人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第五章第4节　数列求和及综合应用.pdf

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1、第 4 节 数列求和及综合应用课程标准要求1 .掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法.必备知识课前回顾 散 材夯实四基府知识梳理1.数列求和的基本方法(1)公式法等差数列的前n 项和公式S.上 竽 必 g+竽d.等比数列的前n 项和公式nalt q=1,Sn=a i-anq _ a i(l qn)4分组求和法:若一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减.(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n 项和.(4)错位相减法:

2、如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解.(5)倒序相加法:如果一个数列&,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解.(6)并项求和法:一个数列的前n项和中，可两两结合求解,则称之为并项求和.形如a k(T)n f(n)类型,可采用两项合并求解.2.数列应用题的常见模型(1)等差模型：当增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.等比模型：当后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型,这个固定的数就是公比.递推模型

3、:找到数列中任一项与它前面项之间的递推关系式,可由递推关系入手解决实际问题,该模型是递推模型.等差模型、等比模型是该模型的两个特例._重要结论裂项求和的常用变形(I)-2nn+k)k n n+k(2)-=-(-).(2n-l)(2n+l)2 2n l 2n+l(3)_=Vn+l-V n.Vn+Vn+1 若 a是公差为d(dWO)的等差数列，则一 毛(-).an*an+l d an an+l(5)_ _1-.(2n-l)(2n+1-l)2n-l 2n+1-l-g对点自测-1.在等差数列&,中，已知公差 d=1,且 al+a3+-+a99=50,则 a2+a,i+-+2100 等于(B)A.50

4、B.75 C.100 D.125解析：az+ad+aioo=(ai+d)+(a3+d)+(a99+d)=(a i+a 3+a 9 9)+50d=50+50 x i2=75.故选B.2.数列3p 5；,7白,，(2n-1)+J,的前n 项和S”等于(A )2 4 8 16 2nA.n2+l-B.2n2-n+l_2n 2nC.r+b*D,n-n+l-解析:该数列的通项公式为an=(2n-l)+,则SW3+5+(2n-l)+(1+-+)=n2+l-.故选 A.3.数列 a j,瓜 满足a b=l,a“=n 2+3n+2,则瓜 的前1 0项和为(B )1 5 3 7A.i B.C.-D.4 12 4

5、12解析:bn=-三 前 1 0 项和 an n2+3n+2(n+1)(n+2)n+1 n+2 2 3 3 4=i-=.故选 B.11 12 2 12 124.数列 an)的前 n 项和为 Sn,已知 Sn=l-2+3-4+-+(-l)n n,则S 1 7=.解析：S i 7=b 2+3-4+5-6+1 5-1 6+1 7=1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7)+(-1 4+1 5)+(-1 6+1 7)=1+1+1+1=9.答案：95.已知数列 的前n 项和为5 且 an=n-2n,则S=.解析：因为an=n 2n,所以 Sn=l X 2+2 X 22+3 X 23+-+n 2n,所以

6、 2Sn=l X 22+2X 23+-+(n-l)2n+n 2n”，-,得-S n=2+22+2+2d2d.2n三2nL 2-n 2n+1=1-2(l-n)2n+,-2.所以 S n=(n T)2叫 2.答案：(n-l)2叫 2关键能力课堂突破 美多溶点康 考点一数列求和口 角 度-分组转化法(W E D 已知数列 a,J 的前n 项和S“二 产,n N*.(1)求数列 a j 的通项公式；设 bn=2a+(-l)nan,求数列 b 0 的前2n 项和.解：当 n，2 时，an=S=S 孑 争-T)22K l i2-4当 n=l 时，a i=S i=l 满足 an=n,故数列 a j 的通项公

7、式为an=n.由(1)知 a”=n，故 b n=2n+(T)h记数列 bn 的前2n 项和为T2n,则丁 2=(21+22+-+2*+(一 1+2-3+4一 3+21 1).己 A=2+22+-+22n,B=-l+2-3+4-+2n,则 A-2(12?，)=22n+1-2,1-2B=(-1+2)+(-3+4)(2n-l)+2n =n.故数列 b j 的前 2n 项和 T2 l l=A+B=22n+,+n-2.二解题策喳分组求和法的常见类型 若an=b cn,且 b j,cn为等差或等比数列，可采用分组法求 an的前n项和.通 项 公 式 为1 1为令数，的数列，其中数列 b j,c j是等比数

8、l cn,n为偶数列或等差数列,可采用分组法求和.口角度二裂项相消法画运，已知数列 a 是递增的等比数列，且a i+a尸9,a 2a 3=8.(1)求数列 a j的通项公式；(2)设S。为数列 a j的前n项 和,求 数 列 b j的前n项和Tn.S n +1解：(1)由题设知a二a 2a 3=8,又 又&=9,解 得 处 或 也(舍 去).设等比数列 a j的公比为q,由a=ad得q=2,故秩 尸2启 三2”骨 2所以 T n=b l+b2+，+b n S 0=&-(1Vt)=2-1,1-q又 b -0n+l _Syi+Sn_ 1 _ 1SnSn+l SnSn+i Sn S+i解题策略利用裂

9、项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.(2)将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.如:若数列 4 是等差数列，则3 (-),=5(-).anan+l&C Ln ttn+1 anan+2 an an+2口 角度三错位相减法0 运)已知、为等差数歹山前n 项和为S 0(n GN*),b j 是首项为2 的等比数列，且公比大于 0,b2+b3=12,b3=a4-2a i,S n=l l b4.求 a j 和 b j 的通项公式;求数列 a 2 b M 的前n 项和(n N*).解：(1)设等差数

10、列 的公差为d,等比数列 bn 的公比为q.由已知b2+b3=12,得 b i (q+q?)=12,而 b】=2,所以 q2+q-6=0.又因为q 0,解得q=2.所以bn=2n.由 b3=a4-2a i,可得 3d-a i=8,由 S n=l l b4,可得 a i+5d=16,联立,解得a i=l,d=3,由此可得an=3n-2.所以数列 a“的通项公式为an=3n-2,数列 b j 的通项公式为b=2n.设数列匕212R 的前n 项和为T”由 a 2 n=6n 2,b 2n-i=2 X 4 1有 a2bnT=(3nT)X4n,故 Tn=2X4+5X42+8X43+-+(3n-l)X4n,

11、4Tn=2X 42+5X43+8X44+-+(3n-4)X4n+(3n-l)X4n+1,上述两式相减,得-3Tn=2 X 4+3 X 42+3 X 43+3 X 4n-(3n-l)X4n+1=12x(1 M.y x4+1-4=-(3n-2)X4n+1-8.得 Tn=誓 x F+g.所以数列 a2 b M的前n项和为誓义一般地,如果数列瓜 是等差数列，b j是等比数列,求数列瓜 bj的前n项和时，可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列限 的公比,然后作差求解.在写出“Sn”与“q S J的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-q S J的表达式.针对训练已知数

12、列瓜 满足a尸l,an+ian=2n(nN*),则S2M等于()A.22 0l8-l B.3 X21009-3C.3X21OO9-1 D.3X 21008-2(2)已知函数f(x)=x。的图象过点(4,2),令an=:,nN*.记数/(n+1)+f(n)列 4 的前n项和为Sn,则S2等于()A.V2 0 1 9 1 B.0,且 b,+b2=6b:i,求 q 的值及数列 4 的通项公式；(2)若 b“为等差数歹U,公差 d0,证明：C1+C2+C3+c0 得 曲 1,因 止 匕,C1+C2+C3+册1+9,n N*.懈题策略I解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件

13、,综合函数与不等式的知识求解;数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇上命题的特点.针对训练已知数列 a“的前n项和为Sn,且满足Sn(an-1),n G N*.(1)求数列 a j的通项公式；令bn=lo g2an,记数列)的前n项和为Tn.证明：Tn1.解:当 n=l 时,有 a i=sW(a l),解得a i=4.当n2 2时，有S e g a i l),则 an-Sn-Sn-i=-(an-l)-(an-i-l),整理得an=4 an-i,所以数列区 是以4为公比，以4为首项的等比数列.所以 a n=4 X 4nT=4(n N*),即数

14、列匕“的通项公式为an=4n(n eN*).证明：由 有b n=lo g2a0=lo g24n=2n,则一1一 二 1一=1(二一 一)(g+1)(砥-1)(2n+l)(2n-l)2 2n l 2n+l 所 以 吗储)+(泠i+导T高 M(局)0,得 an+ian-i=2,又因为 31=1,d.2=2.所以数列Kn是公差为2,首项为2的等差数列,数列区向 是公差为2,首项为1的等差数列，故 a=n.若选，即W+an=2S,当 n2 2 时，aJ_1+an-i=2Sn-i,两式相减得W+an-W-i-Q-n-l-2an,P(an+an-i)(an-an-i_l)=O,由 an0,得 an-an-

15、i-l=O,所以 a j是公差为1的等差数列，故 an=n.(2)bn=(n+l)2n,Tn=2 X 2+3 X 22+4 X 23+-+(n+1)2n,2Tn=2X22+3X23+-+n 2+(n+l)2n+1,两式相减，得-34+22+2、+2n-(n+1)2n+,=4+也 竺 上(n+1)2+,1-2=4-4+2n+,-(n+l)2n+1=-n 2n+1,故 Tn=n-2n+1.口角度二选择多个条件(2021 广东六校联盟第二次联考)从bz=3;”+丝+al a2+止6 等;ab+a2b2+a,h=3+(2n 3)2中任选两个补充至lj下面问an 2n题中的横线上,然后完成问题的解答.问

16、题：已知数列 an为正项等比数列,a,=l,数列d 满足.求4;求 金 一 的前n项和T.bnbn+l解:选择：令 n=l,得 a,b,=3+(2-3)X2=l,所以bi=l,令 n=2,得 ab+a2b2=3+(4-3)X21 2=7,1-_二()bnbn+1(2nl)(2n+l)2 2n-l 2n+l 所以Tn=1+(找)+-高1三(1品选择：(1)令 n=l,得=6-4=1,2所以bi=l,令n=2,得+丝=6-”金，即做 4 2所以qC I2 2又 b2 3,所以 2=2,所以 a2b2=6.又 b2=3,所以 Q.2 2,设数列 a j的公比为q,则q=M=2,ai所以4=2自.(2

17、)当 n22 时，ab+a2b2+2(n-l)-3 2nH,又 aibi+a2b2+a3b3+anbn=3+(2n-3),2,-得 ah=3+(2n-3)2n-3+(2n-5)2nH=(2n-l)2二因为an=2,所以 bn=2n-l,当n=l时也成立，所以 b=2n-l.设数列 a j的公比为q,则q=%=2,ai所以 an=2nH.(2)当n，2时,揖丝+如1=6-上 警 1 2 nl 2nl又生+生+处=6-吗 G a2 n 2n-得色6-4n+62n，4(n-l)+6 2n l-6+2 n l=布因为 an=2nH,所以 bn=2n-l,当n=l时也成立，所以 bn=2n-l.以下与选

18、择相同.选择：令n=l,得”=6-竽1,所以 bi=l,ab=l,令 n=2,得 ab+a2b2=3+(4-3)X22=7,+也6二 三ai 做 4 2所以a2b2=6,相除得哙4,又 an0,所以 2=2,设数列 劣 的公比为q,则q=2,所以 a=2nH.(2)当n?2时,a+丝+绢1=6-空巴亨,1 2 A n-1 2n l又竺+国=6-,1即 2n一得蛆=6-处q 6+出 平 卫4，an 2n 2nT 2n l因为 an=2n-1,所以 bn=2 n-l,当n=l时也成立，所以 bn=2 n-l.以下与选择相同.解 题策 略1正确解决本题的关键是从三个条件中选择两个合并在题目中，确定出

19、数列 a j的通项公式,从而完成新数列的数列求和.针对训练1.已知正项数列 ar,的前n项和为S n,且4S.=(an+l)2.(1)求数列 a j的通项公式；(2)在b n=-;(2)b n=3n an;bn=-这三个条件中任选一个,补a n n+l充 在 下 面 的 问 题 中 并 求 解.若，求&的前n项和Tn.解：因为 4Sn=(an+l)2,所以当 n=l 时,4a i=4S i=(a i+l)2,解得 a,=l.当 n 2 2 时,4Sn-1=(an-1+l)2,又 4Sn-(an+l)2,所以两式相减得 4an=(a n+l)2-(an-i+l)2,可得(a n+a n-i)(a

20、 r a n r 2)=0,因为an0,所以 an-an-i=2,所以数列 a j是首项为1,公差为2的等差数列，所以 an=2n-l,故数列 an 的通项公式为an=2n-l.(2)若选条件，anan+l(2n-l)(如+1)2 V2 n l 2n+l，则3 3 5 5 7 2n l 2n+l 2 2n+l 2n+l若选条件,bn=3n an=3n (2n-l),则 Tn=l X3+3X32+5 X33+-+(2 n-l)3,上式两边同时乘3,可得 3Tn=l X 32+3 X 33+5 X 34+-+(2n-l)X 3n+1,两式相减得-21=3+2 (32+33+-+3n)-(2n-l)

21、3nH=-6+(2-2n)3田,可得 Tn=(nT)3%3.若选条件,由 a,=2n-l 可得 Sn-(1+21)W=n,所 以4n2-1-(2n-l)(2n+U),1/1 1 2 k2n-l 2n+l)故 吟 解+冷 衿2n-l 2n+l+.匏-上，2.(2021 山东威海高三上学期期中考试)在a+a3=b3,b2+S5=-b4,a1+ag=-4.这三个条件中任选两个,补充在下面的问题中.若问题中的m存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.设等差数列 须 的前n 项和为S.，b n 是各项均为正数的等比数列，设前 n 项和为T”若,且b 尸 2,T 尸 5 T 2.是否存在大于2的正整数m,

22、使得4S.,S3,S.成等比数列？解:设等差数列 a j 的公差为d,等比数列 b j 的公比为q(q0),由题意知q#l,所以 二旦(1寸)=5 1 2=5比(1寸),l-q l-q整理得l+q2=5.因为q0,所以q=2,所以bn=2 .当选取的条件为时,有1;二 如=)(4+%=-1 6,所以产7f=8,解 得 将=1 2,a+2 d =-4,I d=-8.所以 an=-8 n+2 0,Sn=-4n2+1 6n.所以 S i=1 2,S3=1 2,Sm=-4m2+1 6m,若 4S S3,S m 成等比数列,则瞪=4S S,所以 4m L i 6m+3=0,解得 m=2 p,因为m为正整

23、数，所以不符合题意,此时m不存在.当选取的条件为时,有产:a 3=8：+ag=-4,所以修”1(2%+8 d =-4,解得 工：所以 an=-2 n+8,Sn=-n +7 n.所以，=6,S3=1 2,Sr a=-m2+7 m,若 4S S 3,S m 成等比数列,则S 4S l S m,所以m2-7 m+6=o,解得m=6或 m=l (舍去),此时存在正整数m=6满足题意.当选取的条件为时,有伊4V 9 =-4,(4+5$=所以产：胃=7(%+2 d =-4,解得 箕所以4=n-7,S”受 网.所以 S 尸 一 6,SL 1 5,SE勺 二若 4Sb S3,茎成等比数列,则S 4S l S

24、m,即 2 2 5=-2 4Sr a,所以 4m2-5 2 m+7 5=0,解得m=因为m为正整数,所以不符合题意,此时m 不存在.叁 备选例题CW)在数列 a j 中，a i=l,a 2=2,a n+2-a n=l+(-1),那么 S i oo 的值为(A.2 5 0 0 B.2 60 0 C.2 7 0 0 D.2 8 0 0解析：当n 为奇数时,an+2-an=0,所以an=l,当n为偶数时，a+2-an=2,所以an=n,故an=1,n为奇数,n,九为偶数,于是 S i oo=5 O+-(2-+-1-0-0-)x-5-0=20 6r0n0n.2故选B.CW 已知等差数列区 的公差为2,

25、且&是 a?与a s的等比中项,则an等于（）A.-2 n B.2 n C.2 n T D.2 n+l解析：由题意得等差数列 a j 的公差d=2,所以 an=a i+2 (n-1).因为凡是 a?与 a*的等比中项，所以成=a 2 a 8,即(a i+6)J (a i+2)(a i+1 4),解得 a,=2,所以an=2 n.故选B.C 设y=f (x)是一次函数,若f (0)=1,且f (1),f (4),f (1 3)成等比数歹!J,则 f(2)+f(4)+f(2 n)等于()A.n (2 n+3)B.n (n+4)C.2 n(2 n+3)D.2 n (n+4)解析：由题意可设 f (x

26、)=kx+l (kW O),则(4 k+l)2=(k+l)(1 3 k+l),解得k=2,f (2)+f (4)+f (2 n)=(2 X 2+l)+(2 X 4+1)+(2 X 2 n+l)=n (2 n+3).故选 A.(2021 江苏盐城高三考前热身)在对任意n l满足SM+S*2(Sn+1);编仪二出+;Sn=nann(n+1).这三个条件中任选一个,补充在下面问题中.问题：已知数列E 的前n项和为Sn,a2=4,若数列 a是等差数列,求出数列 为 的通项公式;若数列瓜、不是等差数列，请说明理由.解:若选择条件:因为对任意nl,nN*,满足Sn+1+S,1-1=2(Sn+1),所以 S

27、n+i-Sn=Sn-Sn-i+2,即 3n+l3n=2,因为无法确定a的值，所以a2-ai不一定等于2,所以数列 a“不一定是等差数列.若选择条件：由Sn+i-2=Sn+an,则 Sn+Sn-an=2,即 anH_an=2,nN*,因为a2=4,所以a,=2,所以数列 4 是等差数列，公差为2,因此数歹U a j的通项公式为a,=20.若选择条件：因为Sn=nanH-n(n+1),所以 Sn i=(n-1)an(n-1)n(n 2,nN*),两式相减得 an=nan+i-(n-1)an-2n(n2),即 an+i_an=2(n 2 2),又 S i=a，2-2,即 d，2Q-i=2,所以 an

28、+i-an=2,n N*,又 Q.2=4,a 2a,=2,所以a i=2,所以数列 a j 是以2 为首项,2 为公差的等差数列.所以 an=2+2(n-l)=2 n.美 活 方 混布致梃怩选题明细表知识点、方法基础巩固练数列求和1,3,4,5,6,7,8数列综合应用2,9,1 0数列创新题综合运用练应用创新练1 2,1 3,1 4,1 5,1 61 11 7A级基础巩固练1 .数歹心1+2 e 的前n 项和为(C )A.1+2 B.2+2nC.n+2n-l D.n+2+2n解析：由题意得出=1+2所以S n=n+三六n+2nT.故选C.2.我国古代数学名著 算法统宗中说：“九百九十六斤棉，赠

29、分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意为：“9 9 6 斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第1个孩子开始，以后每人依次多1 7 斤,直到第8 个孩子为止.分配时一定要按照次序分,要顺从父母，兄弟间和气,不要引得外人说闲话.”在这个问题中，第 8 个孩子分到的棉花为(A )A.1 8 4 斤 B.1 7 6 斤 C.6 5 斤 D.6 0 斤解析:依题意得,八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为匕上公差为d,前 n 项和为Sn,第一个孩子所得棉花斤数为ab则由题意得，d=1 7,S g=8 a i+等 X 1 7=9 9 6,解得a i

30、=6 5,所以 a8=a i+(8-l)d=1 8 4.故选 A.3.数列 a“的通项公式是4=7=早前n 项和为9,则n 等于(B )A.9 B.9 9C.1 0 D.1 0 0解析:因为 an=r-=V n +l-V n,Vn+vn+1所以 Sn=ai+a2+-+an=(7n+1-赤)+(匹7 n l)+(V3/2)+(V2-V l)=V nTT-l,令7n+1 T=9,得 n=9 9.故选 B.4.数列 a j 的通项公式为a-(4 n-3),则它的前1 0 0 项和为(B )A.2 0 0 B,-2 0 0C.4 0 0 D.-4 0 0：S1 0 0=(4 X 1-3)-(4 X 2

31、-3)+(4 X 3-3)-(4 X 1 0 0-3)=4 X(1-2)+(3-4)+(9 9-1 0 0)=4 X (-5 0)=-2 0 0.故选 B.5.我国古代数学名著 九章算术中，有已知长方形面积求一边的算法,其方法的前两步为:第一步，构造数列1，六，第二步,将第一步中数列的各项乘以n,得到的新数列记为ab a2,a3,an则a a+a 2a 3+2展等于(C )A.n2B.(n-1)2C.n (n-1)D.n (n+1)解析:由题意得，新数列为nA A：2 3 4故 a+a 2a 3+a 3 a 4+a n-i a nn,n n,n n.=n 一+一 一+一 -+2 2 3 3 4

32、=n +1X2 2X3 3X4+2 L n-11(n-1)n=n2(l1,1 1,十1 1,十 ,十 1 i 1n-1 n=n (n-1).故选c.6.定义:称P1+P2+Pn为n个正数为P2,-,Pn的“均倒数”.若数列 an2 2 3 3 4=r?(l)nnnnnn的前n项的“均倒数，为 券 则 数 列 瓜 的通项公式为（C ）A.an=2n-l B.an=4 n-lC.an=4 n-3 D.an=4 n-5解析:因为诉F磊所以+.“+，n T,n所以 a1+a2+a3+(2 n-l)n,ai+a2+,+an-i=(2n-3),(n-4)(n22),两式相减得a“=(2nT)n-(2n-3

33、)(nT)=4n-3,ai=l也适合此等式，所以an=4n-3.故选C.7.(2021 江西高三模拟)单调递增的等比数列 a j 满足ai+az+a3=14,a】a2a3=64,令 bn=log2an,贝(J 1一一 的前 10 项的和为.bnbn+i解析:设单调递增的等比数列 的公比为q,则 ql,喘 才 所以1%(l+q+q2)=14,UiQ=4,消去a 得上妙尤甘，q 4即 2q-5q+2=0,解得q=2或口弓(舍去)，所以月=2,an=aiqn-,=2X2n-1=2n,bn=log2an=log22n=n,rr-iM 1 1 1 1所 以 -7 77-7，bnbn+1 n(n+l)n

34、n+lr-riM 1.1,1.1,1 1.,1 1 i 1 10P J 以-+-+-=1 +-=.bb2 b2b3 n 0bli 2 2 3 10 11 11 11答案:当118.在数列 aj 中,ai=-2,a2=3,a3=4,aI1+3+(-l)nan,i=2(nN*).记 是数列 4 的前n 项和,则S20的值为.解析：由题意知，当 n 为奇数时，an+3-an+i=2,又 2=3,所以数列 a j中的偶数项是以3为首项,2为公差的等差数列，所以 a2+a4+a6+-+a20=10X 3+X 2=120.2当n为偶数时，an+3+an+i=2,又 a3+a1=2,所以数列 a.中的相邻的

35、两个奇数项之和均等于2,所以 ai+as+as+,+ai7+ai9=(ai+a?)+(as+a?)+(an+ais)=2 X 5=10,所以 S20=120+10=130.答案：1309.设 9 是数列 a j 的前 n 项和，满足(Sn+2+3Sn)-(3SnSnT)=2(n e2,n N*),且 ai=2,a2=6,a3=12,则 an=,若 bn=,则数列 b j 的-n前2 021项和为.解析：当 n32 时，由(Sn+2+3Sn)-OSH H+SH H)=2,得(Sn+2-Sn-l)-3(Sn+1-Sn)=2,所以 atrf+an+l+an-3an+l=2,整理得(an+2-an+i

36、)-(an+i-an)=2,(*)则数列瓜4 从第二项起是公差为2的等差数列.因为 a-i-2,32=6,&3=12,所以(&3_a2)(&2a,)=2,符合(*)式，所以 a.a j是首项为4,公差为2的等差数列，所以 an+i-an=4+2(n-l)=2(n+1).当 n2 时，an=(an-an-i)+(an-i-an-2)+,+(a2-ai)+ai=2n+2(n-l)+.+2X 2+2=n(n+l),a 1=2也符合上式，所以 an=n(n+l),所以b,an n n+1所以数列 b j 的前2 0 21项和为(.+(；+(9+()+)=2 2 3 3 4 2 021 2 022r 1

37、 2 021所以 an=2n-l.(2)证明：配=2幼二册芸4_/1 1 X /12 022 2 022答案:n(n+l)2 02210.已知数列瓜 的前n 项和S.满足a=向 二+1(n 22,n N),且3 i=l.(1)求数列 a j 的通项公式；(2)令bn=2 n,c=-,设L 是数列 c j 的前n 项和，证明：T W 4(bn-l)(bn-4)2 解：店=7 7+1(n 22,n N),且 a 尸 1,可得 户 为首项为1,公差为1 的等差数列，则 V i=l+(n T)=n,即 S n=n*2,当 n 3 2,a n=S S n T=2n-l(当 n=l 时也符合)，3.22n

38、-3 _1(22 n-1-l)(22 n-3-l)4 22n-3-i 22 n-1-l T =-i(-一)+(一2_)+(-l-I )1=1 1)a 2=7,不满足性质”对任意的正整数n,如 产Wam都成立；对于B,D,数列 2n+l和 2 n T 都是等差数列,故有安幺=,满足性质“对任意的正整数n,安 回W a田都成立”;对于 C,an=ln Y，an+2+a n=ln(*,2ant i=ln (|)2-X -()2=-?5=an(n e N*),前 n 项和为 Sn,满足 S=(-1)na+-+n-3 (1 n 6);数列 b n 满足 b n+8=b n (n N*),且 b i=2,

39、bn+i=-bn(l n 7),则数列区 b jn+1的第2 024项的值为.解析:因为 Sn=(-l)nan+n-3(1 ),所以当 n=l 时，由 Si=(-1)a i+1+l-3 得 a尸-*当 n=3 时,a i+a2+a3=-a 3+-8,所以a 2+2a 3=,O当 n=4 时，a1+a2+a3+a i=a 4+1,16所以a2+a3=,16由得8 2=2,3二 一 登，4 16当 n=5 时,+8 2+3+a+25=-%+或+2,所以&i+2a 5工 豆,当 n=6 a i+a z+a s+a i+a s+a c=a 6+3,64所以a4+a 5-,64由得a产a5=-g.16

40、64因为 bnr i=-bn(1 W n W 7),b i-2,所以(n+l)b m=n b n=2(ln W 7),所以 b.二(lWnW8),n因为 an+5=an(n e N*),bn+8=bn(n e N*),所以数列 4b0是以4 0为周期的数列,因 止 匕&2 024 ,2 024=3 24 *i24,H _ _47 1 _2_1而 8 24一a -7 7,b2 4 0 8-7，16 8 41 1-1 (I -a 47、/1 47因 止 匕 出 024 *b 2 024=24 *024=义 二 二 二？16 4 64答案6414.(2021 新高考I卷)已知数列 a j满足aFl,

41、4后an+1,九 为 奇 数,an+2,ri为偶数.(1)记bn=a2n,写出b”b2,并求数列 b j的通项公式;求 an的前20项和.解：(1)因为 bn=a2n,且 ai=l,an+i=an+1,?!为奇数,an+2,ri为偶数.所以 bi=a2=ai+l=2,b2=a4=a3+l=a2+2+l=5.因为 b n=a 2 n,所以 b n+I=a 2 n+2=a 2 n+l+l=a 2 n+l+l=a 2 n+2+l=a 2 n+3,所以 bn+bn=a2 n+3-a2 n=3,所以数列 b j是以2为首项,3为公差的等差数歹山bn=2+3(n-l)=3n-l,neN*.(2)因为 an

42、ti=an+1,九为奇数,册+2,71为偶数,所以当 kN 时,a 2k=a 2k-i+尸a 2kT+1,即 a.2k=a，2k-i+l,C Da.2k+尸a2k+2,a2k+2=a 2k+l+l=a 2k+l+1，即 a2 k+2=a 2k+l+l,所以+得a 2k+l=&2k-l+3,即 a 2k+l-&2k-l=3,所以数列 a j的奇数项是以1为首项,3为公差的等差数列；+得 a2k+2=a 2k+3,即 a2k+2-a2k=3,又a?=2,所以数列 a j的偶数项是以2为首项,3为公差的等差数列.所以数列 a j 的前 20 项和 S20=(ai+a3+a5+,+ai9)+(a2+a

43、4+a6+,+a20)=10+X 3+2 0+-X 3=300.2 215.(2021 辽宁沈阳一模)已知正项数列 a j的 前n项 和 为Sn,且W+i=2S,+n+l,a2=2.(1)求数列&的通项公式；若bn=an 2n,数列限 的前n项和为Tn,求使Tn2 021的最小的正整数n的值.解：当 n22 时，由忌+i=2S“+n+l,a2=2,得 W=2Si+nT+l,两式相减得磷+丁成=如1,即成+i=W+2a“+l=(an+I)2.因为数列 a“为正项数列，所以 anH=a+l.当n=l时，谖=2a1+2=4,所以&1=1 所以 a.2-ai=l,数列 an是以1为首项，1为公差的等差

44、数列,所以an=n.由知 bn=an 2n=n-2n,所以 丁=1 X 2+2 X 22+3 X 2、+n 2n,2Tn=lX 22+2X23+-+(n-l)2n+n 2n+1,两式相减得-n*2n+,=(l-n)2n+1-2,所以 Tn=(nT)2叫2,所以 Tn-T,w=n-2n0,所以当n l时，T J单调递增,当 n=7 时,丁7=6义28+2=1 5382 021,所以使Tn2 021的最小的正整数n的值为8.16.已知数列 a j的前n项和为Sn,且满足2Sn=(n+2)(a1),nN*.(1)证明：鬻 为常数歹U,并求a”；令b=a2n,s i n等,求数列 b j的前n项和Tn

45、.解：(1)因为 2Sk(n+2)(a1),当 n 22 时,2Sn-1=(n+l)(an-l),-得 2an=(n+2)a,-(n+l)an-i_l,即 nan-(n+l)an-i=l,同除n(n+1)得署-限J-n+l n n(n+l)n n+1整理得色+1-。7r In+1 n 所以 鬻 为常数列因为 2s尸(1+2)(a=l),所以a，i=3,则为+1=1+1=2,所以 an=2n+l.(2)由得，a2n=2 2n+1=2叫 1,所以壮=(2田+1)5打 一；+i)=+4 1).si n(H+n n),同/2九+1 +1,九=2/c,ZN*,川 Dn l-(2n+1+l),n =2/c

46、-l,/ceN*.当 n=2k,k N*时，1=(-2-1)+(23+1)+(-24-1)+(-2-1)+(2n tl+l)=-22+23-24+252n+2n+1=22+244-+2n=(2n-l).当 n=2k-l,k N*时,”“-1)-(2鼻1)=一 中.综上,Tn=(2n-l),n =2/c,/ceN*,之 卢,九=2忆-1,kN*.C级应用创新练1 7.在bi+b3=a2,&i=b i,$5=-2 5.这三个条件中任选一个,补充在下面问题中，若问题中的k存在,求k的值;若k不存在,请说明理由.设等差数列 的前n项和为Sn,bn是等比数歹山,b i=a.5,b?=3,b s=-8 1

47、,是否存在 k,使得 SkSk+i,且 Sk+iSk+2?解：因为在等比数列 b 0中,b2=3,b5=-8 1,所以其公比q=-3,从而 b,%(-3 严=3 X(-3 尸,从而 a,5=b i=-1.若存在k,使得SkSk”即 SkSk+ak+i,从而 ak+i 0;同理,若使Sk+lSk+2,艮 口 Sk+i 0.若选:由 bl+b3=a2,得 a2=-l-9=-1 0,所以 an=3 n-1 6,当k=4 时,满足a5 0成立;若选：由 a4=b4=27,且 a5=-l,所以数列 a j 为递减数列，故不存在a.k+X O,且 Sk+2 0;若选：由 S5=25=5(a i2t-a 5)=5a 3,解得 a3=-5,从而 a=2n-l l,所以当k=4 时，能使a5 0成立.