十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（北京卷）专题09立体几何与空间向量（解析版）.pdf

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1、大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（北京卷）专题09立体几何与空间向量.真题汇总一.1.【2022年北京卷0 9 1 已知正三棱锥P-4 B C 的六条棱长均为6,S 是 4BC及其内部的点构成的集合.设集合7=Q 6 SPQ 13x6故S的轨迹圆在三角形4BC内部，故其面积为兀故选：B2.【2021年北京4】某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A.B.4 C.3 +V 32【答案】A根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥。-A B C,其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1,故其表面积为3 x工 x 1 x 1+更 x (

2、V 2)2=三里，2 4 v 7 2故选：A.D.23.2 0 2 1 年北京8 定义：2 4 小时内降水在平地上积水厚度(m m)来判断降雨程度.其中小雨(V 1 0 mm),中 雨(1 0 mm 2 5 m m),大 雨(2 5 mm 5 0 m m),暴 雨(5 0 mm 1 0 0 m m),小明用一个圆锥形容器接了 24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级()A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨【答案】B由题意，一个半径 为 学=1 0 0(mm)的圆面内的降雨充满一个底面半径 为 等 x黑=5 0(mm),高为1 5 0(mm)的圆锥，所以积水厚度d =纪 要=1 2.5(m

3、m)，属于中雨.JTX1002、,故选：B.4.【2 0 2 0 年北京卷0 4】某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为().侧(左)视 图A.6+V 3 B.6+2 V 3 C.1 2 +V 3 D.1 2 +2 6【答案】D【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形,则其表面积为：S=3 x(2 x 2)+2 x g x 2 x 2 x sin60)=12+2翼.故选：D.5.【2018年北京理科05】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）正（主视图侧（左）视图俯视图A.1 B.2 C.3 D

4、.4【答案】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：必 J _底面/8CC,A C=V5,C D=V5,PC=3,PD=2y/2,可得三角形尸8 不是宜角三角形.所以侧面中有3 个直角三角形，分别为：LPAB,/XPBC,/XPAD.6.【2017年北京理科07】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（)俯视图A.3V2 B.2V3 C.2V2 D.2【答案】解：由三视图可得直观图,再四棱锥尸-48CZ）中，最长的棱为以，即 PA=7PB2+PC2=J 22+(2V2)2=2V3,故 选:B.7.【2016年北京理科06】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（)1侧视图俯视图【

5、答案】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，1 1棱锥的底面面积S=*x l X l=5,高 为 1,故棱锥的体积v=聂九=5 o故选：A.8 .【2 0 1 5 年北京理科0 4】设a,。是两个不同的平面，机是直线且?u a,“加 0 ”是 a 仗 的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】解：?u a,m。得不到a B，因为a,0 可能相交，只要用和a,0 的交线平行即可得到加仇a 乐 w u a,和。没有公共点，.?仇 即 a。能得到加仇邛 是“a B”的必要不充分条件.故 选:B.9 .【2 0 1 5 年北

6、京理科0 5】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）正（主）视图侧（左）视图俯视图A.2+V 5 B.4+V 5 C.2+2 V 5 D.5【答案】解：根据三视图可判断直观图为：O A LA B C,A C=A B,E 为 8 c 中点，EA=2,EC=EB=1,O A =l,可得 Z E _ L B C,B C O A,由直线与平面垂直的判定定理得：B C A E O,AC=0E=V5S/ABC=:x 2 X22,SOACS/OAB=；x V 5 x l=亨.S&BCO=有 x 2 x V 5 =V 5.故该三棱锥的表面积是2+2巡，故选：C.1 0.【2 0 1 4年北京理科0

7、 7】在空间直角坐标系O x y z中，已知/(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,V 2),若S i，S 2,S 3分别表示三棱锥。/8 c在yO z,z O x坐标平面上的正投影图形的面积，则()A.S=S2=S3 B.S 2=S i 且 S 2W S 3C.S 3=S 1 且 S 3#S 2 D.S 3=S 2 且 S 3W S 1【答案】解：设 力(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,V 2),则各个面上的射影分别为4,B C,1在 x Q y 坐标平面上的正投影 4 (2,0,0),夕(2,2,0),C(0,2,0),0(1,1,0

8、),S=*x 2 x 2 =2.在 y O z 坐标平面上的正投影 4(0,0,0),8 (0,2,0),C(0,2,0),D C O,1,V 2),S 2=g x 2 x =6在 z O x 坐标平面上的正投影 4 (2,0,0),&(2,0,0),C(0,0,0),(0,1,V 2),S3=|x 2 x V 2=V 2,则 S 3=S 2 且 S 3W S 1，故选：D.11.【2019年北京理科11】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸3该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，则该几何体的体积-=4 x 2 x 2+/(2 +4)x 2 x 4=40

9、.故答案为：40.12.【2019年北京理科12】已知/,，是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断：/_L?；m/a；/_La.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.【答案】解：由/,，是平面a外的两条不同宜线，知：由线面平行的判定定理得：若/_La,/_!?，则加a.故答案为：若/L a,1 1 m,则山心13.【2013年北京理科14】如图，在棱长为2的正方体-小8 1 c g i中，E为8 c的中点，点尸在线段D E上，点P到直线CCi的距离的最小值为【答案】解：如图所示，取 81cl的中点尸，连接E凡ED,：.C C/EF,乂 F u平面 D EF

10、,CCit平面 D EF,.CCi 平面 D EF.直线C C 上任一点到平面尸的距离是两条异面直线。与 C G 的距离.过点 Ci 作 C MLD F,.平面 OiM_L平面 A B C D.平面 D EF.过点M 作/W 尸E尸交G E于点P,则 M尸CiC.M X C N=M P,连接P N,则四边形AZ/WCi是矩形.可得NP_L平面D EF,在R 9 C F中，C心。/=加2凡 得。科=益=等.:.点P到直线c o 的距离的最小值为手.14.(2022年北京卷17 如图，在三棱柱A B C-A i/C i中，侧面8CC14为正方形，平面B C gB i，平面A8B1公,A B =B

11、C =2,M,N 分别为为 当，4 C 的中点.(1)求证：MN|平面B C G/；(2)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求 直 线 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值.条件：A B 1 M N；条件：B M =MN.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)取48的中点为匕 连接MK,NK,由三棱柱ABC-4/iC i可得四边形4BB1占为平行四边形，=M AVB K =KA,则而MK +2z=。设直线4 8与平面BNM所成的角为仇则.-*4 2sin。=|cos(H,AB)|=1 5.【2021年北京17】已知正方体年B

12、C京一 4道1 6。1，点E为久 中点，直线/G交平面CTE于点F.C lM .(1)证明：点F为B ig 的中点；若 点 M为棱上一点，且二面角M C F-E 的余弦值为亭 求 管 的值.【答案】(1)证明见解析；(2)然(1)如图所示，取B ig 的中点F,连结DE,EF,FC,由于4BCD-41B1C1%为正方体，与尸 为中点，故EFIICD,从而E,RC,D四点共面，即平面CDE即平面CCEF,据此可得：直线 Ci交平面CDE于点F,当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点尸与点F 重合，即点尸为B1Q中点.(2)以点。为坐标原点，D4,方向分别为x轴，y轴，z轴正方形，建立空间直角坐标

13、系D-yz,则：M(2,22,2),C(0,2,0),F(1,2,2),E(l,0,2),从而：MC=(-2,2-2A,-2),CF=(1,0,2),FE=(0,-2,0).设平面MCF的法向量为：m=则:m MC=-2Kl+(2 22)yi-2z1=0m-CF=工 1 +2zi=0令Zi=-1 可得：记=（2，白，-1）,1-X设平面CF E的法向量为:n=(X2,y2.z2)则:n-FE=-2y2=0n CF=必+2Z2=0令Zi=-1 可 得:n=(2.0,-1),从而：m n=5,|m|=J5 +()2,|n|=V 5.t f m n 5 V5则:8sH丽铲斤短F整理可得：(2 1)2

14、=：,故Z =T 舍去).1 6.【2 0 2 0 年北京卷1 6 如图，在正方体。BCD4 1 8 住1。1 中,E为BB1的中点.D(1 )求证：B Q 平面A D/；(I I)求 直 线 与 平 面 4 D/所成角的正弦值.【答案】(I)证明见解析；(H)*【解析】在正方体4BCD 一&玛 1中，AB/ArBAB=4必，Wg%且4出=。必，二4B/C1%且AB=C i 5,所以，四边形A B C%为平行四边形，则夕口/小,B Ct,平面A Dt u 平面4 C 1 E,二 BC1平面4DE；(II)以点4 为坐标原点，4。、4B、44所在直线分别为无、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标

15、系4-x y z,设正方体4BCD-41B1GD1 的棱长为2,则4(0,0,0)、4式0,0,2)、。式2,0,2)、F(0,2,1),A DX=(2,0,2),AE=(0,2,1),设平面4%E的法向量为证=(x,y,z),由“巴(n AE 0zaf2x+2z=02y+z=0令z=-2,则x=2,y=1,则ft=(2,1,2).c os 判断直线/G是否在平面Z E F 内，说明理由.PB 3【答案】证明：(1 )：以，平面Z 8 C。，：.PA C D,JA D LC D,P A A D A,.,.。，平面玄。.解：(I I)以/为原点，在 平 面 内 过 4作 8 的平行线为x 轴,为

16、y轴，/尸为z 轴，建立空间直角坐标系，2 2 4A(0,0,0),：(1,0,1),F (-,P(0,0,2),3 3 31 -*2 2 4A E=(1,0,1),A F=(一,一,一),3 3 3平面4 夕的法向量蔡二(1,0,0),设平面4 E F 的法向量蓝=(x,y,z),m A E=x 4-z =0 -外1 ,-2 2 4 ，取 x=l,得 m=(1,1,-1),m-4 尸=/+“+尹=0设二面角F-AE-P的平面角为。,则 CSO=J M =%=.|m|-|n|V 3 3.二面角尸FE-P的余弦值为手.(I ll)直线4G 不 在 平面 尸 内,理 由 如 下:一,-PG 2 4

17、 2,:点、G在PB上,且 而=?，G(1 ，百)，-4 2/.AG=(一,0,二)，3 3 平面ZEF的法向量薪=(1,1,-1),-4 2 2m-AG=可一可=可 工 ，故直线AG不在平面AEF内.1 8.【2018年北京理科16如图，在三棱柱Z 8 C-小81。中，CG，平面Z8C,D,E,AC,AiCi，M i 的中点,AB=BC=亚,AC=AA=2.(I)求证：4C_L平面BEF；(II)求二面角B-C D-C 的余弦值；(I l l)证明：直线FG 与平面8CZ)相交.BIGB【答案】(/)证明：尸分别是(C,小。的中点，即 CCi，V C C i ffi ABC,：.EFA.AB

18、C,又 4Cu平面/8C,J.EFLAC,AB=BC,E 是/C 的中点，F,G 分别为441，J.BEVAC,又 BECEF=E,BEu平面 8EF,EFu平面 BEF,./C_L平面 BEF.()解：以E 为原点，以EB,EC,EF为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示:则 8(2,0,0),C(0,1,0),D(0,-1,1),：.BC=(-2,1,0),CD=(0,-2,1),f T T设平面5。的法向量为G=(x,乃 z),贝 胆 呼=。，即 杼tn-CD=0-y 十 z-u令y=2 可得蔡=(1,2,4),又 E 8 L 平面力CCi/i,：.EB=(2,0,0)为平面C O-。的一个

19、法向量，cos=辿=4=般.nEB 历 x2 21由图形可知二面角B-C D-C 为钝二面角，二面角B-C D-C 的余弦值为一吗.(I I I)证明：F(0,0,2),G(2,0,1),：.FG=(2,0,-1),.*.FG*n=2+0-4=-2W0,二启与蓝不垂直，.尸 G 与平面8c。不平行，又尸GC平面8CO,:.FG 与平面BCD相交.1 9.【2017年北京理科16】如图，在四棱锥尸-4 8 8 中，底面A8C。为正方形，平面平面点 M 在线段PB上，尸。平面 M4C,P A=PD=&,Z8=4.(1)求证：M为P B的中点；(2)求二面角8-P O-N的大小；(3)求直线MC与平

20、面8。尸所成角的正弦值.【答案】(1)证明：如图，设4 C C 8 O=。，,.Z 8 C。为正方形，为8。的中点，连接OM,平面M 4 C,P Ou平面P 8。，平面尸8。0平面/知。=。,B O B M,PD /OM,则=T 即M为尸8的中点；BD B r(2)解：取 中 点G,：PA=PD,：.PGA D,:平 面 以。_ L平面Z 8 C。，且平面以。平面N 8 C D=4),：.P G m A B C D,则 P G _ L Z。，连接 O G,则尸G _ L OG,由G是力。的中点，。是/C的中点，可得OG OC,则O GUD以G为坐标原点，分别以G。、G O、G P所在直线为x、

21、/z轴距离空间直角坐标系，由 必=。=乃，4 8=4,得。(2,0,0),A C-2,0,0),P(0,0,V I),C(2,4,0),8(-2,4,、，V 20),M(-1,2,),2而=(-2,0,V 2),而=(-4,4,0).设平面P 8 O的一个法向量为蔡=(x,y,z),则 由 何*=0,得D B=0二记您/取z S得靛L V 2).取平面玄。的一个法向量为=(0,1,0).T TcosOn n m-n112x1=2|m|n|，二面角8-P D-4的大小为6 0 ；解：C M =(-3,-2,辛)，平面8 0 P的一个法向量为益=(1,1,V 2).直线A/C与平面8。尸所成角的正

22、弦值为|cos VC。，m =.-2 1=孚.C Mm Jg+4+1xl2 0.【2016年北京理科17】如图，在四棱锥尸-/8 C。中，平面以。JL平面Z8C。，PA LPD,PA=PD,A BLA D,A B=,A D=2,A C=C D=V5.(I)求证：PO_L平面PA B；(I D 求直线P B与平面P CD所成角的正弦值；A M(山)在棱刃 上是否存在点A/,使得8A/平面PC。？若存在，求-二的值，若不存在，说明理由.【答案】(I)证明：.平 面 平 面 48C Z),且平面为。平面48C=4),R A B LA D,/8 u 平面/BCD,，力 8_L平面PA D,./D u

23、平面 PA D,：.A B A.PD,又 P D L B 4,且 E4r1 48=/,平面 PA B；(I I)解：取 4)中点为O,连接CO,PO,：C D A C=V5,：.C O LA D,又,：PA=PD,：.POLAD.以 0 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则 户(0,0.1),B(1,1,0),D(0,-I,0),C(2,0,0),则 而=(1,1,-1),而=(0,-1,-1),而=(2,0,-1),CD=(-2,-1,0),设n=(x 0,y(),1)为平面PC。的法向量，则电幻喀二L U,则一)设尸8 与平面尸CZ)的夹角为0,则sin0=|c o s d,而|=|二|

24、下I 二 二 一|=察|n|PS|而 而 x 8 3AM(III)解：假设存在A1点使得8M平面PC。，设二二=九 M(0,y,z),AP由(I I)知，A(0,1,0),P(0,0,1),筋=(0,-1,1),B(1,1,0),茄=(0,丫 1 一1，Z。,则 有 我=入 方 可 得 A/(0,I-A,人)，易=(-1,-3 A),平面PC。，n=(1,-1,1)为平面PC)的法向量,T T 1 1：.BM-n=0,即 一 尹 4+)=0,解得肘=%.AM 1综上，存在点M,即当二7 =：7时，历点即为所求.AP 42 1.【2015年北京理科17】如图，在四棱锥/-7(8 中，AAE F为

25、等边三角形,平面/E/_L平面EFC8,EF/BC,BC=4,EF=2a,NEBC=NFCB=60,。为 E尸的中点.(I)求证：AOLBE.(II)求二面角F-A E-B 的余弦值;(I I I)若平面/O C,求 a 的值.【答案】证明：(I)./E 尸为等边三角形，O 为 小 的 中 点，.AO1EF,:平 面 平 面 E/CB,J Oc T ffi AEF,.O _L平面 EFCBJ.AOVBE.(II)取 8 c 的中点G,连接OG,:EFCB是等腰梯形，：.OGEF,由(I)知 NO_L平面EFCB,OGu平面 EFCB,：.OALOG,建立如图的空间坐标系，则 OE=a,BG=2

26、,GH=a,(aW2),BH=2-a,EH=BHtan60Q=V 3(2-a),则 E(a,0,0),A(0,0,V3a),B(2,V 3(2-a),0),EA=(-a,0,V3a),BE=(a-2,-V3(2-a),0),设平面NE8的法向量为n=(x,y,z).则 .曰=,即 卜 四+百 az：。，In.BE=0 l(a-2)x+V3(a-2)y=0令 z=1,则 x=V3,y=-1,即 7 1 =(V3,-1 ,1 ),平面力 的法向量为薪=(0,1,0),nili-、m n/5贝 ij cos O n,n =_ _ =-1时几1 5即二面角F-AE-B的余弦值为一冷;(I l l)若

27、8EJ _平面 4OC,则 B ELO C,即 届 OC=0,：B E=(a-2,-7 5(2-a),0),O C =(-2,於(2-a),0),：.B E-0C=-2(a-2)-3(a-2)2=0,2 2.【2014年北京理科17】如图，正方形4WCE的边长为2,B,C 分别为/，的中点，在五棱锥尸-4 B C D E 中,尸为棱PE的中点，平 面 与 棱 产 ),PC分别交于点G,H.(1)求证：A B/FG-,(2)若 为，底面Z 8 CQ E,且 以=/求直线B C与 平面厂所成角的大小，并求线段尸，的长.【答案】(1)证明：在正方形/A/D E中，是 的 中 点,.A B/D E,又

28、.7 8 0平面 P O E,二/8平面 POE,.7 8 u平面A B F,且平面A B F O平面PD E=FG,J.A B/FG；(2)解：A B C D E,：.PA A.A B,PA LA E,如图建立空间直角坐标系4 x yz,则/(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),E(0,2,0),F(0,1,1),FC=(1,1,0),设平面N 8 F的法向量为n =(x,y,z),则令z=l,则y=-1,n=(0 -1 1),设直线3 C与平面A B F所成的角为a,则sin a=|co s|=En-B C1=2,|n|-|BC|71直线BC与平面A B F

29、所成的角为 二,6设“(”，v,卬)，.，在棱PC上，可 设 而=4而(0 q vi).即(，V,W-2)=入(2,1,-2),二“=2入，v=入，w=2-2入，是 平 面 尸的法向量,T T 2 4 2 2：.n /1/7=0,即（0,-1,1）（2入，入，2-2 入）=0,解得入=1：.H（-,一，-）,$3 3 32 3.【2013年北京理科17】如图，在三棱柱/8。-小81。中，4 4 C C 是边长为4 的正方形.平面N8C_L平面441CC A B=3,B C=5.(I)求证：44iJ _平面 Z8C；(II)求证二面角A -B C -B 的余弦值；(I I I)证明：在线段8。上

30、存在点。，使得由，并求”的值.【答案】(/)证明：f i Ci C是正方形，力 /。又：平面/8C_L平面A A i C i C,平面ABCn平面A A C C A C,.平面 Z8C.()解:由/C=4,B C=5,A B=3.：.A C2+A B2=B C2,J.A B LA C.建立如图所示的空间直角坐标系，则 小(0,0,4),B(0,3,0),51(0,3,4),Ci(4,0,4),A BC1=(4,-3,4),BA1=(0,-3,4),幽=(0,0,4).设平面N 出C i的法向量为五=(%yl f z 0,平面5 出G 的法向量为次=(物 及，Z2).则 竹 邑=4/一 3y1+

31、4ZL。，令 =4,解得力=0,勿=3.3=(0,4,3).(几 1 BAX=-3yr+4Z=0-B C1=4x2-3 y2+4Z2=0；解得”=4,Z 2=0,；.后=(3,4,0).n2-BB1=4Z2 07T t、九 1,九 2 16 16的物 =鬲两=信花=而16工二面角小-BC-B i的余弦值为云.aG ID 设点。的竖坐标为3(0 /4),在平面BCGBi中作。_L8C于 E,可得。(如 氯 4-t),t),T 3 T.4 0=(3 氯 4 一。，t),&B=(0,3,-4),V AD 1 苏 A；B=0,Q 2A 0+彳(4 t)-4t=01 解得 t=.模拟好题1.一个底面积为

32、1 的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为2 0 m 则该四棱柱的高为（）A.V3 B.2 C.3V2 D.V19【答案】C【解析】设球的半径为R,则4H/?2=20TT,解得肥=5设四棱柱的高为/i ,则F +1 +1 =4W，解得八=3 V2故选：C2 .已知/,用是两条不同的直线，见0是两个不同的平面，下面正确的结论是（）A.若/a,m a,则/m B.若-L 0,则m 1 aC.若1 1 a1 m,则m a D.若I _ L S，m J.1 a,贝 l a【答案】D【解析】A：l/a,m/a,则，,?n可能平行、相交或异面,错误;B：m/p,a 1 则m,a可能相交、平行或m

33、 u a,错误；C：/1 a,/1 m,则m,a平行或mu a,错误；D：Z 1 /?,m 1 /?,贝!|/m,又m _ L a,故I _ L a,正确.故选：D3 .如图，在正方体4 BCD-4 iBigD i中，E为棱BC上的动点，F为 棱 的 中 点，则下列选项正确的是（）A.直线公小与直线E F相交B.当E为棱BC上的中点时;则点E在平面AD iF的射影是点FC.存在点E,使得直线4 D i与直线E尸所成角为3 0 D.三棱锥E-4 D F的体积为定值【答案】D【解析】A：由题意知，A D /B i G，8 1 cl u 平面4必 C平面BigCB所以4/1 平面BigCB,又E F

34、 u平面BigCB,所以久久与E F不相交，故A错误；B：连接。1/、A F.A E.C B i，如图，当点E为BC的中点时，EF/C BX,）LA DX 1 CB1（所以E F l AD1，若点E在平面AOiF的射影为凡则E F，平面4小尸，垂足为F,所以E F 1 A F,设正方体的棱长为2,则4E=4F=西，EF=V2,在AAEF中，A F2+EF2 A E2,所以4AFEW9O,即E F l AF不成立，故B错误：C：建立如图空间直角坐标系。一 x y z,连接BCi，则4C/B C 1，所以异面直线EF与4小所成角为直线EF与BQ所成角，设正方体的棱长为2,若存在点E(a,2,0)(

35、0 a 2)使得EF与BQ所成角为30,则8(2,2,0),严(2,2,1),G(0,2,2),所 以 即=(2-a,0,1),西=(-2,0,2),所 以 市.西l=2 a-2,X|7-BZ7|=|EF|BC7|COS30,得 12a-2|=2A/2X J(2-a +1 x y.解得a=4 V3.不符合题意，故不存在点E使得EF与A，所成角为3 0 ,故C错误；D：如图，由等体积法可知%-4（尸=F-A D E,又力-AOE =（SAADE-B F=A D x A B x B F,A D.A B.BF为定值，所以VF T P E为定值，所以三棱锥E-4 D F 的体积为定值，故 D正确.故选

36、：D.4 .如图所示，一套组合玩具需在一半径为3 的球外罩上一个倒置圆锥，则圆锥体积的最小值为（）【答案】D【解析】解：设母线与底面的夹角2 a,底面半径R,内切球半径r =3,圆锥的高h,则：R =,h=R-t a n 2a =-t a n 2a =-2)tana tana tana 1-tan4a圆锥的体积|Z=-nR2h=-7T X f-Y X J-3 3 xtana/1-tanza=1 87r x 亍 -,而 0。V 2a v 90。，0 a 4 5,所以 0 t a n a 0 又因为：t a Ma +(1 -t a Ma)=1 定值7-2所以(t a n 2a)(1 -t a n2

37、a)(n+an”)=当且仅当t a n 2a =1 -t a M a,即 t a n a =苧时，所以Knin=1 8 x文=72兀.故选：D.5.已知正方体4 B CD-4 i B i Ci O i，。为对角线A R 上一点(不与点4 c l 重合)，过点。作垂直于直线4 c l 的平面a,平面a 与正方体表面相交形成的多边形记为M,下列结论不正确的是()DAA.M只可能为三角形或六边形B.平面4 B CD与平面a的夹角为定值C.当且仅当。为对角线Z Ci中点时，M的周长最大D.当且仅当。为对角线4 c l中点时，M的面积最大【答案】C【解析】如下图，在正方体中，体对角线4 c l与平面C&

38、D1，平面平面O PQRST都垂直，由图可知，在平面a运动过程中M只可能为三角形或六边形，故A正确；由题可知平面a与AC1都垂直，所以平面a在移动过程中都是平行平面，与 平 面 的 夹 角 为 定 值，故B正确；如下图，当。为对角线4 c l中点时，M为正六边形O P Q R S T,而三角形&B D为等边三角形，根 据 中 位 线 定 理=可得两个截面周长相等，故C错误;由图可得，当。为对角线ACi中点时，M为正六边形O PQRST,设边长O T =a,面积为苧。2,当。向下刚开始移动时，”为六边形O/i Qi Ri Si T i，结合图形可知两邻边一条增大，一条减小且变化量相等，设。1加=

39、a +x,SxT,=a-x(0 x d),而且所有六边形的高都相等且等于百a,两邻边夹角都为1 20。，则S.；O/i Q i Ri Sli=SAOITR+5於$1(?1 51 71 +SAQ RS=1(a +x)(a -x)s i n l 20 x 2+1(a +x +a -x)xV 3a =乎。2-竽a 2,当M为三角形时面积最大为百a?/3PO=J p 4 2 4。2=J(2伪 2-V 32=V sA C2+PA2-PC2(2V 3)2+(2V 2)2-(2V 2)2 4e)c o s 4 c =2 IPCI=-2 X2 V3 X2 V2 =T2 yfC F2=A F2+A C2-2A

40、C A Fc os/.PA C=V 2+(2V 3)2-2 x 2 V 3 x V 2 x =84所以CF=2 V 2.不正确:由线面角定义知，N PO D就是直线P。与底面AB CD所成的角，Si n 4 P。=等，不正确；由4 c 1 平面P B C得，A C 1 O E,SACE=AC-O E=/3 x O E0Ema x=V 5.P8 J.O E时|0 E|最小，|0 E|mm=正确故答案为：7.已知四棱锥P-4 8 C。的高为1,P4 B 和 PCD均是边长为四的等边三角形，给出下列四个结论：四棱锥P-力 B CD可能为正四棱锥；空间中一定存在到P,A,B,C,。距离都相等的点；可能

41、有平面PAD 1 平面4 B C D；四棱锥P-4 B C0 的体积的取值范围是0,|.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.【答案】【解析】根据题意，i&PO 1 A B C D,则P0 =l,又因为A P A B 和?(?)均是边长为企的等边三角形，易得。4 =0 B0 C=0D =1,且N 4 0 B =乙 C O D=1p对，当4 B =B C=CD=Z D=&时，底面为正方形，且。为底面中心，此时四棱锥P-4 B CD可能为正四棱锥，故正确；对，0 4 =0 B =0 C=0 0 =0 P=l,故一定存在到P,A,B,C,。距离都相等的点。，故正确；对，当平面PAC 1 平

42、面AB C。时，因为P 0 J.4 B C C,故P。u 平面P A D,此时乙4。=兀，又因为乙4 0 B =-C O D=p 此时B,C重合，不满足题意，错误；对，设Z B O C =0,则V p-4 8 C D =3,S.8 C D ,P。=OA-O B +O C -O D +O B O C s i nO+g 0 4 .O D s i n(兀-0)=*1 +s i n。)，因为6 6(0,兀)，故 s i n 0 e(0,1 所以UP-A B C D=：(1 +s i n。)e&|卜故正确故答案为：8.在四棱锥P-4 8 C。中，必_ 1 _ 平面N 8 C 7),底面四边形/8 C。为

43、矩形.请在下面给出的5 个条件中选出2个作为一组，使得它们能成为“在 8c 边上存在点。，使得P 0。为钝角三角形”的充分条件.(写出符合题意的一组即可)P A =2；B C =3；B C =V 5;A B=V 2;4 B =1.【答案】或或【解析】设P 4 =a,4 8 =b,4 0 =c,B Q =x(0 x c),贝！C Q =c-x,因为PA，平面A B C D,底面四边形4 B C D 为矩形，所以P 4 1 AQ,则P Q 2=P A2+AQ2 =PA2+A B2+B Q2=a2+b2+x2,D Q2=C D2+C Q2=b2+(c-x)2,PD2=PA2+A D2=a2+c2,若

44、在B C 边上存在点Q,使得 P Q O 为钝角三角形，则P Q 2+DQ2 PD2,即a 2+62+X2+b2+(c-x)2 a2+c2,整理得/ex+b2 0(0 x 0,即只需B C 2 A B 即可，因为P 4 =2；8 c=3；8。=花；A B =V 2;4 8 =1,所以或或.故答案为：或或.9.设 棱 长 为 2 的正方体4 B C 0-&B 1 C 1 0 1，E是4。中点，点M、N 分别是棱4 8、好久上的动点，给出以下四个结论：存在EN|M g；存在M N 平面EC。1；存在无数个等腰三角形E M N；三棱锥C -M N E 的体积的取值范围是则 所 有 结 论 正 确 的

45、 序 号 是.【答案】【解析】对于:取B C 中点P,当点N在。1 cl上移动时，直线EN u平面E P C/i，同时当点在直线上移动时M g u平面A B C/i，因为EP C/i n A B C W i =Ci/,故E N 与 不 可 能 平 行，错误.对于:如图，以。为原点建立空间直角坐标系，所以E(1,O,O),C(0 20)C(0,2,2),设N(0,Q,2)(0 a 2),M(2,b,0)(0 Z?2),所 以 反=(-1 2 0)，C C =(0,0,2)，丽=(2,。一凡一2),设平面E CG的法向量为元=(%,y,z),则 三 祟=?即 号2需0,令y-得x =2,z =0,

46、所以五=(2,1,0),所 以 两 元=4 +a-bW 0，故M N与平面EC。不垂直，错误.对于：令|觉|=|而|即J(1 -0)2+(0 a)2+(0 2 4=7(2-0)2+(6-a)2+(0 -2)2.化简得-2a b +3=0,即 2a =b+g,2a G (0,4),6+注2技 因 为 2百 4，所以该式在 0 a 2,0 b 可 得=所以直线当。1到平面CMN的距离是等，故错误；对于，如图建立空间直角坐标系，则为(2,0,2),(0,2,2),C(2,2,0),M(l,0,2),设 抑=4 砒,0 W AW 1,屈=；1 砒=；1(1 2-2),又。2,2,0),&(2,0,2)

47、,5(0,2,2),二P(2-A,2-2A,2 4),两 1 =(A,21-2,2-2A),皿=(2,2A,2-2A).假设存在点P，使得/BiP)i=90。，：.PB1-PDX=A(A-2)+2A(2A-2)+(2-2X)2=0,整理得 9A2-1 4 1 +4/a=7Vl3 1(舍去)或2=匕 巫，9 90,故存在点P,使得4 8 止。1=90。，故正确;对于，由上知P(2-九 2-2/1,2 4),所以点(2-儿2-2 尢2；1)在。1 的射影为(0,2,2，),，点P(2 -九 2 -2 九2，)到 的 距 离 为：d=V(2 -A)2+(-2 A)2=V5 A2-4 A +4 =J

48、s(A-|)2+y-，当，=瓶寸,=W,故2/)小面积的最小值是g X 2 X竽=W，故错误.故答案为：.1 1.如图，在直三棱柱ABC-ABiG中，D,E 分别是A B,的中点，已知4 B =2,=A C =C B =&.(1)证明：B C i 平面4C。；(2)求C D 与平面&CE 所成角的正弦值;(3)求0 到平面&CE 的距离.【答案】(1)证明见解析【解析】(I)证明：连接4 g,AC A =F,连接D F,在直三棱柱ABC-A/ig中A C C 1&为矩形，则F为A C i 的中点，又。为A 8 的中点，所以D F B C 0:B C i (1,1,3),(0,1,0),所 以

49、不=(2,0,3),=(0,2,3),DE=(-1,0,-3)，设元=(x,y,z)为平面4 BG的个法向量,则rn -C A=0 2x+3z =0 布 亭=0,1 2y+3z =0，令x=3,则y=3,z=2,n=(3,3,2),设直线。E 与平面A B C 1 所成的角为仇 则 in。一 I re 房 而 S i-回 函-I(-1)X3+0X3+(-3)X(-2)|_ 37 55Sln0-|C O S(n,D E)|-|,|_ _ J32+32+(_2)2XJ(T)2+02+(-3)2-H O -所以直线DE与平面ABg 所成的角的正弦值为富.选择条件：C E 到平面A C C/i 的距离

50、为1.过点。作。G J L4C,垂足为G,直三棱柱 4B C-4iB iC i，C C1 _ L平面A B C,D G u 平面48 C,:.C CX 1 D G,D G 1 A C,A C n C CX=C,A C,C C j u 平面4 C C i&,所以Z)G 1 平面4C C 1 4.4C _ 1 平面4 支 1 4.所以。G 1 A C由(1)知DE平面4C C 遇i；因为DE到平面4 C C 1%的距离为1,所以。G =1.又8 c =2,所以。G =B C又因为。是4 B 的中点，所以G 是A C 的中点，.DG B C.；.B C 1 4 C又 B C B C,A C A C,