人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第六章第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用.pdf

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1、第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用选题明细表灵活方医方致偎影知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练平面向量数量积的基本运算1,7平面向量数量积的应用2,3,5平面向量的综合运用4,8,9,11综合问题6,1012,13,14,15,1617,18A级基础巩固练1.(2021 湖北武汉高三调研)在等腰直角三角形ABC中，Z A C B=p A C=B C=2,点 P 是斜边 A B 上一点,且 B P=2P A,那么C P CA+CP C B等于(D)A.-4 B.-2 C.2 D.4 .解析：法一 由已知得|。1|=匕创=2,乙4 C B=0,/P、(C B-C/),所TTT T 以

2、C P -CA+CP C B=(G 4+4P)-CA+(CA+AP)-CB=CA 2+AP CA+CA CB+AP-CB=CA2+CB-CA)(CB+CA)=CA2+CB2|CA|2=22+|X2-|X2 M.故选 D.法二 由已知,建立如图所示的平面直角坐标系，则C(0,0),A 0),B(0,2),设 P(x,y),因为 B P=2P A,所以丽=2易，所以(x,y-2)=(42(2 x,y),所以 所以C P -G 4+C P *C B=(。(2,0)+y =3 3V 3(p|)(0,2)=4.故选 D.2.已知平面向量a=(l,-3),b=(4,-2),若入a-b与b垂直,则实数人等于

3、(D)A.-l B.1 C.-2 D.2解析：由已知得入ab二(入 一 4,一 3入+2),因为入ab与 b 垂直，所以(入 a_b)b=0,即(入 4,_3 入 +2)(4,-2)=0,所以 4 人-16+6 入 -4=0,解得人=2.故选D.3.已知向量a与 b 的夹角为也且|a|=l,|2a-b|=,则|b|等于(C)A.V3 B.V2C.1 D.2解析:1 2a-b 解(2a-b)J41 a 1 2-41 a|b|,cos+b)=421 b|+|b|2=3,解得|b|=l.故选 C.4.(多选题)在日常生活中，我们经常会看到两个人共提一个行李包的情况.假设行李包所受重力为G,作用在行李

4、包上的两个拉力分别为F2,且|F/=|F21,%与 F2的夹角为。.给出以下结论,其中正确的是(AD)A.9越大越费力，9越小越省力B.9的取值范围为0,汨C.当时,D.当0=詈时,|F=|G|解析：对 于A,因为|G|=|F|+F2为定值，所以|G|2=|F J2+H|2+2IF.I|F2|COS O=2|FJ2.(1+COS 0),解得|F/=，由题意知2(l+cos6)。0,n)时,y=c o s。单调递减，所以|F2单调递增，即。越大越费力,。越小越省力,A正确;对于B,由题意知，。的取值范围是0,打)，2故B错误;对于c,当e音时，IF F告，所以|F=?|G|,故c错误;对于D,当

5、0号 时，|F|2=|G|2,所以|FJ=|G|,故D正确.故选AD.5.若ei,e?是夹角为三的两个单位向量,而a=2ei+ez,b=-3ei+2e2,则向量a和b的夹角为(C)A.-B.-6 3C.D.3 3解析：因为|e j=l,电|=1,三,所以 ei e2=1,因为 a=2e+e2,b 3CI+2C2,所以|a|=5 +4x|=V 7,|b|=J13+2 X(-3)X 2 X|=V7,a b=-61ei12+21e212+ei,e2,所以|a|b|cosa,b=-61e1|之+2 1 e2|?+ei,e2,所以b X 夕cos=-6+2+|=-|,所以 cos=-1,因为0,n ,所

6、以向量a与b的夹角为g.故选C.6.已知A D是直角三角形A B C 斜边B C 上的高，点P 在 DA 的延长线上,且满足(P B+P C)*AD=442,若 A D=V2,贝 iJP B P C 的值为(A )A.2 B.3 C.4 D.6解析:设 N DP C=a ,N DP B=6,由PB+PC?n)=4V2,A D=V2,得|加 V2c o s B +PC Vic o s a =4短所以|而|罂+应 I .鬻4,所以|P D|=2,因为A D是直角三角形A B C 斜边B C 上的高,所以|C D|B D|=|A D|2 所以PBP C=|P B|T P C|c o s (a +B

7、)=|P B I PC (c o s a c o s B-s in a s in B)=|P B PC(,=4-1 A D 12=I P C PB PC PB4-2=2.故选A.7.(多选题)(2021湖南长沙高三模拟)设a,b,c 是任意的非零平面向量,且相互不共线，则下列选项中正确的是(B C D)A.(a ,b)c-(c ,a)b=0B.|a|-|b|Ia-b|C.(b c)a-(a c)b 与 c 垂直D.(3a+2b)(3a-2b)=9 1a|2-41b l 2解析：由于b,c 是不共线的向量，因此(ab)c 与(c-a)b 相减的结果应为向量,故A 错误；由于a,b 不共线,故a,

8、b,a-b 构成三角形，因此B正确；由于(b ,c)a-(a c)b ,c=(b c)(a c)-(c ,a)(b ,c)=0,故 C正确;根据向量数量积的运算可以得出D是正确的.故选B C D.8 .已知向量 a=-6),b=m),若|a+b|=|a-b|,则 m=.解析:法一 因为 a=解-6),b=(3,m),所以 a+b=解 m-6),a-b=(-1,-m-6),由|a+b|=|a-b|得 52+(m-6)2=(-1)2+(-m-6)解得 m=l.法二 由|a+b|=|a-b|,两边平方得 a b=0,因为 a=-6),b=(3,m),所以 2 X 3+(-6)X m=0,解得 m=l

9、.答案：19 .已知法与命的夹角为 9 0 ,|=2,AC=1,AM=XAB+ACU,u R),且/M BC=。,则人的值为解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0),B (0,2),C (1,0),所以耘=(0,2)，品=(1,0),品=(1,-2).设 M (x,y),则 薪=(x,y),所以 B C=(x,y)(1,-2)=x-2y=0,所以 x=2y.又Z M=入AB+V.AC,即(x,y)=人(0,2)+u(1,0)=(u,2 人)，所以 x=u,y=2 人,所以 卫 子 总g x 2y 4答案341 0.已知单位向量a与b,满足(a+b)2=1,则a与b 的夹角

10、为;若 向 量 c 满足3 a+(2-3)b=c(3 0,2),则|c|的取值范围是解析:依题意知|a|=|b|=l,由(a+b)2=l 得a2+2a b+b2=l,解得 a b=-|,贝!I cos =a b a|b|2又0,，所以 号;将3 a+(2-3)b=c两边平方，得 c2=3 a?+2 a(2-3)a b+(2-3)b2=3 3 2-6 3+4,因为 a G 0,2,所以|C|二V 3 3 2 6 3+4 1,2.答 案 号 1,21 1.在平面直角坐标系 x O y 中，点 A (-1,-2),B (2,3),C (-2,-1).求以线段A B,A C 为邻边的平行四边形两条对角

11、线的长；设实数t 满足G4B-tO C)-OC=0,求 t 的值.解：(1)由题设知n=(3,5),品1),贝正+前=(2,6),AB-AC=(4,4),所以|通+启=2国,AB-AC=442,故所求的两条对角线的长分别为4V 2,2V 1 0.法一 由题设知益=(-2,-1),AB-WC=(3+2t,5+t).由(AB-WC)OC=Q,得(3+2t,5+t)(-2,-1)=0,从而 5 t=-l l,所以t=-y.法二 AB OC=tOC2,AB=,5),B 级综合运用练T T T _1 2.已知0 是4 A B C 内部一点，且满足。4+。8+。=0,又43 力。=28,N B A C=6

12、 0,则(；的 面 积 为(C )A.B.32C.1 D.2 T T解析：由 AC=2 Z B A C =6 0 ,可得力B AC=AB AC.cos Z B A C=|S B|力 C|=2 百，所以|4B|力 C|=4 B，所以 S ABC=AB ACs i nN B A C=3,又O 4+O B+O C=0,所以 0 为4A B C 的重心，所以SA0BC=SZ4BC=L 故选 C.1 3.在四边形A B C D 中，已知M是 A B 边上的点，且 M A=M B=M C=M D=1,Z C M D=1 20,若点N 在线段C D (端点C,D除外)上运动,则N 4 N B 的取值范围是(

13、B )A.-1,0)B.-*0)C.-1,1)D.1)解析:连接M N(图略).由题意得M 4 NBEMA-MN)(MB-MN)=M N2-MA2=I M N 12-l,i tA M C N M C=1,N M C N=30。，所以卜施=/+N C-2-N C 1 X=N C-V 3N C+1,所以 M N2-1=N C2-V 3N C=(N C-)由2 2 4M C=M D=1,Z C M D=1 20,可得C D=W,又点N 在线段C D (端点C,D除外)上运动，所以0 AC BD=y,若 AB=V2,EF=1,CD=V3,贝lj xy 的最小值为.解析:如图所示,设AB n DC=O,

14、因为而=1+成+而=外+空千，T T T T T-AD+BCDC=DE+EF+FC=EF+,2T 两式相加得后三丝岁.因为AB=V2,EF=1,CD=V3,把两边平方可得,AB2+DC2+2AB D C 2+3+2AB D C1 =-=-,4 4T T 1所以DC=-|.T TT T又4D BC=(。一。4)(OC-OB)=OD-OC-OD OB-OA-。+。力,OB=x,所以。+。力 OB=x+OD OB+OA-0C.T T T 又4c BD=(OC-OA)(OD-OB)=T TT OD OC-OB。一。4 OD+OA-0B=(OD。+。力 OB)-OB OC-OA-OD=y,T -所以OD

15、 OC+OA OB=OB OC+OA OD+y.根据可得 TT Tx+OD OB+OA OC=OB OC+OA OD+y,即 x-y=-OD OB-OA-OC+OB OC+OA OD,即 x-y=OB DC+OA CD=DC(OB-OA)=DC 即 y=|+x,所以 xy=x(1+x)=x2+|x=(x+令 W，所以 x=一；,y=：时，(xy)min=-2.4 4 16答案V15.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b),(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角9;求|a+b|;(3)若几=a,BC=b,求AABC的面积.解：因为(2a-3b)(2a+b)=61,所以 41al2-4a b

16、-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,所以 64-4a,b-27=61,所以 a b=6,所以COS。二a b-6a b 4x312又ow e WJ I,所以。哼(2)|a+b 12=(a+b)2=|a)2+2a,b+jbp=42+2X(-6)+32=13,所以 Ia+b I =YH.(3)因为晶与晶的夹角0号，所以NABC=JI-2n=-I1T3 3 又 I AB|I a I =4,|BC|=|b|3,所以 S/X A B cgx 4 X 3 X =3V 3.1 6 .在平面直角坐标系x O y 中，已知向量m=(y,-y),n=(s i n x,cos x),x (0,).(1)若

17、 m _ Ln，求 tan x 的值；(2)若 m 与 n 的夹角为今求x的值.解：(1)因为 m=(产,-?)，n=(s i n x,cos x),m n,所以 m n=0,即日s i n x-cos x=0,所以 s i n x=cos x,所以 tan x=l.(2)因为|m =|n|=l,所以 m n=cosB P s i n x-cos x=-,2 2 2所以 s i n(x-)=|,因为 0 x 1 7 .在A A B C 中,A B=5,A C=1 0,A B4C=25,点P 是4 A B C 内(包括边界)的一动点，且G q G q 入品1(入 R),则|心|的最大值是(B )

18、A.B.V 372C.V 39 D.V 41解析:法一 在A A B C 中，A B=5,A C=1 0,又品=25,所以5 X 1 0 cos A=25,cos 人=也又 A (0,北)，所以 A=p B C=J 52+1 02-2 x 5 x 1 0 x|=5A/3,因为 A B2+B C2=A C2,所以B=p 以A为坐标原点,A B 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A (0,0),B (5,0),C (5,5 V 3),设点 P 的坐标为(x,y),O W x W 5,0 Wy W 5 g,因为力P 二 三 力 B ：人 力 C,所以(x,y)0)-1 入(5,5

19、 V 3)=(3-2 X ,-27 3 人)，所以|y -_2息所以y=g(x 3),直线B C 的方程为x=5,联 立*二 f，解得此时I 筋 I最大,为J 5 2+(2 8 产=V 37.故选B.法二 同解法一求得A q B g,在边A B 上取点M,使 A M=|A B=3,过 M 作M N A C 交 B C 于点N(图略)，由平行四边形法则，得点P在线段M N 上,故 当 点 P 与 N 重合时，|前|最 大，此 时 B N =28，故|3|二卜+(2A/3)2=V37.故选 B.1 8.已知平面单位向量&,e 2满足|2e e 21 W 应.a=el+e2,b=3e i+e2,向量

20、 a,b的夹角为9,则 c os2 6 的 最 小 值 是.解析:法一 因为平面单位向量eb e?满足|2e e z|W V I所以|2ee21 =5-4e i,e2 2,即 e i,e2-4.因为 a=e i+e2,b=3e i+e2,a,b 的夹角为。,所以 c os2 0 =(2+2”22)(10+6e】？2)5+3ei e2*不妨设 t=e i-e2,贝!J 4 c os2 05+31又 号 在 甘,+8)上单调递增，5+3t 4匚 匚 、2 A 4+3 28所以 c os?o -9=-,5+二 /V4所以c os?。的最小值为法二 由题意，不妨设 e i=(l,0),e 2=(c o

21、s x,sin x).因为 1 2e e?I所以 J(2-c osx)2+sin2x V2,得 5-4c os xW2,即 c os x 2，.4易知 a=(l+c os x,sin x),b=(3+c os x,sin x),所以 a b=(1+c os x)(3+c os x)+sin2x=4+4c os x,I a|2=(l+c os x)2+sinx=2+2c os x,I b 12=(3+c os x)L+sin2x=1 0+6c os x,r r Hl 2 八 (a9 b)2(4+4COSX)2 4+4COSX所以 c os o=a 2 bi2=-r=-.(2+2cosx)(10+6cosx)5+3cosx不妨设 m=c os x,贝!J c os2 9=4+4 m,4 5+3rn又丫=产在号,+8)上单调递增，5+3m 4(Q b)2 _(ei+e2)(3ei+e2)2_a*I 2*4 *b 2 ei+e2 1 3e1-e2 122(4+4e】e2)_4+4ei e2二 匚 l、l 2 n、4+3 28所以 c o s 9 -9=-,5+T4所以（WO的最小值为黑答案号