2022年全国高考乙卷数学（理）试题（解析版）.pdf

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1、2022年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷理科)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本 题 共 12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集。=1,2,3,4,5 ,集合M 满足电=1,3,则()A.2GM B.C.4 任 A/【答案】A【解析】【分析】先写出集合然后逐项验证即可

2、【详解】由题知=2,4,5,对比选项知，A 正确,BCD错误故选:A2.已知z=l-2 i,且 z+aN+b=0,其中a,b 为实数，贝 U ()A.a=l,b=-2 B.a=-1,h=2 C,a=,b-2【答案】A【解析】【分析】先算出z，再代入计算，实部与虚部都为零解方程组即可【详解】z =l+2iz+dz+b=l-2 i+a(l+2i)+b=(l+a+b)+(2 a-2)i(l+a+b=0 a-由z+应+6=0,得 ，即2 a-2 =0 b=-2故选:A3.已知向量Z 满足|=1,由=2否|=3,则()A.-2 B.-1 C.1【答案】C【解析】【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算

3、求解即可.D.D.a=-l,h =-2D.2【详解】解:-：a-2 b|2=|5|2-4 a-b +4h,又|引=1,出|=6,伍-25|=3,.*.9=l-4 a +4 x 3 =13-4a-Z），A.B=1故选：c.4.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研 b _+1 _究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列=1 +,2=a+1 ,41 2 a21 1a a -I-；-同理 a2 a+J _,可得b2 cb3,”42。31 1 1 1Z -L%+r /+-l又因为 a2 +-厂 a2 +-a2 +-广，a3+%+%故打 bA-

4、以此类推，可得伪 4 4 ，伪 4,故A错误；，故B错误；1 1履 12。2 +-，得4 瓦，故C错误；%+&6“=+j%+-，依此类推，其 中%w N*/=L2,).则()(X 2-3A bi b5 B.b3%C.bh b2 D.”-所以。1打，a22%+a2+11%+f-a3+a4故选：D.a,+1得a 伪，故 D正确.5 .设 F为抛物线C：/=4x的焦点，点/在 c上，点8(3,0),若 目=忸 日，则()A.2 B.2 7 2 C.3 D.3 7 2【答案】B【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A 的横坐标，进而求得点A 坐标，即可得到答案.【详解】由题

5、意得，尸(1,0),则|2 同=|跖|=2,即点A 到准线x =-1 的距离为2,所以点A 的横坐标为-1 +2 =1,不妨设点A 在x 轴上方，代入得，4(1,2),所以|力 8|=(3-1)2+(0-2)2=242.故选：B6 .执行下边的程序框图，输出的=()A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】根据框图循环计算即可.【详解】执行第一次循环，b =b +2 a =l +2 =3,a =6 a=3 1 =2,=+1 =2,H I-2 =-4 0.0 1；执行第二次循环，b =b +2 a =3 +4 =7 ,a=b-a =7 2=5,n=n+=3,72a2 5522 0,0 1

6、 ；2 5执行第三次循环，b =b +2 a =7 +1 0 =1 7,a =b a =1 7 5 =1 2,”=+1 =4,1 72a=透一2 1=一0.0 1,此时输出=4.1 4 4故选：B7.在正方体4 8 8-4 A G2中，E,尸分别为4 S,8 c的中点，贝u ()A,平面ByE F 1平面BD D、B,平面BXE F 1平面AB DC.平面4砂/平面D,平面/平面4 C Q【答案】A【解析】【分析】证明E QJ 平 面 即 可 判 断A；如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设4 8 =2,分别求出平面与 户，AB D,4 G。的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断B C

7、D.【详解】解：在正方体Z 8 C O-4 8 C Q中，N C，8。且 D D、1 平面，又E F u平面力8 C O,所 以 环_L O n，因为E,尸分别为4 8,8 C的中点，所以M|Z C,所以E F L BD，又 BD C D D i=D ,所以E R J.平面3。，又E F u平面BEF,所以平面B】EF 1平面BDD、,故A正确；如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设48=2,则4（2,2,2）,E（2,0）,尸（1,2,0）,6（2,2,0）,4 （2,0,2）,4（2,0,0）,C（0,2,0）,G（0,2,2）,则 丽=（一1,1,0）,函=（0,1,2）,丽=（2,

8、2,0）,西=（2,0,2）,麴=（0,0,2）,刀=（-2,2,0）,衣=（-2,2,0）,设平面用石尸的法向量为m=（X，K，zJ,则有.一EF =-x,1 +Jy1.=0,可取-加=,2,2,7八,m EB=+2|=0同理可得平面4 8 0的法向量为或=（L L 1）,平面z/C的法向量为兀=。,1,0），平面4 c m的法向量为后=（1,1,一1）,则 g =2 2+l=lw 0,所以平面4”与平面4 8。不垂直，故B错误；因为正与%不平行,所以平面4 户 与平面4 4 c不平行，故C错误;因为说与内不平行，所以平面4瓦1与 平 面 不 平 行，故D错误,故选：A.8.已知等比数列 a

9、,的前3项和为1 6 8,。2-=4 2,则6=（）A.1 4 B.1 2 C.6 D.3【答案】D【解析】【分析】设等比数列%的公比为夕国n0,易 得 根 据 题 意 求 出 首 项 与 公 比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列%的公比为G 4 H 0,若4 =1,则生一=，与题意矛盾，所以q学1 ,则q(l-ai+a2+a3=-.:一q4 4 ca2-a5=aq-aq=4 2a,=963=168,解得所 以=%/=3 .故选：D.9.已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其 高 为（）A.-B.；C.立 D.32

10、 3 2【答案】C【解析】【分析】先证明当四棱锥的顶点O到底面X 8 C O所在小圆距离一定时，底面/8 C D面积最大值为2?，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】设该四棱锥底面为四边形/B C D,四 边 形 所 在 小 圆 半 径 为 设四边形N88对角线夹角为1 ,则 SAtBRCCDn=-A C B D s m a A C B D -2r-2r=2 r22 2 2(当 且 仅 当 四 边 形 为 正 方 形 时 等 号 成 立)即当四棱锥的顶点。到 底 面 所 在 小 圆 距 离 一 定 时，底面/8 C。面

11、积最大值为2 r 2又 产+h2=1则七=L，2r2-h=ylr2-r2-2h2。200.记该棋手连胜两盘的概率为，则()A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【答案】D【解析】【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率p印；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率p乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率P丙.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为p甲则 P甲=2(1-

12、。2)夕W3+2 P 2 P l (1 0)=2 P l (0 2 +2 3)一 4月 p 2 P3记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为P乙则0乙=2(1-7I )p 2 P3+2 P l p2。一3)=2 P2(P l +P 3)-4 P 1 P 2 P3记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为P丙则 P 丙=2(1-Pl)p3P2+2 P l p 3(1 -)=2 P 3 (P l +凸)4 P|P 2 P 3则 P甲一 P乙=2Pl(2 2 +2)-4 P l p203 一 2代 但 +。3)一 4四夕223 =2 (四一生)。3 0 0 3 又0 0且a 1)的极小值点和极

13、大值点.若玉 马，则a的取值范围是.【答案【解析】【分析】由x x2分别是函数/(x)=2ax-e x2的极小值点和极大值点，可得x e(8,为)口(2，+8)时，/(x)l和0 a l两种情况讨论，方程21 n a-a工 一2e x =0的两个根为王心，即函数y=In a d与函数V =e x的图象有两个不同的交点，构造函数g (x)=In a-ax,根据导数的结合意义结合图象即可得出答案.【详解】解：/(x)=2 1nad2e x ,因 为 项 分 别 是 函 数/(x)=2优一ef的极小值点和极大值点，所以函数/(X)在(-8,%)和 仁,+0 0)上递减，在(X|,2)上递增，所以当x

14、e(-0 0,再)52，+)时，r(x)0,若a 时,当x0,2e x 0,则此时r(x)o,与前面矛盾,故。1不符合题意,若0 1时，则方程21naa*2ex=0的两个根为x，/，即方程In.优二ex的两个根为不，工2，即函数y=ln 优与函数y=ex的图象有两个不同的交点，令g(x)=Ina，则 g，(x)=n2 a-ax,0 a 11设过原点且与函数V=g(x)的图象相切的直线的切点为(x0,lnad。)，则切线的斜率为8(%)=12 4.优。，故切线方程为 V Tn a。丽=n2 a-ax(x-x0),则有-In a *=-x0 In2 a ax0,解得x0=J一,Ina则切线的斜率为

15、1n2 0/=eM2 4,因为函数y=Ina/与函数V=ex的图象有两个不同的交点,所以e ln a v e，解得,a e,e又0。1,所以，a ；（2）设4?=8 O =2,N/C 8 =6 0。，点尸在8。上，当/人2的面积最小时，求CF与平面Z 8 3所成的角的正弦值.【答案】（1）证明过程见解析（2）C下 与 平 面 所 成 的 角 的 正 弦 值 为 述7【解析】【分析】（1）根据已知关系证明 A 8 D四 C 3 D,得到Z8 =C8,结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；（2）根据勾股定理逆用得到8ELOE，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法

16、则进行计算即可.【小 问1详解】因为Z =C ,E为NC的中点，所以4 C LO E；在 AABD 和&C B D 中，因为力。=C D,Z AD B=Z C D B,D B=D B ,所以4 3。丝 C 3 D,所以力8 =C3,又因为E为/C的中点，所以Z C _ L 8 E；又因为。邑8Eu平面8 ,D E c BE =E，所 以 平 面B E。，因为NCu 平面4 c Z）,所以平面8 E D _ L平面4 C Z）.【小问2详解】连接EF,由（1）知，N C 1平面8瓦），因为E F u平面所以 N C _ L E R,所以 S A c=gz C 所，当E F 上BD 时,E F 最

17、 小,即/人?的面积最小.因为 4 B D 经Z C B D,所以 C 8 =4 5 =2,又因为4c8 =6 0,所以4 S C是等边三角形，因为E为4C的中点，所以Z E =E C =1,B E =6因为/O J.C。，所以O E =/C =1,2在 AOEB 中，。七2+6 5 2=6。2,所以以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-x y z ,则/（1,0,0）,川 0,瓜0）,力（0,0,1）,所 以 而=（一 1,0,1）,而=卜 1,6,0）,设平面4 8 0 的一个法向量为”=（x j,z）,则n-AD=-x +z=0n-AB=-x+6 y =0取 y=则=（3,V J

18、,3）,又因为C（1,0,0）,尸 0,-,-,所以b=1,-,-/设C F与平面A B D所成的角的正弦值为。0 0，即/(x)0所以f M在(-1,0)上单调递增,/(x)0所以g(x)在(0,+W上单调递增所以g(x)g(0)=1 +“开)，即fx)0所以/(x)在(0,+8)上单调递增,/(x)/(0)=0故/(x)在(0,+o o)上没有零点，不合题意3 若 T当 X e (0,+o o)，则 g(x)=e*-2 a x 0,所以 g(x)在(0,+o o)上单调递增g(0)=1 +a 0所以存在m e (0,1)，使得g。*)=0,即/(加)=0当 x e (0,0,/(x)单调递

19、增所以当xw(O,m),/(x)+0 0,/(X)-+0 0所 以/在(私+8)上有唯一零点又(0,加)没有零点，即X)在(0,+0 0)上有唯一零点当 x(-l,0),g(x)=e*+a(l-x2)设 A(x)=g (x)=eA-lax (x)=e -2Q 0所以g (x)在(-1,0)单调递增，1 ,g(1)=+2 0e所以存在n G(-1,0)，使得g ()=0当 X g (x)0,g(x)单调递增 g(x)-l,/(x)-o o而/(0)=0,所以当 x e (7,0),/(x)0所以/(x)在(-1/)上有唯一零点,(t,0)上无零点即/在(一1,0)上有唯一零点所以。-1,符合题意

20、所以若x)在区间(-1,0),(0,+8)各恰有一个零点，求。的取值范围为(一8,1)【点睛】方法点睛：本题的关键是对。的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.(二)选考题，共 10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系x。中，曲线C 的参数方程为卜=8CS2；（/为参数），以坐标原点为极点，x 轴正y=2sinr（扃半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为。si n+w=0.（1）写出/的直角坐标方程；（2）若/与 C 有公共点，求机的取值范围.【答案】（1

21、）石 x+y+2加=019 5（2）-m /3x-h y+2 m =0 中，可得38$2+2$m+2m=0,所以3（1-25由）+2$出，+22 =0,化简为-6sin2f+2sinf+3+2zn=0，要 使/与 C 有公共点，则2加=6sin?一 2sin，一3 有解，令 s in/=，则。1一1,1,令/（）=6/2Q 3,（-IWa 这 1）,对称轴为。=,，开口向上，6所以/（U=/（T）=6+2-3=5，“、1、1 2 19/（a）min=/（7）=7-7-3=-T,O O O O所以一1工94 2 加05619 5m的取值范围为-m.12 2I选修45：不等式选讲23.已知。，6,

22、c都是正数，且+温+%=1，证明:(1)abc 0,b 0,c 0,则0,.50，03 3 3 _所以,31 1 1 333/1即所以。儿4 6,当 且 仅 当/=炉=鹏，即a=b=c=J 时取等号.3 9 V 9【小问2详解】证明：因为a 0,b0,cQ,所以6+cN 2A/6C，a+c 2 Vac，a+b 2yab，3 3所以 0 盘 二 a?,b b b2b+c 2y/bc 2y1 abc a+c 2 Vac 2yabc3-4/=/a+b 2y/ab lyjabc3 3 3 3 3 3a I 6 c /I /2+6 2 _ b+c a+c a+h 2y/ahc 2yjahc 2-Jabc 21abe 21abe当且仅当a=b=c时取等号.