dr =xd(e-2 )J C O J o u J 0=一工苴 r +re d r =d./eW c lrI。J。岳9=后8蒋=后,因此8=后E(X).令E(X +x,=X,得。的矩估计量为9=於又.5分(2)设 心，北，了”为样本值,则似然函数为数学(三)预测卷(四)试题答案及评分参考 第 3 2 页(共3 3 页)L(0)=IT/(x,；0)=JI 翁 i-1 i-1 U=焉1力,”才 工(为，及，4 0).夕 i=i取对数得 n nIn L(6)=-2wln 6 一 标 +21n,/夕i=i,=】两边对。求导得din-L=(一0)万+2rz炉 1 石2，din L(6)dO=0,得。的最大似然估计值为6=故9的最大似然估计量为0=J上 二.v In【注】在E（X）的计算过程中用到了正态分布N（0,仍）的概率密度的性质:J。历 J。212分数学（三）预测卷（四）试题答案及评分参考 第 3 3 页（共 3 3 页）