导数在研究函数中的应用.pdf

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1、5.3导数在研究函数中的应用一、选 择 题(共 15小题)1.已知函数/(%)在 x =配 处连续，A.导数为零的点一定是极值点B.如果在x =x0附近的左侧/Xx)0,C.如果在x =x0附近的左侧r(x)0,D.如果在x =x0附近的左侧f (x)0,2.函数y =詈的最大值为()A.e-1 B.e3.函数/(x)=x2l n x 的减区间为()A.(0,Ve)B.件,+8)4.设函数/(x)=：+l n x,则()A.x =；为/(x)的极大值点C.x =2 为/(x)的极大值点下列命题中正确的是()右侧f (x)0,那么/(a)是极大值右侧/,(x)0,那么/(x0)是极大值C.e2

2、D.3c(-8,9)D.(O,7)B.x =：为y(x)的极小值点D.x =2 为f (x)的极小值点5.函数f(x)=3x -4炉，x e 0,1的最大值是()A.i B.-1 C.0 D.126.已知函数/(X)=(2x -x2)ex,则()A./(V2)是/(x)的极大值也是最大值B./(V2)是/(%)的极大值但不是最大值C./(-V2)是/(x)的极小值也是最小值D./(x)没有最大值也没有最小值7.已知函数/(x)=x3+ax2+(a +6)x +1 有极大值与极小值，则实数a的取值范围为()A.(-1,2)B.(-3,6)C.(-00,-1)u (2,4-00)D.(8,3)U(

3、6,+8)8 .已知函数/(%)=-%3+ax2 一%一 1 在(一8,+8)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A.(-8,-U V3/+)B.-V3,V5C.(-8,一 b)u (A+8)D.(一百,V3)9 .若函数/(%)在(0,+8)上可导，且满足/(x)%r(x),则一定有()A.函数F(x)=号 在(0,+00)上为增函数B.函数F M=-在(0,+oo)上为减函数C.函数G(x)=xf(x)在(0,+oo)上为增函数D.函数G(x)=x/(x)在(0,+8)上为减函数10.已知/(x)=I n x +(a 4 0),则()A.当 a 0 时，/(%)存在极小值/(a)B.当

4、a 0 时，/(x)存在极小值/(a)D.当 a 0 时，x)存在极大值/(a)11.函 数/(行=3%-4/(工0,1)的最大值是()A.1 B.-C.0 D.-1212.若函数/(x)=H-lnx在区间(l,+8)上单调递增，则 k 的取值范围是()A.(-8,2 B.(co,-1 C.2,+oo)D.1,+8)13.已知函数f(x)=x3+ax2+(a +6)x +1 有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A.(-1,2)B.(-00,-3)U(6,+00)C.(-3,6)D.(-oo,-l)u (2,+oo)14.若关于的不等式已2%-a l n x N a 恒成立，则实数a的取值

5、范围是()A.0,2e B.(一 8,2e C.O e2 D.(一 8,2e215.已知a 0 且 a。1,若 当 F T寸，不等式a Z a x 恒成立，则 a的最小值是()A.e B.士 C.2 D.l n 2ee二、填空题(共7 小题)16.函数/(x)=2x3-3x 2+1 0的 单 调 减 区 间 为.17.己知函数f(x)=/+a x 在 R上有两个极值点，则实数a的 取 值 范 围 是.18 .某商场从生产厂家以每件2 0 元购进一批商品，若该商品每件的零售价为p 元，销量Q (单位：件)与每件的零售价p(单位：元)有如下关系：Q =8 300-1 7 0p-p2,则该商品每件的

6、零售价定为 元时，总利润最大.19 .已知函数/(x)=/+2 x,若/(1)+f (l og 3)0(a 0 且 aKl),则实数a的取值范围是.20.若函数/(x)=炉+b/+e x +2 在 x =1.时有极值 6,则 6=；c=.21.函数“X)=|3 x-/|在 -2,2 上 的 最 大 值 是.22.若定义在区上的函数/0)满足/0)+(0)卷+1(其中e为 自 然 对 数 的 底 数)的 解 集 为.三、解 答 题(共 6 小题)23.已知函数/(x)=x3-3x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数/(%)在区间-1,3 上的最大值和最小值.24.求函数y=|x3-4%

7、+4 的极值.25.已知函数 f(x)=I n x s in x +ax(a 0).(1)若 a =l,求证：当 时，/(x)a s in(%-1)e*在区间(1,+8)内恒成立(e =2.718 28 为自然对数的底数).答案1.B【解析】根据极值的概念，在x =&附近的左侧r。)0,函数单调递增；在x =*o附近的右侧/,(X)e 时，y*0,所以当x =e时，函数有极大值，极大值为工，e因为函数在定义域内只有一个极值，所以y m a x=/3.D4.D【解析】函数/(X)的定义域为(0,+8),尸(%)=-卷+：=爰，当=2时，r(%)=o；当3 2时,r(x)0,函数/(%)为增函数；

8、当0%V 2时，/(%)0,函数%)单调递增；当 V-夜 或%,鱼 时，f(x)0,/(-V2)=2(-V2-l)e 0,所以/(%)无最小值，有最大值,且/(V2)是/(x)的极大值，也是最大值.7.D8.B【解析】由/(X)=-/+Q%2 一%一 1,得到f (%)=-3%2+2a%-1,因为在(一8,+8)上是单调函数，所以/(%)=3%2+2ax 1 3 0 在(8,+8)恒成立，则 4=4a2 12 V3 a%/(%),构造函数、=y，其导数为y=八?丁 0时，令r(%)。，解得工,。，令 尸(%)0,f (%)在(0,+8)上递增，无极值.1 1.A【解析】/(%)=3 -1 2

9、x2,令 r(X)=。，则=-1(舍 去)或 x =5/(0)=0,/(I)=-1,啕=1L所以/(%)在 0,1 上的最大值为1.1 2.D【解析】r(x)=kZ =,且%o,X X由题意可知当x 1 时，r(x)0,即得k x-l 0,解得x 2/(f c 0,即 a?3 a 1 8 0.所以a 6或 a V -3.1 4.C【解析】当 a g a 即为e2”之0,显然成立；当 a 0 时，/(x)=e2 x anx 的导数为/(%)=2e2x 由于 y =2 e2 x 在(0,4-o o)递增，设/(%)=0 的根为n t,即有a =2me2 mf当 OVoVm 时,/(%)m 时，/,

10、(x)0,/(x)递增，可得x =m 处/(%)取得极小值，且为最小值e2 m -a l n m,由题意可得e2 m anm -a,即 a l n m -a,2 2m 2化为 m+2 m l n m 0,g(m)递增，可得 m +2mnm 0 且 awl,当 时，不等式a*ax恒成立，所以之,两边取自然对数，得：(-l)l n a Z l n x,令 p(%)=In x -(%l)l n a,则 N 1 时，p(%)0,p(%)递增,当工 之 1 时，p(x)p(l)=0,与 p(%)W O 矛盾；当 l n a 0,即 a (L+8)时，令 (x)=0,得 =二，In a%E(O,*)，PM

11、 o,p(x)递增；%(高,+8),V 0,p(%)递减.若 高 1,即 a (l,e),当 w l,专)时，p(%)递增，p(x)p(l)=0,矛盾;若 书 W l,B P a 6 e,+o o),当 E L+8)时，p(x)p(l)=0,成立.综上，a的取值范围是 e,+8).故a的最小值是e.1 6.(04)【解析】令/口)=6/-6%0,解得OV%V1,所以/(%)的单调递减区间为(0,1).1 7.(-o o,0)【解析】r(x)=3/+a,由题意可知r(x)=0 有两个不等的根，所以a 0,所以%)在 R 上单调递增，因此由 7(l)+/(l o g i3)0,得 f(l)/(l

12、o g#)=-A-l o ga3)=/(l o ga3),即 1 l o ga3.当 Q 1 时，Q 3；当 0 Q l o ga3 恒成立.故实数Q的取值范围为(0,1)U(3,4-00).2 0.-6,92 1.2【解析】容易判断此函数为-2,2 上的偶函数，故只需考虑函数f(x)=1 3%-炉|在 0,2 上的最大值即可.因 为/)=竹 一 炉，0 x V 3,(%3 3x,V 3%2,所以 r(x)邛 二 3/,0 x V 3,2 -3,V 3 x 2.令/(x)=0,解得 x =0.因为 fWu。，/(D=2,/(V 3)=0,f(2)=2,所以/(x)=|3 x /|在 0,2 上

13、的最大值是2,此时x =1,或 x =2.故/(x)=|3 x -炉：在 -2,2 上的最大值是2.2 2.(-o o,0)【解析】设 g(x)=eV(x)-eS(x eR),则 g M=ex/(x)+exf(x)-ex-ex f(x)+/(x)-1 ,因为 f M+f(x)1,所以 f(x)+f M-l 0,所以第(x)e*+2,所以 g(x)2,又因为 g(0)=e/(0)-e=3-l =2,所以 g(x)g(0),所以 x 0.2 3.(I)因为f(%)=/3%,所以(=3广 3.令 r(%)=o，解得=-i,x2=i.随着刀的变化，r(%)，/co变化情况如下表：%(-00,-1)-1

14、 (-1,1)1(1,4-00)/(%)+0-0+/(%)/极大值、极小值 Z所以，函数/(%)的单调递增区间为(一8,1)和(1,+8),单调递减区间为(1,1).(2)因为函数/(%)在区间-1,1 上单调递减，在区间 1,3 上单调递增，又/(-1)=2,/(I)=-2,/(3)=1 8,所以，函数/(%)在 区 间 上 的 最 大 值 为1 8,最小值为-2.2 4.因为 y=x2-4,令 y =0 得尤1 =-2,x2=2.当X变化时，y,y的变化情况如下表：X(8,-2)2 (-2,2)2 (2,4-00)y+o -o +V f7 28 4 7J 3 3所以当x =-2时，函数有极

15、大值，极大值为g,当x =2时，函数有极小值，极小值为一土2 5.(1)当 a =l 时，/(%)=In x s in x +x.令 g(x)=fM (2%1)=In x s in x%+1,%(1 5),贝i j g(x)=：-cosx-1 =子 一 cosx 0,所以g(x)在(1弓)上单调递减，故。(%)。(1)=s in l 0,所以/(x)0)与函数y=c o s x,x(0弓)的图象只有一个交点，所以上+Q V c o s 2 7 r =1,B P a 1 ,2n 27r所以a的取值范围为(0,1 02 6./(x)=3 x2-2 a x.令/(%)=0,解得=0,x2=y.当与W

16、O,即a 40时，f(x)在 0,2 上单调递增，从而;(:0回=/=8 4 a.当作2 2,即aN3时，/(%)在 0,2 上单调递减，从而f (x)m a x =/(。)=。当0 笥 2,即0 a 3时，f(x)在 。图 上 单调递减，在 殍2 上单调递增，从而f m W-4Q(0 a 2),八)m a x -(0(2 a 0,函数为增函数；在(一 1,1)上，/,(x)0,函数为减函数，所以当x =-l 时，f(x)有极大值，为/(1)=1；当X=1时，“X)有极小值，为 f(i)=-i.2 8.(1)因为/(%)=a(%2 1)In%,x 6 (0,4-o o),所以 f M =2ax

17、 q=当 a 0 时，令/(%)=0,则 x=,2a令 r(%)o，则 x 等，令 rCOvo，则 ovxv詈，所以/(X)在 W(0,粤)上单调递减，在 w 筌+8)上单调递增.(2)若/(%)a s in(x -1)+：-e1 在区间(1,+8)内恒成立，则 a(x2-1)-In x -a s in(x -1)-|+e1-x 0 在区间(1,4-c o)内恒成立，令 g(x)=Q(2 1)In x -a s in(x -1)：+e1-x,则只需g(x)o在 w (1,+QO)内恒成立即可，因为 g(l)=a(l2 1)In i-a s in(l -1)1 +e1-1=0,所以g(l)N O

18、 必须恒成立.g(%)=2ux-QCOS(X-1)H-e”,g(l)=2 a-QCOS(1-1)4-x i iz所以a 2 1.令 F(x)g(x)2ax 一:一 acos(x-1)+妥e1-x,I 0,当a N 1 时,F*(x)=2 a +或+a s in(x 1)妥+e1-xN 2 +妥+s in(x 1)一捺+e】r=1 +sin(x-1)+-+e1-x,因为 X 6 (1,4-oo)所以%3+%-2 0,1 +sin(x-1)0,er x 0,所以产(%)在 W(l,+8),QN I时恒大于0.所以F(x)在 W(1,+oo)上单调递增，所以 F(%)F(l)=a-l N O,故 g(x)在 (l,4-oo)上单调递增，g(%)g(l)=0,所以g(%)在 E(l,+oo)上恒大于0,所以a 1.故实数Q的取值范围是 L+8).