五年(2018-2022)全国高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题5导数解答题(含详解).pdf

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1、2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编专题5导数解答题一、解答题1 .(2 02 2 高考北京卷第2 0题)已知函数/(x)=e 1 n(l+x).(1)求曲线y =f(x)在点(0,/(0)处的切线方程；(2)设g(x)=/(x),讨论函数g(x)在 0,+8)上的单调性；(3)证明：对任意 s,f e(0,+oo),有/(s +f)/(S)+/Q).2 .(2 02 2 年浙江省高考数学试题第2 2 题)设函数/(无)=+I nX(X 0).2 x(1)求 的 单 调 区 间；(2)已知,曲线y =.f(x)上不同的三点(%,/(玉),(工2，/(尤 2)，(3，/(X3)处

2、的切线都经过点(a,b).证明：(i)若 ae,则0 6 /(a)1)；2 e a 1 1 2 e-a(i i)若 0 a e,X /，WJ +2 +：0 时，/(x)ln(+l).V 1 +1 V 22+2 娟+5.(2 02 2 新高考全国【卷 第 2 2 题)己知函数/(x)=e、-a x和 g(x)=a r-lnx有相同的最小值.求 o；(2)证明：存在直线y=。，其与两条曲线y=.f(x)和 y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.6.(2021年高考浙江卷第 22题)设a,b 为实数，且函数/(x)=/-6x+e2(xe R)求函数的单调区间；(2

3、)若对任意匕 2/，函 数 有 两 个 不同的零点，求。的取值范围；当 a=e 时，证明：对任意“/，函 数 有 两 个 不 同 的 零 点 七,电，满足处土玉+豆.1e b(注：e=2.71828是自然对数的底数)7.(2021年新高考全国0 卷 第 22题)已知函数7(x)=(x-l)e*-ar2+b(1)讨论/(x)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：A x)有一个零点|/a 2 a；2 2 0 a ,b2 a.28.(2021年新高考I 卷 第 22题)已知函数”x)=x(l-lnx).讨 论 了(X)的单调性；设。，匕为两个不相等的正数，且引na-alnA=a-6,证明：2

4、 -+y 0,函数/(x)=ar-xe.求曲线y=/(X)在点(0,/(0)处的切线方程：(|)证明/(幻存在唯一的极值点(III)若存在a,使得/(x)4。+人 对任意x e R 成立，求实数b的取值范围.11.(2021年高考全国甲卷文科第2 0题)设函数/(j Ou/Y+s i nx+l,其中a 0.(1)讨论/(x)的单调性；(2)若 y =.f(x)的图像与x 轴没有公共点，求。的取值范围.1 2.(2 02 0年高考课标I I 卷 文 科 第 2 1 题)已知函数/(x)=2 lnx+l.(1)若/(x)C x+c,求 c的取值范围；(2)设。0时，讨论函数g(x)=/()一)单调

5、性.x-a1 3.(2 02 0年高考课标i n卷文科第 2 0题)已知函数f(x)=x3-kx+k2.(1)讨论/(x)的单调性；(2)若/(X)有三个零点，求 左 取值范围.1 4.(2 02 0年新高考全国I 卷(山东)第2 1 题)已知函数/(x)=a e T-lnx+lna.(1)当a =e 时，求曲线y=/(x)在点(1,八1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若”x)2 1,求。取值范围.1 5.(2 02 0年新高考全国卷H数学(海南)第 2 2 题)已知函数/(x)=a e T-lnx+lna.(1)当a =e 时，求曲线y=/(x)在点(1,7(1)处 切线与两坐

6、标轴围成的三角形的面积；若 f(x)2 1,求 a的取值范围.1 6.(2 02 0天津高考第2 0题)已知函数x)=x3+k nx(k wR),/(x)为的导函数.当 左=6 时,求曲线y =f(x)在点(1 J(D)处的切线方程;(i i)求函数g(x)=/(x)-/(%)+的单调区间和极值；x(H)当h.-3时，求证：对任意的不，当 1,田)，且不 ，有，：，(*)(占)一，伍).2x-x21 7.(2 02 0北京高考 第 1 9 题)已知函数/。)=1 2-炉.(I )求曲线y =/(x)的斜率等于-2 的切线方程；(I I)设曲线y=/(x)在点Q J Q)处的切线与坐标轴围成的三

7、角形的面积为S Q),求 S 的最小值.1 8.(2 01 9 年高考浙江文理第2 2 题)已知实数a w O,设函数/(x)=a lnx+/T,x 0.(I，当 叫-4时，求 函 数 的 单 调 区 间；(1 1)对任意 匕,+00)均有/(%)%,证 明 3%一x 2.2 0.(2 019 年高考全国HI 文 第 19 题)已知/(x)=2 d -底+2 .(1)讨论/a)的单调性；当 0 0,判断是否存在。0,使函数/*)与 g(x)在区x间(0,+00)内 存 在 点“，并说明理由.2 6.(2 018 年高考数学浙江卷第2 2 题)(本题满分15 分)已知函数/(x)=-l n x.

8、若 在 x =jq,%(x 产 W)处导数相等，证明：/(内)+/(电)8-8 1n2；(2)若a 3 4 1 n 2,证明：对于任意A0,直线y=6 +a 与曲线y=/(x)有唯一公共点.2 7.(2 018 年高考数学天津(文)第2 0题)(本小题满分14 分)设函数f(x)=(x-tx)(x-12)(x-13),其中用,4 e R,且 是 公 差 为 d的等差数列.若 0 4 =1,求曲线y=/(x)在点(0,/(0)处的切线方程;(2)若d =3,求/(x)的极值；(3)若曲线y=/(x)与直线 =一。一12)-6后有三个互异的公共点，求。的取值范围.2 8.(2 018 年高考数学课

9、标m卷(文)第 2 1题)(12 分)已知函数.(1)求由线y=x)在点(0,-1)处的切线方程；(2)证明：当时，“x)+e 0.2 9.(2 018 年高考数学课标H 卷(文)第 2 1题)(12 分)已知函数 x)=$3-a，+x+l).(1)若口=3,求 f(x)的单调区间；(2)证明：只有一个零点.30.(2 018 年高考数学课标卷I (文)第 2 1题)(12 分)已知函数/(x)=ae，-l nx-l.(1)设 x =2是/(x)的极值点，求a,并求/(x)的单调区间：(2)证明：当 工 时，/(x)0.e31.(2 018 年高考数学北京(文)第19 题)设函数/(x)=a?

10、(3a+l)x +3a+2 e(1)若曲线=/(划 在 点(2,7(2)处的切线斜率为0,求(I I)若于(X)在 x =1处取得极小值，求a的取值范围.2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编专题5导数解答题一、解答题1.(2 02 2 高考北京卷第 2 0题)已知函数/(x)=ev l n(l +x).(1)求曲线y=f(x)在点(0,/(0)处的切线方程；(2)设g(x)=/(x),讨论函数g(x)在 0,+8)上的单调性；证明:对任意 S,f G(0,+8),有/(s +f)/(S)+/(/).【答案】解析:因为/(x)=el n(l +x),所以/()=(),即切点坐标为

11、(0,0),又/(x)=e(l n(l +x)+J),.切线斜率=/(0)=1切线方程为：1 2 1 因 为 g(x)=r(x)=e(l n(l +x)+),所以g(x)=e(l n(l+%)+；-J,1+x 1+x (1+x)令 h(x)=l n(l +x)+,则 l(x)=-J+二=A +1 0,1+x (1+尤 1 +龙(1+x)2(1+无 门 (1+x)3力。)在 0,+oo)上单调递增，,h(x)(0)=1 0 g(x)0在 0,+oo)上恒成立,A g(x)0,+8)上单调递增.(3)原不等式等价于/(5+0-/(s)/一/(0),令砥元)=/(%+，)/(x),(x,t 0),即

12、证加(x)加(。)，,:mx)=+=ex+t l n(l +x+Z)ex l n(l +x),ex+/evmf(x)=eA+/I n(l +x +Z)H-ex l n(l +x)-=g(x +Z)-g(x),1+x+r 1+x由 知 g(x)=f(x)=ex(l n(l +x)+在 0,+o o)上单调递增，,g(x+t)g(x),m(x)0.巩X)在(O,+8)上单调递增，又因为x/0,m(x)m(0),所以命题得证.【题目栏目】导数 导数的应用 导数与函数的单调性 导数与函数单调性的联系【题目来源】20 22高考北京卷第20 题2.(20 22年浙江省高考数学试题第22题)设函数/(x)=

13、+l n x(尤 0).lx(1)求/(X)的单调区间；(2)已知a,b e R,曲线y =/(x)上不同的三点(石,/(石),(，/(工2)，(七，/(43)处的切线都经过点g.证明：3)若&6,则0b /(a)1)：2 e-a 1 1 2 e-a(ii)若 0 v a e,$/v 巧，贝 U 一 +/2 一+-e 6e x x3 a 6e”(注：e =2.7 18 28.是自然对数的底数)【答案】解析:(1)/(耳=一 昌+=与”，当0 x,用 工)0,故“X)的减区间为(0,9，/(力 的增区间为.(2)(i )因为过(。涉)有三条不同的切线，设切点为=1,2,3,故/(七)方=/a)(

14、七一。)，故方程/(x)-8=/(x)(x-a)有 3 个不同的根，则/3=9娱+1*康 卜 一 )一 卜 媪=T()(),当0 x a时，g,x)0 ；当e x 0,故g(x)在(0,e),(a,+8)上为减函数，在(e,a)上为增函数，因为g(x)有3个不同的零点,故g(e)0,故(-l n e +&0,(e 2e2)2e a 2 a2 7 2 a整理得到：人 +l n Q =/(Q),此时-1 I 4-l-|+l n +=-l n 6f,v 7 2 e J 2 e 2 a)2 e 2 2 2 a设(a)=一-l n a ,贝=2 2 a 2 a3 e故”(a)为(e,4w)上的戒函数，故

15、-I n e =0,故 b -/(ii)当0a e时，同(i)中讨论可得：故g(x)在(0,a),(e,+o。)上为减函数，在(a,e)上为增函数，不妨设X|刍，则。玉 a /e 毛，因为g(x)有3个不同的零点,故g(a)0,整理得至i j ：+1 +l n ,2e 2e因为玉 乙%3 ,故0 v玉。%e 1G 西 aa ie要 证：2 e-a 1 1 2 e-ai-i -e 6e 3 x2 a 6e”口 八 十 八 e一。2e e(即证2 H-4+人072即证:(攵+l)ln攵(m-13)(m2-/n+12)k 1-T20记夕的=铝詈,A 1,则i i 2 2 2设(&)=左-21rlz

16、9 则/(A)=1HJ-=0即 w(Z)0,k k k k k故e(A)在(1,+00)上为增函数,故夕仕)夕(加),所以(左+l)lnA:(m-13)(zn2-zn+12)(m+l)ln机(m-13)(/n2-m+12)k-i-72-m l-T2-记(m)=nm+-m +12)72(/72+1),0 /?0,72m(m+l)7 2 2(Z+1)-所以&(根)在(0,1)为增函数，故0(机)口(1)=0,故 0 加+()()(+1 2)整埋得 a=x,-2 x,-2 x,x,2x x,-4,_2x；=-x；+a-1 2 2)1 4 1 2 4n 3 i i令(x)=%4 2 d x2+f 贝

17、ij(x)=9V 一 6d 一 3x=3%(3x+1)*一 1),令解得一一 x l,令 (x)0,解得x g或o x 0时，/(x)ln(=+l).V1+1 V22+2 Vn+n【答案】(1)的减区间为(F,0),增区间为(0,+8).(3)见解析2解析：当a=l时,/(x)=(x-l)e，则/(x)=xe、，当尤()时，f x)0H寸，f x)0,故/(x)的减区间为(8,0),增区间为(0,+8).设(力=胧侬一炉+1,则%(0)=0,又”(%)=(1+办/e”,设 g(x)=(l+办)e-e,则 g,(x)=(2a+a2x)ea t-ex,若a ；,则g(O)=2a1 0,因为g(x)

18、为连续不间断函数，故存在与 e(0,+8),使得Vxe(O,x(J,总有g g x)0,故g(x)在(O,x(J为增函数，故g(x)g(O)=O,故(x)在(0,为)为增函数，故(x)(O)=T ,与题设矛盾.若 0 4 4 g ,则/(x)=(1+办)e e、=ef tv+l n(l+ttv)-ev,下证：对任意x0,总有l n(l +x)x成立，1 _ y证明：设S(x)=l n(l+x)x,故S (x)=j -1 =0,故S(x)在(0,+o o)上为减函数,故S(x)S =0即l n(l +x)x成立.由 上 述 不 等 式 有(狗 e*e*+Q e =e 2at-eA 0-故/Z(x

19、)W 0总成立，即(x)在(0,M)上为减函数，所以(x)/?()=-1.当。4 0时，有 (x)=e e +a x 1-1+0 =0,所以(x)在(0,用)上为减函数，所以为()0,总有丫二，k+i vn成立，2A C c 十 I 1,产=e,x=2 1n，,L -C故2 f l n t产一1即2 1n r 1恒成立.t所以对任意的 c N*，有2 1nH4-1nn、鹿 +1整理得到：l n(+l)l n In 2 -In 1 +In 3-In 2 +l n(H +l)-l n n22+2n2+/?=l n(n +l),故不等式成立.【题目栏目】导数 导数的综合应用【题目来源】2 0 2 2

20、新高考全国II卷 第2 2题5.(2 0 2 2新高考全国I卷 第2 2题)已知函数f(x)=产-和g(x)=ar-l n x有相同的最小值.求a；(2)证明：存 在 直 线 其 与 两 条 曲 线y=/(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【答案】。=1（2）见解析解析：(1)J(x)=e x o r的定义域为A,而/(x)=e -a,若。40,则/(x)0,此 时 无 最 小 值，故a0.g(x)=tzx-l n尤的定义域为(0,+o o),而 g (x)=a-工=经-当x In a时,f (x)l n a时，fx)0,故/(x)在(In a,+

21、0。)上为增函数，故/(x)m i n =f(In a)=a-ana.当0 x，时，g (x)时，g(x)0,故g(x)在|一,+8上为增函数，a a；故 g(X)m i n|=a J a因为fx)=e*-ar和g(x)=ax T n x有相同的最小值，1 Q 1故l-l n=a-a l n a,整理得到-=l n tz,其中。0,a +a,、1 I /2 1 a2-1设 g(a)=-n a,a 0,则 g ()=-2 =7：-4 ，1 +a(1+Q)a a(l +a)故g(a)为(，+e)上的减函数，而g(l)=。，故g(a)=。的唯一解为a=l，故 上9=l n a的解为a=l.综上，a

22、.由 可 得/(x)=e、-x和g(x)=x-l n x的最小值为1 l n l =l -l n；=l.当匕1时，考虑e*x=b的解的个数、x-l n x=Z?的解的个数.设 S(x)=eA-x-b,Sr(x)=e，一 1,当x 0时，S(x)0时，S(x)0,故S(x)在(一,0)上为减函数，在(0,+8)上为增函数，所以5(4血=5()=1-。0,S 0)=e 28,设3)=e-，其中匕 1,则M(Z?)=e-2 0,故 在(1,+8)上为增函数，故”(0)“(l)=e-2 0 ,故S(h)0,故S(x)=e*-x力 有两个不同的零点，即e*x=Z?的解的个数为2.设T(x)=x-ln x

23、-8,=当0 x l时，F(x)l时，r(x)o,故T(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+8)上为增函数，所以 T(XL=WI)=I8 0,T(e/)=ef t-2Z?0,T(x)=x-ln x-匕 有两个不同的零点即x-lnx =b的解的个数为2.当b=l,由(1)讨论可得x-lnx=Z?、e-x=b仅有一个零点，当61.设(x)=e*+lnx-2x,其中x (),故(x)=e*+,一2,X设s(x)=e*-x-l,x0,则s(x)=e*-l 0,故s(x)在(0,+8)上为增函数，故s(x)s(O)=O即e*x+l,所以/i(x)x+J-122 l 0,所以/(x)在(0,+8)上为增

24、函数，而饵l)=e-20,/2(X)=e?_ 3 _ A e_3-A o，故(X)在(0,+8)上有且只有一个零点%,!/1且：当。x%时,0即e -x x-l n x 即/(x)/时，/z(x)(e*x x l n j /(x)g(x),因此若存在直线y=与曲线y=/(x)、y=g(x)有三个不同的交点，故=/(Xo)=g(y)L此时e*-x=b 有两个不同的零点玉,玉)(王 。玉)，此时x l n x =b 有两个不同的零点玉),X 4(/1 1,x0=x4-b故 ，即玉+茏,=2玉).x x n-b【题目栏目】导数 导数的应用导数与函数的单调性 含参函数的单调性问题【题目来源】2022新

25、高考全国I 卷 第 22题6.(2021年高考浙江卷第 22题)设 a,b为实数，且a l,函数/(x)=/-f e v +e 2(x e R)求函数 x)的单调区间；若对任意6 2 e 2,函 数 有 两 个 不 同 的 零 点，求 a的取值范围；当 a =e 时，证明：对任意“1，函数”X)有两个不同的零点玉也，满足x,与中王+.2 e b(注：e =2.7 18 28 是自然对数的底数)【答案】后 0 时，/(X)在 R上单调递增；b 0 时，函数的单调减区间为1-8,l og“白)，单调增区间为(l og”二,+8 ;I I n a )(西(3)证明见解析.解析：f(x)=a bx+e

26、2,f (x)=ax n a-b ,若6 4 0,则/(x)=a l n 4-0 Z 0,所以八幻在A 上单调递增;若匕 0,当x e 1-00,log.白)时，/(x)0 J(x)单调递增.综上可得，0 4 0 时，/(幻在R 上单调递增；6 0 时，函数的单调减区间为(r,lo g 告)，单调增区间为(log“白，+00)./W有 2 个不同零点0 ax 法+2=0 有 2 个不同解o/m”-bx +e?=0 有 2 个不同的解,令 f=x l n a,则d-也+e2=0=-=，/0 ,In a In a t记 g)yg”)=任工t t t E/2Q)=eQ-l)-e2,(r)=e(r-l

27、)+eJl=e l 0,又力(2)=0,所以 f e(0,2)时，)时，0,则g 在(0,2)单调递减，(2,内)单调递增，.3 g(2)=e2,.l n a 2ey:.2,:.lnaa e4,X x2x 2注意到函数=幺 工 在 区 间(0,2)上单调递减，在区间(2,包)上单调递增,X,c y-j e5+e 4 k u e +e?2e2 2e-故内 2 M,又由-5,b=-百 z-Xj+一,只需X2ln/7+,2e b b 竺 且 关 于6的函数g(3 =l n S在 上 单 调 递 增,x?x?b2。“x所以只需证马 也 丁 +病(%5),2只需证I n e J n之 一 署0,p Y只

28、需证Inx-ln 2 0，2exJ4x1 .一5 时为正，2/由于 h(x)=-+4xe-x-4e-=:+4 (%-1)0,故函数/?(x)单调递增,20 5 20又(5)=ln5-y-ln 2 =ln-一-合0e 2/4x故 h(x)=In x 一 In 2 在 1 5 时为正,从而题中的不等式得证.【题目栏目】导数导数的综合应用【题目来源】2021年高考浙江卷第22题7.(2021年新高考全国7卷 第22题)已知函数/(x)=(x-l)ex-a x2+b.讨 论 了(外的单调性；从下面两个条件中选一个，证明：/(幻有一个零点 a2a；2 2 0 a,b 2a.2【答案】已知函数/(x)=(

29、x-1)/-加+人 讨 论”%)的单调性;从下面两个条件中选一个，证明：/*)有一个零点1e2 a 2a；2 2 Qa,b 2a.2【题目栏目】导数 导数的综合应用【题目来源】2021年新高考全国II卷 第22题8.(2021年新高考I卷 第22题)已知函数“x)=x(l-ln x).讨 论 x)的单调性;设。，。为两个不相等的正数，且6 1n q -a l n b =a-Z?,证明：2 c+:0,当 x e(l,+oo)时，f(x)0,故 x)的递增区间为(0/)，递减区间为(1，+8).因为从 n a-a l n 6 =a-b,故(l n a +l)=a(l n l),即 皿 里=1!1丝

30、1,故/闺=a b a)b)设2=%=灰，由可知不妨设0c x i 1.a b因为x e(0,l)时，/(x)=x(l-l n x)0,x e(e,+oo)时，/(x)=x(l-l n x)0,故1 2 ,若 2 2,%+占 2必成立.若 x?2,即 证%2-x 2,而 0 2-赴“2-刍)，其中设g(x)=,f(x)-2-x),l x 2,贝ij g x)=_ f(x)+f2-x)=-l n x-l n(2-x)=-l n x(2-x),因为 1 c x 2,故 0 cx(2-x)0,所以g(x)0,故g(x)在(1,2)为增函数,所以g(x)g=0,故 x)f(2-x),即/(%)2-吃)

31、成立，所以西+马 2成立，综上，入+马 2成立.设/=为，则，1,结 合 蛔1=华1,J.=x”：=w可得：A1(l-l n xl)=A2(l-l n x2),a b a b即：1 一l n X|,故in%=t 要证：x,+x2 e,即证(f +l)X 1 e,即证l n(f +l)+l n X 1 1,即证：l n(r +l)+l nri,即证：(/-|)i n(/+l)-r l n r l,则s )=l n(f +l)+号-l _ l n r =ln()-,先证明一个不等式：l n(x+l)4 x.设(x)=l n(x +l)-x ,贝！|/(x)=1=,x+l X+1当-l x 0；当x

32、 0 时，(x)l 时，故 S 。恒成立，故 S 在(I,一)上为减函数，故 S(/)S(l)=0,故(/一 l)l n(z +0成立，即 x,+x2 v c 成立.综上所述，2 -+0,。o,x)单调递增;当X J2一尸京 小乒时,r(x)o,/(x)单调递增;综上可得：当时，/（X）在 R上单调递增，当时，/（x）在R，。,二年生 上单调递增，在 Zig巫,R叵 上单调递减，3I 6）I 6 6 ）（2 +J 4-12 1在-,+8上单调递增.I 6 J（2）由题意可得:/（为）=*一片+咻+1,f,（x0）=3 j-2 x0+a,则切线方程为：一（只 一片+做+1）=（3*2荀+。）（工

33、一小）,切线过坐标原点，则：0-（片-x；+o o +l）=（3 x：-2 x o +a）（0-X o）,整理可得：2片一看一1 =0,即：（/-1乂2片+/+1）=0,解得：%=1，则/（%）=/（l）=l-l +a +l =a +l,即曲线y =/（x）过坐标原点的切线与曲线y =/（x）的公共点的坐标为（1M +1）.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（D考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.

34、（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题.（4）考查数形结合思想的应用.【题目栏目】导数 导数的综合应用【题目来源】2 02 1年全国高考乙卷文科第 2 1题1 0.（2 02 1高考天津第2 0题）已知。0,函数/（x）=o r-x e .求曲线y =/（X）在点（0,/（0）处的切线方程：（I I）证明/（X）存在唯一的极值点（川）若存在a,使得/（x）4 a +6 对任意xeR 成立，求实数b的取值范围.【答案】y=（a-l）x,（a0）；（H）证明见解析；（m）H，+w）解 析:（l）f,（x）=a-（x+

35、l）ex,则 八0）=a-l,又/(0)=0,则切线方程为 y=(a -l)x,(a 0)；(I I)令 r(x)=q-(x+l)e”=0 ,则 o =(x +l)e,令 g(x)=。+V)ex,则 g (x)=(x +2)ex,当x e(Y o,2)时，g (x)0,g(x)单调递增,当 X f-o o 时，g(x)0,画出 g(x)大致图像如下：令 g(7)=a,则机 T,f(m)a-g(m)=0,y=。与 =g (%)仅有一个交点，当xG(-o o,租)时，a g(x),则/z(x)0,/(x)单调递增，当xe(加,+8)时，a g(x),则 f(x)-1,所以/(X)0n Hx =/(

36、根)_。=(m 2 一根_ 1,(相 _ 1),令 (x)=(炉-x-l)er,(x-l),若存在a,使得/(x)-i,当xe(-1,1)时，h(x)0,7z(x)单调递增，所以/?(x)m i n=D=-e,故bN e,所以实数b的取值范围 e,T 8).【题目栏目】导数,导数的应用 导数与函数的极值 具体函数的极值问题【题目来源】2 02 1高考天津第2 0题11.(2 02 1年高考全国甲卷文科第2 0题)设函数/*)=。2/+6一3 1n x+1,其中a 0.讨 论/(x)的单调性；(2)若 y=.f(x)的图像与x轴没有公共点，求。的取值范围.【答案】(1)/(%)的减区间为(0,：

37、)，增区间为,+；(2)1.解析：(1)函数 定义域为(0,+),又 小)=(2 +3)-1),X因为a 0,x 0,故2 a l+3 0,当0 时，/(X)：时，/(X)0；所以/(力 的减区间为(o,J ,增 区 间 为+8(2)因为/(1)=。2+。+1 0 且 y=/(x)的图与X轴没有公共点，所以=/(%)的图象在轴的上方，由(1)中函数的单调性可得/(x)m i n =/5)=3-3 1n：=3 +3 1n a ,故 3+3 1 n a 0 即e【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化

38、.【题目栏目】导数、导数的综合应用【题目来源】2 02 1年高考全国甲卷文科第2 0题12.(2 02 0年高考课标I I 卷 文 科 第 2 1题)已知函数/(x)=2 ln x+l.(1)若/(x)4 2 x+c,求 c 的取值范围；(2)设。0时，讨论函数g(x)=)一 3)单调性.x-a【答案】(l)cN-l；(2)g(X)在区间(0,。)和(a,M)上单调递减，没有递增区间【解析】(1)函数/(X)的定义域为：(。,+8)f(x)2 x +c=/(x)-2 x-c 0 =2 1n x +l-2 x-c 0),则有 (x)=2 2 =2(1),X X当x l时，(x)0,/i(x)单调

39、递减，当0 c x 0,(x)单调递增，所以当X =1时，函数力(X)有最大值，即 (x)m a x =2 1n l+l-2 x l-c=-l-c,要想不等式(*)在(0,+8)上恒成立，只需(X)m a x -l-CC-l;(.2).g(,x).=-2-1-n-x-+-l-(-2-1-n-l-)-=-2(-l-n-x-l-n-a)-(.x 0_ 且a x r a)因m此x-a x-a,2 x-a-xn x+xna)g(x)=-；-,设m(x)=2(x-a xnx+xna),x(x-a)则有加(尤)=2(ln a-ln x),当xa时，ln x ln a,所以加(x)0,：(x)单调递减，因此

40、有机(x)m(a)=0,即g (x)0,所以g(x)单调递减；当0 c x0,m(x)单调递增，因此有w(x)md)=0,即g (x)0 时，令 f(x)=0,得 x =J g,令 f(x)0曜)0当0 女撩时，血 ,且/(血)=女 2 0,所以/(X)在(J g,4)上有唯一一个零点,同理f(-k-l)=-k3-(k+l)2 0.x设 g(x)=f x)，则 g，(x)=aeT+4 0,X g(x)在(0,+8)上单调递增,即ffM在(0,+8)上单调递增，当。=1 时,r(i)=o,.-./(x)n.n=/(i)=i(.：f(x)i成立.1111-1当时，一 0,使得r(Xo)=ae,-1

41、 _ =0,且当 x e(0,斤)时/(x)0,ae=一,二 In。+玉)-1 =-In x(),因此/(x)min=/(尤0)=a e -In X。+In a=F In a+XQ-l+lnQ221ncz-1 +2/,2 In a+1 1,尤0V o.：/(x)l,恒成立；当0 a 1 时，/(I)=a+n a a ,：./(I)1 不是恒成立.综上所述，实数a的取值范围是口,+8).解法二：/(尤)=aeT-lnx+/na=-/nx+/做 2 1 等价于e+*T+1r1a+x-l Inx+x=e11+lnx,令 g(x)=ex+x,上述不等式等价于 g(lna+x-)g (Jnx),显然g(

42、x)为单调增函数，.又等价于/叩+%-12版，ln a ln x-x+,令/z(x)=/u-x+1，则 (x)=，1 =匕2在(0,1)上 h(x)O,h 单调递增；在(1,+8)上X J Ch，(x)0,即a 2 1,二。的取值范围是1,+8).【题目栏目】【题目来源】2020年新高考全国I卷(山东)第21题15.(2020年新高考全国卷H数学(海南)第22题)已知函数/(x)=a e i-I n x+In a.(1)当a=e时，求曲线y=/(x)在点(1,/(l)处 切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若”x)2 1,求。的取值范围.2【答案】一(2)1,+8)e-1解析：Q/(x)=

43、e*-lnx+1,=xQ/(l)=e+l,.切点坐标为(1,1+e),函数f(x)在点(1J 处 的切线方程为y e l=(e l)(x 1),即y=(e-l)x+2,.切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2),(三,0),e-11 -?2所求三角形面积为一 x 2x|1=；2 e-1 e-1(2)解法一：Q f(x)-a exx-In x +ln,ff(x)=aex-,且 a 0.x设 g(x)=r(X),则 g(x)=aeK+4 0,x-g(x)在(0,+8)上单调递增,即T(x)在(0,+a)上单调递增，当。=1 时，/=0,；.力“而=/(l)=l,.：/(x l成立.1 1 ,1 1-1

44、当。1 时，一 1 ,f(-)/(1)=a(ea-l)(a-l)0,使 得/(x()=a e i-4-=0,且当 x e(O,x()时/(x)0,/.aex(A=,/.lntz+x0-l =-ln x0,因此/(1 卷加=/(x 0)=ae/T-ln%o+ln%=+In6r+xo-l +ln(721n6r 1+2-x0=2 In Q+1 1,%V o (x)L ：/(%)恒成立;当 0 a Inx+x=ehlx+Inx,令 g(x)=e*+x,上述不等式等价于g(/加z+尤-1)之g(/nx),显然g(x)为单调增函数，又 等 价 于 法+%-1之 袱，ln a ln x-x+l,令。(1)=

45、袱 一 1+1,则()=1=-X X在(0,1)上 h(x)O,h 单调递增；在(1,+8)上 h(x)Ina 0,即a 2 1,，a 的取值范围是1,+8).【题目栏目】【题目来源】2020年新高考全国卷I【数学(海南)第22题16.(2020天津高考第20题)己知函数f(x)=x3+nx(keR),/(x)为/(x)的导函数.当 =6 时，求曲线y=/(x)在点()处的切线方程；a(ii)求函数g(x)=/(X)-(x)+的单调区间和极值；X(I I)当 h.-3 时，求证：对任意的和 X jd l,”)，且 可 2,有，J：，(*)/(.)【答案】【答案】(I)y=9 x-8；(ii)g

46、(x)的极小值为g=1,无极大值；(II)证明见解析.【解析】(I)当人=6 时，/(x)=x3+6 1n x,/(A-)=3X2+1.可得/(1)=1,广(1)=9,所以曲线y =在点(1J )处的切线方程为y l =9(x-l),即y =9 x-8.(i i)依题意，,3g(x)=d-3x2+6 1n x +,x (0,+o o).从而可得g (x)=3x 2-6 x +9-W，整理可得：g(x)=3(x二l)：(xl)X X X令g (x)=o,解得x =l.当X变化时，g (x),g(x)的变化情况如下表:X(0,1)x=。,+8)g(x)0+g(x)单调递减极小值单调递增所以，函数g

47、(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为。,田)；g(x)的极小值为g =1,无极大值.(H)证 明:由/(xX V+Aln x,得/3 =3 f+工X对任意的X，X2 e l,-K),且历芍，令土=f。1),则(石一七)(/(%)+/()-2(/(XI)-/(X2)=(XI-X2)3xf+3xl+-2|+l n X2)I-X2)=X：只 一3Xj2x2+k -j-2 f c l n=%2 (?-3r2+k(t-2 n t1 时，/(x)=i+1 2=/i 工 o,X X x)由此可得(x)在1,”)单调递增，所以当，1时，/7(/)/(!),即f-；-2 1nf 0.因为 2 2 1

48、,3广 +3f 1 =(/I)?0,k 3,所以%2 3 f2+3，-+-2 1n，J (尸 3,+3,-1)3(，-2 In/J=t3-3/2+6 1nr +-l .t由(I)(i i)可知，当 时，g(，)g ，即尸一3 +6 hv +；l,故户_ 3+6 12 +10 t由可得(玉-.乂/(百)+/(切)一 2(/()一/(/)0.所以，当4 2-3 时，任意的所,与e l,+，有/(国)+/伍)；/)-/伍)2 xi-x2【题目栏目】导数导数的综合应用【题目来源】2 02 0天津高考第 2 0题17.(2 02 0北京高考 第 19 题)已知函数 x)=12-d.(I )求曲线y=/(

49、x)的斜率等于-2 的切线方程；(II)设曲线y=f M在点(?,/)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为s(t),求 s 的最小值.【答案】(I)2 x +y-13=0,(J|)32.【解析】因 为 f(x)=12-x 2,所以=设切点为(为 2-/)，则-2 x 0=-2,即%=1,所以切点为由点斜式可得切线方程：j-H =-2(x-l),即2 x+y-13=0.(II)显然-0,因为y=x)在点。2-)处的切线方程为：y-(12-*)=_ 2 r(x T),令 x =0,得 y=f?+1 2,令 y=0,得=小 卫，所以S(f)=：x(产+12)与 斗，2 t 2 2 1 1不妨设f 0

50、 Q 0,得 r 2,由S(r)0,得0r 0.3 当a,时,求函数小)的单调区间;(II)对任意x e 5,内)均 有f (x)4立，求。的取值范围.e 2a注：e=2.71828为自然对数的底数.【答案】【意图】本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力。满 分15分。【解析】当 泊弧+际-。小)=-视 +4-(后一2)(2后+1)4x 2vl+x所以，函数/(尤)的单调递减区间为(0,3),单调递增区间4xjl+x为(3,+00)(I I)由 f(x),q,得0 4,4当0/1+x-2lnx记 p(x)=4 4-2夜Jl+x-/n r,X.则 P)=