专题17 锐角三角函数-三年(2020-2022)中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版).pdf
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1、专题1 7锐角三角函数一、单选题1.(2022贵州毕节)计 算&+|-2|xcos45。的结果,正确的是()A.V2 B.3亚 C.2&+石 D.2 a +2【答案】B【解析】【分析】化简二次根式并代入特殊角的锐角三角比,再按照正确的运算顺序进行计算即可.【详解】解:/8+|-2|xcos45厂 72=2V2+2x 2=2 立+垃=372.故选:B【点睛】此题考查了二次根式的运算、特殊角的锐角三角比等知识,熟练掌握运算法则是解题的关键.2.(2022天津)tan45的值等于()A.2 B.1 C.巫 D.2 3【答案】B【解析】【分析】根据三角函数定义:正切=对边与邻边之比,进行求解.【详解】
2、作一个直角三角形,/C=90。,乙4=45。,如图:B:.ZB=90-45=45,.,.A 8c是等腰三角形,AC=BC,.根据正切定义,tanZA=箓 =l,AC*/ZA=45,二 tan 45=1,故 选 B.【点睛】本题考查了三角函数,熟练理解三角函数的定义是解题关键.3.(2022辽宁沈阳)如图,一条河两岸互相平行,为测得此河的宽度尸T(PT与河岸PQ 垂直),测尸、Q两点距离为加米,P Q T =a,则河宽PT的长度是()P QTA.msina B.1cosa【答案】C【解析】【分析】结合图形利用正切函数求解即可.【详解】解:根据题意可得:PTC.mtanaD.mtana/.PT=P
3、 Q t a n a =?I a n a ,故选c.【点睛】题目主要考查解直角三角形的实际应用,理解题意,利用正切函数解直角三角形是解题关键.4.(2 0 2 2.吉林长春)如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图,该起重机的变幅索顶端记为点A,变幅索的底端记为点B,垂直地面,垂足为点D,8c_ L ,垂足为点C.设Z A B C =a,下列关系式正确的是()【答案】D【解析】【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可.【详解】V B C 1 A C,.A8 C 是直角三角形,:ZABC=a,.A C.s in a =-,AB故选:D.【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义.在直
4、角三角形中任意锐角的对边与斜边之比叫做的正弦,记作s i n Z A.掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键.5.(2 0 2 1 广东深圳)计算1 1-t a n 6 0。|的值为(A.l-G B.0 C.痒 1 D.1一 日【答 案】C【解 析】【分 析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化筒得出答案.【详 解】|l-tan60|=|l-/3|=/3-l故 选C.【点 睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值,绝对值的性质等知识,正确化简各数是解题关键.6.(2021.福建)如 图,某研究性学习小组为测量学校A与河对岸 工 厂B之间的距离,在学校附 近 选 一 点C,利用测量仪器测得
5、NA=60o,NC=90o,AC=2 k m.据 此,可求得学校与工厂之间的距离AB等 于()A.2km B.3km C.2/3km【答 案】D【解 析】【分 析】解直角三角形,已知一条直角边和一个锐角,求斜边的长.【详 解】ZA=60,ZC=90,AC=2kmAAC 1,cos A=-,cos 6()。=AB 2/.A.Bn =-A-C-=2 =4ykMmcos A .2D.4km故 选D.【点 睛】本题考查解直角三角形应用,掌握特殊锐角三角函数的值是解题关键.7.(2020.湖南长沙)从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度,船离灯塔的水平距离为A.42百 米 B.14G 米
6、 C.21 米D.42 米【答案】A【解析】【分析】在直角三角形中,已知角的对边求邻边,可以用正切函数来解决.【详解】解:根据题意可得:船离海岸线的距离为42+tan30o=42G(米).故选:A.【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角的定义,要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.8.(2020 贵州黔西)如图,某停车场入口的栏杆A B,从水平位置绕点O 旋转到A B 的位置,己知AO 的长为4 米.若栏杆的旋转角NAOA,=a,则栏杆A 端升高的高度为()A a p B4 4A.-米 B.4sinct 米 C.-米 D.4cosot 米sin a cos a【答案】B【解析】【分
7、析】过点A,作 A-CXAB于点C,根据锐角三角函数的定义即可求出答案.【详解】AC解:如答图,过点A作 A,C_LAB于点C.在 RSOCA,sina=7m,所以A,C=A Q sin a.由题意得A,OA Cz=A 0=4,所以A,C=4 sin a,因此本题选B.【点睛】本题考查解直角三角形,解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义,本题属于基础题型.9.(2022.广西贵港)如图,某数学兴趣小组测量一棵树8 的高度,在点A 处测得树顶C 的仰角为45。,在点8 处测得树顶C的仰角为60。,且A,8,0 三点在同一直线上,若=16m,则 这 棵 树 的 高 度 是()CA.8(3-百)m
8、B.8(3+6)m C.6(3-6)m D.6(3+6)m【答案】A【解析】【分析】设 C=x,在放ADC中,乙4=45。,可得CD=Ar)=x,B D=f-x,在中,用 的 正 切 函 数 值 即 可求解.【详解】设 C O=x,在 4C 中,ZA=4 5,:.C D=A D=x,;B D=16-x,在 B C D 中,ZB=60,.o C D tan B =-,B D即:=3.16-x解 得x=8(3-道),故 选A.【点 睛】本题考查三角函数,根据直角三角形的边的关系,建立三角函数模型是解题的关键.10.(2022 广西)如图,某博物馆大厅电梯的截面图中,AB的 长 为12米,AB与AC
9、的夹角为a,则 高3 c1212A.12sina米 B.12cosa米 C.-米 D.-米sin a cos a【答 案】A【解 析】【分 析】在 中,利用正弦定义,sina端,代 入A8值即可求解.【详 解】解:在 R/44CB 中,ZACB=90,.B C.sina=-,A BB C=sine?A B-12 sina(米),故选:A.【点 睛】本题考查解直角三角形的应用,熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键.11.(2022福建)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三 角 形A 8 C,其 中AB=AC,=27,B C=4 4 cm,则 高AO约 为()(参考数据:sin 27 0.45,
10、cos27 0.89,tan 27 0.51)A.9.90cm B.11.22cm C.19.58cm D.22.44cm【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质及B C=44cm,可得。C=gBC=2 2 cm,根据等腰三角形的性质及NABC=27。,可得 NAC3=NABC=27。,在 HAZ)C 中,由 AD=tan 27。x C。,求得 AC 的长度.【详解】解:;等腰三角形ABC,AB=AC,为 8 c 边上的高,DC=-B C,2*.*BC=44cm,DC=-B C =22cm.2:等腰三角形 48C,AB=AC,ZABC=2 T,:.ZACB=ZABC=27。.为 8。边上
11、的高,NAC3=27。,,在 R/AADC 中,AD-tan270 xCD,tan27 0.51,DC=22cm,Z.AT#0.51x22=lL22cm.故选:B.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义,熟练掌握正切的定义是解题的关键.12.(2022.湖北武汉)由4 个形状相同,大小相等的菱形组成如图所示的网格,菱形的顶点称为格点,点 4,B,C 都在格点上,Z O=60,则 tan/A B C=()cO BA.-B.1 C.B D.同32 3 2【答案】C【解析】【分析】证明四边形A。8 c 为菱形,求得NABC=30。,利用特殊角的三角函数值即可求解.【详解】解:连接A
12、 D,如图:网格是有一个角60。为菱形,.A。、x B C E、X B C D、*都是等边三角形,:.AD=BD=AC,.,.四边形AO8C为菱形,且/8C=60。,ZABD=ZABC=30,tanZAA?C=tan30=-.3故选:C.【点睛】本题考查了菱形的判定和性质,特殊角的三角函数值,证明四边形A。8 c 为菱形是解题的关键.13.(2022湖北十堰)如图,坡 角 为a的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树A 8,当太阳光线与水平线成45。角沿斜坡照下,在 斜 坡 上 的 树 影 长 为?,则 大 树A 8的 高 为()水平地面A.w(cosa-sina)B.?(sina-cosa)C.?
13、M(cosa-tantz)m mD.-sin a cos a【答 案】A【解 析】【分 析】应 充分 利 用 所 给 的a和45。在树的位置构造直角三角形,进而利用三角函数求解.【详 解】解:如图,过 点C作 水 平 线 与A 8的 延 长线交于点。,则A。,。,:.NBCD=a,ZACD=45.在 R/ACQB 中,CD=mcosa,BD=msina,在 R/ACDA 中,AD=CDxtan45=mxcosaxtan45=wcosa,:.ABAD-BD=(mcosa-msina)-m(cosa-si na).故 选:A.【点 睛】本题考查锐角三角函数的应用.需注意构造直角三角形是常用的辅助线
14、方法,另外,利用三角函数时要注意各边相对.14.(2021山东济南)无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测.如图,某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时,在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧出界N处俯角为43。,无人机垂直下降40m至B处,又测得试验田左侧边界”处俯角为35。,则M,N之 间 的 距 离 为(参考数据:tan43 0.9,sin43 0.7,cos35 0.8,tan35 0.7,结果保留整数)()A.188m B.269mC.286m D.312m【答 案】C【解 析】【分 析】根据题意易得/N=43。,ZM=35,OA=135m,48=40m,然后
15、根据三角函数可进行求解.【详 解】解:由题意得:04_LMV,NN=43,ZM=35,O4=135m,AB=40m,OB=OA-AB=95m,A O N 0A=150m,OM=B=136m,tan/N 0.9 tan ZM 0.7:.MN=OM+ON=286m:故 选C.【点 睛】本题主要考查解直角三角形的应用,熟练掌握三角函数是解题的关键.1 5 .(2 0 2 1 广西桂林)如图,在平面直角坐标系内有一点尸(3,4),连接OP,则 OP与x 轴正方向所夹锐)【答案】D【解析】【分析】作轴 于 点 构 造 直 角 三 角 形,根据三角函数的定义求解.【详解】解:作轴于点:P(3,4),:.P
16、M=4,OM=3,由勾股定理得:O P=5,【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义,一个角的正弦值等于它所在直角三角形的对边与斜边之比.31 6 .(2 0 2 1.黑龙江哈尔滨)如图,A8是。的直径,8 c 是。的切线,点8为切点,若 A B =8,t a n N B A C =:,4则BC的 长 为()AA.8 B.7 C.10 D.6【答案】D【解析】【分析】由题意易得/4 8 C =90。,然后根据::角函数可进行求解.【详解】解::B C 是。的切线,ZABC=90,3V AB=8,tan ZBAC=,4:.BC=AB tan ABAC=6-,故选D.【点睛】本题主要考查切线
17、的性质及解直角三角形,熟练掌握切线的性质及三角函数是解题的关键.17.(2021广西柳州)如图所示,点A,B,C 对应的刻度分别为1,3,5,将线段C4绕 点 C 按顺时针方向旋转,当点4 首次落在矩形8 8 E 的边8 E 匕时,记为点A,则此时线段C 4扫过的图形的面积为()A.4石B.6C.%Dc .-87 i3【答案】D【解析】【分析】由题意可知,AC扫过的图形为一个扇形,半径为4,求出?历TC 30,?2?C41 60,再根据扇形面积公式求解即可.【详解】解:由图可知:A C=A,C=4,B C=2,人而?财 d:.?B A C 30,?BCA 60,线段C 4扫过的图形为扇形,此扇
18、形的半价为C4=4,c _ 6 0,取 _ 8无 形 心=丽”4=铲,故选:D.【点睛】本题考查了扇形的面积公式,读懂题目明确AC扫过的图形为一个扇形,且扇形的半径为4 是解决本题的关键.18.(2021浙江金华)如图是一架人字梯,已知A3=AC=2 米,AC与地面BC的夹角为a,则两梯脚之间的距离8 c 为(B.4sintz米BA.4cosa米C.4 tan a米D.上一米cos a【答案】A【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到5D=OC=g B C,根据余弦的定义即可,得到答案.【详解】过点A 作AD_L8C,如图所示:V AB=AC,ADLBC,:.BD=DC,.DC coa=-,A
19、C)C=AC coscif=2cos,:.BC=2DC=4cos a,故选:A.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用,明确等腰三角形的性质是解题的关键.19.(2021广东深圳)如图,在点尸处,看建筑物顶端。的仰角为32。,向前走了 15米到达点E 即 族=15米,在点E 处看点。的仰角为64。,则8 的长用三角函数表示为()A.15 sin 32B.15 tan 64C.15 sin 64D.15 tan 32【答案】c【解析】【分析】首先根据题目条件,利用外角的性质,得出 D E F 是等腰三角形,在放 D E C 中,利用/QEC的正弦即可表示出C 的长度.【详解】:ZF=32,ZD
20、E C=M0,:.ZD E F=?D E C?F 3 2?,/.D E=E F=15,由题可知,力C E 为直角三角形,C D在/?/O E C 中,si n?D E C D EC D即:si n 64?,15J C D=15 i n6 4?,故选:C【点睛】本题考查三角形的外角,等腰三角形的性质,解直角三角形的运算,解题关键是利用三角形的外角得出等腰三角形.2 0.(2 0 2 1云南)在A B C 中,Z A B C =9 0,若 A C =10 0,si nA =|,则 A 3 的 长 是()5 0 0 八 5 0 3 、AA.-B.-C.6 0 D.8 03 5【答案】D【解析】【分析
21、】根据三角函数的定义得到8c和 AC的比值,求出BC,然后利用勾股定理即可求解.【详解】RC 3解:V ZA B C=90f s山/4=失=一,A C=10 0,A C 5J 8 0 10 0 x3=5=6 0,.,.AB=A C2-BC2=8 0,故选D.【点 睛】本题主要考查的是解直角三角形,掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键.21.(2020贵州黔南)如 图,数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度,在 点D处测得旗杆顶端A的 仰 角NAOE为55。,测 角 仪C。的 高 度 为1米,其 底 端C与 旗 杆 底 端B之 间 的 距 离 为6米,设 旗 杆AB的 高 度 为x米
22、,则 下 列 关 系 式 正 确 的 是()6x 1 X 1 x 1A.tan55=B.tan55=-C.sin550=D.cos55=-x-666【答 案】B【解 析】【分 析】根据仰角的定义和锐角三角函数解答即可.【详 解】解:.,在m AAOE中,DE=6,AE=AB-BE=AB-CD=x-l,ZADE=55,.si.n 5,5co =-A-E-,cos 5,5_ o=-D-E-,tan 55,o=-A-E-=-x-,ADADDE 6故选:B.【点 睛】本题考查了锐角三角函数和解直角三角形的实际应用.注意数形结合思想的应用.22.(2020广西河 池)在 RtAABC 中,ZC=90,B
23、C=5,A C=1 2,则 sinB 的 值 是()5,12 5 12A.B.C.D.12 5 13 13【答 案】D【解 析】【分 析】直接利用勾股定理得出A 8的长,再利用锐角三角函数得出答案.【详 解】解:如图所示:V ZC =90,BC=5,AC=2,AB=)52+122=13 sinB=AB1275【点 睛】本题考查勾股定理的应用和锐角三角函数的定义,在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,解题的关键是理解三角函数的定义.23.(202().吉林长 春)比 萨 斜 塔 是 意 大 利 的 著名建筑,其 示 意 图 如 图 所 示.设 塔 顶 中 心 点 为 点B,塔身中心线A 8与
24、垂 直 中 心 线4 c的 夹 角 为N A,过 点B向垂直中心线AC引垂线,垂 足 为 点D.通 过 测 量 可 得A 3、BD、AO的长度,利用测量所得的数据计算ZA的三角函数值,进 而 可 求4 4的大小.下列关系式正确的是【答 案】AC.tanA=BDD.sinA=AB【解 析】【分 析】确 定NA所在的直角三角形,找出直角,然后根据三角函数的定义求解;【详 解】由题可知,AABD是直角三角形,4 0 4 =90。,sinA=空,cosA=,ta n A =AB AB AD,选项B、C、D都是错误的,故答案选A.【点睛】本题主要考查了解直角三角形中三角函数的定义理解,准确理解是解题的关
25、键.A.;B.C.2 D.2近2 2【答案】A【解析】【分析】如图,取格点E,连接B E,构造直角三角形,利用三角函数解决问题即可;【详解】如图,取格点E,连接BE,由题意得:ZAEB=90,BE=近,AE=J*+方=2近,.a n 六竺=岑AE 2啦2故答案选A.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关知识点,准确构造直角三角形,利用勾股定理求边是解题的关键.25.(2022内蒙古通辽)如图,由边长为1 的小正方形构成的网格中,点A,B,C 都在格点上,以A 8为直径的圆经过点C,D,则cosZADC的 值 为()D-T【答案】B【解析】【分析】首先根据勾股定理求出AB的长度,然后根据圆周角
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