五年(2018-2022)全国各省份高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题18三角函数解答题(解析版).pdf

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1、2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编专题1 8 三角函数解答题一、解答题1.(2 0 2 2 高考北京卷第 16题)在AA B C中，s i n 2 C =V 3 s i n C.求(2)若6 =6,且AA B C的面积为6百，求AA B C的周长.【答案】解析:因为C e(O,)，贝i J s i n C 0，由己知可得6豆11。=2豆11。(：0 5。，可得co s C =3,因此，C =j26解：由三角形的面积公式可得S 3ABC=abs i n C =；。=66,解得。二4 8.由余弦定理可得M =。2+/2 0/0 5(7 =4 8 +3 6 2x46x6x3=12，

2、:.c=2 2所以，AA B C的周长为a+/?+c=+6 .【题目栏目】三角函数正弦定理和余弦定理余弦定理【题目来源】2 0 2 2高考北京卷第16题2 .(2 0 2 2年浙江省高考数学试题第18题)在AA B C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知34。=/5 c,co s C =.(1)求s i n A的值；(2)若b=l l,求的面积.3 4r-【答案】解析:(1)由于co s C =：0 C 0,又lacs i n 5 =-,3则 8 sB=半，=击=半则 S k#sinB 邛;（2）由正弦定理得：=-s i n B s i n A s i n C3 V 2b2 a c

3、ac 4贝 I -o =-=-=尸-s i n2 B s i n A s i n C s i n As i n C V 2Jn贝9-4-b _3s i n B 2b=-sinB =-.2 2【题目栏目】三角函数正弦定理和余弦定理、正弦定理【题目来源】2 0 2 2新高考全国I I卷 第18题ccq N sin,R4.（2 0 2 2新高考全国I卷 嗡18题）记AABC的内角4 B,C的对边分别为a,b,c,已知 一-=-.1+s i n A l +co s 2 S（1）若。=更，求8；3（2）求-：”的最小值.【答案】（1）?；c6(2)472-5.解人 析：(1)因为-c-o-s-A-=-s

4、-in-2-8-=-2-s-in-B；cosB=-s-in-8-，即nrl1 +sin A 1+cos 25 2cos B cosBsin B=cos A cos 8-sin Asin 8=cos(A+8)=-cos。=;而0 0,所以一 C T T,0 5 2 -5 =4V2-5 cos B cos B当且仅当cos2=芋 时 取 等 号，所以)的最小值为4夜 5.【题目栏目】三角函数正弦定理和余弦定理余弦定理【题目来源】2022新高考全国I卷 第18题5.(2022年高考全国乙卷数学(理)第17题)记AABC的内角A,3,C的对边分别为a,6,c,己知sin Csin(A B)=sin B

5、sin(C A).(1)证明：2a2=b2+c2;25(2)若。=5,cosA=j 1 求 ABC的周长.【答案】(1)见解析(2)14解析：【小问1详解】证明：因为sinCsin(A-B)=sin8sin(C-A),所以 sin C sin Acos 8 sin C sin B cos A=sin B sin Ccos A sin 3 sin A cos C,所以 ac _ 2bc-Y=-ab-”一 厂,即2ac 2hc laba1+c2-b12-(b2+c2-a2)=-a2+b2-c22所以 2 a2=+C2；【小问2详解】2 5解：因为a=5,co s 4 =，3 1由得=5 0，由余弦

6、定理可得a?-b2+c2-2b ccosA 则 5 0 W/?c=2 5,3 1所以6 c=3 1,2故 伍+C)2=/?2+C2+2Z?C=50+31=81,所以沙+c =9,所以A/WC的周长为a+8+c =14.【题目栏目】三角函数正弦定理和余弦定理余弦定理【题目来源】2 0 2 2 年高考全国乙卷数学(理)第17 题6.(2 0 2 1年高考浙江卷 第 18 题)设函数“x)=s i n x +co s x(x e R).(1)求函数y=/口 +5)的最小正周期；求函数y=/(x)小-9 在 0,y 上的最大值.【答案】(1)；1 +史.2解析：(1)由辅助角公式得 f(x)=s i

7、n x +co s x =0 s i n(x +(),贝！y=+=&s i n(x +?)=2 s i n2=1-co s 2 x +=1 -s i n 2 x ,所以该函数的最小正周期7 =V =i；2(2)由题意，y=/(x)/卜-?)=V s i n(x +?)友 s i n x =2 s i n(x +?卜 n x=2 s i n x-|-s i n x +-co s x =&s i n 2 x +&s i n x co s xI 2 2)A l-co s 2 x 7 2 ._ V 2 .7 2 0 V 2 _ .A a,若 为 钝 角 三 角 形，则 C为钝角，由余弦定理可得co s

8、 C =a2+h2-c22a ba2+(Q +1)_(a+2 2a a+1)一/2 一 3x 0,解得一 1。3,贝 i j 0 v av 3,2 o(a+l)由三角形三边关系可得Q+Q+1Q+2,可得。1,.,a Z,故。=2.【题目栏目】三角函数正弦定理和余弦定理正、余弦定理的综合应用【题目来源】2 0 2 1年新高考全国H卷 第 18 题8.（2 0 2 1年新高考I 卷 第 19 题）记 ABC 是内角A ,B,C的对边分别为。，b,c.已知2=改，点D 在边 A C 上，B D si n Z A B C=a si n C.证明：B D =b；(2)若 4)=20C,求 8S/AB C

9、.【答案】解析:（1）由题设，B Q=“s i/由正弦定理知:si n Z AB Cbsi n C si n Z A BC,即反弋HC：.BD =f 又从=c,:.B D =b,得证.b%1（2）由题意知：B D =b,A D =,D C=,3 3,b2 +4-尸-c2-1-3 f-t-2-c 2,b2 +b-2-c2 i-1-0 f-t-2-a2.c o s N A D B =-=；,同理 c o s 2 C D B =-=；,”2b 4b2 b 2b-2b-2b-.3 3 3 3,:Z A D B =7r-/CD B,13 必.2 a2 10 2772 =2 ，整理得 2a 2 +c2=b

10、 ，又b 2 =a c,4 Zr 2 -33 T：.2a2+=,整理得&?一 11/。2+3/=o,解得1 =J.或4=3,a-3 b2 3 b2 2由余弦定理知：c o s/A B C =+c_ 二,l a c 3 2b12 i r 2 o r当 二=!时，c o s&8 C =，l 不合题意；当=上时，c o s/AB C =；b2 3 6 b1 2 12上7综上,c o s Z A B C =.【题目栏目】三角函数 正弦定理和余弦定理、正、余弦定理的综合应用【题目来源】2 0 2 1年新高考I 卷 第 19 题2万9.（2 0 2 1 高考北京第 16 题）在 A/W C 中，c=2）c

11、osB,C=.3（1）求角B的大小；（2）再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使 AB C 存在且唯一确定，求 8 c边上中线的长.条件：C=y2b；条件：AABC 周长为4 +26；条件：A BC的面积 为 速；4【答案】（1）?；（2）答案不唯一，具体见解析.6解 析：（1）.c=2Z?cos5,则由正弦定理可得sinC=2sin 3cos 3,.sin28=si也=3，.（A C+A 5）2-=-（/l C+AB）2，m x m=y/3m2=V3 ：.m =,此时 c =/=l.选择条件的解析:序,2 _据此可得：cosA=-2bc2 tn2+m2-3 m12 m22则：s

12、in A,此时：csin A=MX=3，则：c=m =2A/3.2 2选择条件的解析:c m可得*=,=1,c=b,b m与条件c=9 矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：*/sinA=y/SsinB,C=,B =-（A+C）,6/.5 m A=/3 si n（A+C）=V3sin A+7,k isinA=g sin（+（7）=cosA sinA=yf3cosA,tanA /3，1 A=B =C =f若 选 ,ac /3,a yfib-V 5c，/3c2=y/3,*=!；若选，csinA=3,贝！J=3,c=2 j j ;若选,与条件c=矛盾.2【题目栏目】三角函数 正弦定理和余弦定理 正、

13、余弦定理的综合应用【题目来源】2020年新高考全国I 卷（由东）第 17题1 2.（2020年新高考全国卷H数学（海南）第 17题）在4c=6,csinA=3,。=标 这 三 个 条 件 中任选一个，补充在下面问题中，若问题中三角形存在，求。的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题:是否存在 A 8 C,它的内角A,B.C的 对 边 分 别 为，且sin A=5/3sin B，1，_?6注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】解析：解法一：由 sin A=5/3 sin B 可得：=百，b不妨设 a=y3m,b=m（m 0）,则：c?=/+/-2 a/j c osC =3，

14、/?+/-2 xg zxzx=m2 即。=加.2选择条件的解析：据此可得：a c /3m xm =/3m2-V 3 此时c =z =l.选择条件的解析：i,H r/n .b +c-ci m +n i 3n i 据此可得：c osA =-=-2b c 2m 2则：sin A =J l-g）=，此时：c sin A =3，则：c=m=2 /3 .选择条件的解析：c i n可得一=1 ,c=b,b m与条件c =麻 矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：*si n A -yJZsi n B,C=,B =,7r-（A +C）,6A 5 m A =V 3 sin（A +C）=V 3sin y,si n

15、A=/3 sin（?l +C）=6 s b i A +JcosAg ,si n A.y/i cosA ,ta n A 5/3 ,A =,B =C 7,若选，a c=/3 ,丁 a =yfi b=/3 c，二 /3 c2=/3 ,；c=l;若选，c s加4 =3,则 旺 =3,c =2g;2若选,与条件c =矛盾.【题目栏目】三角函数 正弦定理和余弦定理、正、余弦定理的综合应用【题目来源】2 0 2 0 年新高考全国卷n数学（海南）第 1 7题1 3.（2 0 2 0 年浙江省高考数学试卷第1 8 题）在锐角 A B C 中，角 4 B,C的对边分别为a,b,c,且2/?sin A =6c i

16、.求角B；（I I）求 c os4+c osB+c osC 的取值范围.TT【答案】B =-；(I I)3百+1 32 5解析：由2 b sin A =6。结合正弦定理可得：2 sin 3 sin A =6 sin A,，sin 3 =27TA B C为锐角三角形，故B =一3(I I)结合(1)的结论有:c os A+c os B+c osC =co s+c os A j=c os?!-c os/AH sin A +2 I 3 J 2 2 2 s i n A +l c osA +l=sin2 2 21+2 ,.nA +60 _ 7T A /、(G由,3 2 可得日 ：一7i A,一7i ,T

17、C AA+乃 2),则n tl s.m AA +,一 73,1八,乃 6 2 3 6 3 I 3 j 2g +l 32 ,2即c os A+c os 3 +c os C的取值范围是V 3 +1222【题目栏目】三角函数 正弦定理和余弦定理 正、余弦定理的综合应用【题目来源】2 0 2 0年浙江省高考数学试卷第1 8题1 4.(2 0 2 0天津高考第1 6题)在AA B C 中，角A 8,C所 对 的边分别为c .已知a =2血 力=5,c =J F .(1)求角6的大小；(H)求sin A的值；(I I I)求sin(2 A +?)的值.【答案】【答案】(I)C=;(H)sin A =迤；(

18、n i)sin(2 A +g 1=喀4 1 3 I 4 j 2 6【解析】(1)在 人3。中，由a =2 0,b =5,c =jm及余弦定理得 c i2+b2 c 8 +2 5 1 3 v2 w r x i /c 、山河八 兀c osC =-=-产 一=,又因为 C e(0,i),所以 C=7；2a b 2 x2 V 2 x5 2 4(H)在AA6 c 中，由C=；,“=2 0 1=后 及正弦定理，可得注1sinCc(III)由 /2r)以 sin(2A H )=sin 2 A cos F cos 2Asin =x-F x =-4 4 4 13 2 13 2 26【题目栏目】三角函数 正弦定理

19、和余弦定理 余弦定理【题目来源】2020天津高考第 16题15.(2020江苏高考第16题)在A 43c中，角 A 8,C 的 对 边 分 别 为,已知 =3,c=&,8 =45。.求 sin C 的值;4(2)在边8 C 上取一点。，使得cosNALC=-g,求 tanNOAC的值.【答案】【答案】sinC=好；tanNZMC.5 11【解析】由余弦定理得/+C?-2 ccos8=9+2-2 x 3 x 0 x =5,所 以 =行.2由 正 弦 定 理 得 上=-n sin C =0=.sinC sin 3 b 5(2)由于cosZADC=-g,万 所以sinZADC=|.由 于 加 心 停

20、 )，所以C e(0,3,所以cosC=，l 一 s in,C=2 所以 sin ADAC=sin(不 一 ADAC)=sin(ZADC+ZC)3 2752石=sin ZADC-cos C+cos ZADC-sin C=-x 4-由于 ZDAC (0,所以 cosZ.DAC=V l-sin2 Z.DAC=2所以 tan Z.DAC=sin NDACcos Z.DAC2_n【题目栏目】三角函数 正弦定理和余弦定理 余弦定理【题目来源】2 0 2 0 江 苏 高 考 第 1 6 题1 6.（2 0 2 0 北京高考第1 8 题）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二

21、.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一2 0 0 人4 0 0 人3 0 0 人1 0 0 人方案二3 5 0 人2 5 0 人1 5 0 人2 5 0 人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.（I）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（H）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1 人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（in）将该校学生支持方案的概率估计值记为p ,假设该校年级有5 0 0 名男生和3 0 0 名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为P l,试比较与

22、 P l 的 大 小.（结论不要求证明）【答案】（I）该校男生支持方案一的概率为I:，该校女生支持方案一的概率为3:；3 413（H）弓，（in）PIP。36700 i【解析】（I）该校男生支持方案一的概率为2,二）0=卜该校女生支持方案一的概率为300+100 4（1 1）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一,一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：（g）2（l-*+C；g）（d1;(I I I)P/l-cos2 A=由正弦定理得:7 7a c 8 7.g-=-=-sin C=sin A sinC 4j3 sinC 2

23、7i i/o i aS=5basinC=5(U 8)x 8 x-=6 g 选择条件(I)-/cosA=,cosB=,A,Bw(0,W/.sin A=l-cos2 A=,sin B=-cos2 B=-由正弦定理得:8 16a _ b a _ 1 -asin A sin 3 3 s 5 8 16(II)sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=2-x +2-x-=8 16 16 8 4S=basinC=（ll-6）x 6 x -=2 2 4 4【题目栏目】三角函数 正弦定理和余弦定理、三角形中的面积问题【题目来源】2020北 京 高 考 第 题18.（2019年高考

24、浙江第18题）设函数f*）=sinx,x e R.（I）已知丁万）,函数（r+e）是偶函数,求夕的值;(II)求函数y=f(x+台 2 +f(x+押 的 值 域.【答案】【意图】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。满 分 14分。【解析】（I）解法一：因为/（x+0）=sin（x+e）是偶函数，所以，对任意实数1 都有sin（x+e）=sin（-x +。），即 sin xcos 0+cos xsin =sin xcos 0+cos xsin 0,故 sinxcos6=0,所以 cos6=0,又。0,24,因此，e=-o=.2 2rr 37r解法二：根据诱导公式，s

25、in(x+)=cosx,sin(x+)=-c o s x,因为/(x +。)=sin(x+。)是偶函数,2 20e0,2组，所以JI JI(H)y =6 x+凝+。+牙=府(*+9+今 -8 心+6)。3+2)=l_ g(*c o s2 x-g sin 2 x)=l-#cos(2x+.因此，函数的值域是口 日/+亭 .【题目栏目】三角函数 三角函数的图像与性质 三角函数的图象与性质的综合问题【题目来源】2019年高考浙江第 18题1 9.(2019年高考天津理 第 1 5 题)在A 5 C 中，内角A,8,C 所对的边分别为a 1,C.已知力+c =2,3csinB =4 asin C.(I)

26、求co sB 的值;(II)求sin(2B+g 的值.【答案】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力，满 分 13分.b c(I)解：在 A B C 中，由正弦定理=一，得bsinC =c s i n 3,又由3 csin 3 =4 asin C,sin B sin C得4?38sinC =4 a s in C,即3 =4 a.又因为Z?+c=2 a,得到b=。，c=a .3 32 4 2 16 22,2 _ 2 矿+-C l -Cl 由余弦定理可得cos B =-_=一=-J=一 一 .(II)解：由(

27、I)可得sinBA/1-COS2 B4J 5 7从而sin2B=2sinB cosB =-，cos25=cos2 B-sin2 B =8 8、f JT TT TT故sin 2 BH =sin 2 B c o s+c o s2 B sin 71716 766V 1 5 V 3 7 1=-X-X =8 2 8 23A/5+71 6【题目栏目】三角函数 三角函数的综合问题【题目来源】2 0 1 9年高考天津理第 1 5 题2 0.（2 0 1 9年高考上海 第 1 9 题）如图，A 3 C为海岸线，为线段，弧B C为四分之一圆弧,B D=39.2k m,N B DC =22,N C B D=68 ,

28、N B D A =58.（1）求弧B C 长度；（2）若 A B =4 0 加，求D到海岸线A-B-C的最短距离.（精确到0.0 0 1 m）【答案】【答案】（1）1 6.3 1 0 k m；（2）3 5.7 5 2 k m【解析】依 题意：8 c =8。s i n 2 2,弧B C所在圆的半径71R =B C s i n-4弧 8 c 长 度 为：=x 3.1 4 1 x 3 9.2 x s i n 2 2 =1 6.3 1 0 k m2 2 2 4TYT A D an n（2）根据正弦定理：上=,求得：si n A=x s i n 5 8 =0.8 3 1 ,A=5 6.2 s i n A

29、 s i n 5 8 4 0A A B D=1 8 0 -5 6.2 -5 8 =6 5.8 DH =B D x s i n ZA.BD=3 5.7 5 2 k m CD=36.346k m：.D到海岸线最短距离为3 5.7 5 2 k m.【点评】本题主要考查解三角形。【题目栏目】三角函数 正弦定理和余弦定理 正、余弦定理的综合应用【题目来源】2 0 1 9年高考上海第 1 9题2 1.（2 0 1 9年高考全国m理 第 1 8 题）入 短。的内角A，B,C 的对边分别为a,c,已知as i n 士 =b s i n A.2 求3;（2）若 八 钻 C为锐角三角形，且 c =l,求 A 6

30、C 面积的取值范围.7 T【答案】【答案】（l）8 =g;（2）【官方解析】(1)由题设及正弦定理得s i n As i n-=s i n 8 s i n A ,2因为 s i n A。0,所以 s i n-=s i n B.2A+C B B B B由A+B+C =1 8(),可得s i n-=c o s ,故c o s =2 s i n c o s.2 2 2 2 2D D 1因为c o s#0,故s i n =，因此8 =6 0 .2 2 2 由题设及(1)知 A R C的面积S/ABC=呼叫由正弦定理得a=修=呼.9+1.s i n C s i n C 2 t an C 2由于 A5 C

31、为锐角三角形，故0。4 9 0。，0 C 90 .由（1）知A+C=1 2 0。，所以3 0 C 90,故从而且sA,“正.2 8 A B C 2因此 AB C面积的取值范围是（也,业）.【点评】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查 AB C是锐角三角形这个条件的利用.考查的很全面，是一道很好的考题.【题目栏目】三角函数 三角函数的综合问题【题目来源】2 0 1 9年高考全国H 理 第1 8题2 2 .（2 0 1 9年 高 考 全 国I理 第17题）A A BC的 内 角A,B,C的 对 边 分 别 为a,b,c.设(s i n

32、B-s i n C)2=s i n2 A-s i n 8 s i n C.求A；(2)若+b =2c,求 s i n C.【答案】解析:(1)由已知得s i Y B+s i n2 C-s i n2 A=s i n B s i n C,故由正弦定理得宜+c2-a2=b c.,2 2 2 i由余弦定理得8sA=+一幺=一.因 为0。4 2=10,从而c o sN B A D =士 A吐8/）=工 0,所以/9为锐角.2 A D A B 25所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在。处也不满足规划要求.综上，P和。均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当N O 8 P 9（）。

33、时，在 心 8中，尸 8 8 =15.由上可知，4215.再讨论点。的位置.由 知，要 使 得 Q 415,点。只 有 位 于 点 C 的 右 侧，才 能 符 合 规 划 要 求.当。4=15时，C Q =Q 4-AC2=A/152-62=36.此时，线段Q A上所有点到点O的距离均不小于圆0 的半径.综上，当 PB LWPB LA B,点。位于点C 右侧，且 C Q =3&T时，d 最小，此时P,。两点间的距离PQ=PD +C D +C Q =l +3y2 .因此，d最小时，P,Q两点间的距离为17 +3历（百米）.解法二：（1）如图，过。作垂足为以0 为坐标原点，直线。为y轴，建立平面直角

34、坐标系.因为8。=12,A C =6,所以0 =9,直线/的方程为y =9,点 A B的纵坐标分别为3,-3.因为四 为圆。的直径，4?=1 0,所以圆。的方程为/+尸=25.3从而4 4,3),B(T,-3),直 线 的 斜 率 为 一44 4 25因 为 依 L4 B,所以直线P 3 的 斜 率 为 直 线 P 8 的方程为所以(一 13,9),PB=&-13+4)2+(9+3=15.因此道路心的长为15(百米).(2)若P在 Z)处，取线段8。上一点E(-4,0),则 E O =4 5,所以P选在。处不满足规划要求.若。在。处，连结4),由 知 D(T,9),又 A(4,3),3所以线段

35、/V)：y=x +6(-4x W 4).4在线段A D上取点用(3,，)，因为0 M=同 /32+42=5,所以 线 段 上存在点到点O的距离小于圆。的半径.因此。选在D处也不满足规划要求.综上，P和。均不能选在。处.(3)先讨论点P的位置.当N O B P 9 0。时，在 尸8 中，P B PlB=i5.由上可知，215.再讨论点。的位置.由（2）知，要使得0 4 2 1 5,点。只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设 Q（a,9）,由 AQ=J（a-4）2+（9-3=15（a 4）,得。=4+3 万 ，所以 Q（4+3 历,9）,此时，线段 04 上所有点到点0 的距离

36、均不小于圆O 的半径.综上，当 P（-13,9）,。（4+3后,9）时，d 最小，此时P,Q 两点间的距离Pg=4+3721-0,所以cosb=2 s in B 0,从而cosB=-.53=述5因此sin 8+【题目栏目】三角函数 正弦定理和余弦定理 正、余弦定理的综合应用【题目来源】2019年高考江苏第 15题25.（2019年高考北京理第 15 题）在AABC中，a=3,b-c =2,cosB=.2（I）求。，C的值;(I I)求 sin (B-C 的值.【答案】【解析】（I）由题可知a =3,b-c =2,cosB=-,由余弦定理得:2c o sB=2 2 1 2+c -tr2解得:b=

37、7c=5（H）由同角三角函数基本关系可得：s in B =7 1-c o s2B=.结合正弦定理2bs in B砧 可 得:._ c s in B 5 V 3s in C =-=-b 1 4很明显角C为锐角，故c o s C =J l s in 2 C =一,1 4,4 r-故 s in (8 -C)=s in 8 c o s C -c o s 5 s in C =亍 J 3 .【题目栏目】三角函数 正弦定理和余弦定理 正、余弦定理的综合应用【题目来源】2 01 9年高考北京理第1 5题2 6.（2 01 8年高考数学江苏卷第1 7题）（本小题满分1 4分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界

38、由圆0的一段圆弧M PN（P为此圆弧的中点）和线段M N构成.已知圆。的半径为4 0米，点P到M N的距离为5 0米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大 棚I内的地块形状为矩形A 8 C D,大棚H内的地块形状为要求均在线段M N上，C,。均在圆弧上.设。C与M N所成的角为6.（1）用0分别表示矩形钻。和4 C D P的面积，并确定s in 6的取值范围;（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚H内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当，为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.（第17题）【答案】解析：（1）连 结P 0并延长交M N于H,则P H L M N,所以

39、OH=IO.过。作0E_L3C于E,则OEM M 所以NCOE二 仇故 OE=40cos仇 EC=40sin,则矩形 A BCD 的面积为 2x40cos+10)=8OO(4sin0cos0+cos0)，CDP 的面积为5乂2、40(：058(40-405由8)=16009036 5111。(:058).过 N 作 G N 1.M N,分别交圆弧和。石的延长线于G和K,则GK=KN=10.令NGOK;女,贝ijs in 4=；,7 T$o G(，T),o当。e区,乡 时，才能作出满足条件的矩形A8CD,所以sin。的取值范围是,).4答：矩形 A BCD 的面积为 800(4sini?cose

40、+cost?)平方米，A CD P 的面积为 1600(cost?-sirn?cosi?),sine的取值范围是1,1).4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3,设甲的单位面积的年产值为4 k,乙的单位面积的年产值为3M Q 0),则年总产值为4kx800(4sin?cost?+cosi?)+3kxl600(cost?-sint?cosi?)=8000k(sint?cosi?+cosi?),0e0a,).j r设/(!?)=sini?cos9+cos。，.则/(e)=cos2 O-sin?。一sin。=-(2sin2 夕 +sin。-1)=-(2sin0-l)(sin0+1).

41、令尸(9)=0,得8=三.6当公(%当 时,尸 0,所 以/为 增 函数;6当弓,)时，/-兀、-7t.2 4 2 4 2 4解析：（1）显然定义域为R.由题意得/(-%)=f(x)，即 as in(-2 x)+2 co s2(-x)=6ts in 2 x +2 co s2化简得：a s in 2 x =0,对于任意xe R成立，则a =0.（2）由条件得a s in工+2 co s?工=G +1,解得a =百.所以/(x)=V 3 s in 2 x +2 co s2x=1-V 2 ,化简得s in(2 1 +看)二_V|因为1 TI1 3%717解得5万x-2 41 3乃x-2 4197rx

42、=-2 424,所以 2 x +e -所以+?二 -?5x.65兀4667%4另解：2 x +2=2左 万 一 包 或2 x +=2匕r 乙 代eZ).6 4 6 4V 7解得x =止 或x =也 仅wZ）.因为x e卜不，回，所以对左赋值.2 4 2 4v L 1 j r 5 7r 1 3 7r 1当攵=0时，x=-,x =-；当=1 时，x =，x=.2 42 42 42 4【题目栏目】三角函数 三角函数的图像与性质 三角函数的图象与性质的综合问题【题目来源】2 0 1 8年高考数学上海第1 8题3 0.（2 0 1 8年高考数学天津（理）第1 5题）在 A B C中，内角A,8,c所对的

43、边分别为a,5C,已知71Z?s in A =aco s(B-).（1）求角B的大小;(2)设 a =2,c=3,求。和 s in(2 A-B)的值.a h【答 案】解：在 人 钻。中，由 正 弦 定 理 一=，o T W b si n A =a si n B,又由s in A s in BTT 7T JT I-f o s in A =a cos(B),得 s in 3 =Q CO S(3),即 s in 5 =co s(B-),可得 ta n 3 =J 3.又因6 6 6TT为3 (0,兀)，可得3 =.3 解：在 A B C中，由余弦定理及a =2,c=3 ,B=,有=/+，2 a cco

44、 s 6=7,故3b=币.由匕 s in A =a co s(B-乙)，可得 s in A =-7=.6 72因为aC=90 ,Z A =45,A B =2,B D =5.求 co s N A D B ；(2)若 D C =2 血，求 BC.【答案】解析：（1）在 A B O中,由正弦定理得B Ds in Z AA Bs in Z A D B由题设知,5 _ 2s in 4 5 0 -s in Z A D B,所以 s in/A 8 =也V由题设知,Z A D B 90,所以 co s/A O B =(2)由题设及(1)知，co sZ B D C=s in Z A D B =5在 38中，由余

45、弦定理得8 c 2 =B O?+-2 8。O C co s N B O C =2 5 +8 -2 X 5 X 2 0 X 子=2 5 .所以3 c =5.【题目栏目】三角函数 正弦定理和余弦定理、正、余弦定理的综合应用【题目来源】2 0 1 8年高考数学课标卷I （理）第1 7题3 2.（2 0 1 8年高考数学北京（理）第1 5题）（本小题1 3分）在A 4 8 c中，a =7,8 =8,co s 6=二.（I）7求Z A ；（H）求AC边 上 的 高.【答 案】（共13分）解：（I）在AABC中，co sB=,/.B e f,z r?.s inB=Jl-co s?B=Iz Z l.7（2

46、J 78由正弦定理得一 =一 纹=二 一=4鱼,，s in A =.s in A s in 3 s in A 7 2.Be C；.Ae（0,3；.N A =.（H）在 A A B C 中，s in C=s in（A +B）=s in A co s B+co s A s in 5 =+7）1 4A/3 3A/3,r ir-r +A ./z ,厂 N 3A/3 3 0 x-=-.如图所不，在A/LB C中，*/sinC=-，.h =BC-smC=7 x-=-，2 7 1 4 B C 1 4 2A C边上的高为”.2【题目栏目】三角函数 正弦定理和余弦定理 正、余弦定理的综合应用【题目来源】2 0 1 8年高考数学北京（理）第1 5题