2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第一节排列、组合.pdf

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1、第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布第一节排歹U、组合【考试要求】1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.通过实例，理解排列、组合的概念.3.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.4.能利用排列与组合的知识解决简单的实际问题.【高考考情】考点考法：高考命题常以选择、填空的形式考查分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排歹 U、组合在解决简单的实际问题中的应用，试题难度不大.核心素养：逻辑推理、数学运算o 知常梳理 二思整派 渔.一 o1.两个计数原理-归纳知识必备两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理目标完成一件事策略有两类不同的方案需要两个步骤过程在第

2、1类方案中有勿种不同的方法，在第2 类方案中有种不同的方法做第1 步有R种不同的方法，做第2步有种不同的方法方法总数N=种不同的方法N=mX n种不同的方法 注 解 1 分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类.分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”.2.排列与组合1 排列与排列数;组合与组合数定 排列：从个不同元素中取出/（加 个 元 素,按 照一定|组合:从个不同元素中取出注解2排列是一种排列方式，排列数是符合条件的排列的总个数，是一个实数.义的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出/个元素的一个排列.)个元素合成一组,叫做从个不同

3、元素中取出加个元素的一个组合.排列数:从个不同元素中取出r E W a)个元素的所有不同排列的个数,用符号表示.组合数:从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数,m用符号C表示.n公式A：=n(n l)(n 2).(n m+l)=()n -m!pm _ CA mn Amn(n -l)(n -2)(n -m+1)m!n!m!(n -m)!性质A =n x(n-l)x(n-2)x.x 3 x 2 x l=/7!；0!=l0C =1；nmC=Cn nm m 1c+c=cm,A公式的特征：n(i)有/个连续正整数.(ii)从逐渐变小到n-m+.(迨)乘积.m m m 0注解3组合是排列的第一步，即

4、A =C A ,规 定C=1.n n m nm n-tnC =C:表示从个不同元素中取出R个元素，自然就对应着剩余一卬个元素，故方n n法总数相等.m m _1C =C+C：表示从+1个不同元素中取出加个元素，可分为两种情况：一是不含n n特 殊 元 素/有c种方法；二是含特殊元素力有C 种方法.n n智学变式探源1.选择性必修三P 1 1 T 32.选择性必修三P 1 2 T 91 .（改变背景）已知某公园有4 个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为（）A.1 6 B.1 3 C.1 2 D.1 0【解析】选 C.将 4 个门编号为1,2,3,4,从 1号门进入后，有 3 种出门

5、的方式，共 3 种走法，从 2,3,4 号门进入，同样各有3 种走法，共有不同走法3X 4=12（种）.2.（改变条件）将 8种不同的菜种任选4 种种植在不同土质的4 块地里，不同的种植方法有（）A.24 B.1 68 0 C.7 0 D.8 404【解析】选 B.由题可得，不同的种植方法有A、=8 X 7 X 6 X 5 =1 68 0种.慧考 四基自测3.基础知识4.基本方法5.基本应用6.基本能力3.（两个计数原理）已知集合/仁 1,-2,3,A =-4,5,6,-7 ,从 也 N 这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的

6、点的个数是（）A.12 B.8 C.6 D.4【解析】选 C.分两步：第一步先确定横坐标，有 3 种情况，第二步再确定纵坐标，有 2 种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是3X 2=6.4.（间接法）从 6 位同学中选出4 位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加,则不同选法的种数为（）A.9 B.14 C.12 D.15【解析】选 A.解法一：（直接法）分两类：4第 1类，张、王两同学都不参加，有 C=1 种选法；第 2 类，张、王两同学中只有1 人参加,41 3有C2 C4=8种选法.故共有1+8=9 种选法.4 2解法二：（间接法）共有C.o -C,4=9种不同选法.5.（

7、特殊元素优先法）要排出某理科班一天中语文、数学、物理、英语、生物、化学6 堂课的课程表，要求数学课排在上午（前 4 节），生物课排在下午（后 2 节），不同排法种数为（）A.144 B.192 C.360 D.7201 1 4【解析】选B.优先安排数学、生物，剩余全排列，即有C,C,A=192（种）.4 2 46.（实际应用）如图，小明从街道的处出发，先到尸处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 条.1 1&1 11吕口匚【解析】从 点到厂点的最短路径有6条，从6点到G点的最短路径有3条，所以从夕点到G点的最短路径有6X3=18（条）.

8、答案：18o 方点探究:及法培优。考点一 分类加法、分步乘法计数原理|自主练透1.如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是（）A.60 B.48 C.36 D.24【解析】选B.长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6X6=3 6,另含4个顶点的6个面（非表面）构成的“平行线面组”的个数为6X2=1 2,故符合条件的“平行线面组”的个数是36+12=48.2.现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法

9、的种数是（）A.120 B.140 C.240 D.260【解析】选D.由题意，先涂/处共有5种涂法，再涂6处有4种涂法，最后涂。处，若。处与/处所涂颜色相同，则。处共有1种涂法，处有4种涂法；若C处与4处所涂颜色不同,到C处有3种涂法，处有3种涂法，由此可得不同的涂色方法有5 X 4 X（1X4+3X3）=2 6 0（种）.3.（多选题）现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的有（）A.从中任选一幅画布置房间，有 1 4 种不同的选法B.从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有 7 0种不同的选法C.从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有 5 9 种不同

10、的选法D.要从甲、乙、丙 3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有1 2 种不同的挂法【解析】选 ABC.对于A,分为三类：从国画中选，有 5 种不同的选法；从油画中选，有 2 种不同的选法；从水彩画中选，有 7种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有5+2+7 =1 4（种）不同的选法，A 正确；对于B,分为三步：国画、油画、水彩画分别有5 种、2 种、7 种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5 X 2 X 7 =7 0（种）不同的选法，B 正确；对 于 C：分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画.由分步乘法计数原理知，有 5X 2=1 0（种）不同的选法；第

11、二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有 5 X 7 =3 5（种）不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有 2 X 7 =1 4（种）不同的选法，所以共有1 0+3 5+1 4 =5 9（种）不同的选法，C 正确；对于D：从 3 幅画中选出2 幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第 1 步，从 3幅画中选1 幅挂在左边墙上，有 3 种选法；第 2 步，从剩下的2 幅画中选1 幅挂在右边墙上,有 2 种选法.根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是-3 X 2=6.D 错误.4.从 0,1,2,3,4 这 5 个数字中任取3 个组成三位数，其 中 奇 数 的 个 数 是；3的

12、倍 数 的 个 数 有.【解析】从 1,3中取一个排个位，故排个位有2 种方法；排百位不能是0,可以从另外3 个数中取一个，有 3 种方法；排十位有3 种方法.故所求奇数的个数为3 X 3 X 2 =1 8.若有0,则另两个数分别为1，2 或 2,4,则不同的三位数有2 X 2 X 2=8 种，若有3,则另两个数分别为1,2 或 2,4,则不同的三位数有3 X 2 X 2 =1 2 种，所以满足条件的3的倍数的个数为8+1 2=2 0 个.答案：1 8 2 0才规律方法分 类 加 法、分步乘法计数原理的应用（1）区 别：加 法 原 理 针 对“分 类”问题，其 中 各 种 方 法 相 互 独

13、立，用其中任 何 一 种方法都可以完 成 这 件 事；乘 法 原 理 针 对“分 步”问 题，各 个 步 骤 相 互 依 存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.（2）分 类 标 准 要 明 确，做到不重复不遗漏.（3）混合问题一般是先分类再分步.（4）切 实 理 解“完 成 一 件 事”的 含 义，以确定需要分类还是需要分步进行.教师专用【加 练 备 选】L数 独 是 源 自18世 纪 瑞 士 的 一 种 数 学 游 戏.如 图 是 数 独 的 一 个 简 化 版，由3行3列9个单元 格 构 成.玩 该 游 戏 时，需 要 将 数 字1,2,3（各3个）全 部 填 入 单 元 格，每个单元格

14、填一个数 字，要 求 每 一 行、每 一 列 均 有1,2,3这 三 个 数 字，则 不 同 的 填 法 有（）第一列第二列第三列第一行n第二行第-4rA.12 种 B.24 种 C.72 种 D.216 种【解 析】选A.根 据 题 意，分3步 进 行 分 析：3 将1,2,3三 个 数 字 填 入 第 一 行，有4 =6种 情 况，第 二 行 第 一 列 的 数 字 与 第 一 行 第 一 列 的 数 字 不 同，有2种 情 况，第 二 列、第 三 列 只 有1种情 况，则 第 二 行 有2种 情 况，由 于 前 两 行 的 数 字 确 定，第 三 行 只 有1种 情 况，则 有6X2X1

15、=12种不同的填法.2.某 公 园 划 船 收 费 标 准 如 下：两人船四人船六人船船型（限 乘2人）（限 乘4人）（限 乘6人）每船租金（元/小时）9 01 001 3 0某班1 6 名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1 小时，每只租船必须坐满，租船最低总费用为 元，租船的总费用共有 种可能.1 1【解析】由题意，当租两人船时，租金为万X 9 0 =7 2 0 元，当租四人船时,租金为牛X 1 0 0 =4 0 0 元，当租一条两人船、两条四人船、一条六人船时，租金为9 0+1 0 0 X 2+1 30=4 2 0 元，当租两条两人船、三条四人船时，租金为9 0 X 2+1 0

16、0 X 3=4 8 0 元，当租两条两人船、两条六人船时，租金为9 0 X 2 +1 30 X 2=4 4 0 元，当租三条两人船、一条四人船、一条六人船时，租金为9 0 X 3+1 0 0 +1 30 =5 0 0 元，当租四条两人船、两条四人船时，租金为9 0 X 4+1 0 0 X 2 =5 6 0 元，当租五条两人船、一条六人船时，租金为9 0 X 5 +1 30 =5 8 0 元，当租六条两人船、一条四人船时，租金为9 0 X 6+1 0 0 =6 4 0 元，当租一条四人船、两条六人船时，租金为1 0 0+1 30 X 2 =36 0 元.所以租船最低总费用为36 0 元，租船的总

17、费用共有1 0 种可能.答案：36 0 1 0J考点二排列与组合碉 互 动 典例1 （1）“中国梦”的英文翻译为“C h in a D r e a m，其中C h in a 又可以简写为C N,从“C ND r e a m”中取6 个不同的字母排成一排，含有“e a”字母组合（顺序不变）的不同排列共有（）A.36 0 种 B.4 8 0 种 C.6 0 0 种 D.7 2 0 种4 5【解析】选 C.从其他5 个字母中任取4 个，然后与“e a”进行全排列，共有C _ A.=6 0 0（种）.5 5（2）（一题多解）某学校为了迎接市春季运动会，从 5 名男生和4 名女生组成的田径运动队中选出4

18、 人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1 人入选的方法种数为（）A.8 5 B.8 6 C.9 1 D.9 0【解析】选 B.方法一（直接法）：由题意，可分3 类情况：第 1 类，若男生甲入选，女生乙不1 2 2 I 3入选，则方法种数为C,C,+C C,+C,=31；第 2 类，若男生甲不入选，女生乙入选，则方3 4 3 4 32213法种数为 q c：s+q c3+c,=34；第 3 类，若男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为2 I 1 2C +C C +C =2 1.3 4 3 4所以男生甲与女生乙至少有1 人入选的方法种数为31 +34+2 1=8 6.1 3 2 2

19、3 1 1 3 2 2 3 1方法二(间接法):(C5 C +C C4+C C )-(C C：i+C C +C C3)=8 6.(命题新视角)若一个四位数的各位数字之和为1 0,则称该数为“完美四位数”，如数字“2 0 1 7”.试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7 组成的无重复数字且大于2 0 1 7 的“完美四位数”的个数为()A.5 3 B.5 9 C.6 6 D.7 1【解析】选 D.记千位为首位，百位为第二位，十位为第三位，由题设中提供的信息可知，和为 1 0 的无重复的四个数字有(0,1,2,7),(0,1,3,6),(0,1,4,5),(0,2,3,5),3(1,2,3,4)

20、,共五组.其中第一组(0,1,2,7)中，7排在首位有A 3=6种情形，2排在2首位，1 或 7 排在第二位上时，有 2 A 2=4种情形，2排在首位，0排在第二位，7 排在第三3位有1 种情形，共 6+4+1 =1 1 种情形符合题设；第二组中3,6 分别排在首位共有2%=1 23种情形；第三组中4,5分别排在首位共有2 A 3 =1 2 种情形；第四组中2,3,5分别排在首33位共有3A 3 =1 8 种情形；第五组中2,3,4 分别排在首位共有3A 3 =1 8 种情形.依据分类加法计数原理可知符合题设条件的“完美四位数”共有1 1 +1 2+1 2+1 8+1 8 =7 1 个.(4)

21、(一题多解)6 名同学站成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有种不同站法.【解析】方法一(位置优先法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4 人的位置，分为两步：2第 1 步，从除甲外的5 人中选2 人站在最左边和最右边，有 A$种站法；4第 2 步，余下4 人(含甲)站在剩下的4 个位置上，有 A 种站法.42由分步乘法计数原理可知，共有A.A =4 8 0(种)不同的站法.5 4方法二(元素优先法)先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边)，再安排其他5人的位置，分为两步：1第 1 步，将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A 种站法；45第 2步

22、，余下5人站在剩下的5个位置上，有 Ar)种站法.由分步乘法计数原理可知，共有I 5A A =4 8 0(种)不同的站法.4 5答案：4 8 0，规律方法1 .求解排列应用问题的六种主要方法|自主完善，老师指导(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算.(2)优先法：优先安排特殊元素或特殊位置.(3)捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列.(4)插空法：对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.(5)定序问题：可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.(6)间接法：正难则反、等价转化的方法.2 .组合问

23、题的两种题型及解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足;“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合：解这类题型必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.，对点训练1 .将 7 个人(其中包括甲、乙、丙、丁 4 人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有()A.1 1 0 8 种 B.1 0 0 8 种 C.9 6 0 种 D.5 0 4 种2 6【解析

24、】选笈将丙、丁两人进行捆绑，看成一人.将6人全排列有4 4 种排法；将甲排在2 62 52 52 4排头，有 4 4 种排法；乙排在排尾，有 4 4 种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有 4 42 5 2 5 2 42 6 2 5种排法.则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻的不同排法共有4.A,6 2 5一4 A.2 5 2 4A A-A A=1 0 0 8（种）.2 5 2 42.A,B,C,D四个家庭各有两个孩子共8个孩子，这些孩子分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4个孩子不考虑位置）,其中A家庭的李生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4 个孩子恰有2 个来自于同

25、一个家庭的乘坐方式共有（）A.1 8 种 B.2 4 种 C.3 6 种 D.4 8 种【解析】选 6.根据题意，分两种情况讨论：（1）A家庭的挛生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2 个，再从每个家庭的2 个孩子中任选一个来乘坐甲车，2 1 1有 q q q =1 2（种）乘坐方式；（2）A家庭的挛生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1 个，让其2 个孩子都在甲1 1 1车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有 q q q =1 2（种）乘坐方式，所以共有1 2+1 2 =2 4（种）乘坐方式.3.（一题多解）

26、从6男2女共8名学生中选出队长1 人，副队长1 人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1 名女生，则共有 种不同的选法.（用数字作答）13【解析】方法一：只有1 名女生时，先选1 名女生，有C种方法；再选3名男生，有 6种2 621 3 2方法;然后排队长、副队长位置，有 4 种方法.由分步乘法计数原理知，共有J C力=4 8 0（种）4 2 6 4选法.22有 2名女生时，再选2名男生，有 Q种方法；然后排队长、副队长位置，有力，种方法.由6 42 2分步乘法计数原理知，共有C4=1 8 0（种）选法.所以依据分类加法计数原理知，共有4 8 06 4+1 8 0 =6 6 0（种

27、）不同的选法.2 2方法二：不考虑限制条件，共有力c 种不同的选法，8 62 2而没有女生的选法有/c种，6 42 2 2 2故至少有1 名女生的选法有/C-A C=840180=660（种）.8 6 6 4答案：660 考 点 三 分组与分配问题多维探究 角度1整体均分问题 典例2 国家教育部为了发展落后地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生,毕业后要分到相应的地区任教，现有6 个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3 所学校去任教，有 种不同的分派方法.【解析】先把6 个毕业生平均分成3 组，有种方法，再将3 组毕业生分到3 所学校,有 4=6 种方法，故 6 个毕业生平均分

28、到3 所学校，共有一/一 一 4=9。种分派方法.答案:90 角度2部分均分问题 典 例 3 小明有中国古代四大名著：三国演义 西游记 水浒传 红楼梦各一本，他要将这四本书全部借给三位同学，每位同学至少一本，但 西游记 红楼梦这两本书不能借给同一人，则不同的借法有 种.【解析】根据题意，分两步进行分析：将四本书分成3 组，其中1组两本，其他2 组各一d d C本，有-=6（种）分组方法，但 西游记 红楼梦这两本书不能借给同一人，即这两本书不能分在同一组，西游记 红楼梦分在同一组的情况有1种，故四本书分成3 组,3符合题意的分法有61=5（种）；将分好的3 组全排列，对应三位同学，有 4 =6（

29、种）情况.则不同的借法有5X6=30（种）.答 案:30 角度3不等分组问题 典例4 若将6 名教师分到3 所中学任教，一所1 名，一所2 名，一所3 名，则有种不同的分法.【解析】将 6 名教师分组，分三步完成：I第 1 步，在 6 名教师中任取1 名作为一组，有 C种分法；62第 2 步，在余下的5 名教师中任取2 名作为一组，有 q种分法；31 2 3第 3 步，余下的3名教师作为一组，有。种分法.根据分步乘法计数原理，共有q c q =3 6 5 336 0 种分法.再将这3 组教师分配到3 所中学，有 q =6种分法，故共有6 0 X 6 =3 6 0 种不同的分法.答案：3 6 0

30、，规律方法分组分配问题的三种类型及求解策略n(1)整体均分：分组后不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以力(n 为n均分的组数)，避免重复计数.(2)部分均分：重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m!(3)不等分：先分组，后排列，因为任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数“多 维训练1.3 名大学生利用假期到2 个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1 个村，每个村至少1 人,则不同的分配方案共有()A.4 种 B.5 种 C.6 种 D.8 种2【解析】选 C根据题意，可先将3 名大学生分成2组，一组2 人，一组1 人，共有q =3种

31、2分法，再将这两组分配到2 个山村，有 4 =2种分法，故共有3 X 2=6 种分法.2.某大学的6 名大二学生打算参加学校组织的“临界动漫协会”“大学生心理卫生协会”“大学生跆拳道协会”“蓝天环保社团”“马头琴诗歌协会”5 个社团，若每名学生必须参加且只能参加1 个社团，并且每个社团至多2人参加，则这6人中至多有1 人参加“大学生跆拳道协会”的不同参加方法种数为()A.1 4 4 0B.3 6 0 0C.5 0 4 0D.6 8 4 0【解析】选 C可分两类：第一类，若只有1 名学生参加“大学生跆拳道协会”，则从这6名学生中选1 名学生参加该社团，其余5名学生去参加剩下4个社团，人数安排有两

32、种情况，即 1,1,1,2 和 1,2,2,故只有1 名学生参加大学生跆拳道协会”的不同参加方法种数为 /A +二1/J=3 6 0 0；第二类，若无人参加“大学生跆拳道协会”，则这6名学生参加剩下4个社团，人数安排有两种情况，即 1,1,2,2 和 2,2,2,故无人参加c e d 4 e.e d 3“大学生跆拳道协会”的不同参加方法种数为/4 +/：；4 =1 4 4 0.故满足条件的方法种数为3 6 0 0+1 4 4 0 =5 0 4 0.3.将 6 本不同的书分给甲、乙、丙、丁 4个人，每人至少1本的不同分法共有 种.（用数字作答）【解析】把 6 本不同的书分成4 组，每组至少1本的分法有2 种.d C d d有1组 3 本，其余3 组每组1本，不同的分法共有”力 =2 0（种）；有2 组每组2 本，其余2 组每组1本，不同的分法共有 六 -=4 5（种）.力 2 力 2所以不同的分组方法共有2 0+4 5 =6 5（种）.4然后把分好的4 组书分给4 个人，所以不同的分法共有6 5 X 14=1 5 6 0（种）.答案：1 5 6 0