2023年高考数学一轮复习提升专练(新高考)--空间角.pdf

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1、线线角7.3空间角（精讲）（提升版）基本思路 通过平移直线，杞异面直线的问题化归为共面宜线基本步朦平移;平移并面直线中的一条或两条，作出弁面直线所成的角认定：证明作出的角就是所求弁面直线所成的角计算：求该角的值，常利用解三角形取舍：由弁面直线所成的角的取值范围是12，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角几何法解空间角线面角求解直线与平面所成角的方法：1、定义法：根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正彷值：2、向量法：分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个向量方法向量的夫角（或补角）：3、法向量法：求出斜线的方向向量和乎面的

2、法向量所去的就角，职其余角即为斜线与平面所成的角.求线面角的三个步骤：一作（找）角二证明：先找出斜级在平面上的射影，关彼是作垂级，找垂足三计算：杞线面角转化到三角形中求解在二面角的棱上找点，过点在两个平面内作棱的垂线，两定义法 垂线所成的角就是二面角的平面贪，三角影中求平面角如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的全线，连接两个垂足，应用三垂线定理可证明两垂定的连线与棱垂直，那么就可以三垂线法 找到二面角的平面角二面角中捻果存在一个平面与梭垂红，且与二面角的两个半平面都垂面法 相交，那么这两条交线所成的角即为该二面角的平面角若多边舒的面露为S.它在一个平面

3、内的射彩图好的面例为S.射影面积法且多边彩与该平面所成的二面角为e.co$e=S-线 线 乎 行：方向向量平行-线 面 平 行：平 面 外 的 直 线 方 向 向 量 与 平 面 法 向 量 垂一平行-面 面 乎 行：两平面的法向量平行线 线 垂 直：证 明 两 直 线 所 在 的 方 向 向 量 互 相 垂 直，即证它们的数量积为索垂线 面 垂 直：直 线 的 方 向 向 量 与 平 面 的 法 向 量 共 线，或利用线面垂宜的 判 定 定 理 转 化 为 证 明 线 线 垂 直面 面 垂 直：两 个 平 面 的 法 向 量 垂 直，或 利 用 面 面 垂 直 的 判 定 定 理转化为证明线

4、面垂直ab发线角：设界面直战。、5所成的角为。，则08。=a b 0；空间角拨面角：/为平面。的斜线，0为/与a所成的角，则si”p=I coKa,”)I=范围 0,y 二面角：平 面a/平 面 的 Q,Z=。，则COS=小叫,范 围0,n l!II 21考点一线线角【例 1-1】（2022.全国高三专题练习）如图，在 三 棱 锥 ABC中，M 4,平面ABC,AABC是边长为2 的正三角形，MA=2 6,尸 是 的 中 点，则异面直线MB与瓶所成角的余弦值是（）正4V13L -358【答案】D【解析】解法一：设 E 为 8 c 的中点，连接尸 七，如图,E 是 3。的中点,B:FE BM,M

5、B=4、FE=2、AF=2,AE=6,72 J.?2 a s在 ZXA正 中，由余弦定理可知cos?AFE=-2仓 22 8.异面直线8E 与 A尸所成角的余弦值为|,O解法二：以A 为坐标原点，AC,4M 所在直线分别为y,z 轴建立空间直角坐标系如图所示,易知 4(0,0,0),B(,l,0),F(0,1,73),M(0,0,2所 以 丽=(6,1,-2 6)，而=(0,1,6),则CM丽标黯=58,:异面直线BE与 AF所成角的余弦值为 故选：DO【一隅三反】1.（2022新疆 三模（理）在正方体ABC。-A与G。中，E 为A A 的中点，平 面 与 平 面 CEQ的交线)为/,则/与

6、A 8所成角的余弦值为（【答案】DB-Ir 73 n 763 3【解析】延长BA,C E交直线于点M,延长C,E,与A 交于点N,连接MN,MCi，M D、,则直线M G即为交线/,又 AB G R ,则N M C、R 即为/与A3所成的角，设正方体棱长为1,因为E 为A Q 的中点，AEB、C、BC,所以A 为A的中点，A 为 的 中 点，点E 为M C的中点，E 为N G 的中点，则 E M =EC,EN=EC-又 NMEN=ZCECi，所以 AEMNMAECG，所以 MN=CC；=1,NMNE=NCCg=90,则 CQ=1,C1M=屈,M D=6 所以 COSNM CQI=C】D；+CM

7、2 MD；=_ V6,2C、DCM3即/与A8所成角的余弦值 为 好.故选:D.（2022 四川内江模拟预测（理）如图，在直三棱柱A 8C-A B G 中，B C L面 ACRA，C4=C C,=2C B,则直线8 G 与直线A片夹角的余弦值为（）B-T C-T D-1【答案】c【解析】连接C 4交B G 于。，若 E 是 AC的中点，连接BE,ED,由ABC-ABCi为直棱柱，各侧面四边形为矩形，易知：。是CB,的中点,所以EA8 故直线8 G 与直线A片夹角，即为皮 与8 G 的夹角NBZ汨或补角,若 B C=1,则 CE=1,BD=CD=,2B C JJA C G A，ECU面 ACCI

8、A,则 C B_L C E.而 EC_LCC1,又B C nC G=C,B C C G c iB C G g,故C_Mf(iBCGB1,又C O u 面B C C ,所以CELCD.所以 EDNCD?+CE?=|,BE=ICB2+CE2=2 在 BDE 中 cos 4 D E =5 9 c8斤+亦 弼_ 4+721BDED2 x q 32 2一 5,故选：C3.（2022.全国高三专题练习）在三棱锥尸一ABC中，PA.PB、PC 两两垂直，J3.PA=PB=PC,M、N 分别为 AC、AB的中点，则异面直线PN 和 BM所成角的余弦值为（）A.3 B.迫 C.述 D.国3 6 3 6【答案】B

9、【解析】以点P 为坐标原点，以 丽，PB，前 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角令 抬=2,则P(0,0,0),8(0,2,0),M(1,0,0),N(l,l,0),贝 I 丽=(1,1,0),丽=(1,-2,1),设异面直线PN和 BM所成角为0,则cos。=P N B M|WV|W|-6.故选:B.考点二线面角【例 2-1（2022黑龙江）如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。是矩形，4_1_平面8尸，PD=CD,DE=P E,且 Z P 8 =30.平面ADE _L平面A B C D；(2)若CQ=3,A D =2,求直线PB与平面A。尸所成角的正弦值.【答案

10、】(1)证明见解析(2)迥62【解析】(1)因为PD=CD，所以 NPC=NPC=30。，所以 NPDC=120。，乂因为 所以 N P D E =N E P D =30 ,所以 ZEDC=90。，所 以 即 _LOC,又因为A_L平面COP,Eu平面。P,所以AD _L O f,又因为CDnAD=。，8、Au平面 ABC,所以 E_L平面 ABCD,而 DEu 平面A D E,所以平面ADE J_平面ABC。.得证.(2)如图，以。为坐标原点，分别以 屁、D C，丽 所 在的直线为坐标轴正方向建立空间直角坐标系，则点P=(,-,0),2 2 2 22z=0设平面A D P的法向量为石=(x,

11、y,z),则理二,即n-DP=0令x=l 可得平面ADP的法向量为7=(1,6,0)，设直线P B与平面A D P所成角为0,则一 3下1 3上sin”卜 os(而 内 卜 卑=年而也./I|PB|W|际2 62直线P B与平面AOP所成角的正弦值为 返.62A.1 B.立 C.D.侦2 5 5【答案】D【解析】如图，连接8。，因为BR在平面A B C。上的投影为80,故作于Q,且P Q，平面A B C。，连接AQ,则与平面A 8 C O 所成角为N PA Q.因为 PB=2 P R,故尸 Q =：R=|,H.B Q =2 D Q,故 A Q =，：4B1+（g A j =乎.所以 A P 与

12、平面2 八 PQ 3 2 /5A 8 C Z）所成角的正切值为t a n N PA Q =w=k【例 2-3 .（2 0 2 2 河南安阳）如图，在圆锥S。中，AC为圆锥的底面直径，AC=4,ASAC为等腰直角三角形，8为底面圆周上一点，且 N A C B =6 0。，M为 S A 上一动点，设直线B A/与平面S A C 所成的角为凡则s i n。的最大值为（)s【答案】CC.乎D.平【解析】如图，过点8作B_L A C于点。，连：SO_L平面ABC,B D u平面A B C,二SO_L 8。，又B D V A C,ACASO=。，4,5。=平面5 0 ,，8。_L 平面 SOC,又：u 平

13、面 SOC,:.B D 工 M D ,故N 创）为直 线 枷 与平面SAC所成的角，在RtZXBMD中，越小，越大，sin。越大，当MOJ_SA时,最小，此时sin。最大，；AC=4,4 c为等腰直角三角形，又N4CB=60。，在RtZXABC中，B C =2,在RIABCO中，C D =1,则AZ)=3,在等腰直角三角形 S W中，M D =ADxsin-=在R tA ftV ff)中,4 2(_ m Zl _ B D 73 _ VioBD =C ,BM=NBD2+MD,=坐测,m B M 一 丁，故选：C.r1.（2022河南安阳）如图，在四面体ABC。中，AB=AD,B C =C DE为

14、B。的中点，F为A C上一点.（1）求证：平面ACEJ_平面8QF；若N8CD=90。，ZB4=60,A C =6 B C ,求直线8 F与平面AC所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）也.2【解析】（1）在四面体A8C。中，AB=AD,B C =CD,E为B。的中点，则AE_L J.8。，而AEJ CE=E,AE,C Eu平面A C E,于是得8。_L平面ACE,乂 皿 u 平面或 昭，所以平面A C E L平面B D F.（2）依题意不妨设 B C =C D =2,4 8=9 0 ,则 BD=272,CE=夜，又 4 4 0=6 0,则 AB=A D=B D =2五,AE

15、=6在AACE中,所 cos Z A E C =AE2+CE2-AC22 A E C E6+2-122XA/6 x V2-避 ,则sin/4EC=,3 3SC=-AE-CsinZAC=-x 6 x /2 x=.由（1）得，1-BD-p 因2 2 3 3 3A D2+C D2=12=A C2,即 NAOC=9 0，则 S,=gAO C=2&.1 14设点8到平面AC。的距离为，则匕r e=5 S/s/=3x2&力=,解得=0,所以点8到平面ACO的距离为近.设直线BF与平面ACO所成角为。，所以sin6=_ =巫.BF BF2近 2 n因为A 4+B C?=12=4 C?,所以NABC=90，故

16、当8尸，AC时，B F最短,此时“一了二床一亍，正2&=弦值最大为2太一二二亍2.（2022北京）如图，四棱锥P-A8C的底面是梯形，BC AD,AB=BC =C D =1 ,A D =2,PB=叵,PA=PC=6，E为线段 P）中点.2。（1）证明：AC1BP-.（2）求直线BE与平面PC。所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析;（2）近14【解析】取 AO中点尸，连接加交AC 于点0,连接PF,PO,FC,由 4B=BC=8=l,Ar=2,且梯形45C Z),有 8c=A尸=1 且 8 c 融,故平行四边形8 C E 4,又AB =B C =1,故 8CE4为菱形，所以。为AC,8尸的中

17、点，故班 _LAC.又因为 PA=PC=，故 PO_LAC,因为 8尸_L AC,PO AC,POQBF=O ,BF,PO u 面尸酎,故47_1面 5尸，又 B P u面P 3 F,故AC_LBP.(2)解 析 1：几何法在 A/W F中，AB=A F =,ZBAF=60,故 4。=且,8。=工，2 2因为 PA=G，故尸。=|,由 P8=当，B P P O2+BO-=PB2.即尸O_LBO,BF，AC,POnAC=O,故 3F_L面 APC,又B F M C D,故COJ_jffiAPC,C D u而 P C O,故而APCLlEiPCO,作O”_LPC,面APCf面 PCD=PC,OHu

18、面APC,O H 1：PCD,3 3在 尸0 C 中，O H =-,因为8 F 7/C D,故 8 到面PC。距离等于CW=,4 4设BE与平面PCO所成角为6,BE=,23故sin0=巧=孚，故 BE与平面PC。所成角的正弦值 为 逆.V7 14 14TB在 尸中，A B =A F =,ZB A F=60 ,，故 A 0 =叵,B O =L,2 2因为 PA =6，故 PO =1，由 PB =,即 PO Z +B O?=尸8 2,22即 PO1 B O,P O LA C,B O A C=O,故 P。，面 A B C D,以OB为x 轴，OC为y 轴，。尸为z 轴建立空间直角坐标系,故P（o,

19、o g）,c（o,堂,0）,0卜 孚0,呜砌祟故心.吟V3 的3 I 3-0,0),叼-一V冷3 3.设面P C O 的法向量为元=（羽y,z）,则-/3 3n-P C=y z =0 人 /-厂2 2 ,令y=抠,故而=(0,6,1),n C D=-x =03r n 3X/7 a Fi所以s i n e=1 c o s =,故 砥 与平面PC。所成角的正弦值 为 止.也 x 2 1 4 1 42考点三二面角【例 3-1（2 0 2 2 云南师大附中）如图，AABC是 边 长 为 的 等边三角形，E,F分别是A B,AC的中点,G是AABC的重心，将AAEF沿E F折起，使点A到达点P的位置，点

20、P在平面B E F C的射影为点G.。（1）证明:BE1PC；（2）求平面P E F 与平面P B C 夹角的余弦值.连接C E,因AABC是等边三角形，是 A 8的中点，G 是AABC的重心，所以G 在CE上，B E 1C E,又点尸在平面BFC的射影为点G,即PG_L平面BERT,B E u 平面B E F C,所以P G L 3E,又 PGnCE=G,所以B E 1平面P C E,又 P C u 平面P C E,所以BELPC.分别是A8,A C的中点，所以 所 8C,EF,BC分别交于点。，点。.因为E,F所以I EF BC,/是平面PE尸与平面PBC的交线.由AABC是等边三角形，G

21、 是AABC的重心,知点。，点。分别是线段 尸，8 c 的中点.PG J平面BEFC,B C u平面跳户C,所以PG_LBC,又 ADLBC,PG,ADu 平面 PO,P G cA D =G,则 BC_L 平面尸。，所以/J_ 平面 POO,又。P,O P u 平丽尸O ),于是/L O P,/_L)P,NOP为平面PE F与平面P5C 所成二面角的平面角.由等边三角形AABC的边长为4石，可得PO=OD=；A=3,OG=l,GD=2,PG=JOP2-OG2=25/2,PD=IPG2+GD2=2V3，在 APOD中，由余弦定理，得cosNO尸 =3；差 骁 =5，所以平面PE尸与平面尸BC夹角

22、的余弦值为也.3【例 3-2(2022青海海东市第一中学)如图，在四棱锥P4BCD中，平面PC。_L平面ABC。，4PCD为等边三角形，AB=AD=CD =,ZBAD=Z A D C=90,例是棱上一点，且 函=2丽.求证：AP平面MB。；(2)求二面角MBOC的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)巫5【解析】(1)连接A C记4:与3。的交点为“，连接MH.由3皿=90。,得A B/8,券嘿告，又浅贝嘿=法A A P/M H，又M H u平面 M8D,PAz 平面 M8D,二公 平面MBD.(2)记。为CO的中点，连接P。，BO.,：.P C D为等边三角形，.P O V C D,V平面P

23、 C D J_平面ABC。，平面PCD0平面A BCD=CD,：.PO_L 平面 A8CD.以。为原点，0 8为x轴，OC为)，轴，OP为x轴，建立空间直角坐标系，如下图,丽=(-1,-1,0).设平面BOM 的法向量 =(x,y,z),则,_ 1 2 G 八n-B M =x +y 4-z =03 3n-B D=-x -y =0取 x=l 得=1,-1,平面8 C。的一个法向量正=(0,0,1).|2设二面角M 8。一C的平面角为伍则8$。=%_ Vio二二面角M-B。一C的余弦值 为 典5【一隅三反】1.（2 0 2 2 天津高考真题）直三棱柱A8C-44G中，A A,=A B =A C =

24、2,A A,A B,A C r A B ,。为4片的中点，E为 AA的中点，尸为C E)的中点.(1)求证：E F平面A B C ；(2)求直线仍与平面eg。所成角的正弦值;(3)求平面 C D与平面CC.D所成二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2):(3)回5 1 0【解析】(1)证明：在直三棱柱A B C-A q G中，A 4,_ L平面ABg,且 ACAB,则AG，A4以点A为坐标原点，A|A、A4、所在直线分别为X、y、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系,故 而 J_而，.EF=（0,1,0）,设平面 ACZ）的法向量为。=（9,必*2）,则，v-C =2X2+2Z2=0v-

25、D =y2=0_ .、u-v 1 Jl 0取占=1,可得丫=（1,0,T）,则cs =丽=-反正=一元，因此，平面AC。与平面CG。夹角的余弦值为 姬.102.（2022 江西）如图，在三棱锥P-A 8 C 中，R4C是边长为2 的正三角形，BC=AC,NACB=手，D为 AB上靠近A 的三等分点.（1）若 PB=2应，求证：平面PCOJ平面PC 3；（2）当三棱锥P-A B C 的体积最大时，求二面角B-P D-C 的余弦值.7【答案】（1）证明见解析（2）行【解析】（1）证明：因为4 批。是边长为2 的正三角形,所以8。=4。=2,2。=2,27z又尸8=2 0，所以尸82=pc2+8 C

26、 2,从而PCJ_BC.因为8C=AC,AACB=,所以AB=2 G.又因为。为AB上靠近A的三等分点，所以50=生叵，在BCD中，由余弦定理得3_ C D 1 B C8 4+3一2x2x速xl =空.因此。2 +3。2=%2,所以CD_L8C.因为 PC BC,所以“3 3 2 3 C D c P C =CBCJ平面PC。，又BCu平面P C S,所以平面P C D,平面PCB.(2)解：由题意当三棱锥P-A B C的体积最大时,有平面Q4C_ 1 _平面ABC.取4C的中点0,连接P O,D 0,则 POJ_AC,平面PACA平面 ABC=AC,PO u平面 P 4 C,从而 PO_L平面

27、 A BC,又ND4C=NC4,0为AC的中点，所以DOJ_AC；以。点为原点，以 方，而，而 为x，%z轴正方向，建立如图所示的空间直角j3_坐标系，则 3(-2,6,0)，C(-1,0,0),D 0，左，0，P(0,0,V5),从 而 定=(-1,0,-6),丽=(-2,6,一工),P D=0,弓,-6 ,设平面PC。的法向量为5=(x,y,z)上代从而P D冗=0,-x-/3z=0J3 厂，取z=l,则号y一 百Z =0则矍从 而z=O3正=(g,3,l).cos。加由图可知二面角B P C为锐角，所以二面角B PD C的余弦n-m 137值为百.Xy3.(2022.广西玉林.模拟预测(

28、理)如图，在 直三棱柱ABC-A4G中，D,E 别是棱44、C G 上的点，A D =CiE =A A,AtCt=B,C,.（1）求证：平面。Eq,平面A A B B 1；（2）若直线与。与平面ABC所成的角为4 5。，且A4=0AG，求二面角。-BE-B的大小.【答案】证明见解析 正2【解析】（1）取4中点0 ,A3中点。连。交。用于凡 连 EF,。心,则。尸 4。，0 1尸=34。=。4 =0,;.0尸=。1瓦0尸6,二0 1。尸是平行四边形，；.0 6 1尸，,.4 G =SG，/.o,c,1 AB,.又在直三棱柱ABC-A B G中，与8,平面ABC-。6匚平面486，用8,06，U平

29、面AgBA,结合区B c A 4=B 1 ,，。6 J 平面AgBA,，E F d_平面A BA,又EFu平面。石片,二平面 E B i，平面A A B B-由（1）知，OC、O B、0。两两垂直，建立如图空间直角坐标系O-“z,取用8上一点M,使用M=D 4,连AM,则BQAM,又M 8 _ L平面ABC,片。与平面A8C所成角为N M 4 B ,，N M 4 B =4 5 ,，AB=BM=|B 耳，不妨设 5f=3,则 A 8 =2,A D =CtE =,=2,AG=4G=&，0 C =l,A（0,-l,0）,0（0,-1,1）,E（l,0,2）,B,（0,1,3）,C（l,0,0）,诙=

30、（1,1,1）,西=（0,2,2）.设平面。鹤 的，一,、I D E tn=0 x+y +z =0 f y =z 一/、个法向量为加=（九,y,z）,则 两 布_0，2 y：2 z =0，x=0,y =1,得加=（，1，T），平面5 8避的一个法向量“=A C =（1,1,O）,8s3片 丽 =7元 方=5,二面角。-AE-B的平面角的正弦值为考点四空间角的综合运用【例 4】（2022重庆南开中学）（多选）已知正四棱锥P-4 3 C D 的侧面是边长为6 的正三角形，点 M 在棱PQ上，且=点。在底面ABCO及其边界上运动，且MQ 面抬8,则下列说法正确的是（）A.点 0 的轨迹为线段TT 7

31、TB.MQ与 CO所成角的范围为C.MQ的最小值为6D.二面角M-A 8-。的正切值为亚5【答案】ACD【解析】对于A,取点N.E,使得4V=2A,BE=2 E C,连接ME,NE,M N ,如图,面上43,由线段成比例可得MNUPA,NE/AB,R l u 平面P A B,M N U 平所 以 平 面 同 理 可 得 NE平面又 NE,MN u 平面M N E,M N c N E =N,所 以 平 面 平面 以 8,故当点Q eM E 时，总有MQ面所以点Q 的轨迹为线段，故 A 正确；对于B,由CCWNE知MQ与ITTCO所成角即为M Q 与NE所成角，在AMEN中，MN=3%=2,NE=

32、AB=6,NMNE=NP4B=,由余弦定理可得=2 5，由cos Z M E N =28+36=侦 可知即。运动到E 点时，异面直12x277 14 2 3线所成的角小于g,故 B 错误；对于C,当M 0L N E 时，M。最小，止 匕 时 MQ=MN-sinW=2 x*=g,故 C 正确；对于D,二面角M-A 8-Q 即平面M4B与底面.C D 所成的锐角，连接AC,BO相交于。，连接尸。，取点，使得O =2E）,连接M H,过“作“G L A 8于 G,连接M G,如图,由正四棱锥可知，由O H =2HD,=知M H H P O,:.MH=-P O =-x3f2=y/2,由 H G L A

33、 B 可得 HG/AD,3 3:.G H=y A D =5,面 A8C),.-.舫 _LMW，又 H G 工 A B,H G C M H =H .A B 工平面 M H G ,6.ABLMG,.NMG”即为二面角的平面角，tan N M G a=丝”=也，故 D 正确.G H 5故选：ACD【一隅三反】1.（2022,湖南长郡中学模拟预测）（多选）已知正方体A 8 C 3-A 4 C Q 的边长为2,M 为CC,的中点，P 为侧面8CC内上的动点，且满足A M/平面A B P,则下列结论正确的是（）A.A M B.M B.C R/平面 A/PC.A 与 4万 所成角的余弦值为 D.动点P 的轨

34、迹长为2 姮33【答案】BCD【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2,则 A(0,0,2),A (0,2,2),B(0,0,0),M(2,1,0),P(x,y,0),所以“=(0,-2,-2),B P=(x,y,0),AM=(2,1,-2),0+bx=2由 A M 平面 A BP,AM=a AlB+b BP,即卜 2 +b y =l,-2a=-2化简可得：3 x-2 y =0,所以动点尸在直线3 x-2 y =0 上，对于选项 A：AA/=(2,l,-2),B W =(2,-l,0),AM-M =2 x2 +lx(-l)+(-2)x0 =30,所 以 两 与 啊 不垂直，所以A 选项

35、错误；对于选项B：C/4B，A 8 u平面A8P,C 2 “平面4 8 尸，B 选项正确；对于选项 C：Afi.=(0,0,-2),c os =4=1,c 选项正确；2 /2 +r +(-2)3对于选项D：动点P在直线3 x-2 y =0 上，且尸为侧面B CCM上的动点，则 P在线段耳 8 上，4(g，2，。),所以耳 3 =梅=7=半，D选项正确；故选：BC D.2.(2 0 2 2 福 建 三明一中模拟预 测)已知正方体A B CC-A A GR中，A8=2 6 ,点 E 为 平 面 内 的 动 点，设直线A E 与平面A/D所成的角为a,若sina =竽，则点E 的轨迹 所 围 成 的 面 积 为.【答案】兀【解析】如图所示，连接A G交平面A B。/0,连接EO,由题意可知平面，所以NAEO是 A E 与平面AB。所成的角,由 s in c=2 可得 tana=2,即 罢=2.5EO在四面体A-A 8。中，B D =/D=&B=2&,AB-A D=A4,=2垂）,所以四面体A-A 8 D 为正三棱锥，。为3D4,的重心,如图所示:所以解得 3。=#乂 2后=2五,A O =AB2-B O2=2 所以EO=1 ,AC)又因 为 拓=2,即E 在平面4 8。内的轨迹是以O 为圆心，半径为1 的圆,所以 S=7TX12=71.故答案为:兀.