概率论核心概念及公式.pdf

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1、 概率论与数理统讳 核心公式第 1章随机事件及其概率(1)排列组合公式(加-)！从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。C=!(加一)！从个人中挑出n 个人进行组合的可能数。(2)加法和乘法原理加法原理(两种方法均能完成此事)m n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由种方法完成，第二种方法可由种方法来完成，则这件事可由+n 种方法来完成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)m x n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可丽种方法完成，第二个步骤可由种方法来完成，则这件事可由ix n种方法来完成。(3)一些常见排列重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)顺序问题(4)随机试验和随机

2、事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。(5)基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：QW 进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；E何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，解来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，陶表示。一个事件就是呼中的部分点(基本事彳挈)组成的集合。通常用大写字母A,B,C,表示事件，它们冒的子集。为必然事件,0 为不可能事件

3、。不可能事件。)的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件(Q)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。(6)事件的关系与运算 系：如果事件A的组成部分也是事件5的组成部分，(/发生必有事件8 发 生)：A u B如果同时有/U 8,B n A,则称事件力与事件6 等价，或称/等 于 氏A=区4 8 中至少有一个发生的事件/U 及或者於民属于/而不厘于8 的部分所构成的事件，称为1与8 的差，记为力乜也可表示为力/或者豆，它表示/发生而6 不发生的事件。4 同时发生：力 n瓦 或 者 楹 A A B=0,则表示A 与B 不可能同时发生，称事件A与事件B 互不相容或者

4、互斥。基本事件是互不相容的。Q-A 称为事件A的逆事件，或制的对立事件，记 刀。它表示A 不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A (BC)=(A B)C A(J(BUC)=(A ljB)U C分配率：(A B)UC=(A UC)A(BUO(A I JB)C|C=(A C)U (BC)第1页 共2 1页第2页 共2 1页oo oo _德摩根率：Q U AB=A B4 nB =%U 8(7)概率的公理化定义设。为样本空间，/为事件，对每一个事件1都有一个实数P(A),若满足下列三个条件：1 OP(A)1,2 P(Q)=13 对于两物互不相容的事件li,九，有尸(。4 卜胃尸(4)常称为可列(

5、完全)可加性。则称P(A)为事件/的概率。(8)古典概型。=卜 ,02 P(q)=P(w2)=-P(0,则 称 P(N)为事件A 发生条件下，事件3P(4 B)发生的条件概率，记 时(5 )=o条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(Q/B)=1=P(5/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式乘法公式：P(AB)=P(A)P(B/A)更一般地，对事 件 虬 A 2,若P(AIA2%)0,则有P(4 4 2.A)=PA)P(Az|/i)尸(431 AAi).P(A ArA2.A-i)o(14)独立性个事件的独立性设事件4、8 满足P(/B)=P(尸(B),则称事件工、8

6、是相互独立的。若事件Z、8 相互独立，目。(4)0,则有P(BA)=还=皿 网P(4)P(A)若事件Z、8 相互独立，则可得至至与8、A与Z、N 与否也者阱目互独立。必然事件Q和不可能事件0 与任何事件都相互独立。0 与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是二个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。(15)全概公式设事件5,心,治满足1 81,历,8 两两互不相容，P(B.)0(z=1,2,Q O/=1 ,则有P(A)=

7、P(B)P(A|Bi)+尸(82)P(/|82)+P(B“)P(A B“)(16)贝叶斯公式设事件8,B i,.以及/满足1 B,Bi,8“两两互不相容，尸()0,i=l,2,n,nJ c l Bi2。V ,P()0,则P(BJA)=J 3)P B，)j=i,i=l,2,-no此公式即为贝叶斯公式。P 3),0 =1,2,，),通常叫先验概率。P(&/),。=1,2,，?),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了因果”的概率规律，并作出了“由果朔因的推断。(17)伯努利概型我们作了次试验，且满足每次试验只有两种可能结果,A 发生或/不发生；次试验是重复进行的，艮 W发生的概率每次均一样；每次试验是

8、独立的，即每次试驹发生与否与其他次试险发生与否是互不影口鄙。这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。用表示每次试验4 发生的概率，贝值发生的概率为一，=9,用长伏)表示重伯努利试验中/出现仪0 次的概率，PAk)=C”q”k 0,1,2,第 一早随机变量及其分布(1)离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X 的可能取值为Xk(k=l,2,)且取各个值的概率，即事件(X=&)的概率为P(X二 xj=pk,k=l,2,则称上式由离薪血随人变富的概率分布或分布律。有时也用分布列的通给出：X Xl,X2,麻,P(X=Xk)1 pi,pz,，pk,。显然分布律应满足下列条件：C p k =T(1)P

9、&NO.k=1,2,(2)o第3页 共2 1页(2)连续型随机变量的分布密度设%X)是随机变量x 的分布函数，若存在非负函额G),对任意实如，有/(X)=f f(x)dx贝卿x 为连续型随机变量。/(X)称为x 的概率密度函数或密度函数，简称疏密度。密度函数具有下面个性质：1 f(x)Oo9o r f(x)dx=1乙 J一 刃 O(3)离散与连续型随机变量的关系PX=x)P(x X x+dx)=fxdx积分元x)x 在连续型随机变量理论中所起的作用与(X=找)=Pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。(4)分布函数设X 为随机变量，x 是任意实数，则函数F(x)=P(X x)称为随机变量X

10、的分布函数，本质上是一个累积函数。P(a Xb)=F-F(a)可以得到X落入区间向的概率。分布函数A)表示随机变量落入区间(-8,X内的概率。分布函数具有如下性质：1 0 F(x)1,oo x +oo.2/是单调不减的函数，即 YX2时，有尸3)4 尸)；F(-oo)=lim F(x)=0 F(+oo)=lim F(x)=13 Xf-0 0 X f+o o 4 F(x+0)=F(x),即/(x)是右连续的；A o P(X=x)=尸(x)F(x-0)Jo尸(x)=p k对于离散型随机变量，;X/(X)=f f(x)dx对于淬续型限机娈量.7。(5)八大分布0T 分布 P(X=l)=p,P(X=O

11、)=q二项分布 在重贝努里试验中，设事彳牛发生的概率加。事件”发生的次数是随机变量，设 郑，则X 可能取值对，口，。P(X=k)=P(k)=C：p k q,其中q=1 p,0 p 0,左=0,1,2，贝 U 称随机变量 服从参晟郑的泊松分布，/式 万或者p(2)o泊松芬布为二项分布的极限分布附二，8)。第4页 共2 1页超几何分布“公-曳 aa,/口 /7=m in(M,M)随机变量X 服从参数为n,N,M 的超几何分布，记为I (n,N,M)。几何分布P(X=k)=q p,4=1,2,3,，其中p 0,q=i-Po随机变量X 服从参数为P 的几何分布，记为;(P)0均匀设随机马为常数力/(X

12、)=贝 U称随利函 金尸(x)=.当 a X P(x,基 量 X 的值只落田a,b 内，其密度函数八X)在 a,b 上1-。，即!-ax Wbb-a0,其他，1变量Y 在 a,b 上服从均匀分布，记为C U(a,b)o攵 为 0,x a,x-a1V f(x)dx=b-a aWx Wb XboX20/=1 ；1 0.x 0,则称随机变量(服从参数 的指数分布。X 的分布国数为r J e 弋 x 0,/=1 ，x xne xdx=n0第5页 共2 1页第三章二维随机变量及其分布正态分布设随机变量X 的 密 度 嬲 为f 向b，2b,_ 8 x 0 为常数，则称随机变量r 服从参数郑。的正态分布或高

13、斯Causs)分布，记为 N(,，)。/(x)具有如下性质：1 /(X)的 图 形 号 琴 称 的；2 当x=时，疡为最大值；若X NG，/),则x 的分布函数为?(x)=.I e dt际 O O参数=0、c =l 时的正态分布称为标准正态分布，记为X N(0,l),其密度函数记为观、)=石：一 ,O(X)是不可求积函数，其明数值，已编制成表可供查用。(-X)=1-(X)且(0=2 o即黎沈箸%巨守学)O(6)分位数下自立表：P(X*4“)=a；上利立表：P(X 4)=a。(7)函数分布离散型已知*的/P(X=刈y=g(x)3布列为X 一pi,。2,pn,弗 沙 鄱 浒=欢若斗才日建)如下：作

14、为g(W 的概率。P(f)若 有 曾pi,p?,，p,(刈相等,则应将对应附，相加连续型先利用X的概率密度fx(x)写出Y的分布区1 数F、，(y)=P(g(X)。(i,j=l,2,)；S Z Pi，=L(2)i j连续型对于二维随机向第=(x，y),如果存在非负函数f(x,y)(-x +co-co y ,即D=(X,Y)|ax 0;r+8 f+OD(0、f f(x,y)dxdy=l.(/)J-30 J-00(2)二维随机变量的本质K x=x,y =y)=/(x =xn)第7页 共2 1页(3)联合函数设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数y,二元函数F(x,y=PXx,Yy称为二维随机向量

15、1,Y)的分布函数，或称为随机变量和Y 的联合分布函数。分布国数是一个以全平面为其定义域，以事件(幼 必)|-8 X )乂-8 y(g)y 的概率为国数值的一个实值因数。分布函数F(x,y)具有以下的基本1 性质:(1)0F(x,)X1 时,有 F(x2,y)F(x i,y);当 y 2y i 时,有 F(x,y?)F(x,y);(3)F(x,y)分别对x 和 y 是右连续的,即尸(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0);(4)F(-o o,-o o)=F(-o o,y)=F(x,-o o)=0,F(+o o,+o c)=1.(5)对于匹 Z，M 0(4)离散型与连续型的关

16、系P(X=x,Y=P(x X x +dx,y Y y+dy)jx,y)dxdy(5)边缘分布离散型X 的边缘分布为=P(X=Xj)=Z pt j(z,j=1,2,)j Y 的边缘分布为B,=p(y =匕)=Z%(i =L2,)连续型X 的边缘分布密度为/x(x)=J/(x，V)力；J-oOY 的边缘分布密度为/y(y)=J f(x,y)dx.J 00(6)条件分布离散型在已知后灯的条件下，Y 取值的条件分布为P(y =y|X=X,)=Pt.在已知3/的条件下，x 取值的条件分布为尸(x =x/y =%)=&-,P-J连续型在已知Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为/3 歹)=华 鲁AG O

17、.在已知X=x 的条件卞，Y 的条件分布密度为Zr(x)(7)独立性一般型F(X,Y)=Fx(x)Fv(y)离散型Pu=Pi.P.i有零不独立第8页 共2 1页其中SD为区域D的面积，则 称&Y)服从D上的均匀分布，记为(X,Y)(D)o例如图3.1、图3.2和图3.3。连续型f(x,y)=fx(x)fy(y)直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布1 1 卜-必)2 2Pg内 XJ F)/y-2 V、1 2(l-p2)1 5)a,a2 16 Jf(x,y)=,-e L ，2兀0 p l -pp=0随机变量的函数若X,X2,X n p X fn+1,X n相互独立，h,g

18、为连续函数，则:h(Xi,X 2,Xm)和 g(XnH,Xn)相互独立O特例:若x与Y独立，则：h(X)和g(Y)独立。例如：若X与Y独立，则:3X+1和5Y-2独立。(8)二维均匀分布设 随 机 向 量Y)的分布密度函数为白 (x,y)&Df(x,y)=0，1P11是5个参数，则 称&Y)服从二维正态分布,记 为(X,Y)-N,p).由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分彳即 XN(4”：),丫 Ng g；).但是若X-N (从，村),入 N g b；)(x Y)未必是二维正态分布。Z=X+Y根据定义计算：弓(z)=P(Z 4 z)=P(X+Y W z)+0 0J

19、 f(x,z -x)dx对于连续型，fz(z)=-8?2两个独立的正态分布的和仍为 正 态 分 布 中+4,6 +4 )on个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。M=c：a；Z=m ax,m in(xbx2,-.xn)若 乂，“2X“相互独立，其分布国数分别为4(X)，属2(X),(X),则 z=m ax,m in(Xb X2,Xj 的分布函数为：/x(x)=G(x)仁 心 Fmin=FXi(x).1-FX2(X)-1-FX,(x)x分布设n个仪可以证B爪4的分布?日机变量占，“2，,X,相互独立，目服从标准正态分布,月它们的平方和X；否度为1 -1-/()我们下其中喧布中y则zQ=

20、摊祚0-=1w e w v,2叱)0,u 0.有机变量服从自由度为n的/分 布，记 为 厂/，广+8-1x2 e xdx.Jo目自由度是指独立正态随机变量的个数，它 是 随 机 遴一 个重要参数。分布满足可加性：设匕 +2+4).第1 0页 共2 1页t分布设X,Y是两个相一x N(o,i),y 2可以证明函数T=-=y/Y/n的概率密度为/)=12 J我们称随机变量r4-a()=%()互独立的随机变量，且2()，+1f i XF1 n)(-00 t +oo).服从自由度为n的t分布，记为Tt(n)。F分布设口 X inr=-Yin./(y)=0n2)I 2 J0,y0一 个 自 由 度 为

21、第 二 个 自 由 度 为1 2的).口儿变量三为L f2)一 Fa/r”月职第(nb及1(2，l)第四章随木几变量的数字4等在(1)维随机变量的数字离散型连续型期望而望就是平均值设X是离散型随机变量，窥布律为P(X=x)=Pk,k=l,2,，n,E(X)=YxkPkk=l(要求绝对收敛)设X是连续型随机变量，剧率密度为f(x),+COE(X)=xf(x)dx00(要求绝对收敛)国数的期望Y=g(X)凤 丫)=之8 6)小k=Y=g(X)-K 0E(y)=g(x)/(x)公co方差D(X)=EX-E(X)F,标准差b(X)=D(X)O(X)=Z KE(X)2pk+00D(X)=Jx E(X)2

22、/(x)公00第1 1页 共2 1页矩对于正整数k,称随机变量X的k次帛的数学期望郑的k阶原点矩，记为Vk,即Yxi Pivk=E(Xk)=)切比雪夫不等式给出了在未知的分布的情况下，对概率的一种估计，它在理论上有重要意义。(2)期望的性质E(C)=CE(CX)=CE(X)E 忙=f G (X,)E(X+Y)=E(X)+E(Y),=-=E(XY)=E(X)E(Y),充分条件：X和Y独立；充要钏牛：X和Y不相关。(3)方差的性质D(C)=O;E(C)=CD(aX)=a2D(X);E(aX)=aE(X)D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+bD(X)=E(X2)-E2(X)D(

23、X Y)=D(X)+D(Y),充分条件:X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。D(XY)=D(X)+D(Y)2E(X-E(X)(Y-E(Y),无条件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。期望方差0-1 分布 3(1，p)PP(l-P)二项分布8(，P)npnp(l-p)泊松尸(A2几何j_p1-PP2超几何分布nM卞也(1 一 丝 丫N I N人 N-l J均匀分布“(包与a+b2岭 产12(4常分的望方见布期和差第1 2页 共2 1页指 数 2)(5)二维随机变量的数字蝌E(X)=3,P,.i=lE(Y)=yjP.jJ=1+=oE(X)=jxfx(x)dx-0 0+00E(Y)

24、=JM S)方-0 0函数的期望仇 G(x,y)=EZ G(XQJ)%司 G(x,y)=+00-KOJ G(x,y)f(x,y)dxdy 00-0 0方差D(X)=gx,E(X)p,o(y)=Z区一(y)2p,KO0(X)=Jx-E(X)2/x(x)dx-0 04-00D(Y)=y-E(Y)2fY(y)dy-0 0方差对于随机变量x 与 Y,称它们的二阶混合中心焙u 为 X 与丫的协方差或相关矩，记应中或co v(x,y),即ax r=A1=E(X-E(X)(Y-E(Y).与记号bx y 相对应，X 与 Y 的方差D(X)与D(Y)也可分别记为 br x 与 b 1 To相关系数对于随机变量X

25、 与Y,如果D(X)0,D(Y)0,则称_ b.vr _Jo(x)Jo(y)为 X 与Y 的相关系数，记 恬 制(有 时 可 简 记 郎)。p 1,当 夕 1=1时,称 X 与丫完全相关：P(X=+6)=1正相关，当0 =1 时(0),完全相关 负相关当夕=-1时(。0)，而当夕=时，称x 与 Y 不相关。以下五个命题是等价的：01T=;co v(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵(axxI aYX aYY J第1 3页 共2 1页混合矩对于随机变量X 与 Y,如果有E（X y）存在，则称之为X 与 Y的左

26、短阶混合原点矩，记刈处；在阶混合中心矩记为：孙,=娟（-演）-（丫）/.第 大 数 定 律 和 中 心 极 限 定 理（6）协方差的性质co v(X,Y)=co v(Y,X);co v(aX,bY)=ab co v(X,Y);co v(X1+X2,Y)=co v(Xi,Y)+co v(X2,Y);co v(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).7独和相立不若随机变量x与 Y 相互独立，贝 p x y=；反之不真。2 2若（X,Y）个（|，2，6，火,），贝!JX与 Y 相 互 独 立 的 充 萋 条 件 盘 和 Y 不相关。_（1）大数定律比夫数律切雪大定设随机变量,x2,数 C所 界：n

27、t v/o相互独立，均具有有限方差，且被同常d用|尔乎/工者的TP咐。右lim P“TOO特殊慢式成为lim P“TOO !，J、1 n 1n i=入),人 II 刈 J 92 E(X j)弗：孰?J1 、/=112,具 有 相 同 的 数 学 期 堇（Xi）=，则上、8 1=1.伯努利大数定律说明，当试验次数彳豌时，事 佛 发 生 的 频 率与概率有较大判别的可能性很小，即lim 4-8 1FT T0-这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律设 X1,E (Xn)lim Pw-o oX2,，=4,则 狂-一 /=1是相互独立同分布的随机变量序列，且F 任意的正数有 4 =1.第

28、14 页 共 2 1 页(2)中心极限(72X f N(,一)n列维一林德伯格定理设随机变量Xi,X2,相互独立，服从同一分布，且具福同的数学期望和方差：E（X*）=,D（A ）=cr 2/0（左=1,2,），则随机变量y-归_ 一的分布函数代对任意的实数X,有-_?limFn（x）-limP -=-=f e 2 dt,T8 T yjna J 2乃 Jf此定理也称为蚯同分棚中心极限定理。棣莫弗一拉普拉斯设随机变量X 为具有参数n,p(0pl)的二项分布，则对于儒实数X,有(2X -nv 1 f.v =hm P -=p（n,左 不变）若当 N，则CN（N-00）.超几何分布的极限分布为二项分布。

29、（4）泊松定理若当 00时,吵一 几0 则C pk（i-p y-k e-A（、y 。k!.o o）.S et）k=0 1 2 n二项分花的抽施分布方泊松分布。第六章样本及抽样分布（1）数理统计的基本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标白傩称为总体（或母体）我们总是把总体看成一个具有分布的粗变量（或随机向量J个体总体中的每T单元称为样品（或个体）样本我们把从总体中抽取的部分样常”“2，,X”称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用表示。在一般情况下，总是把样本看成悬个相互独立的且与总体有相同分布的随机量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的龌X|2 ,x”

30、表示n个随机变量（样本）在具体的一次螂之后，再 多，,表示n个具体的数值（样本僖）我们称之为样本的两重性。样本函数和统计量设X *2,，阳,为总体的一个样本，称0 （范，*2,，居）为样本国数，其中9为一个连续函数。如民中不包含任何未知参 数.则 献 砂，%,“）为一个统计量。第1 5页 共2 1页常见统计量及其性质x=xz.样本均值 n1 _S?=-Y -X）2.样本方差 T IS =7）2.样本标准差 V T I样本k 阶原点矩Mk=x,k=1,2,.,=i样本k 阶中心矩1 M；=-2（七一%）,左=2,3.拉,=!CT2E（斤）=，,（X）=T,%2）=/E（S*2）=U，1 ”一S*

31、2=1（乂-孙其中 .为二阶中心知。（2）正态总体下的四大正态分布设X 2，X为来自正态总砂（4,。2）的f样 本，贝肺羊幅数泮 N N（o,l）.c r/v nt分布设X”Z，,为为来自正态总砂（4,。2）的f样 本，贝肺羊幅数_def X-L I/1、t （一 I）,s/y ln其中t（n T）表示自由度为n-l的 t 分布。力2分布设再,声，演为来自正态总型（4,/）的一t 样本，则样藕数的（-1炉 2,/（1）,b其中/（一 1）表示自由度为n-l的/分 布。F 分布设对%，,为为来自正态总产（口；）的Y样本，而乂,n,打为来自正态总冲（，无）的一个样本，则样本函数def S：/CT,

32、2其中$=（七 x），S =（x y）;n 1/=1 n2 1 f=l打 1,2-1）表示第一自由度利|-1,第二自由度为 2 -1的F 分布。第1 6页 共2 1页（3）正态总体下分布的性质了与S?独立。第 七 章 参 泉估计(1)计矩估计设总体X的分布中包含有未知教”必，内，则其分布国数可以表成尸（x;,%,）它的k阶原点矩=E（X ）（左=1,2,祖）中也包含了未知参蝇,必，,内,即以二以优，,）。又设Xi，匕，,X”为总体x的n个样本值，其样本的k阶原点矩为1 V X：（左=1,2,，.这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的群矩”的原则建立方程，即有A A A1匕（，名

33、尸，%）=23，曰A A A1 ,J丫2（4,2,，%,）=一2尤；，/=1V匕花,。，4）小1 1=1A A A由上面的m个方程中，解出的n个 未 知 参 委 超2,）即为参数（4,%，,以）的矩估计量。若）为夕的矩估计.且为许续函数.贝区 为8（田 的矩估计。第1 7页 共2 1页第1 8页 共2 1页极大似然估计当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为/（工*,仇,4）,其中4,仇，盘为未知参数。又设再,，猫 为 总 体 的 样 本，称L，&，,）=在/（匕；仇,e,“）为样本的似然函数;简记现，当总体x为离型随机变量时，设其分布律为P X =x =p（x;仇，&,）则称L（xl,x2

34、,-,x;0i,0,=Y p（xl;0l，仇，,/）为样本的似然函数。A A A若似然函瑟“血，凡,.）在a e,，制 处 睚 最A A A大值，则球，9 2，*分别为4，2的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。皿=0,2，加若 为e的极大似然估计，或刈为单调函数，贝 甲（0为g O的极大似然估计。（2）估计量的评选标准无偏性A A设夕=仇匹2,为）为未知参皴的估计量。费（2）=%则称，为e的无偏估计量。E（X ）=E（X）.E（S2）=D （X）有效性A A A A设仇X,2，,/）和 仇=仇（项,%，2，X）是未知参数八A A Ae的两个无偏估i+第，4（仇）8 P（0n-0）

35、=0,则 称 为6的一致估计量（或相合估计量）若）为8的无偏估计，围 一 （一功，贝向为。的一致估计。只要总体的E （X）和D（X）存在，一切样本矩和样本矩的连续函数制相应总、体的一致估计量。（3）区间估计置信区间和置信度设总体x含有一个待估的未知参政。如果我们从样本X1，X，2,，演出发，找出两个统计第=可（看,%，2，居）与。2=。2（M/，2，X.）（4。2）,使得区可仇 以1 -a（0 a 1）的概率包含这个套估参数，即P e61=-a,那么称区闻4力2 为e的置信区间，1-。为该区间的置信度（或置信水平2单正态总体的期望和方差的区间估计设匹，X，2，,X为总体X N(,72)的Y样本

36、，在置信度为1一1 下，我们来确定丽人的置信区对3%。具体步骤如下:(i)选择样本国数；(ii)由置信度1 一。，查表找分位数；已知方差,估计均值(i)选择样本函数u=N(OA).%N n(ii)查表找分位数P-A =l-a.(iii)导出置信区间 卷/+啜未知方差,估计均值_(i)选择样本函数X U 去(ii)查表找分位数f X-/.I/P-A (iii)导出。的置信区间 的，乒第八章假设检验基本思想假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认通是不会发生的，即小概率原理。为了检验一个倒是否成立。我们先假翘是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的彳是不正

37、确的，我们拒绝接受;如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接窥 我们称4 是相容的。与76相对的假设称为备择 设，序 表 示。这里所说的小概率事件就是事5 长此,其 概 率 就 是 检 验 水 平 通 常我们取a=0.05,有时也取0.01或 0.10。第 19 页 共 2 1 页基本步骤假设检验的基本步骤如下：提出零假设4;选择统计量篦对于检验水平支查表找分位数2;由样本值/，与计算统计量之值/；A A A将K 与进行比较，作出判断：为K|或 K 时否定从否则认为4 相容。两类错误第一类错误当必为真时，而样本值却落入了否定域，按照我彳门翅的检验法则，应当否觥。这时，我们把客观此成立判为必为

38、不成立（即否定了真实的假设）称这种错吴为“以真当假的错误或第一类错误，论为犯此类昔误的概率，即P 否定均曷为真=a；此处的a 恰好为检验水平。第二类错误当必为真时，而样本值却落入了相容域，按照我由宽的检验法则，应 当 接 受&这 时，我 们 把 客 观 为 不成立判为4 成 立（即接受了不真实的假设）称这和错误为“以假当真的错误或第二类错误，记?为犯瞪错误的概率，即P 接受为为真=尸。两类错误的关系人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。B当容量n 一定时，。变小，贝 W 变大；相反地，A变小，贝心变大。取科要想使万变小，则必须增力样本容量。在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错逋概率，即给定显著性水平a。a 大小的选取应根麒际情况而定。当我们宁可以假为真、而不愿“以真当假”时，则应把a 取得艮小，5D0.0 1,甚至0.001。反之，则应把a 取得大些。单正态总体均值和方差的假设检验条件零假设统计量对应样本函数分布否定域2已知b o ：=0U=七与川(0,1)1-2：4 4 o 喂Ho:U tI-2 o/心(T)Ht F-a (-1)第2 0页 共2 1页未知dH0:a2=a2仆 Ri0-0A T2(/7 -1)W /c2a(n-l)1-2“0：K|L(T)H0-.a2 b；w /c (n-l)第 2 1 页 共 2 1 页