2023年浙江省宁波市重点高考考前模拟数学试题含解析.pdf

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项：1 .答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2 .选择题必须使用2 B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3 .请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4 .保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共1 2 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知复数z 满足z-（l +2 i）=5（i 为虚数单位），则在复平

2、面内复数z 对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2 .已知函数/.（x）=a s i n x-G c o s x 的图像的一条对称轴为直线x =,且/（不）（工 2）=。，则 归+目 的 最 小 值6为（）7 1 八 7 1 2 4A.-B.0 C.D.3 3 32 23.若双曲线E：土 一 上=1 （?（）绕其对称中心旋转J后可得某一函数的图象，则 的离心率等于（）m n 3A.空 B.V 3 C.2或 空 D.2或 百3 34.已知正四面体A-B CD外接球的体积为8 后，则这个四面体的表面积为（）A.1 8 7 3 B.16 G c.1 4 /3 D.5

3、,阿波罗尼斯（约公元前2 62 1 9 0 年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数攵 0,%。1）的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ,3间的距离为2,动点P与 A，8的 距 离 之 比 为 注，当 P,A，28不共线时，A E 4 8 的面积的最大值是（）A.2 7 2 B.V 2 C.D.3 36.已知函数/（x）=F （。0）,若函数g（x）=/（x）-4N有三个零点，则”的取值范围是（）5 x.x aA.（0,1）U 5,+8）B.（0,1）U 5,+）C.（1,5 D.（1,5 J7.若|场|=1,OB=y/3,O A O B =0 点 C在 A B

4、 上，且 ZAOC=30,设 反=加 砺 +砺（九 e R）,yn则 一 的 值 为（）n3B.373VD.百8 .已知函数/（x）的图象如图所示，则/）可 以 为（）C.f(x)-xXX9 .已知x 0,y0,x +2 y=3,则 士 良的最小值为(孙A.3-2/2 B.2 7 2 +1 C.V 2-1)D.V 2 +11 0 .中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A、3、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，且P T =Y 1二1AP,则/-避工丽=（2 2A.与乐B.空丽C.空丽D.铝冠1 1 .设i是虚数单位，则（2+3。（32 2）

5、=（）A.1 2+5/B.6 6/C.5 z D.1 31 2.如图，在直角梯形 A B C。中,45 0。,4。_1 _ 0（7,40=2 48,后为4 0的 中 点,若 丽=/1方 +丽（/1,/?）,则的值为（）4 BDC二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 2 0 分。1 3.已知命题P：V x 0,x3 0那么P是.2 21 4.已知月，K 分别是椭圆C：=+与=1 (a b 0)的左、右焦点，过左焦点耳的直线与椭圆C交于A、8两a b点，且 4 用=3|跖|,|/=怛 工|,则 椭 圆 的 离 心 率 为.1 5 .定义在R上的偶函数“X)满足 e+x)=/(e r),且/

6、(0)=0,当xe(义e 时，的(x)=l n x.已知方程=gs i n 在区间 e,3e 上所有的实数根之和为3仅.将函数g(x)=3s i r?(?+1 的图象向右平移个单位长度，得到函数(x)的图象，贝！|。=,网8)=.1 6 .已知函数/(x)对于xe R都有“4-x)=/(x),且周期为2,当工式一3,-2 时，x)=(x +2/，则41)=-三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7 .(1 2 分)已知等差数列 4 的前项和为S“，耐=86+1,公差d 0,S 、5 八 九成等比数列，数列 满足 l o g,瓦=(%-1)l o g?&求数列

7、q,也“的通项公式；1 ,、(2)已知%=,求数列%+,的前项和anan+1 8 .(1 2 分)已知函数/(x)=(l-1 卜,g(x)=2-1(a eR)(e是自然对数的底数，“2.7 1 8 ).(1)求函数/(x)的图象在X =1 处的切线方程；(2)若函数丫=券在区间 4,5 上单调递增，求实数”的取值范围；(3)若函数(x)=x)+(x)在区间(0,+8)上有两个极值点不，占(为)，且(再)8 的大小;(2)若 6=2,求 ZVU3C面积的最大值.20.(12分)联合国粮农组织对某地区最近10年的粮食需求量部分统计数据如下表:年份20102012201420162018需求量(万吨

8、)236246257276286(1)由所给数据可知，年需求量与年份之间具有线性相关关系，我们以“年份2014”为横坐标x,“需求量-2 5 7”为纵坐标 请完成如下数据处理表格：年份一 20140需求量一2570(2)根据回归直线方程$=的+2 分析，2020年联合国粮农组织计划向该地区投放粮食300万吨，问是否能够满足该地区的粮食需求？参考公式：对于一组数据(%,%)，(x2,y2),.(%,%),其回归直线9=gx+4 的斜率和截距的最小二乘估计分/_ _别为：3=弓-，a=y-bx.r=l21.(12分)一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的

9、(eN*)个坑进行播种，每个坑播3 粒种子，每粒种子发芽的概率均为且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种.(1)当 取何值时，有 3 个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？(2)当=4 时，用 X 表示要补播种的坑的个数，求 X 的分布列与数学期望.22.(10 分)如 图，在四棱锥尸ABCZ)中，底面 ABC。，A D A B,A B/D C,A D=D C=A P =2,AB=1,点 为棱P C 的中点.(1)证明：B E 上D C：(2)求直线BE与平面P蛆所成角的正弦值；(3)若尸为棱P C 上一点，满足M _ L A C

10、,求二面角/一回一/5的余弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】根据复数运算，求得z,再求其对应点即可判断.【详解】.z=1 k=l-2 i,故其对应点的坐标为（1,一2）.其位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的运算，以及复数对应点的坐标，属综合基础题.2.D【解析】运用辅助角公式，化简函数/（X）的解析式，由对称轴的方程，求得。的值，得出函数./（工）的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数.f（x）=asinx-gcosx=d a1+3sin（x+J）（e 为

11、辅助角），由于函数的对称轴的方程为 ,且/（-7）=；+；,6 6 2 2即=J/+3,解得4=1,所以/（x）=2sin（x工），2 2 3又由/（E ）/（%）=T，所以函数必须取得最大值和最小值,、冗JT所以可设玉=2k、兀 十 二,k、G Z,x2=2k2兀-,k2 G Z,6 62万所以归+x2|=2k7c+2k27r-,k e Z ,当仁=&=0 时，N+X 2 I 的 最 小 值 笄，故 选 D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试

12、题.3.C【解析】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60，所以2 =6或 由 离 心 率 公 式a 3e=.l+-即可算出结果.V【详解】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60,又双曲线的焦点既可在x 轴，又可在y轴上，所以3 =6或 曰，=+=2 或 苧.故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的概念，考查了分类讨论的数学思想.4.B【解析】设正四面体A B C D 的外接球的半径R,将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出正方体的棱长，从而得出正四

13、面体的棱长，最后可求出正四面体的表面积.【详解】将正四面体A B C D 放在一个正方体内，设正方体的棱长为a,如图所示，设正四面体ABCD的外接球的半径为R,则 生g=8几 乃，得R=心 因为正四面体ABCD的外接球和正方体的3外接球是同一个球，则 有 屈=2R=2后，a=2正.而正四面体ABCD的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以，正四面体ABCD的 棱 长 为&a=2&x&=4,因此，这个正四面体的表面积为4 x 1=166.4故选：B.【点睛】本题考查球的内接多面体，解决这类问题就是找出合适的模型将球体的半径与几何体的一些几何量联系起来，考查计算能力，属于中档题.5.A【解析】根据平

14、面内两定点A，8间的距离为2,动点尸与A，B的 距 离 之 比 为 在，利用直接法求得轨迹，然后利用数形结2合求解.【详解】如图所示：化简得(x+3)2+9=8,当点P到AB(x轴)距离最大时，AE48的面积最大,二A/NB面积的最大值是x2x2jl=20.2故选：A.【点睛】本题主要考查轨迹的求法和圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6.A【解析】分段求解函数零点，数形结合，分类讨论即可求得结果.【详解】作出y =和y =5-x,丁 =4|%|的图像如下所示：函数g(x)=/(x)-川|有三个零点，等价于y =/(%)与y =4国有三个交点，又因为。0,且由图可知，

15、当x W O时y =/(*)与y =川乂有两个交点A。，故只需当x0时，y =/(x)与y =4|x|有一个交点即可.若当x0时，a e(0,l)时，显 然=(口)与=4旧|有一个交点口,故满足题意；a =l时，显 然=()与=4|口没有交点，故不满足题意；a e(l,5)时，显 然j=)()与；=4|也没有交点，故不满足题意；何5,同 时,显 然y =/(x)与 =4国有一个交点C,故满足题意.综上所述，要满足题意，只需a e(0,l)U 5,+o ).故选：A.【点 睛】本题考查由函数零点的个数求参数范围，属中档题.7.B【解 析】利用向量的数量积运算即可算出.【详 解】解：ZAOC=30

16、 c o s -2.OC OA GV|OA|=1,|OB|=/3,OA.OB=0m _ 5/3ylm2+3n2 2/,62 -92又在A3上mQ,n 0:.-=3n故选：B【点 睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用.8.A【解 析】根据图象可知，函 数/（x）为奇函数，以及函数在（）,+8）上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出.【详 解】首先对4个选项进行奇偶性判断，可知，为偶函数,不符合题意，排除匕X其次，在剩下的3个选项，对其在（0,+8）上的零点个数进行判断，/（x）=在（0,+8）上无零点，不符合题意，排除X2D；然

17、后，对剩下的2个选项，进行单调性判断，/（=-在（0,+纥）上单调递减，不符合题意，排 除C.故选：A.【点睛】本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题.9.B【解析】上包/+屏+2加二+1 +至 之1 +2 L 1 +2 0，选Bxy xy y x y x10.A【解析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题.【详解】解:标一叵11旃=丽 一 冢=而=在1砺.2 2故 选:A【点睛】本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题.11.A【解

18、析】利用复数的乘法运算可求得结果.【详解】由复数的乘法法则得（2+3。（3 2 i）=6+5 i-6=1 2+5九故选：A.【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.1 2.B【解 析】建立平面直角坐标系，用 坐 标 表 示 诬，区，而，利 用 声=/1而+月 列 出 方 程 组 求 解 即 可.【详 解】建立如图所示的平面直角坐标系，则0(),().不妨设 48=1,贝l C O=A O=2,所以 C(2,0),4(0,2),8(1,2),E(0,1),CA=(-2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2),/CA=ACE+/JDB.,.(-2,2)=2(-2,2),2 A

19、+u=2解得2 +2;/=2c Q；则4 +4二.畔飞故选：B【点 睛】本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.二、填空题：本 题 共4小 题，每 小 题5分，共2 0分。1 3 .真命题【解 析】由募函数的单调性进行判断即可.【详 解】已 知 命 题P：V x 0,丁 0,因 为y=V在(0,+?)上单调递增，则/()3=0,所 以 是真命题,故答案为：真命题【点 睛】本题主要考查了判断全称命题的真假，属于基础题.1 4 .叵5【解析】设忸耳|=&,则|时|=3 4,|明=忸 周=4&,由忸制+|明|=|时|+|伍|=为 知,5k=2a,AF2 =2k,B C A F2，垂

20、足为C,则C为4行的中点，在用A A 8 C和AA片心中分别求出cosZBAF2，进而求出c,k的关系式，即可求出椭圆的离心率.【详解】如图,设怛耳|=3则|”|=3左,|阴=忸 居1=4左，由椭圆定义知，怛 制+忸 段=|A制+|伍|=2巴因为忸耳|+忸6|=5左,所以5&=2 a,|A闾=2左,作垂足为c,则C为从心的中点,在 R t A B C 中，因为 Z B C A =90 ,I狗所以 A C 2co s A B A C -=A B A Bk _ 14 -4在A4耳心中，由余弦定理可得,co s NR A F2隹-忸 工 J21M 伍|4即(3(+(2 4)二4 c：=),解得c 二

21、 巫上2x3kx2k 4 2V i o,-K所以椭圆的离心率为e=乌 一a 里T故 答 案 为:巫5【点睛】本题考查椭圆的离心率和直线与椭圆的位置关系;利用椭圆的定义,结合焦点三角形和余弦定理是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.1 5.2 4【解析】根据函数/(X)为偶函数且/(e+x)=/(e x),所 以 的 周 期 为2 e,)=3 i n侍尤)的实数根是函数/(x)和函数y=g s in x的图象的交点的横坐标，在平面直角坐标系中画出函数图象，根据函数的对称性可得所有实数根的和为6 e,从而可得参数a的值，最后求出函数(力的解析式，代入求值即可.【详解】解：因为“X)为偶函数且/(

22、e+x)=/(e-x),所以/(x)的周期为2 e.因为x e(O,e时，x)=l n x,所以可作出/(x)在区间 一e,3 e上的图象，而方程x)=；s in 宗 的实数根是函数/(x)和函数y=；s in 宗 的图象的交点的横坐标，结合函数/(X)和函数y=；s in gx)在区间 e,3 e上的简图，可知两个函数的图象在区间-e,3 e上有六个交点.由图象的对称性可知，此六个交点的横坐标之和为6 e,所以6 e=3 ea,故a =2.因为 g（x）=3 s in?3 7T X 5 co s +一,r+12 2 23 7T所以（X）=_ Q C O S 5（X 2）5 3 5+-.i/?

23、（8）=-co s（4 ）+-=4.5+-2故答案为：2；8【点睛】本题考查函数的奇偶性、周 期 性、对称性的应用，函数方程思想，数形结合思想，属于难题.I1 6.-4【解 析】利 用/（4 x）=x）,且 周 期 为2,可得=得个）=/1 3【详 解】/(4 x)=/(x),且周期为 2,./(x)=/(x),又 当x w -3,-2 时，X)=(X+2)2,故答案为：:4【点 睛】本题考查函数的周期性与对称性的应用，考查转化能力，属于基础题.三、解答 题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1)a“=2-1,(x 0 )；(2)Tn=；1 1-2n+)【解 析】（

24、1）根 据 4是等差数列，嫉=81+1,S,S,、成等比数列，列两个方程即可求出,”,从 而 求 得 明,代入化简即可求得/；（2）化 简q,后求和为裂项相消求和，c“+2 分组求和即可，注 意 讨 论 公 比 是 否 为1.【详 解】（1）由题意知 S =4，S4=4 a,+6J ,S|6=1 6q+1 20 d,由 S；=SS|6 得(4 4 +6 J)2=4(1 64 +1 20),解 得d =26 ().又G=(q+d)2=8q+l,得9 a；=8q+l,解 得q=i或(舍).:.d=2,a=2n-l.又 l og 2”=(2n -2)l og2 4 x =l og2 xn-1(x 0

25、).bn=xn-(%0).C aan+i(2n-l)(2n +l)22 n-1 2 +l)当x =l 时，T =(。+。2+C“)+(4+包)I f.1 )2(2/z +l)当XHl时，-1 1 J-2n+l)1-x 【点睛】此题等差数列的通项公式的求解，裂项相消求和等知识点，考查了化归和转化思想，属于一般性题目.1 8.(1)y=ex-4e；(2)(5,+oo).(3)-4.【解析】(1)利用导数的几何意义计算即可；(2)y-I +.0 在 4,5 上恒成立,只需 f-(a +4)x +3a +4,0,注意到4 任 4,5 ；(3)(x 2-4 x +4)e-a =()在(0,+8)上有两根

26、，令见x)=(f-4 x+4)e-口，求导可得加(X)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，所以 小、八 且不(0,2),芯 4%+4-=%为(2,3),()=a-3)-7,求m(2)=一。一 (a-x)2因为函数 =喏 在 区 间 4,5 上单调递增，所以“4,5 ,且 y 2 0恒成立,即 X2-(a+4)x +3 +4,0,o1 Q442-(a +4)x 4 +3 +4 0 一 ,所以 2，即 9,又a e (-a),4)U (5,+8),5-(a +4)x 5 +3a +4-故。5,所以实数。的取值范围是(5,+8).h(x)=f(x)+g(x)=-,h(x)=-J-xx因

27、为函数及(x)=/(x)+g(x)在区间(0,+oo)上有两个极值点，所 以 方 程(x)=0 在(0,+8)上有两不等实根，即，-4 x +4)/-a =0.令机(x)=(x 2 4 x +4)e*a ,贝!加(x)=(-2x)e,由 z n(x)0,得 x 2,所以m(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+a)上单调递增，?7(0)-4-a 0,.、所以，&)_ 0 ，解得 0a 2、一 =8 ”0 ,所 以&w (2,3),且当x w(O,x J 和(工2，+)时，h(x)0,单调递增，当xe(玉,)时，(x)0，(x)单调递减，不多是极值点，此 时 小)=()=(+4)e _ 一%为令

28、 n(x)=(x -3)ex-l(x e (0,2),则 n(x)=(x-2)ex 0 ,所以(x)在(0,2)上单调递减，所以(%)f t(0)=-4.因为()0),贝!|(x)=(x -2)e +4,H (x)=(x-l)e.当x e(0,l)时，H (x)0.所以=(l)=-e +4。，所以。)=(一3)/+4+3在(0,+8)上单调递增，所以H(x)H(0)=0,即存在西=-1使得(占)机，不合题意.满足条件的?的最小值为-4.【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值点，不等式恒成立等知识，是一道难题.1 9.(1)；(2)-3【解析】(1)

29、利用正弦定理将边化角，结合诱导公式可化简边角关系式，求得cos B =；,根据3e(O,7r)可求得结果；(2)利用余弦定理可得a2+c、2-a c=4，利用基本不等式可求得卜%”=4,代入三角形面积公式可求得结果.【详解】(1)由正弦定理得：2s i n 3 cosB =sinAcos C+s i n C cos A =s i n(A+C)A+B+C=7r/.s i n(A +C)=s i n B,又吕(0,万)s in B0z.2c osB =l,即c osB =2由 B e(O,乃)得：B =1(2)由余弦定理2 =/+/-2c c os5 得：a2-c2-ac=4又。2+C2N2C(当

30、且仅当。=c 时取等号)，,.4 =Q2+/一 Q C N 2a c-a c =a c即 3)a=4，三角形面积S的最大值为：-X 4 si nf i =7 32【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理解三角形、三角形面积公式应用、基本不等式求积的最大值、诱导公式的应用等知识，属于常考题型.20.(1)见解析；(2)能够满足.【解析】(1)根据表中数据，结合以“年份20 14”为横坐标x,“需求量-25 7”为纵坐标的要求即可完成表格；(2)根据表中及所给公式可求得线性回归方程，由线性回归方程预测20 20年的粮食需求量，即可作出判断.【详解】(1)由所给数据

31、和已知条件，对数据处理表格如下：年份一20 14-4-2024需求量一25 7-21-1101929(2)由题意可知，变量y与x之间具有线性相关关系，由(1)中表格可得，x=Q,7 =3.2,-4 x(-21)+(-2)x (-111+0 x 0 +2x 19 +4 x 29-5 x 0 x 3.2 26 0 _ b=-K/二2%C2-=二7 =6-5,G =丁_/=3.2.由上述计算结果可(-4)+(-2)+0-+2+4 -5 x 0-4 0 知，所求回归直线方程为$=6.5 x +3.2,利用回归直线方程，可预测20 2()年的粮食需求量为:6.5 x(20 20 -20 14)+3.2+

32、25 7 =29 9.2(万吨)，因为29 9.2:.B E L D C.(2)丽=(1,2,0),丽=(1,0,-2),设平面P B )的法向量为根=(x,y,z).则B D m =QP B m =Q,代入可得-x+2 y =0 x-2 z =0令y=l解得X =2,z=l,即而=(2,1,1),设直线BE与 平 面 所 成 角 为a ,由直线与平面夹角可知si n a=c os-n-BE2_ 走底 及 一 3所以直线BE与平面PR5所成角的正弦值为也.3(3 ).芯=(1,2,(),而=(-2,-2,2),AC=(2,2,0),由 F 点在棱 PC上，设 齐=A C P=(-22,-22,

33、22),(0 2 1),故 丽=配+齐=(1-2九2-2九2储(0 2 1),由 B R _ L A C,得 乔 尼=2(1-2/1)+2(2-2/1)=0,3解 得 九=:，4口2,2,2 j，设平面F R 4的法向量为3 =(。也c),J万 通=0由b 昉=0得。+4 +九=0 1 2 2 2令c =l,则1=(0,-3/)取平面A B P的法向量；=(0,1,0),则二面角EA B P的平面角a痛足c osa=-L =一-,|z|-|n|V 10 10由图可知，二面角F-ABP为锐二面角，故二面角F-A B-P的 余 弦 值 为 题.10【点睛】本题考查了空间向量的综合应用，由空间向量证明线线垂直，求直线与平面夹角及平面与平面形成的二面角大小，计算量较大，属于中档题.