向量数乘运算及其几何意义教案.pdf

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1、2.2.1向量加法运算及其几何意义教案一、教学目标知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行匹边形法则作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力情感目标：经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质二、重点与难点重点：向量加法的定义与三角形法则的概念建构；以及利用法则作两个向量的和向量难点：理解向量的加法法则及其几何意义三、教法学法教法运用了”问题情境教

2、学法”、“启发式教学法”和“多媒体辅助教学法”.学法采用以“小组合作、自主探究”为主要方式的自主学习模式四、教学过程新课程理念下的教学过程是一个内容活化、创生的过程，是一个学生思考、体验的过程，更是一个师生互动、发展的过程基千此，我设定了5个教学环节：一、创设情境引入课题师：在前一节课中我们学习了一个新的量向量，今天就让我们共同来探究向量的加法运算，首先，请看课件（出示）点评：无论是台球还是飞机，从最初的位置到达最终的位置都是经历了两次位移，如果从作用效果角度来看，这两次位移的作用效果就等千从起点到终点的一次位移，在物理上，我们就把这次位移称作是之前两次位移之和【问题l】位移求和时，两次位移的

3、位置关系是什么？如何作出它们的和位移？两次位移首尾相连，其和位移是由起点指向终点学生活动：学生讨论，自主探究点评：位移是个物理量，如果抛开它的物理属性，它正是我们研究的向量那么，受到位移求和的启发，能否找到求解向量之和的方法呢？二、实践探究总结规律【问题2】如图所示，对千向量a和6如何求解它们的和呢？活动设计：小组探究、代表汇报(1).由他们自已得出问题的答案：“在平面内任取一点0,平移a使其起点为点0,平移6使其起点与a向量的终点重合，再连接向量a的起点与向量6的终点”.(2)鼓励学生自己给出定义：加法的定义：已知向量a玉，在平面内任取一点0,。a A B 作OA=ci,AB=b,则向量动叫

4、做向量a,b的和记作：a+b.即a+b=OA+AB=OB.(3)向量加法的法则：和的定义给出了求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则点评：加法的定义其实是用数学的作图语言来刻画的，这种方法经常出现在几何中，这一点也更好的体现了向量加法具有的几何意义和向量数形结合的特征“观察小猴过河的动画短片“.【问题3】平行四边形法则有何特点？是平移两个向量至共起点【问题4】想想你遇到过一些可以用向量求和来解释生活现象吗？活动设计：学生以小组为单位讨论，小组汇报比比谁的例子最多，最贴切三、类比联想探究性质【问题5】请类比实数加法的性质完成表格，并通过画图的方法验证你的结论实数的加法向量的加法.a+b=b+a

5、 忖a+b=b+a l 一.l.质(a+b)+c:a+(b+c)(a+b)+c=a+(b l+c)四、数学运用深化认识例1:如图，已知a、6，作出a+bT/方a方了下设计意图学生会看到三角形法则对共线向量的求和仍然是适用的，反映了三角形法则具有广泛的适用性例2:根据图示填空(l)a+b=-(3)a+d+b=(2)c+d=一一一E;(4)DE+CD+AC=;(5)AB+BC+CD+DE=设计意图】在训练三角形法则的同时，使同学们注意到三角形法则推广到n个向量相加的形式即Al+Ai+A2A3+A,一lA,l九A,向量数乘运算及其几何意义一教学目标1.知识与技能通过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何

6、意义，理解向量共线定理。熟练运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。2.过程与方法：理解掌握向痲共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向呈是否共线。3态度情感与价值观：通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力。激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感，培养学生实事求是的科学态度，勇千创新的精神。二教学重难点重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线定理。难点：向量共线定理的探究及其应用。三教学过程（一）复习回顾问题1:向量加法的运算法则？问题2:向量减法的运算法则？（二

7、）新课讲解l向量数量积的定义【探究l】已知非零向量a,作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，你能说出他们的几何意义吗？问题1：相加后，和的长度和方向有什么变化？问题2:这些变化与哪些因素有关？一般地，我们规定实数入与向量“的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：入a它的长度和方向规定如下：(l)入;|入111(2)当入0时，入社的方向与社的方向相同；当从0时，初的方向与a的方向相反。由(1)可知，当入 0或a=O时，入a=O练2向量数乘的运算律【探究2】问题一：求作向量3(2a)和6a(a为非零向量），并进行比较。问题二：已知向量；、b,求作向量2(;+b)和2+2b,并进行比较

8、。类比实数乘法的运算律得向量数乘的运算律：设a、b为任意向量，入、为任意实数，则有：结合律：从a)三亿归第一分配律：亿)a=Aa+a第二分配律：入(-a+b)入正筋向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。对千任慈向撇a、b及任意实数人，恒有2(1a士2b)入la士入2b。例5:计算（口答）(1)(3)x4a(2)3(a+b)-2(a-b)-a-(3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c)3、向量共线定理【探究3】问题1:如果b庙（i口6)，那么，向量i与b是否共线？问题2:b与非零向量五共线，那么，b庙？思考：l；为什么要是非零向量？2.b可以是零向量吗？向量共线定理：向量b与非零向量句共

9、线当且仅当有唯一一个实数-儿，使得b入a例6已知任意两非零向量a、b试作OA=a+b,OB=a+2b,l OC=a+3b。你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？【变式练习】如图，已知AD=3AB、DE=3BC，试判断五勹与iE是否共线？A 思考：在本题中，若B、C分别是AD、AE的三等分D 点，你能否利用向量关系来证明BCII DE呢？总结：证明向量共线；证明三点共线：两向量共线且有一个公共点若AB=ABC，即AB与BC共线且有一个公共点B,则A、B、C三点共线；证明两直线平行：AB入CDAB/CD直线AB/直线CD。AB、句不重合例7.如图口ABCD的两条对角线相交与点M，且立a五

10、万五，用a,b表示环，面，环如而5.空间向量立体几何知识点集锦一、空间向量的加法和减法：(1)求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则即：在空间任取一点o，作=a面i=b,则BA=iib.。二A(2)求两个向量和的运算称为向量的加法：在空间以同一点o为起点的两个已知向量a、6为邻边作平行四边形OACB,则以o起点的对角线丽就是正我的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则B b/a+i,OA 二、实数儿与空间向量a的乘积入a是一个向量，称为向量的数乘运算当心0时，;i,a与a方向相同；当AO时，;i,a与a方向相反；当入0时，入a为零向量，记为6.庙的长度是a的长度的同倍

11、三、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向C 5 量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线四、向量共线充要条件：对千空间任意两个向量a,E（肛o),a11E的充要条件是存在实数入，使a=凡E.五、平行千同一个平面的向量称为共面向量六、向量共面定理：空间一点p位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对Xy使对x及y忒；或对空间任一定点o，有研+xAf让y及了；或若四点P,A,B,C共面，则OP=x扣y氓z改(x+y+z=l).七、已知两个非零向量a和fj在空间任取一点0,作仁a，丽江E,则乙AOB称为向量aE的夹角，记作，房两个向量夹角的取值范围是：（a,EEO，

12、叶八、对千两个非零向量a和E若亿趴竺，则向量aE互相垂直，2 记作aJ_6.九、已知两个非零向量a和fj则la!IElcos(a，房称为a,E的数量积，记作辽即a-b=la!IElcos(a，局零向量与任何向量的数量积为o.十、a6等于a的长度忆I与E在a的方向上的投影忙lcos(a,E)的乘积十一、如，6为非零向量，e为单位向量，则有(1)肛i=Zie=jajcos(a，动；同例(a与6同向）(2)aJ_5-a 6=0;(3)a汇,a d=|a|2，回；-|a|E|（a与E反向）(4)cos（丘1:I|:;(5)|a 5|a|E|.十二、空间向量基本定理：若三个向量a,b,c不共面，则对空间

13、任一向量p存在实数组x,y,z，使得p=xa+yb+zc.十三、若三个向量aE因不共面，则所有空间向量组成的集合是叶P迈yb+zc,x,y,z ER这个集合可看作是由向量a,6,c生成的，拉，釭称为空间的一个基底，a，6,E称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底十四、设为有公共起点o的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以的公共起点o为原点，分别以记云，云的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.则对千空间任意一个向量p一定可以把它平移，使它的起点与原点o重合，得到向量研p存在有序实数组x,y,z，使得p=x正沁Z云把x,y,z称作向量p在单位

14、正交基底;e;e;下的坐标，记作p=(x,y,z)此时，向量p的坐标是点p在空间直角坐标系Oxyz中的坐标(x,y,z).十五、设a=（xl,yI,zl)，6=（分为五），则(l)a,+b=(x,马，Y,+Y2,21飞）(2)正b=(x1飞Y,-yz,21飞）(3)庙（从，从，杠）(4)ab=x凸Y,Y2+z凸(5)若a、6为非零向量，则a.lEii-E=0心尸Y1Y2+z凸o.(6)若户0，则旬E a庙-入卢l从，Y1从，zl=A气(7)lal五f+yf+zl2.(8)cos(a，历辽x凸y心z1z2障I扫言言荨归言厂言(9)A（石，yl,zl)，B=（印，y凸），则dAB=P画J(x2飞）

15、2+(Y2-Yi户(z2-z1)2.十六、空间中任意一条直线I的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定点A是直线l上一点，向量a表示直线l的方向向量，则对千直线l上的任意一点P,有灯ta,这样点A和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出直线l上的任意一点十七、空间中平面a的位置可以由a内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点0,它们的方向向量分别为a,E.P为平面a上任意一点，存在有序实数对(x,y)使得研xa+yb,这样点o与向量a,E就确定了平面a的位置十八、直线l垂直a，取直线l的方向向量a则向量a称为平面a的法向量十九、若空间不重合两条直线a,b的方向向量分别为aE

16、则all b=Zill b=a=入b(入 ER),a.lb=a.l伈五E=0.二十、若直线a的方向向量为a，平面a的法向量为日，且a已a,则all a iii/a 仁d.Liiii-ii=O,a.La a.La a I I ii a=,1,ii.二十一、若空间不重合的两个平面a/J的法向量分别为a,E,则a ll/3 a II b a=入E,a.l/3 a.lbab=O.二十二、设异面直线a,b的夹角为0，方向向量为aE,其夹角为6 b 0，则有cos0=lcos叫1 a|6i 二十三、设直线l的方向向量为，平面a的法向量为ii,l与a所成的|.n 角为0,I与ii的夹角为O，则有sin0=icos rpl=.I仆lnl二十四、设n;园是二面角a-l-/3的两个面a,/J的法向量，则向量示园的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小若二面角a-l-/3的平面角为0,则icos0I=-二十五、在直线l上找一点P,过定点A且垂直于直线l的向量为ii则定点A到直线l的距离为d=I环cos（环，ii|.匠.ii 同二十六、点A与点B之间的距离可以转化为两点对应向量灯的模因习计算二十七、点p是平面a外一点，A是平面a内的一定点，n为平面a的一个法向量，则点p到平面a的距离为d=|跃|cos（环，计I=|欧nl同