2022年浙江省台州市高考数学一模试卷及答案解析.pdf

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1、2022年浙江省台州市高考数学一模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(4 分)已知集合4=耳 1W 4,8=x 0 x 3 ,则 Z U 8=()A.x0 x 1 B.x|0 x4 C.x|lWx3 D.x|lx i）的离心率为彳，则实数加的值为（）A.2 B.3 C.V2 D.V33.（4 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）4.（4 分）已知平面四边形N 8C D,则“筋=/8 C O 是平行四边形”的（）A.充分不必要条件C.充要条件5.（4 分）函数/（X）=等 骗 的 图 象 可 能 是

2、C.5 D.6XC D（人为实数），A D=B C n是“四边形B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件第 1 页 共 1 7 页c.D.%+2y 106.（4 分）若实数x,y 满 足 2x+y N-l,则|的最大值为（）,x-y 07.（4 分）若从编号为110的十个小球中取3 个不同的小球，且 3 个小球的编号两两不连续，则不同的取法共有（）A.8 种 B.36 种 C.56 种 D.64 种8.（4 分）已知奇函数/（x）在 R 上是增函数,g（x）x2f（.x）.若 a=g（ln-）,h=g（0.66）,1c=（2-3）,则 a,h,c 的大小关系为（）A.a b c B.acb

3、C.bac D.bc 学）D-（苓，yy）10.（4 分）已知在正方体ABCD-ABC D 中，点 E 为棱B C 的中点，直线I 在平面小囱。内.若二面角Z-/-E 的平面角为0,则 cosO的最小值为（）V3 11 V3 3A.B.-C.D.-4 21 3 5二、填空题：本大题共7 小题，共 36分。多空题每小题4 分；单空题每小题4 分。11.（4 分）古希腊著名数学家阿基米德是这样求抛物弓形面积的：以抛物弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点作弓形的内接三角形；在以该内接三角形两腰为弦的两个抛物线弓形内用同样的方法作出内接三角形，等等.从第二次开始，每次作出的内接三角形面积之和是

4、前一次所作出的内接三角形面积和的3若第一次所作的内接三角形面积为1,则第三次所作的内接三角形面积和为.12.（6 分）在复平面内，复数zi=0,Z2=l+应 i,Z3=或+i（i 为虚数单位）对应的点分别为 O,A,B,则 Z2”3=;cosZAOB=.13.（6 分）若 2 c o s-0）=cos（ji+6）,则 t a nO=；2cos20+s i n 2 0=.第2页 共1 7页1 4.(6 分)已知袋中装有大小相同的红球，黄球和蓝球，从中随机摸取一个球，摸出红球或黄球的概率为0.58,摸出红球或蓝球的概率为0.8 2.则从中随机摸取一个球，摸出红球的概率为;若每次随机摸取一个球，有放

5、回地摸取两次，设 X 表示两次摸到红球的总数，则E(X)=.1 5.(6 分)若(1+2 x 2)(i+x)4=a o+m (x-1)+&(x+1)2+a(x -1)3+a 4 (x+1)4+a s(x -1)5+O6(X+1)6,贝！ao-a+ai-4 1 3+04 -as+a(；as.a4 32 b 41 6.(4 分)已知正实数a,b满足a+2 b=1,则七+的最小值为 _.b a1 7.(4 分)己知实数入1,入 2,入 3,平面向量a，b.满足a-b=0,|a|=6,闻=8,c =%a+(1-X J b.若存在唯一实数入1，使得浸=。(入 2 2+入 3力)，则|基 一 人 3&的最

6、小值是一三、解答题：本大题共5 小题，共 7 4分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。B1 8.(1 4 分)已 知 /2 C 中，角 B,C 所对的边分别为 a,b,c,2 a s ir t 4c o s+6c o s 2/=b.(I )求 5 的值；(I I )若 a+c=4,4 ABC的面积为百，求a的值.1 9.(1 5分)已知数列“”是等差数列，其首项和公差都为1,数列 加 是等比数列，其首项和公比都为2,数列“”为 的前项和为S”.(I )求 S,；1 1 1 7(II)证明：当“6N*时，+,Si$2 S 九 1 02 0.(1 5分)如 图，在四棱锥S-4 88中，底面Z

7、 8 CZ)为直角梯形，A D/B C,Z S A B ZD A B=60 ,S/=3,A B=A D=2 B C=2,S B=S D,点 E 在线段 8 上，/E 与 8。相交于点G,点 G 是线段8。的中点.(I )证明：平面 SA E-,(I I )若点F 为线段S 的中点，记直线S C 与平面/8 F 所成角为。，求 s in。的值.第3页 共1 7页s2 1.(1 5分)已知抛物线E：y=2 p x(p 0),点4(2,2 a)在抛物线上，斜率为2的直线/与抛物线交于8,C两 点(点C在点3的下方).(I )求抛物线E的方程；(II)如图，点。(X”以)在抛物线E上，且x i 2,线

8、 段 与 线 段8 C相交于点尸.若P A P D=2 P B P Q 0,当4)。面积取到最大值时，求点C的坐标.2 2.(1 5 分)已知 a,%6 R,设函数/(x)I n(x+a)-kax.(I )当左=1时，若函数/(x)在(-a,+8)上单调递增，求实数。的取值范围;(II)若对任意实数。，函数f(x)均有零点，求实数上的最大值；(III)若函数/(X)有两个零点XI，X2,证明：/冷+a(%l+%2)V高 天第4页 共1 7页2022年浙江省台州市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

9、的。1.(4 分)已知集合4=x|lWx4,5=x|0 x 3 ,则/U 8=()A.x|0 xl B.x|0 x4 C.x|lx3 D.x|lWx4【解答】解：.集合/=x|lWxV4,8=x0 x 1）的离心率为弓，I-2焦点在x 轴上时，am,c=Vm2 1,-=,解得，*=企；m 2故选：C.3.（4 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）D.6【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体的直观图：该几何体为底面为直角梯形高为2 的直四棱柱；如图所示：第5页 共1 7页1故 V=2X（1+2）X2X2 =6.故选：D.4.（4 分）已知平面四边形N8C。，则u A B =X

10、C D（人为实数），|筋|=|后是“四边形/8 C O 是平行四边形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：由 在 四 边 形 中,A B =XC D,得出 A B/DC,5L.A D=B C,可得/=8C,得到四边形/8C。为平行四边形或梯形:反之，由四边形/8C。为平行四边形，得到/O=8C,A B/DC,从而有6=D C=-C D,故 在 四 边 形 中，“n=入 小（入为实数）,A D=B C 是 四 边 形/8CZ）为平行四边形”的必要而不充分条件.故选：B.5.（4 分）函数/。）=起）（兀切的图象可能是（B.C.D.【解答】解：

11、/（-X）=xsi行 兀x）=一,俨）X）,则/Xx）是偶函数,排除8,当 OVxVl 时，/G）0,排除 G第6页 共1 7页故选：A.x+2 y 106.(4 分)若 实 数 x,y 满 足 2x+y 之一1,则|的最大值为()-y 0【解答】解：由约束条件作出可行域如图,联立K 百=1。，解得喈,学,联立解得/(-4,7),(zx+y=1令 z=2 x-产2,作出直线y=2 x,由图可知，平移直线y=2 x 至/时，z 有最小值为-13；平移直线夕=2 x 至 8 时，z 有最大值为学.二|的最大值为13.故选：C.7.(4 分)若从编号为110的十个小球中取3 个不同的小球，且 3 个

12、小球的编号两两不连续，则不同的取法共有()A.8 种 B.36 种 C.56 种 D.64 种【解答】解：将取去的3 个不同的小球，且每个小球的编号两两不连续，插入到剩下的7个小球按顺序排成一列所形成的8 个空中的3 个空即可，故有Cg3=56种.故选：C.8.(4 分)已知奇函数/(x)在 R 匕是增函数,g(x)x2f(x).若 a=b=g(-0.66),1c =g(2 ),则 a,b,c 的大小关系为()第7页 共1 7页A.ahcB.achC.bacD.bc0 时，x20,/(x)0,/(x)0,则 g，(x)=2xf(x)+x2f (x)0所以g(x)为增函数，结合g(x)为奇函数，

13、所以g(x)在 R 上是增函数，,c 2 2 2由于 2 3 /,所以 2 d ln2lne=0.66,1所以-历2V-0.66,In-0.6 6,11所以V 0.66 2 寸，11所以 g(/)g (-0.66)Vg(2 亨)，即 ah%3)4aT8-3an而2-13-1竺5(316一5除k用4)-/C%由蛛网图可知aiT,而 3 (冷 等)，斯之前的项会趋向于3,所以C 项排除.因 为(W，皆)=(%-2,册-4)，已经越过不能取的值，故。正确.故选：D.10.(4分)已知在正方体ABCD-ABCD中，点 E 为棱BC 的中点，直线/在平面ABCD内.若 二面角力-/-E 的平面角为3 则

14、 cos。的最小值为()第8页 共1 7页【解答】解：连接4 E,取 4 E 的中点P,过点尸作FGL/1E交 CZ）于点尸，交 AB于点G,设正方体棱长为2,由勾股定理可知：A E=V1+4=V5,4P=苧，同理，取 31cl的中点Q,连接小。，取 小。的中点O,过点。作M N L A Q交C D于点M,交出81于点N,则直线MN即为直线/,此时，M F L C D,NGA.A B,O PL a ABCD,因为尸Gu平面/8 C Q,所以。尸 _LFG,因为Z E nO P=尸，所以FG_L平面40P,连接0E,因为O N u 平面”。尸，所以O4_LFG,因为M N F G,所以CM_LM

15、N,同理可证：O E L M N,所以N/O E 即为二面角A-/-E 的平面角，由对称性可知：此角即为二面角A-1-E的平面角的最大值，S.Z A O E 2 Z A O P,其中 0 P=2,由勾股定理得A O=7A p2 +=孥，所以cosaA0P=吟=春=胃口,L/iU V Z1 L 1二、填空题：本大题共7 小题，共 36分。多空题每小题4 分；单空题每小题4 分。1 1.（4 分）古希腊著名数学家阿基米德是这样求抛物弓形面积的：以抛物弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点作弓形的内接三角形；在以该内接三角形两腰为弦的两个抛物线弓形内用同样的方法作出内接三角形，等等.从第二次开

16、始，每次作出的内第9页 共1 7页接三角形面积之和是前一次所作出的内接三角形面积和的3 若第一次所作的内接三角形4面积为1,则第三次所作的内接三角形 面 积 和 为:7 _.16【解答】解：由题意可得，每一次作出的内接三角形的面积和是首项为1,公比为9 的等4比数列，故第三次所作的内接三角形面积和为I X (I)2=芸.故答案为：.1 61 2.(6 分)在复平面内，复数Z 1=O,Z 2=l+d ，23 =或+(i 为虚数单位)对应的点分2V2别为 O,A,B,则 Z 2”3=3i；c o s N N O 8=_-【解答】解：由已知可得Z 2，Z 3=(1 +y/2 i)(V2 4-Z)=V

17、2 V2+2i +i =3 i,复数z i，Z 2,Z 3 对应的点的坐标分别为O (0,0),A(1,V2),B(V2,1),贝!JOA (1,V2)，OB=(V2,1),所以 c o s/Jl O B =乎 空 =1 =OA OB J(g)2+i 2.J(02+i 22/22V2故答案为：3 i；._ 1413.(6 分)若 2 c os(-0)=c os(n+0),则 t a n 6=_ 工_；2c o s20+s i n 20=-.【解答】解：因为2c o s(当一。)=c o s(+。)，所以 2s i n 0=-c o s 0,贝 lj t a n 6=s 出6 _ 1c osO

18、22c o s20+s i n 20=2 c os20+2 sin0 c os0 _ 2+2 tan0 _ 2+2x(一；)_ 4sir O+c os-O-tan20+l(_*)2+i -5i 4故答案为：一亍二.4 514.(6 分)已知袋中装有大小相同的红球，黄球和蓝球，从中随机摸取一个球，摸出红球或黄球的概率为0.5 8,摸出红球或蓝球的概率为0.82.则从中随机摸取一个球，摸出红球 的 概 率 为 若 每 次 随 机 摸 取 一 个 球，有放回地摸取两次，设 X表示两次摸到红4球的总数，则E(X)【解答】解：设红球个数为x,黄球个数为乃蓝球个数为z,第 1 0 页 共 1 7 页 x+

19、yx+y+zx+z.x+y+z则=0.58,两式相加得1 +KJG=1.4,=0.8 2%十 丫 十 z即摸出红球的概率为0.4；2由题意知，XB(2,-),9 A则 1 (X)=2 x J=2 45 5,15.(6 分)若(1+2 2)(1+x)4=ao+a(x-1)+2 (x+1)2+。3 (x-1)+例(x+1)4+t/5(x-1)5+期(AH-1)6,贝U ao-a+a2-。3+4-5+。6=1 ；as 4.【解答】解：令 X=0,可得 ao-。1+。2 -。3+-。5+。6=1，等式左边/的系数显然为2,而右边只有期G+1)6会出现则 06=6,等式左边力 的系数为2 XC：=8,2

20、 (x+1)6中可以提供力的系数为2x吗=12,而。5（X-D 5提供的x5的系数为的于是怨+12 =8,解得。5=-4.故答案为：1;-4.,a4 32b416.（4分）已知正实数”，6满足a+2b=l,则T +-的最小值为b a【解答】解：根据题意，正实数”，满足26=1,1一-2r,a4 32b4 a4 32b4 14 132b4,_ ,_ ,则丁+=(+)(2 b+a)(J 5-X V2 b+-X y/a)2=(V2 a2+4V2 62)ba ba N o N a2 =2 (a2+462)2 ，当且仅当a=2 b时等号成立，而.2+4/)2=4(2+462)(1+1)|(a+2b)2=

21、1 0 当且仅当a=2 b时等号成立，Q4 32b4 1综合可得：+-.当且仅当。=2 6时等号成立，b a Za4 32b4 1故H +一的最小值为不b a 2故答案为：17.(4分)已知实数人，入2,入3，平面向量a，b.满足ab=O,=6,|b|=8,c=Ai a 4-第1 1页 共1 7页)j 24(1 一 人I)b.若存在唯一实数入1,使得c2=c.(A2a +X3b),则|入2 a-入3 b l的最小值是【解答】解：c =入通+(1入 i)b,且a，b=0,Ac2=入i：+(l 入1)讦=入/潦+2入(I入i)；工+(1一 入1)2 1 2=3 6 人 /+6 4 (1-A i)2

22、:|入2/一入3讦=入2?京一 2 入2入3-7+入3 2及=入22滔+入3?。,I 入 2=+入 3 b=A22a2+2入2 入3.b +入3 2b 2=A22a2+A32b2T T|入2 a 入 3 b|=|入 2 a +入 3 b|,设 c 2=c(入 2。+入 3力)=|c|&a +A3/?|CO S0,-4|=|入2 1+入1 1 =鉴 N 由=小6入/+6 4(1-%尸=2125 人/_32 入 i +16,当 入1=1|时，2 5%2 3 2入1+16 取得最小值 爰，即 25 及2一3 2入1+1 6N券，t t I?12 24，|入2 a 入3。I=2 12 5 入 3 2

23、入1+16 N 2 x -g-=-g-,T t 24即出。一 人3勿的最小值是M，24故答案为：.三、解答题：本大题共5 小题，共 74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。,B18.(14 分)已知 48C 中,角 4,B,C 所对的边分别为 a,b,c,2a s i M c o/+b c o s 2/=b.(I )求B的值；(I I )若a+c=4,/BC的面积为 百，求。的值.【解答】解：(I )由已知得：2 asinA c os =2 bsin2Af由正弦定理得：sin2Aco s=sinB sin2At因为N E(0,n),所以 s i M WO用r-r 以ri c o s B

24、 =si.nBn =2c s.m 2Bc o s 2B，因为 B E(0,TT)/6 (0/g),第1 2页 共1 7页所以c o s?A 0所以s i*=.又OV犷，所以I=7-2 6即B =*(H)由已知得 S=ac sinB=V3,由(I )知8=今，所以c=4,又因为。+。=4,所以a=c=2.19.(15分)已知数列 是等差数列，其首项和公差都为1,数列 与 是等比数列，其首项和公比都为2,数列 加 瓦 的前项和为义.(I)求 S；1 1 1 7(I I )证明：当E N*时，+4-7 7-5 1$2 Sfi 10【解答】(I )解：由题意，an1 +1 X (n -1)=n,bn=

25、2 x 2 T=2n,则 a 仇=”2”,：.Sn=1-21+2-22+.+n-2n,25n=1-22+2-23+.+(n -1)-2n+n -2n+1,则一 Sn=21+22+.+2n-n -2n+1=2(.”)-n-2n+1=2n+1-2-n-2n+1,第1 3页 共1 7页.Sn=(n-1)-2I 1+11+2;(I I）证明：当=1 时，T-=5 1)27而15 7111+=+=S2 2 106 7 V ，10 10114-4-S?111-=+S3 2 1013 4 -10717 07_L平面S4E.（II）解：因为S B=S D,所以N SZ8=N S/O=60,因为 S/=3,S

26、B=2,所以 S8=J7,因为/D 48=60,所以 B G=1,A G=W,所以 SG=遍，所以 NG2+SG2=S/,即 SG_LZE,因为8O_LSG,所以SG_L平面/BCD.如图建系，4（百，0,0）,8（0,1,0）,C（一字，0）,E（一*，0,0）,5（0,0,V6）.因为点F 为线段SE的中点，所以尸（-涔 0,孚）.则 易=（-技 1,0）,/=（-平，0,郸.第1 4页 共1 7页设=（x,y,z）是平面48 尸的法向量,则A B 几=0,A F TI=0,B P-V3x+y=0,一7丁后 工 任 nX+NZ=。令 y=0,则=1,z=4 马 即几=(1,V3,因为&=（

27、空,所以sind =C S-n _ 7 4 2|C S|n|噜 又 6 1 1-4，V 6),2 1.（15分）已知抛物线E：y=2 p x（p 0）,点 4（2,2 位）在抛物线上，斜率为2的直线/与抛物线交于8,C 两 点（点 C 在点8的下方）.（I）求抛物线E 的方程；（II）如图，点。（X1，H）在抛物线E 上，且 x i 2,线 段 与 线 段 BC相交于点P.若P A P D=2 P B P C Q,当4D C 面积取到最大值时，求点C 的坐标.【解答】解：（1）将 4（2,2 鱼）代入抛物线方程得（2 位 y=4p,即 p=2,所以f=4 工.（2）设 P（加，），D（X,y）

28、f B（X2，/），C（刈，3），由题意可知，直线4。的斜率存在且不为0,设直线4。的斜率为左，则直线ZO 的方程为歹-=%（1-加），直线8 C 的方程为y-=2 （x-机）,第1 5页 共1 7页由r y2-=n 4=%k(x r r i)，一可得y 2尸4 +14兀 _4m=o，贝 的1 +2V2=%,2 y 2 yr=-4 m：同理可得加”=2,”=2-4 z,所以|以|=J 1+表|2或 一n|,|P 0=J T7 J|n-y i|,|P B|=J l+1|y2-n|-|P C|=J l+1|n-y3|,又期|P 0|=2|P 5|P C|,所以(1+j )|n(2V2+力)-2V2

29、y j -n2|=2 x|x n(y2+y3)-y?为一层|,代入化简可得1+*=I，即k=土挈因为点D在抛物线上且在点A的右边，所 以 仁-孚，则当点C在直线y=-孚x+t与抛物线相切时的切点处时，/OC面积有最大值，此时点C的坐标为 弓，-V6).22.(15 分)已知 a,kE R,设函数/(x)=ln(x+a)-kax.(I )当欠=1时，若函数/(X)在(-，+8)上单调递增，求实数。的取值范围；(I I)若对任意实数Q,函数/(X)均有零点，求实数上的最大值；1(I I I)若函数/(X)有两个零点X I，X 2，证明：/工2+。(%1 +%2)a),当a W O时，f(x)0,则

30、/(x)在(-a,+)上单调递增，当a 0时，若 a,/(x)-a),(i )当Aa W O时，/(x)0,f C x)在(-a,+)上单调递增，/(x)有零点，(i i )当版0时，f(x)在(a,白 a)上单调递增，在(*a,+8)上单调递减,又当x趋近于-0.所以当(f)=l-h r e =O 时，t=I n诟,所以函数(力在(一 8，)白)上递增，在(仇焉，+8)上递减,记函数力有图象关于直线t=E 2 对 称 后 是 函 数 的 图 象,KCLi i i有 m(t)=%(2正 t)=2而 一 t 一诟.f则 7 7 i(t)g(t)=2 lnj +ka,e 21 ,e，?n.(t)=ka,2 N 0,所以IN 伉亲时，m (t)2 g (f),1 1所以2)而 一即+1 2 4 2仇诟,_ 1 1所以仇(修+a)+ln(x2+a)2 1 rl而(巧+a)(x2+a)j 29所以久 1%2+a(xl +%2)%或 一 02第1 7页 共1 7页