绝对值和绝对值不等式的解法（解析版）.pdf

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1、【第5讲】绝对值和绝对值不等式的解法编 写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波【基础知识回顾】知 识 点1绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零 的 绝 对 值 仍 是 零.即a,。0,|a|=0,a-Q,-a,a 0,则x-y的 值 等 于（）A.7 或-7 B.7 或 3 C.3 或-3 D.-7 或-3【答 案】CH+H+M【例1-3】已知：abcO,且M-a b c,当a,匕，c取不同值时，M有 种不同可4当。、仄c都是正数时，例=3；当a、b、c中有一个负数时，则M=l；当a、仄c中 有2个负数时，则例=-1；当a、b、c,都是负数时，M=-3.

2、HE.【答 案】【解 析】归纳总结:a h c abcr+i+，【练 习 1】已 知 是 非 零 整 数，且 a+c =O,求 同 网 lcl版 d 的值【解析】：由于a+c =O,是非零整数，则 正 二 负 或 一 负 二 正,(1)当 一 正 二 负 时，不妨设原式=1一1 -1 +1 =0；(2)当 一 负 二 正 时，不妨设“0,c 0,原式=T+I+I_I=O原式=0.探 究 二 绝 对 值 的应用【例 2】若卜-4|=-区+2|,则&+。=-.【解析】|-4|=-|*+2|=|a-4|+|ft+2|=0=a=4 =-2(所以=2归纳总结：绝对值具有非负性，即若向+川+同=,则必有

3、a=0,b=0,c=0.【练习 2-1 练习 1 ：(a+1)+1/?2|=0,a=；b=【解析】a=-l力=2.|/n4-3|+/?-+2|2p-l|=0【练 习2-2】若 2，则 什 2 +3%=-7 1 1 3tn=-3,n=,p=p+2n+3t=？=+7-9=【解析】由题意，2 2,所以 2 2.探究三零点分段法去绝对值【例 3】化简代数式上+1+卜-4【解析】当X 4-2 时，原式=-(X+2)-(X-4)=-2X+2；当-2V x 4时，原式=(了+2)-(-4)=6；(3)当时，原式=x+2+x 4=2x-2综上讨论，原式 2.x+2(x 4 2)1 6(-2 x4)归纳总结:【

4、练习3】化简代数式y=|xT|+2 k-2|【解析】当E时,=5-3 当 l x 2 时，y=3-X；当 xN2 时，y=3x-5.5-3x（x 1）=3-x（l x =卜-1|的图像【解析】（1）关键点是=1,此点又称为界点；（2）接着是要去绝对值当时，y=i-x.当X1 时,（3）图像如右图说明：此题还可以考虑该图像可由y=|x|的图象向右平移一个单位后得到【例 4-2画出y=k 7 +2|x-2|的图象【解析】（1）关键点是=1和*=2（2）去绝对值当x4 1 时，尸 5-3件当 l x 2 时，.=3-X；当xN 2时，y=3x-5（3）图象如右图所示.【例4-3】画出函数）=-/+2

5、卜|+3的图像【解析】（1）关键点是x =（2）去绝对值：当 x 2 0 时，y =-x2+2 x +3；当 x 0 时，y=-x2-2x+3（3）可作出图像如右图【例4-4】画出函数）=，3 x+4的图像【解析】（1）关键点是户1和x =2（2）去绝对值：当了41 或X N 2时，y =x2-3 x +2.当x 2时，y=x2+3 x-2（3）可作出图像如右图归纳总结：探究五解绝对值不等式【例5-1】解不 等 式 凶 1.【解析】对应数轴上的一个点，由题意，x到原点的距离小于1,很容易知道到原点距离等 于1的点有两个：-1和1,自然只有在一1和1之间的点，到原点的距离才小于1,所以”的解集是

6、3 T x l .归纳总结：（I）凶（。0）的解集是 划一“用，如 图I.&）冈。3 0）的解集是 x|x a或龙0,如图-a 0 a-a 0 a图1图2【练习5-1】解不等式：W 3 W2 答案（1）x|-3xv3 （,）x|x3 （3）x -2 x 2【例5-2】解不等式值一2|1.【解析】：由题意，Tx 2 1,解得1 尤 3,所以原不等式的解集为 x x O)U -C G T +/?。)0 ax+力。或 以+人 c【练习5-2】解不等式：卜 一 叫 2；|3-叫 5；【解 析】：(1)由题意，3 x 1 3,解 得7 x 1 3,所以原不等式的解集为 x|7x 一 X 2或2龙 一5

7、g 或 x g(3)由题意，-53-2 x 5,解得|2-x|-4 2.【解析】：由1 2一*4 4 0,得TW2 X W 4,解得 2 W x W 6,_ 4 2由5-1 1 +3乂 2,得|l +3 x|3,即_31+3X 3,解得 3%3 ,4 2 4 2 x x x -由得，3 3 ,所以原不等式的解集为 3 3 .【练习5-3 解不等式1引2元 一 1|5.【解析】：方 法 一:由 尤I ,解得一2 x 3；由1 上 一1|得,x l,联立得一2 x 0或1 W x 3,所以原不等式的解集为 x|2 x 或方法二：1邪1 1 5 =1-1 5或-52X-1W-1,解得-2%0或1”3

8、,所以原不等式的解集为x|-2 x 或lx2%+1【解析】：方法一：（零点分段法）,3 1 1（1）当一 4时，原不等式变为：区 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 解得 3,所以 3.3X 一（2）当 4时，原不等式变为：4 x-3 2 x+l,解得x 2,所以x 2；x x 2综上所述，原不等式的解集为 3方.法 一：|4 x一 2x+1 4x 32x+1 或,.l 国 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _I,1解M得 a3 或I,网 I,所山x x 2以原不等式的解集为 3归纳总结.a,I+q /（x）=一/。）公+/（%）（2）旦 _ _ _ _

9、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 或 国 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【练习5-4】解不等式：林*3 x+l.【解析】：由_ 2 y J|4x-3|W x+1 得 冈 L 解得 W -%一 ,原不等式的解集为2 4x-x-【例5-5解不等式：LZ1方 法1：利用零点分区间法（推荐）【分析】：由W T =,卜+2|=。，得X=1和=2.-2和1把实数集合分成三个区间，即2,-2 x l,按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论.x 2【解析】：当了一2时，得-(-1)-(+2)5,解得：-3%-2；0当一2%l当11 时

10、，得(x T)+(x+2)5,解得：1%2综上,原不等式的解集为M-3%2方法2：利用绝对值的几何意义【解析】：1 2!_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ I的几何意义是数轴上的点x到1和-2的距离之和小于5的点所 时 应 的 取 值 范 围，由 数 轴 可 知，1一(-2)=3 5,易 知 当 国 _|或 国 时,2!_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ I,所以x位于国 和2之间(不含端点)，所以|旦 1,所以原不等式的解集为小3%4.【解析】解 法：由x-l=O,得x =l；由|冈 I得x =3；若x 4,即I耳 1 4,解得x 0,又 x l,.%0；若l W x 4,二不存

11、在满足条件的X；若x N 3,不等式可变为(x l)+(x 3)4,即 国 二|4,解得x 4.又忘3,.,.x 4.综上所述，原不等式的解为/4.解法二:如图1.1 l,|x 1|表示X轴上坐标为X的点尸到坐标为1 的点4之间的距离|出|,即照I=|x 1|；卜一3|表 示x轴上点P到坐标为2的点8 之间的距离|P B|,即|P 8|=|x-3|.|X-3|_ 入所以，不等式kT+|x 3|4 的几何意义即为 P c A 6 DI I i 7 I；|E 4|+|P B|4.x 0 1 3 4 xV J由|A 5|=2,可知|x _点P在 点 C（坐标为0）的左侧、或 点P在 点。（坐 图 1

12、.5-5标为4）的右侧.%4.【课后作业1】_ 3 _1.-5 _；|3一小,同2,卜一2|+|2广1|=5,%=4,贝”=.3 .若 时+=,那 么 一 定 是()A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数4 .若曰 L那么“是 数.5.如图，化筒,+4一区一2|一匕一。|一|2-4=Ab a 0 c 26.已知 _ Z!_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,则 x+2 y=.7.化 简 向 _ _ _ _ _L并画出I叵 _ _ _ _ _ _ _ _I的图象8.化简 K+5|+|2X-3.9.画出L 3 _ _ _ I的图像1 0.画出，+x +2 x+3 的图像【课后作业2】1.已 知 国 二I,化简A.6一。6福得（B.闫I)C.国可4.根据数轴表示I区I三数的点的位置,化简X l+2x9,解不等式：卜 _ +卜 _21+2【参考答案11.2.2 或T 3.C 4.负 5.-4 6.3【参考答案2】-1.B 2.3-5 x l；7 3,8 4,0,3 55 x|-7x-15xll 6 X2X27.x|-lxlWc2x408.x-x59.3