上海市崇明区2020-2021学年九年级第一学期教学质量调研数学测试卷（中考一模）(含详解).pdf

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1、崇明区2020学年第一学期教学质量调研测试卷九年级数学（满分150分、完卷时间100分钟）考生注意：1.本试卷含三个大题，共 25题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题（本大题共6题，每题4 分，满分24分）i.已知线段。、b、c、d的 长 度 满 足 等 式=c d,如果某班四位学生分别将该等式改写成了如下四个比例式，那么其中错误的是（）a c a d 八 b d b cA.=B.=C.=P.=b d c b c a d a2 .已知点G

2、是A/WC的重心，如果连接A G,并延长AG交边5 c于点。，那么下列说法中错误的是（）A.BD=CD 1 3.AG=GD C.AG=2GD P.BC=2BD3.已知以和坂都是单位向量，那么下列结论中正确的是（）A.a-b B.a+b=2 C.a+b-6 D.问+忖=24.在AABC中，NC=9O,如果AC=8,BC=6,那么NA的正弦值为（）5.抛物线y=a（x+Z的顶点总在（）A.第一象限13.第二象限C.直线y=x上p.直线上6 .如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的五倍，那么这个正多边形的边数是（）A.3 B.4 C.5 D.无法确定二、填空题（本大题共12题，每题4 分，满分4

3、8分）x 57.已知一=彳,y 3则qy8 .已知线段A B =6 c m,点。是A8的黄金分割点，且ACBC，那么线段AC的长为9 .如果两个相似三角形一组对应边上的高之比为1:4,那么这两个三角形的面积比为i（9.计算：2（a-2 B）+3 0 a+B）=.1 1 .如果一段斜坡的水平宽度为1 2米，坡度i =l:3,那么这段斜坡的铅垂高度为 米.41 2 .已知锐角 AABC 中，A B =5,B C =1,s i n B =-,那么 NC=度.1 3 .函数y =2/+4 x-5的图象与丁轴 的 交 点 的 坐 标 为.1 4 .如果将抛物线y =（x-I p先向左平移2个单位，再向上

4、平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为.1 5 .如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的弧与x轴交于A、3两点，已知点P的坐标为（1,丁），点A的坐标为（一1,0）,那么点3的坐标为.1 6 .如果大小不同的两个圆外切时的圆心距为5厘米，并且它们内切时的圆心距为1厘米，那么其中较大圆的半径为_ _ _ _ _ _ _ _ 厘米.1 7 .我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线”.相关两边为“闪亮边”.例 如：图1中的四边形4 58中，A B A C A D,则AC 2=A8.A。，所以四边形

5、A B C。是闪亮四边形，A C是闪亮对角线，A B，是对应的闪亮边.如图2,已知闪亮四边形A 8 C。中，A C是闪亮对角线，A。、8是对应的闪亮边，且N A B C =9 0,Z =6 0,A B =4，B C =2,那 么 线 段 的 长 为18.在AABC中，AB=m，N B =45。,N C=6 0.点。为线段A B的中点，点E在边A C上，连结。E,沿直线DE将AADE折叠得到AADE.连接A4，当A E _ L AC时，则线段4 r的长为三、解答题（本大题共7题，满分78分）i q.i、十、匕算：t a n 6s0o H-2-c-o-s-3-0-0-+-c-o-t-4-5-s i

6、.n-2 45.2 s i n 302.0.如图，已知 AABC 中，D E/BC,A D =2，D B =4,A C =8 .（1）求线段A E的长；（2）设 丽=,B C =b-请直接写出向量恁关于、万的分解式，AE=；连接3 E,在图中作出向量匠分别在、B方向上的分向量.【可以不写作法，但必须写出结论】2 1.如 图，已知。的 半 径 为 近，在O O中，OA.0 8都是圆的半径，且。4 _ L Q B.点C在线段的延长钱上，且0 C =AB.(1)求线段8c的长；(2)求/B O C正弦值.2 2.为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我领海实施常态化巡航管理.如图，一艘正在执行巡航任

7、务的海监船接到固定监测点P处的值守人员报告：在P处南偏东30。方向上，距离P处14海里的。处有一可疑船只滞留，海监船以每小时28海里的速度向正东方向航行，在A处测得监测点P在其北偏东6 0方向上，继续航行半小时到达了 B处，此时测得监测点尸在其北偏东30。方向上.(1)B、P两处间的距离为 海里；如果联结图中的8、。两点，那么V B P Q是_ _ _ _ _ _ _ _ 三角形；如果海监船保持原航向继续航行，那么它【填“能”或“不能”】到达。处；(2)如果监测点P处周围12海里内有暗礁，那么海监船继续向正东方向航行是否安全？2 3.已知：如图，D、E分别是AABC的边A B、A C上的点，且

8、连接B E、CO相交于点F -D(1)求证：Z A B E Z A C D；(2)如果 =E C,求证:D F2 EFB D2 EB2 4.如图，已知对称轴为直线x =-l的抛物线y =依2+法+3与x轴交于A、B两点，与 轴交于点C,其中点A的坐标为（1,0）.（1）求点B的坐标及抛物线的表达式;（2）记抛物线的顶点为尸，对 称 轴 与 线 段 的 交 点 为。，将线段PQ绕点。，按顺时针方向旋转120,请判断旋转后点尸的对应点尸 是否还在抛物线上，并说明理由；（3）在x轴上是否存在点 ，使 椀。与ABCP相似？若不存在，请说明理由；若存在请直接写出点M 坐 标【不必书写求解过程】.2$如图

9、，中，Z A C B =90 ,A C =6,B C=8,点。为斜边 AB的中点，E DLA B，交边3 c于点E，点P为射线AC上的动点，点。为边B C上的动点，且运动过程中始终保持EED备用图（1）求证：AP E D Q；（2）设4P=x,BQ=y,求 y 关于x函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接P Q,交 线 段 于 点/，当 昭 为 等 腰 三 角 形 时，求线段北 长.崇明区2020学年第一学期教学质量调研测试卷九年级数学（满分150分、完卷时间100分钟）考生注意：1.本试卷含三个大题，共 25题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题

10、一律无效.2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题（本大题共6题，每题4 分，满分24分）1 .已知线段。、b、c、。的长度满足等式出?=c d,如果某班四位学生分别将该等式改写成了如下四个比例式，那么其中错误的是（）a c a d b d b cA.=-=C-=-P.-=b d c b c a cl a【答案】A【解析】【分析】根据比例的两内项之积等于两外项之积逐项排查即可.【详解】解：A.由3 =可得bc=ad,故 A 选项符合题意；b dB.由g =可得ab=cd,故 B 选项不符合题意;C.由2 =4可得ab=c d,故

11、C选项不符合题意；c abeD.由一=可得ab=c d,故D选项不符合题意.d a故答案为A.【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，即掌握两内项之积等于两外项之积成为解答本题的关键.2 .已知点G是AABC的重心，如果连接A G,并延长A G交 边 于 点。，那么下列说法中错误的是()A.B D =C D B.A G=G D C.A G =2 G D D.B C =2 B D【答案】B【解析】【分析】根据三角形重心的定义和性质解答即可.【详解】解：.点G是AABC的重心，A B D =C D,A G =2 G D,B C =2BD,:.A、C、D正确，B错误，故选B.【点睛】本题考查的是三角形

12、的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍.3 .已知和5都是单位向量，那么下列结论中正确的是()A.a=b B.a+b=2 C.a+b=6 D.,|+忖=2【答案】P【解析】【分析】根据单位向量的定义进行选择.【详解】解：和B是两个单位向量，它们的长度相等，但是方向不一定相同；忖+忖=2正确；故选：D.【点睛】本题考查单位向量的含义：属于基础题.4.在AABC中，NC=9 0 ,如果AC=8，BC=6,那么NA的正弦值为（）3 4 八 3 4A.-B.-C.-D.一5 5 4 3【答案】A【解析】【分析】利用勾股定理可求出AB的长，根

13、据正弦函数的定义即可得答案.【详解】NC=90,AC=8,BC=6,AB=VAC2+BC2=10BC 3sinA=-=,AB 5故选：A.【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握各三角函数的定义，属于中考常考题型.S.抛物线y =a（x%+%的顶点总在（）A.第一象限 B.第二象限 C.直线y =X上 D.直线 =一无上【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的顶点式可知其顶点坐标为（k,k）,再根据横坐标与纵坐标相等即可得出结论.【详解】：抛物线 解析式为y=a （x-k）2+k,抛物线的顶点坐标为（k,k）,顶点坐标的横坐标与纵坐标相等，抛物线的顶点坐标总在直线y=x 上.故选：C.

14、【点睛】本题考查是二次函数的性质，根据抛物线的顶点式得出其顶点横坐标与纵坐标相等是解答此题的关键.6.如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的血倍，那么这个正多边形的边数是（）A.3 B.4 C.5 D.无法确定【答案】B【解析】【分析】如图，画出简图，根据切线的性质可得/OCA=90。，根据NAOC的余弦可得NAOC=45。，即可得出此多边形的中心角为90,即可求出多边形的边数.【详解】如图，OA、OC分别为此多边形的外接圆和内切圆的半径，AB为边长，.OCAB,ZOCA=90,.外接圆半径是其内切圆半径的&倍，cos Z AOC=OA 2二 ZAOC=45,.NA OB=90,即此多边形

15、的中心角为90,此多边形的边数=360+90=4,【点睛】本题考查正多边形和圆及三角函数的定义，熟练掌握余弦的定义并熟记特殊角的三角函数值是解题关键.二、填空题（本大题共12题，每题4 分，满分48分）x 5 x-y7.已知一则一-=_ _ _ _ _.y 3 y【答案】-3【解析】x 5 5【分析】由一=彳得到x=y,代入式子计算即可.y 3 3&x 5【详解】V-=-,y 35.x-y-y-y 2y 一丁一2故答案为：一.3【点 睛】此题考查比例的性质，正确进行变形，熟练掌握和灵活运用相关运算法则是解题的关键.8.已知线段A3=6 c m,点。是 的 黄 金 分 割 点，且ACB C,那

16、么 线 段A C的长为.【答 案】3非-3【解 析】【分 析】根 据 黄 金 比 值 是 叵 匚，列式计算即可.2【详 解】点C是 线 段A B黄金分割点，AOBC,.AC-AB=（3百-3）cm,2故答 案 为3逐-3.【点 睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它 们 的 比 值 避 二1叫做黄金比.2Q.如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为1:4,那么这两个三角形的面积比为【答 案】1:16【解 析】【分 析】根据对应高的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答.【详 解】解：.相

17、似三角形对应高的比等于相似比，两三角形 的 相 似 比 为1：4,两三角形 的 面 积 比 为1：16.故答案为：1：16.【点 睛】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应高的比等于相似比.1（9.计 算：2（a-2B）+3（2a+B）=.【答 案】S a-b【解 析】【分析】根据向量的线性运算以及实数与向量相乘的运算法则计算即可.【详解】解：2（a-2 b）+32a+b二2。4坂 +6 +3坂-S a-b -故答案为8a 5.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算以及实数与向量相乘，掌握相关运算法则成为解答本题的关键.1 1.如果一段斜坡的水平宽度为12米，坡度i=l:3,那么这段斜坡

18、的铅垂高度为 米.【答案】4【解析】【分析】根据坡度1=铅垂高度水平宽度即可求解.【详解】设这段斜坡的铅垂高度为X,.x 1,1 2-3解得广4 米.故答案为:4.【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，了解坡度和铅垂高度与水平宽度的关系是解答本题的关键.42 2.已知锐角 A/WC中，AB=5，B C =1,sinB=，那么 NC=度.【答案】45【解析】【分析】过 A 作 ADLBC于 D,求出AD长，根据勾股定理求出B D,从而得出CD长，继而得出AAOC是等腰直角三角形，即可得出NC的度数.【详解】过 A 作 ADJ_BC于 D,则NADB=/ADC=90。，；.AD=4,B D=V

19、A S2-AEr=7 52-42=3，,/B C =1，；.CD=BC-BD=7-3=4,.AADC是等腰直角三角形，ZC=45.故答案为：45.【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等知识点的应用，正弦函数的定义，是所对的直角边与斜边的比是解题的关键.1 3.函数y=+4%-5 的图象与 轴 的 交 点 的 坐 标 为.【答案】(0,5)【解析】【分析】求与y 轴的交点坐标，令 x=0可求得y 的值，可得出函数与y 轴的交点坐标.【详解】解：令 x=0,代入y=2 f+4 x 5 解得y=5,.二次函数y=+4x-5 的图象与y 轴交点坐标是(0,5).故答案为：(0,5).【点睛】本题

20、主要考查函数与坐标轴的交点坐标,掌握求函数与坐标轴交点的求法是解题的关键，即与x 轴的交点令y=0求 x,与 y 轴的交点令x=0求 y.1 4.如果将抛物线y=(x-I p 先向左平移2 个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为.【答案】y=(x+l)2+l【解析】【分析】先确定原抛物线的顶点坐标，再根据平移方式确定平移后的顶点坐标，最后直接写出抛物线解析式即可.【详解】解：抛物线y=(x l)2的顶点坐标为(1,0).向左平移2 个单位，再向上平移1个单位后抛物线的顶点坐标为(-1,1).平移后抛物线解析式为y=(x+11+1.故答案为y=(x+l)2+l.【点睛】本题主要

21、考查的了二次函数图象的平移变换，理解二次函数的平移规律“左加右减，上加下减 成为解答本题的关键.r s.如图，在直角坐标系中，以点p为圆心的弧与X轴交于A、8两点，已知点尸的坐标为（L y）,点A的 坐 标 为 那 么 点3的坐标为.【答案】（3,0）【解析】【分析】连 接 出、P B,作P尸，45于点F,再根据圆的垂径定理即可得出答案.【详解】如图，连接力、P B,作于点F,根据题意可知O F=1,再由垂径定理可知,A F=B F=A O+O F=2,所以。8=。尸+8尸=1+2=3,即B点坐标为（3,0）.故答案为：（3,0）.【点睛】本题考查垂径定理.作出P尸，A3,再结合垂径定理“垂直

22、于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧”是解答本题的关键.1 6.如果大小不同的两个圆外切时的圆心距为5厘米，并且它们内切时的圆心距为1厘米，那么其中较大圆的半径为_ 厘米.【答案】3【解析】【分析】根据两圆位置关系内切，圆心距=两圆半径之差，以及外切时，r+R=d,即可求出.【详解】解：；两圆相内切，设小圆半径为r,大圆的半径为R,r+/?=5 “，R-r =R=3,r=2,大圆的半径为3 厘米.故答案为：3.【点睛】本题主要考查了两圆位置关系，用到的知识点为：两圆内切，圆心距=两圆半径之差，外切时，r+R=d.1 7.我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的

23、比例中项，那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线”.相 关 两 边 为“闪亮边”.例 如：图 1 中的四边形ABC。中，A B =A C-A D,则 AC2=4 T A D,所以四边形ABC。是闪亮四边形，A C 是闪亮对角线，A B A O 是对应的闪亮边.如图2,已知闪亮四边形ABCO中，A C 是闪亮对角线，A。、C O 是对应的闪亮边，且 NABC=90，=60,AB=4,B C =2,那 么 线 段 的 长 为【答案】2垂）【解析】【分析】根据“闪亮四边形”的定义可知AC2=CDXA D,再证明AACD是等边三角形即可解决问题.【详解】解：；四边形ABCD是闪亮

24、四边形，A C 是闪亮对角线，C D、4）是对应的闪亮边./.AC2=CD AD,如图，作CHLAD于H,DH=CD cos NO,CH=CD sin ZDAH=ADCDcosNDAC2=AH2+CH2=(AD-CD cos NO1+(CD-sin ZD)2=AD2+CD2-2 AD CD-cos ND=AD2+CD2-AD CDAC2=CD-AD,AD2-2AD CD+CD2=0(AD-CD)1=0.AD=CDZD=60.ACD是等边三角形.AC=CD=ADV ZABC=90,ZD=60,AB=4，BC=2,AC=yAB2+BC2=742+22=2石(负值舍去).AD=2 逐故答案为：2#【

25、点睛】本题考查了等边三角形的判定，勾股定理以及解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.28.在AABC中，AB=4 g，ZB=45%NC=6 0 .点。为线段AB的中点，点E在边AC上，连结。E,沿直线 将AAOE折叠得到AADE.连接A 4,当AE_LAC时，则线段A4的长为【答案】276【解析】A P An【分析】求出AC的长，证明4ADE丝AACB,推出=，由此求出A E即可解决问题.AB AC【详解】解：过点 A 作 AM LBC,在 RtA ABM 中，AM-ABx sin45=472 x =42AC=AM+sin60。=8 叵3AEAC,NAEA=90。

26、，VAAD EAA DENAED=/AED=45。,ZAED=ZB,/ZDAE=ZCAB,.ADEAACB,AE ADAB-AC)AE _2/24V2-8 GFAE=2百AA=V2A=2A/6【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换,全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.三、解答题（本大题共7题，满分78分）工/计、出算：t a n 6 0 +2-c-o-s-3-0-0-+-c-o-t-4-5-s i.n 2 4 5.2 s i n 30【答案】26+二2【解析】【分析】先用特殊角的三角函数值化简，然后再进行计算即可.,

27、C C 2 c os 300+c ot 4 5 .2 _.【详解】W：t a n 60 +-s i r r 4 502 s i n 302 x +12 x-2=V3+-/3+1 2=2/3+.2【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值成为解答本题的关键.2。如图，已知 AABC 中，D E H BC,A D =2,D B =4,A C =8.（1）求线段AE的长;(2)设区4 =。，B C -b-请直接写出向量A片关于7、B的分解式，A E =连接5 E,在图中作出向量而分别在、B方向上的分向量.【可以不写作法，但必须写出结论】Q 1 1【答案】（1）A E =|；（2

28、）一 手+步 作 图 见 解 析.【解析】【分析】（1）先求出A B,再据平行线分线段成比例，写出关于A E、A C、A D、AB的等比式，问题可解.（2）以A D,D E为边作平行四边形A D E F,先再求得4万=一;/,据 通=通+而问题可解；以B D、D E为边作平行四边形即可.【详解】解：（1）,/D E H BC,.AD AE AB-ACVDE/7BC.ZAD E=ZB,ZAED=ZC.ADEAABC.AD DE 2,AB-BC-6-3又 丽=,BCb：.AD=-a,D E-b33,/四边形ADEF是平行四边形AF=DE=-b3 1 _ 1 -AE=ci H b f3 3如下图，丽

29、 和 的 是 屁 分 别 在 2、5 方向上的分向量-2 L 如图，已知。的 半 径 为 在 O O 中，O A,。8 都是圆的半径，且。4 _ L O 3.点C 在线段AB的延长钱上，且OC=AB.（1）求线段8 c的长；（2）求N8 OC的正弦值.【答案】（1）B C 坨一1;（2）屈-6.4【解析】【分析】（1）过 点。作交A8于 点。，先 利 用 勾 股 定 理 求 解A B =2 =O C,O D=B D=I,再利用勾股定理求解CO,从而可得答案；（2）过点8作3 ELOC交0 C于点；,由N C =30,3C =G l,求解B E的长，再利用R Fsin Z B O C =，从而可

30、得答案.0B【详解】解：（1）过点。作QDLAB交AB于点。，V OA=OB,Z A O B =9 0 ,OA=O B =C，O C =A B ,A B =O C =y/OA2+O B2=V 4 =2 O D =B D=1,；在&AODC 中,s i n Z D O C =-O C 2ZC=30,C D=6J 5C =V3-1.（2）过点8作3 ELOC交OC于点E，vZC=30,B C =V3-1,从而可得2BE：.sin ZBOC=OBV3-1_V6-V22A/2 4本题考查的是等腰直角三角形的性质，垂径定理，含30。的直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键.22.

31、为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我领海实施常态化巡航管理.如图，一艘正在执行巡航任务的海监船接到固定监测点尸处的值守人员报告：在尸处南偏东30。方向上，距离尸处14 海里的Q处有一可疑船只滞留，海监船以每小时2 8海里的速度向正东方向航行，在 A处测得监测点P在其北偏东60方向上，继续航行半小时到达了 8 处，此时测得监测点P在其北偏东30。方向上.（1）B,P两处间的距离为 海里；如果联结图中的3、。两点，那么V 8PQ是_三角形；如果海监船保持原航向继续航行，那么它【填“能”或“不能”】到达。处；（2）如果监测点尸处周围1 2 海里内有暗礁，那么海监船继续向正东方向航行是否安全？【答

32、案】（1）1 4；等边；能；（2）安全【解析】【分析】（1）根据题意可得A P A B 是等腰三角形，故可得P B=A B=1 4 海里，再求得N B P Q=60 即可得a P I Q是等边三角形，最后证明A、B、Q三点共线即可；(2)过点2 作求出P C=7&,判断76 1 2,即可得到结论.【详解】解：(1)如图，根据题意知，ZPAB=90-60=30,ZPBA=30+90=120ZPAB+ZPBA+ZAPB=180Z APB=180-30-120=30AZPAB=ZAPB .PB=AB=28 x L 14（海里）2 PQ=14（海里）APQ=PB :PF/BE，ZBPF=ZPBE=30

33、/ZQPF=30 ZBPQ=60 PBQ是等边三角形，ZPBQ=60VZPBA=120 ZPBA+ZPBQ=120+60=180 点A、B、Q 在同一直线上所以，如果海监船保持原航向继续航行，那么它能到达Q 处;故答案为：1 4,等边，能；(2)过点P 作尸交3。于点；VBPQ是等边三角形,PC=7百，：76 12,.海监船继续向正东方向航行是安全的.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键.2 3.已知：如图，D、E分别是AABC的边A 3、AC上的点，且NA=NABC,连接BE、C O相交于点F.(1)求证：Z

34、ABE=ZACD-.np2 EF(2)如果 D=C,求证：-v =.BD2 EB【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】AB【分析】（1）先说明ADEAAC3可得=,再说明八位）。AAEB，最后根据相似三角形对AD AC应角相等即可证明:DF EF DE先说明 砂。得 到 访=丽=前进一步可得=空.匹即可证明.BDJ DE BE【详解】证明：(1)V ZAEDZACB,NA=NA，*ADE AC3，.AE _ AB 二 ,AD AC又：NA=NA，/.AAC /AEB，；ZABE=ZACD；(2),:ED=EC,；/EDC=ZACD,：ZABE=ZACD：.AEDC=ZABE,又:

35、/DEF=/D E F，；4EDF 4EBD，.DF EF DEBDDEBE (D F -EF DE茄J DE BE.DF2 _ EF.k适【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定定理成为解答本题的关键.24.如图，已知对称轴为直线x=l的抛物线丁 =依2+区+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中点A的坐标为(1,0).（1）求点8的坐标及抛物线的表达式；（2）记抛物线的顶点为P,对 称 轴 与 线 段 的 交 点 为。，将线段PQ绕点。，按顺时针方向旋转1 2 0,请判断旋转后点P的对应点尸 是否还在抛物线上，并说明理由；（3）在x轴 上 是 否 存 在

36、 点 使 M O C与ABCP相似？若不存在，请说明理由；若存在请直接写出点 的 坐 标【不必书写求解过程工【答案】（1）3（-3,0）,y =f2 x +3；（2）p在抛物线上，理由见解析；（3）存在；M（1,0）或（9,0）或（-1,0）或（-9,0）【解析】【分析】（1）根据轴对称图形的性质，对应点到对称轴的距离相等，方向相反，可得点B的坐标，用待定系数法求得函数解析式.（2）求出直线B C的解析式，计算得出线段P Q的长度，过P作PO平行于x轴，P。交抛物线对称轴于点D,根据旋转角度解直角三角形，得出P 的坐标，将P的横坐标代入抛物线的解析式，计算并判断即可得出答案.（3）根据勾股定理

37、可得出ABCP是直角三角形，根据相似三角形的性质分类讨论，得出点M的坐标.【详解】解：（1）；A、B是关于直线x =l轴对称图形的两点，点A的坐标为（1,0）,.点 B 的横坐标为-1 1（一1）=一3 ,.点B的坐标为（一3,0）；将A、B两点坐标值代入y a x2+bx+3可列方程组:0=。+人+30=9。一 3 +3解得a=-1b=2.抛物线的表达式为：y=f2 x+3.(2).点P为抛物线顶点，直线x =-1为抛物线的对称轴，/.点P的横坐标为-1,纵坐标为y=-/_ 2 x +3=-(1尸一2 x (1)+3 =4 ,.点P的坐标为(一1,4),直线B C的解析式为y=H+b,将B、

38、C的值代入可列方程：3=0+b 昭为等腰三角形时，求线段”的长.25 3，25、25 5【答案】(1)证明见解析；(2)y=o-x|；(3)或一.4 4 1 3)6 3【解析】【分析】(1)根据 D_LAB，2。，。得 二/班。，ZAD PZED Q,即可得 AAQP AEOQ.pn FD FD(2)先根据相似三角形 性质、中点性质以及锐角三角函数的概念得出一 =tan B,求出AP AD BDEQ工,再根据B Q=B E-E Q,列出函数关系式，化简即可.4(3)先证PDF B D Q,再分3种情况讨论，分别求出AP的长.【详解】解：(1)：PDLQD,EDA.AB，：.ZADP+ZPDE9

39、0,Z EDQ+Z PDE=9Q,ZADPZEDQ,:ED 工 AB,ZACB=90。，A ZA+ZB=9Q,ZB+ZDEQ=90,：.ZA=ZDEQ,：.ADP AEDQ.(2)M.DP EDQ,.-E-Q-=-E-D,AP AD.点。为斜边AB的中点,AD=BD，EQ ED ED族一 茄 一 茄 ED 工 AB，AC=6,BC=8,V BQ=BE EQ=y,:.在 RtMDE 中,t a n B=EDEDEQ_6BDADAP 8.。为A 8中点，1 5BD=5,DE-，4:.BE-J DE2+BD2 2。4.AP=xf3EQ=x,2 5 3 2 5.y=-x(0 x ).,4 4 3AB=

40、lAC2+BC2=1 0-(3)Vt a n ZFP Z)DQ ED ED而一而一而t a n 8 ,/FPD=ZB，,：NPDF+ZEDQ=90,ZBDQ+ZEDQ=90,4PDF=NBDQ,：.PDF BDQ,A P T)/为等腰三角形时，A B O Q亦为等腰三角形,若 DQ=BQ,则 N Q Z)8=N B,V ZQDB+ZEDQ=90,ZB+ZDEB=90,：.ZDEB=ZEDQ,：.DQ=QE,.点。为8 E中点，2 5 3 1 2 5.y=B Q=-X B E ,4 4 2 42 5解得：x=.6GE若 B D=B Q,则 8 Q =5 A 8 =52 5 3 /.y=-x=5 ，4 4解得：尤=2.3若D Q =BD,连接PQ，交线段ED于点产.点。在线段B E上，ZB D C 9 0,：ACBC,ZACB=90,：.ZB 4 5,Z B +N D Q B +N B D Q =2ZB+N B D Q 1 8 0,此种情况舍去.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定及三角函数，正确和熟练应用相似三角形的性质得到各线段之间的数量关系是解决本题的关键.