2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第一章集合与常用逻辑用语第二节充要条件与量词.pdf

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1、第二节充要条件与量词【考试要求】1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.4.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.【高考考情】考点考法：本部分内容常常与集合、函数、不等式等知识交汇考查，属于低频考点.多以选择题、填空题或解答题中某一部分的形式呈现，属于低档题.核心素养：数学运算、逻辑推理Q如谭林理二思傕激活一 Q归纳知识必备1.充分条件、必要条件与充要条件的概念川若p n q,则。是。的充分条件,。是。的必要条件P 是.q的充分不必要条件且r-|/P。是。的必要不充分条件 弁g且q n pP 是 q的充要条

2、件PQP 是.q的既不充分也不必要条件户Q且产 P注 解 1 若p以集合A的形式出现，q以集合8 的形式出现，即p：A xpx),q：B=x q(x),则若AQ B,则p 是 q的充分条件；若 医 则 夕 是 q 的必要条件；若/。氏 则。是 q 的充分不必要条件；若 加 4则。是 q 的必要不充分条件；若力=氏 则。是 q 的充要条件；若/U 8 且 加 4则夕是q 的既不充分也不必要条件.2.全称量词命题与存在量词命题（1）全称量词：短 语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用 符 号“匕”表示;含有全称量词的命题叫做全称量词命题.存在量词：短 语“存在一个”“至少有一个”在逻

3、辑中通常叫做存在量词，用 符 号“工”表示；含有存在量词的命题叫做存在量词命题.3.全称量词命题与存在量词命题的否定 名 称形式全称量词命题存在量词命题结构对 中 任 意 一个X,0（才）成立存在 中的元素X,p（x）成立简记V 夕（才）3 x&M,o(x)否定m xCM,夕(x)V xM,，注解2 （1）对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定；注 意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”.智 学 变式探源-1.必修一 P 1 9例22.必修一 P 3 5 T 71 .（改变形式）设四边形/腼的两条对角线为4 C，BD,则

4、“四边形加切为菱形”是“小口_ 切”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.因为四边形/次力为菱形，得 到 对 角 线/人 加，所以充分性成立，若 四 边 形/腼中对角线力入龙，四边形不一定是菱形，必要性不成立.2 .（改变形式）命 题“V x W R,fx+l 0”的否定是（）A.V *e R,*x+l W O B.V x W R,yx+l0C.3 x W R,xx+l W O D.3 x W R,xx+l 6”是“才 36”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选 A.因为a 6,所以才

5、 3 6,所以充分性成立，因为才 36,所以a 6 或 a V 6,所以必要性不成立，所以a 6 是 a2 3 6 的充分不必要条件.5.（转化能力）命题“存在x GR,使4a 0”是假命题，则实数a的取值范围是.【解析】当原命题为真命题时，a 0 且/=1 6 4 a V 0,所以a 4.故当原命题为假命题时，a W 4.答案：（一8,4Q一号为点探究二地法培优一 Q7 考点一 充分、必要条件的判定|自主练透1.已知明 均为第一象限角，那么“是 si n a si n ”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件八,7 冗 兀 ，、一【解析】选 D.取。

6、=,B=，a 成乂，而 sin a=sin 6,sin a sin 不oo成立.所以充分性不成立；JT 13 n取 a=,p=,sin a sin,但。是 sin3 6a sin ”的既不充分也不必要条件.2.设 xW R,则 5x0”是“|xl|V l 的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选 B.由5x0可得0 xV 5.由|xl|V I 可得0V x0,乙：S 是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解析】选 B.若 q=l,则

7、团 0,则 间单调递增;囱S恒成立，所以a“+i 0 n a d 0 恒成立，所以当0,q 0,所以甲仁乙，综上：甲 仁 乙.4.（命题新视角）王安石在 游褒禅山记中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的（）A.充要条件 B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件 D.必要不充分条件【解析】选 D.非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件.，规律方法充分条件、必要条件的判断方法|自主完善，老师指导(1)定义法：直接判断“若 0 则q”“若q则P”的真假;(2)集合法：设/=x|H

8、 x),B=xqx),若 4=6,则。是。的充分条件或。是。的必要条件;若则。是。的充分不必要条件;若 4=6,则。是。的充要条件.提醒：解决与充要条件有关的应用交汇问题的关键是根据交汇知识，弄清充要关系进行判断，判断时注意方法灵活，可直接或验证判断.S3铀【加练备选】已 知 a，W R,则“存在A W Z 使得a=A n+(”是“s in a=s i n 夕 的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选 C.充分性：已知存在A W Z 使得a=A“+(l)*,(i)若 A 为奇数，则 A=2+l,Z,此时 a=(2+1)11 ，nZ,s i

9、n a=s in(2 +m )=s in(J i )=s in；(ii)若 A 为偶数，则 A=2 ，此时 a=2 n+,“G Z,s in a=s in(2/?“+)=s in.由(i)(ii)知，充分性成立.必要性：若 s in a=s in 成立，则角。与角尸的终边重合或角。与角尸的终边关于y 轴对称，即 a=+2/n 或 a+=2 加 n+n,/G Z,即存在4 W Z 使得a=4 口 +(-1尸,必要性也成立.(2)(一题多解)设 a 0,b 0,则“a+6 0,bQ,所以 a+b2,ab,由a+6 W 4 可得2 4 几 W4,解得a6 W 4,所以充分性成立；当abW4时，取 a

10、=8,b=；,满足助W 4,O但 a+6 4,所以必要性不成立.所 以“a+6 W 4”是“2 忘4”的充分不必要条件.方法二(创新解法)：在同一坐标系内作出函数4一6=4 3,b=的图象，如图所示，a则不等式a+6 W 4 与ab44表示的平面区域分别是直线a+b=4及其左下方(第一象限中的部4分)与曲线力=-及其左下方(第一象限中的部分)，a易知当a+A W 4 成立时，a6 W 4 成立，而 当 成 立 时，a+A W 4 不一定成立，所 以“a+6 W 4”是“abW 4”的充分不必要条件.考点二 充分、必要条件的应用|讲练互动典例1(1)不等式x(x 2)V 0 成立的一个必要不充分

11、条件是()A.x G (0,2)B.x G 1,+8)C.x E (0,1)D.x e(1,3)【解析】选 8.解不等式x(x 2)V0得 0 V x V 2,因此x G (0,2)是不等式x(x 2)V0成立的充要条件，则所求必要不充分条件应包含集合 x 0 x V 2 .(2)已知 P=x|x 8 x 2 0 W 0,非空集合 S=x|1mW x W l+m .若 x G P 是 x G S 的必要条件，则m 的取值范围是.【解析】由 X28X20W 0,得一2 10或l-m 10.所以m 2 9,即m 的取值范围是9,+).答案：9,+)，,规律方法根据充分条件、必要条件求解参数范围的方

12、法把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.提醒：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍./对点训练1.下列函数中，满足“X i+x2=0”是“f(x)+f(X 2)=0”的 充 要 条 件 的 是()A.f (x)=tan x B.f(x)=3 3 rC.f (x)=x2 D.f (x)=logi|x|【解析】选B.因为f (x)=tan x 是奇函数,所以 X i+x2=0=f (x1)+f (x2)=0,但=0 时，+W O,不符合要求，所以/不符合题意；因为f(x)=3 3 f 均为单调递增的奇函数，所

13、以满足“X i+x2=0”是“f(xJ+f(X 2)=0”的充要条件，符合题意；f(x)=x2是偶函数，不符合题意；由f (x)=_ 7 c g|x|的图象易知不符合题意.2.(2022 赣州模拟)角A,B 是A B C 的两个内角.下列四个条件下，“A B”的充要条件是()A.sin Asin B B.cos Kcos BC.tan A tan B D.coscos【解析】选 4 当A B 时，根据“大边对大角”可知，a b,a b由于一7 =，所以sin A s i n B,则选项4 是“A B”的充要条件；sin卜 s m B由于O VB AV)，余弦函数y =c o s x 在区间(0

14、,万)内单调递减，所以cos A B”的充要条件；当A B 时，若 A为钝角，B为锐角，则tan A 0 B”的充要条件；当 c o s 2A c o s2B,即 1 sink 1 s/72B,所以siriA sMB,即sinK B”的充要条件.3.(2022 山东模拟)已知p：x2k,q：(x+1)(2 x)V 0.如果p 是 q的充分不必要条件，那么实数k 的取值范围是()A.2,+8)B.(2,+8)C.1,+8)D.(-8,-1【解析】选 6.由q：(x+1)(2x)0,可知 q：x 2.因为P 是 q 的充分不必要条件，所以x 2 k=x V 1或 x 2,即k,+8)是(8,1)U

15、 (2,+8)的真子集，故 k 2.31菅U【加练备选】设 n G N+，则 一 元 二 次 方 程 4x+=0有整数根的充要条件是n=.【解析】由=16 420,得 W 4,又 e N+,则=1,2,3,4.当=1,2 时，方程没有整数根；当=3时，方程有整数根1,3；当=4 时，方程有整数根2.综上可知，=3 或 4.答案：3 或 47 考点三 全称量词命题与存在量词命题|自主练透1.（多选题）下 列 命 题 是 xG R,f 3”的表述方法的是（）A.有一个x d R,使 得*3成立B.对有些x C R,使得V3成立C.任选一个x C R,都有寸 3 成立D.至少有一个x G R,使 得

16、*3成立【解析】选 A B D.原命题为存在量词命题，A,B,D选项均为对应的存在量词命题，是原命题的表述方法，C 为全称量词命题.故选A B D.2.下列四个命题中真命题是（）A.V n-nB.3 z?ER,V z z z ER,m,n=mC.V R,3/R,m nD.V z?ER,n 0 B.V xC N*,（x1 0C.3 l g x 0,-0”的否定是（）x-X 一A-3 9w。B.3 x 0,OWxWlX C.V A。，W。D.V x，x所以x V O 或 x l,x所 以 一 r 0 的否定是OWxWl,x 1所以命题的否定是3x 0,O W x W L，规律方法1.全称量词命题与

17、存在量词命题真假的判断方法全称量词命题(1)要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合物中的每一个元素X,证明p(x)成立；(2)要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合物中的一个特 殊 值 使 夕(曲)不 成 立 即 可.存在量词命题要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合物中，找到一个 x=x”使夕(曲)成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题.2 .对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可.提醒：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含

18、量词的完整形式，再写出命题的否定.宣 创【加练备选】(1)(多选题)命题 存在实数x W R,使得数据1,2,3,力 6的中位数为3.若命题。为真命题，则实数x 的取值集合可以为()A.3,4,5 B.x|x 3 C.x|x2 3 D.x|3 xW 6【解析】选 AB C D.根据中位数的定义可知，只需x 2 3,则 1,2,3,x,6的中位数必为3,选项A,B,C,D中的取值集合均满足x2 3.故选AB C D.(2)已知命题p：旧xG R,W O”,则“为()A.3 xG R,e*x1 2 0B.B *eR,e*x1 0C.V xG R,e x1 0D.V xW R,e*x1 2 0【解析

19、】选 C.根据全称量词命题与存在量词命题的否定关系，可得0为 V xG R,e，一x一1 0 下列命题中是假命题的是()A.3 *W R,lo g2-r=0 B.3 xW R,c o s x=1C.V xG R,7 0 D.V xG R,2r 0【解析】选 C.因为lo g 2 1=0,c o s 0=1,所以选项A,B均为真命题，0；:=0,选项C为假命题，2 0,选项D为真命题.，考点四命题中参数的取值范围|讲练互动 典例2 (1)(金榜原创 易错对对碰)若命题“对V xC R,a?a x1 V 0”是真命题，则 a的取值范围是.【解析】“对V xG R,a f a x1 V 0”是真命题

20、，当a=0 时，则有一 1 V 0；当 a W O 时，则有 a V O 且/=(-a)2-4X a X (1)=a2+4 a 0,解得一4 a 0,综上所述，实数a 的取值范围是(一4,0 .答案：(一4,0 若命题“m x GR,使得3 V+2 a x+l 0”的否定为假命题，则 实 数a的取值范围是【解析】由“V xW R,y 5x+万 a 0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等1 5式?一5*+万 a 0 对任意实数x 恒成立.设/(x)=*5 x+5 a,则其图象恒在x 轴的上方.1 5 5 /5故/=25 4 X 万 a V O,解得a,即实数a的 取 值 范 围 为+-

21、答案：七，+8)(2)已知c 0,且 c#l,设0：函数y=c”为减函数.q：当x 21-2?一一时,函数/U)=+：恒成立.如果0 和 q 有且只有一个是真命题，则 c 的取值范围为_.C【解析】由。为真命题知，O V c,恒成立，需,4,x c c 2当。真 q 假时，c 的取值范围是OVc w)；乙当。假 q 真时，c 的取值范围是cl.综上可知，c 的取值范围是(0,1 U(l,+8).答案：(o,j u(1,+o)(3)已知函数 f(x)=/2x+3,g(x)=,+m,对任意的 x”照金1,4 有 f(*)g(x 2)恒成立，则 实 数 加 的 取 值 范 围 是.【解析】f(x)=*2x+3=(x 1尸+2,当 xe l,4 时，f(x)、=f(l)=2,g(x)1 r ax=g(4)=2+R,则 fC rh Q gC r)一即2 2+加，解得力V O.故实数加的取值范围是(一8,0).答案：(一8,0)