2023考研概率统计强化讲义.pdf

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1、比侬考研检不走缔搅阜就针强也符立第一章事件与概率4.重点题型一事件的关系、运算与概率的性质【事件的运算律】(1)交换律 U 8 =8U/，AB=BA：(2)结合律 Z U(B U C)=(/U 3)U C，A(BC)=(AB)C；(3)分配律 AJ(BC)=(AJB)(AJC),A(BJC)=(AB)U(AC)；(4)摩根律 AJBAB,(5)吸收律 AJ(AB)=A,A(AJB)=A.【例1.1 设46为随机事件，且P(4)=P(B)=；,P(AJB)=I,则【】(A)/U 8 =。(B)AB=0 (C)P(N U 5)=1 (D)P(A B)=O【详解】【例1.2(20 20,数一、三)设

2、4民。为随机事件，且尸(4)=P(B)=尸(C)=L P(AB)=0,4P(AC)=P(BC)则4 8,C 只有一个事件发生的概率为【】1 2(A)-4【详解】(B)-(C)-(D)3 2 1 2【例1.3】设随机事件46满足/3=7 瓦 且0 尸(甘)1,0 尸(8)1,则尸(川乃+尸(例为=【详解】友考研能牛玄婶M隼 标 针 槎 化*【例1.4】设随机事件4民。两两独立，满足Z 8C =0,且P(4)=0(6)=P(C),4 8,。至少有一 个 发 生 的 概 率 为 则P(/)=.【详解】-2 2【例1.5设4 8为随机事件，且P(/)=,P(B)=M，则P(*B)+P(B M)的最大值

3、为,最小值为.【详解】上重点题型二三大概型的计算【方法】【例1.6(2016,数三)设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回地取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到为止，则取球次数恰好为4的概率为.【详解】2【例1.7在区间(0,0中随机地取两个数，则 两 数 之 积 小 于(的 概 率 为.【详解】【例1.8设独立重复的试验每次成功的概率为p,则第5次成功之前至多2次失败的概率为.【详解】友考研能牛玄薜M隼 能 针 槎 也*上重点题型三三大概率公式的计算【三大概率公式】条件概率公式 p(*8)=上 竺 2P(B)推论 P(AB)=P(B)P(A B),P(A,A2-A)=P(A,)P(A21

4、 4)P(4|工出)P(4|4&)全概率公式 P(A)f p(A B,)=p(与)P(/|5,)f=l/=1贝叶斯公式 P(鸟|Z)=之 P(BJ P(A BJ/=1【例 1.9 设 4 8 为随机事件，且 P(4U 8)=0.6,P(B A)=0.2,则尸(Z)=.【详解】【例1.1 0(2018,数 一)设随机事件/与8 相互独立，/与。相互独立，满足8 c =0,且P(4)=P(B)=g,尸(/C|/8 U C)=；，则。(C)=.【详解】【例1.11】(2003,数 一)设甲、乙两箱装有同种产品，其中甲箱装有3 件合格品和3 件次品，乙箱装有3 件合格品.从甲箱中任取3 件产品放入乙箱

5、，(I)求乙箱中次品件数X 的数学期望；(I I)求从乙箱中任取一件产品是次品的概率.【详解】3比密考研眦牛走薜觇阜统针凝也饼立，重点题型四事件独立的判定【事件独立的充要条件】事件力与8相互独立o P(AB)=P(A)P(B)PA B)=P(A)o P(A S)=P(A)o PA B)=P(A 5)(0 P(B)1)=4与5或7与8或与8相互独立o PA B)+P(A|B)=1(0 P(B)1)【例1.1 2】设48为随机事件，且0 P(4)l,则【】(A)若 心 B,则48 一定不相互独立(B)若,则48 一定不相互独立(C)若/3 =0,则48 一定不相互独立(D)若4=5,则43一定不相

6、互独立【详解】【例1.1 3】设4民C为随机事件，/与8相互独立，且尸(C)=0,则7,瓦 仁(A)相互独立(C)不一定两两独立【详解】(B)两两独立，但不一定相互独立(D)一定不两两独立4比侬考研检不走缔搅阜就针强也符立第二章一维随机变量工重点题型一分布函数的判定与计算【分布函数的性质】(1)0 F(x)l,-o o x /?(+o o)=1 ；(2)(单调不减)当玉e x 2时，F(X)F(X2)；(3)(右 连 续)E(x +O)=E(x)；(4)PaX b=F(b)-F(a)；(5)P X x =F(x-0),P X =x =E(x)尸(x 0).【例2.1】设随机变量X的分布函数为E

7、(x),a,6为任意常数，则下列一定不是分布函数的是【(A)F(ax+h)(B)F(ax +h)(C)F(ax3+b)(D)1 -F(-x)【详 解】【例2.2】设随机变量X的概率密度为/(x)=l-|x|,|x|l0,其他，则X的分布函数尸(x)=P -2 X =4 -【详 解】5无水印版由【公众号：小盆学长】免费提供更多考研数学视频文档资料，【公众号：小盆学长】，回 复【数学】免费获取更多考研押题资料视频，【公众号：小盆学长】免费提供更多考研数学预测卷，【公众号：小盆学长】，回 复【数学】免费获取无水印版由【公众号：小盆学长】免费提供比侬考研能干走螂挑阜就针褛也符立，重点题型二概率密度的判

8、定与计算【概率密度的性质】(1)f(x)0,-0 0 x +o o；f+00(2)f(x)dx=1 ；J-00(3)Pa X fx dx；r b推广 P a X b =P a X b =P a X b =P a X b =y f(x)dx；(4)在/(x)的连续点处有F(x)=f(x).【例2.3】设随机变量X的概率密度为/(x),则下列必为概率密度的是【】(A)/(-x +1)(B)/(2x-l)(C)/(2x +l)(D)【详解】【例2.4 (20 1 1,数一、三)设片(x),玛(X)为分布函数，对应的概率密度工(x),6(x)为连续函数,则下列必为概率密度的是【】(A)/(M(x)B)

9、2(x)耳(x)(C)/(x)A(x)(D)-(x)玛(x)+。(x)。(工)【详解】【例2.5 (20 0 0,三)设随机变量X的概率密度为/(x)=0),+=0,1,(4)几何分布X G(p)PX=k=Ml 攵=1,2,(5)超几何分布k x-in-kX H(N,M,n)PX=k=-,k =0A,-,mm(n,M)CN(6)均匀分布X U(a,b)/(x)=-,axh,、b-a，/(x)=.0,其 他0,xax-a .-,ax b(7)指数分布X(2)/(x)=Mtl-e-Z l,x00,x0(8)一 般正态分布XN(,TT2)/(X)1 1.e 2T,F(w)=,后b 2标准正态分布X

10、N(0,l)夕(x)=-1-j=e 2,0(0)=-,(r)=l-(x)127r 2正态分布的标准化V若XN(Q2),则 一N N(0,1).a【例2.6】设随机变量X的概率分布为尸 X=2k:4=C,，攵=1,2,，则 C=_.【详解】友而考研随千茏薜M阜就针罹化耕*+B x【例2.7】设随机变量X的概率密度为/(x)=Ze 2 ,且X=O X,则2=,B=【详 解】【例2.8(2004,数一、三)设随机变量XN(0,l),对给定的a(0 a%=a.若P 因 x =a，贝”等 于)(A)u.(Xr(B)u (C)%(D)u j a Ia (Xi-y 2【详 解】【例2.9】设随机变量XN G

11、,4),且P2X4=0.3,则尸 X0 =.【详 解】【例2.10】设随机变量XN(,)(1(C)F(a)+F(-a)1【详 解】(B)F(6f)+F(-a)=1(D)77(+)+尸(4一。)=；8友而考研随千茏薜M阜就针罹化耕*【例2.11】设随机变量X与丫相互独立，均服从参数为1的指数分布，则尸lmaxX,Y2=【详 解】【例2.12】设随机变量X与 丫相互独立，均服从区间0,3上的均匀分布，则P1 min X；0,则尸Ya=.【详 解】【例2.14】设随机变量XG(p),也 为正整数，则尸 X/M+|X加 (A)与加无关，与“有关，且随及的增大而减少(B)与加无关，与有关，且随“的增大而

12、增大(C)与无关，与俄有关，且随机的增大而减少(D)与无关，与加有关，且随机的增大而增大【详 解】友考研能牛玄薜M隼 能 针 槎 也*上重点题型四 求一维连续型随机变量函数的分布【方法】设随机变量X的概率密度为f r(x),求y=g(X)的分布.分布函数法(1)设 丫的分布函数为4 3),则 耳(刃=尸yvy=pg(x)w .(2)求y=g(x)在x的正概率密度区间的值域(生尸)，讨论以当y a时，4 3)=0；当时，片3)=J fx(x)dx；3(x)4当时，4 3)=1.(3)若y为连续型随机变量，则 丫的概率密度为/y(y)=K(y)-公式法 设y=g(x)在x的正概率密度区间单调，值域

13、为。,),反函数为x=/y),则y的概率密度为/x_ jfx(h(y)h(y),ay/3”一10,其他若y=g(x)在X的正概率密度区间 凡可分段严格单调，则分段运用公式法，然后将概率密度相加.【例2.15】设随机变量XE(/t),则y=minX,2的分布函数【】(A)为连续函数(B)为阶梯函数(B)至少有两个间断点(D)恰好有一个间断点【详解】10比考研战不走薜觇阜统针薇也饼立f l 2 f 2,X1-X2,0X3【例 2.16】(20 1 3,数一)设随机变量X的概率密度为/(x)=J a ,Y=X,1X 2(I)求 y的分布函数；(ii)求产 x w y .【详 解】【例 2.17】(2

14、0 21,数一、三)在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度记为Yx,较长一段的长度记为y.若z =x(1)求 X 的概率密度;(I I)求 Z的概率密度;(I I I)求 EX【详 解】1 1比考研能干走薜觇阜统针燕化饼立第三章二维随机变量上重点题型一联合分布函数的计算【联合分布函数的性质】(1)0 F(x,y)l,-oo x +oo,-oo +oo,F(-oo,y)=F(x,-oo)=F(-,)-0 ,F(+0 0,+oo)=1 ;(2)E(x,y)关于x和y均单调不减；(3)尸(x,y)关于x和 y均右连续;(4)P a X b,c Y 0,-oo x +8,8 y

15、 -Foo；(2)f(x,y)dxcl y=1 ；J-0 0 J-0 0(3)P(X,Y)G Z)=j x,y)dxdy；D(4)在f(x j)的连续点处有=/(x j).oxdy边缘概率密度(x,y)关 于x的边缘概率密度 人(x)=1 /(x,y)方(X,丫)关 于y的边缘概率密度 人(y)=j x,y)dx条件概率密度在 丫=歹 的 条 件 下，x的条件概率密度fxw(x y)/(x j)人(y)在x=x的条件下，丫的条件概率密度4 x(x)=/(x j)力(X)【例3.3 (20 1 0,数 一、三)设二维随机 变 量(X,y)的概率密度为f(x,y)=Ae2x+2xyy,-co x

16、+oo,-oo y +oo求 常 数A及条件概率密度6I*(y|x).【详 解】1 3友而考研随千茏薜M阜就针罹化耕*【例 3.4】设随机变量X。（0,1）,在 X =x（0 x l）的条件下，随机变量y。（x,l）.（I）求（x,y）的联合概率密度：（I D求（x,y）关于丫的边缘概率密度4 3）；（in）求尸x +y 1.【详解】上重点题型四关于二维正态分布二维正态分布的性质 设（x,y）Ng/；,。；/）,则（1）x N 3，b；）,y N（2，E），反之不成立；（2）x 与 y 相互独立ox与 y 不相关（0 =0）；（3）a X +bY -N（a/a+b/J2,a2（r+b2cl +

17、2 a b p（j（y2）；特别地，若X 与丫相互独立，X N（M，CT；）,丫N（任 内）,则a X +bY -N（a/j +b/42,a2（yf+b1（y）；（U （a（4）若。=aX+bY,V =c X +d Y,即=,则（U,P）服从二维正态分布bd14友而考研随千茏薜M阜就针罹化耕*(n 1【例 3.5】设二维随机变量(X,y)N 1,2;1,4;-一，且尸aX+b Y 4 1=上，则他力)可以为【】2 7 2【详解】【例 3.6(20 20,数三)设二维随机变量(X,Y)N(0,0;l,4;则下列随机变量服从标准正态分布且与X 相互独立的是【】(A)争X +Y)(B)争X-Y)(C

18、)(X+Y)(D)(X-Y)【详解】【例 3.7(2022,数一)设随机变量X N(0,l),在 X =x 的条件下，随机变量V N(x,l),则 X与 丫的相关系数为【】(A)-(B)-(C)(D)4 2 3 2【详解】上重点题型五求二维离散型随机变量函数的分布【例 3.8】设随机变量X 与丫相互独立，X P(4),丫尸(4),求 2=入+丫的概率分布.友而考研随千茏薜M阜就针罹化耕*【详 解】L重点题型六求二维连续型随机变量函数的分布 方法】设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为/(x J),求Z=g(X,Y)的概率密度f7(z).分布函数法(1)设Z的分布函数为B ，则乃(2)=的Z

19、4z=Pg(X,Y)4z.(2)求z=g(x,y)在(x,y)的正概率密度区域的值域(a,p),讨论z.当 za 时，7(z)=0；当时，Fz(z)=j j f(x,y)dxdy；g(x,y)4z当z N 时,%(z)=l.(3)Z的概率密度为人(z)=娉(z).友而考研随千茏薜M阜就针罹化耕*l,O x l,O y 2%.,求:0,其 他【例3.9 设二维随机变量(X,y)的联合概率密度为“x)=(I)(*,丫)的联合分布函数/();(I I)(工,丫)的边缘概率密度以(%)/(少);(I I I)条件概率密度/孙(x I y)JY X(m X)；111(iv)口，PY,.p,；i推广 若y

20、 =g（x）,则E y =g（x,M；r+oo（2）设随机变量X的概率密度为/（x）,则xf（x）dx；J-0推广 若y =g（x）,则=g（x）/（x）公；J-oO（3）设二维随机变量（X,丫）的联合概率分布为尸x=x,丫 =%=p q,i,j =1,2,z =g（x,y）,则 z =Z Z g（x,为）外；j j（4）设二维随机变量（x,y）的联合概率密度为/（x,y）,z =g（x,y）,则p+oo 广+o oE Z=g（x,y）f（x,y）dxdy.J-00 J-30f-K O 广+c o 广+X r+0 0特别地，E X=|xf（x,y）dxdy,E Y=f f yf（x,y）dxd

21、y.J-3 0 J-G O J-0 0 J-0 0期望的性质（1）E（a X +hY +c）a E X +hEY +c；（2）E（X T）=E X-y o X与丫不相关；特别地，若x与y相互独立，则E（x y）=E y.方差的定义D X=E（X-E X）2=E X2-（E X）219友而考研随千茏薜M阜就针罹化耕*方差的性质(1)D(aX+c)a2DX；(2)D X +Y)D X +D Y 2C ov(X,Y)；推论 o(x 土 y)=o x+z)y o x与y不相关;特 别 地，若x与y相互独立，则。(X 土 y)=o x +o y；(3)若x与y相互独立，则。(牙丫)=。丫+(工)2。丫+

22、(丫)2。夕.【例4.1 设随机变量x的 概 率 密 度 为f(x)=一-8 x 2)为来自总体N(0,IT2)的简单随机样本，样本均值为灭.记 =X,一,i =l,2,.(I)求匕的方差。匕 =1,2,；(II)求乂与工的协方差Co n(X，%)；(HI)若c(X+匕 了 为 的 无 偏 估 计 量，求常数c.【详 解】上重点题型三相关系数的计算【方 法】相 关 系 数 的 定 义 丽=华 出 里4DX4DY2 3无水印版由【公众号：小盆学长】免费提供更多考研数学视频文档资料，【公众号：小盆学长】，回 复【数学】免费获取更多考研押题资料视频，【公众号：小盆学长】免费提供更多考研数学预测卷，【

23、公众号：小盆学长】，回 复【数学】免费获取无水印版由【公众号：小盆学长】免费提供友而考研随千茏薜M阜就针罹化耕*相关系数的性质|归1；(2)=0 o Cov(X,X)=0 E(X Y)EX-EY D(X Y)DX +DY ；(3)1 o PY =aX+/)=l(6 f 0)；=1 o PY =a X4-=l(a 0).【例4.1 3(2 0 1 6,数一)设试验有三个两两互不相容的结果,42，4 3,且三个结果发生的概率均为；.将试验独立重复地做两次，x表示两次试验中4 发生的次数，丫表示两次试验中h 发生的次数，则 x与y 的相关系数为【】(A)-(B)-(C)-(D)-2 3 3 2【详解

24、】【例4.1 4】设随机变量X8。,?，且 PxY=近(I)求(X,Y)的联合概率分布;(ID 求产 y =i|x =i.【详解】24比侬考研检不走缔搅阜就针强也符立，重点题型四相关与独立的判定【方 法】【例 4.15】设二维随机变量(X,Y)服从区域。=卜元y)|2+歹2 6 上的均匀分布，则【】(A)x与y不相关，也不相互独立(B)x与y相互独立(O x与y相关(D)x与y均服从u(a,a)【详 解】【例 4.16】设随机变量X的概率密度为/(X)=；e-叫 8 X 0,有之 X：4,I 仁 J(A)N 乎(B)”一(C)外 个(D)(Jns 4ns2 n-4ns2【详解】【例 5.2(2

25、022,数三)设随机变量工,丫2,X”,相互独立同分布，乂 的概率密度为1-1x 1,1x 1 X,2依概率收敛于【】I 0,其他 白(A)-(B)-(C)-(D)-8 6 3 2【详解】【例 5.3(2020,数一)设天,万2,X”为来自总体X 的简单随机样本，尸 X =0 =P X =1=；,100、(X)表 示 标 准 正 态 分 布 函 数.利 用 中 心 极 限 定 理 得 尸 551的近似值为【】、/=1,(A)1(B)(1)(C)1 (0.2)(D)(0.2)【详解】比密考研也不茏薜觇阜统针燕也饼立第六章统计初步上重点题型一求统计量的抽样分布【方法】Z2分布的定义 设随机变量乂,

26、声,X,相互独立,均服从N(0,1),称%2=X；+X；+X；服从自由度为的力2分布，记 作,2 2(“)特别地，若X N(O,D，则X?力2./分布的性质(1)设万2与 对 相 互 独 立,对力2(J,对4 2(%),则 对+必/28+%)；(2)设力2,2()，则 E 7 2=“，O%2=2 .X/尸 分 布 的 定 义 设随机变量X与y相互独立，X 2()，y 2(%),称E =/服从自由度为I，“2的E分布，记作)尸(”2)产分布的性质(1)设口尸(,2)，则2下(2，)；F 6Y(2，J=乙(”2)/分布的定义 设随机变量x与y相互独立,xxN(O,I),r z2(w),称T=服从自

27、由度为/n的看分布，记作T ).，分布的性质(1)设T *)，则 7 2 尸-L-F(n,l)；l-a()=%()友而考研随千茏薜M阜就针罹化耕*单正态总体 设X1,X2,X”为来自总体X )的简单随机样本，灭 与 S2分别为样本均值与样本方差，则(1)与 幺N(O,1),即 了N /,；(2)S T B%2(_),即7f(%斤了/2(一),且 又 与 S?相互独立;(T(7/=|jj/双正态总体 设总体x N a。；)，总体y N(2，&),，/，4与 九 号 2”分别为来自总体x 与 y 的简单随机样本且相互独立，样本均值分别为了 斤，样 本 方 差 分 别 为 则当阳，天十)一(一2),

28、其中sj3不返.1 1 -V 勺+22【例 6.1(20 13,数一)设随机变量X)，y厂(1,).给定a(0 a c =a，则 可 丫 丹=(A)a(B)-a(C)2a(D)-2 a【详解】【例 6.2】设乂,玛,入9为来自总体N(Q2)的简单随机样本，乂 =_ L(x+X,+4),6Y2=X1+XS+X9）,S 2=；t（x,%）2,求 血（?一丁）的分布32 j=7 328友而考研随千茏薜M阜就针罹化耕*【详解】上重点题型二求统计量的数字特征【方法】【例6.3设%,乙,X”为 来 自 总 体 的 简 单 随 机 样 本，则n n/n 丫E E-E欣广 4=./=1/=1 k=)【详解】【

29、例6.4】设乂,占,Xg为来自总体N(0Q2)的简单随机样本，样本均值为X,样本方差为S2.9V2(I)求 您 的 分 布；-2 一(II)求E (X S2)2.【详解】29友而考研随千茏薜M阜就针罹化耕*第七章参数估计上重点题型一求矩估计与最大似然估计【方法】矩估计 令Exk=，x：或E（X-Exy-l y（X,-斤y,左=i,2,，得 用,的矩估计量.,=1 ,=1最大似然估计（1）对样本值少,X”,似然函数为2（。）=/=!口/（4。）、/=!（2）似然函数两端取对数求导数；（3）令I11。）=0,得。的最大似然估计量.dO【例7.1（2002,数一）设总体X的概率分布为X 0 1 2

30、3p e1 2（9（i-）e-i-2（9其中0 6 0未知，样本均值为了，样本方差为S2.(I)求的最大似然估计量?；(I I)求 E1与 DU.【详解】【例 7.3(2 0 2 2,数一、三)设X|,X 2,X,为来自期望为。的指数分布总体的简单随机样本，九打,，为来自期望为2。的指数分布总体的简单随机样本，两个样本相互独立.利用乂,*2,X,与，工，(I)求。的最大似然估计量3；(ID 求。3.【详解】31友考研能牛玄薜M隼 能 针 槎 也*上重点题型二估计量的评价标准【估计量的评价标准】（1）（无偏性）设3 为。的估计量，若EO =。,则称3 为。的无偏估计量；（2）（有效性）设4,4为。的无偏估计量，若。自）3，其中。0为未知参数，X”X,X,0,x0为来自总体X 的简单随机样本.（I）求。的最大似然估计量3；（ID问）是否为。的无偏估计量？并说明理由.【详解】32