人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数专项测试试题（含答案及详细解析）.pdf

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1、人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数专项测试考试时间：9 0 分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第I I 卷（非选择题）两部分，满 分 1 0 0 分，考试时间9 0 分钟2、答卷前，考生务必用0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选 择 题30分）一、单 选 题（1 0 小题，每小题3 分，共计3 0 分）1、如图，在3 x 3 的网格中，A,6 均为格点，以点力为圆心

2、，4?的长为半径作弧，图中的点C 是该弧与格线的交点，则t a n N 8 4 c 的值是（）AA.1 B,C.f D.|2、将一矩形纸片40沿 位折叠，6点恰好落在皿边上的尸处，若A 3:B C =4:5,贝 Uc o s Z A F E 的值为（）4、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则t a n。的 值 是（）A 3.4B-1C -43、计算&t a n 6 0。的值等于（)A.1B.1C.3D.G5、如图，小王在高台上的点4处测得塔底点C的俯角为a,塔顶点的仰角为,离4 6=a,则此时塔高的长为（）已知塔的水平距A.a s i n a+a s i n B.a t a n a+a t

3、 a n ac.-t a n t z +t a n pD.6/t a n t a n t a n 06、如图，在平面直角坐标系my中，直线y =x+4与y轴交于点c,与反比例函数y的图象交于点6,连 接B0,若“。%=2,t a n N 8 0 C =g,则%的 值 是（）区 在第一象限内XA.-2 0 B.2 0 C.-5 D.57、如图，若。的半径为R 则它的外切正六边形的边长为（）A.必 B.会丝 C.2尿 D.6R3 38、如图，在直角坐标平面内有一点P（6,8）,那么射线O P 与x 轴正半轴的夹角a的正切值是（）9、已知在欣力比1 中，N 090 ,Z/=60 ,则 t a nB

4、的 值 为（）A.B B.1 C.y/3 D.231 0、如图，在/比中，N C=9 0。，BC=,A B=也,则下列三角函数值正确的是（）A-s i n 4=9B.t a nJ=2C.c o s 8=2nD.s.m BD=2/5第n 卷（非 选 择 题 70分）二、填 空 题（5 小题，每小题4 分，共计20 分）1、若一个小球由桌面沿着斜坡向上前进了 1 0 c m,此时小球距离桌面的高度为5c m,则这个斜坡的坡度为_ _ _ _ _ _.2、如图，在中，/是 的 内 心，。是 4?边上一点，。经过点6 且与/相切于点/,若t a n Z B A C=y,则 s i n/的值为.3、准备

5、在一个“7”字型遮阳棚下安装一个喷水 装 置（如 图 1）,已知遮阳棚的与竖杆如垂直，遮阳棚的高度仍=3米，喷水点/与地面的距离。=1米（喷水点/喷出来的水柱呈抛物线型），水柱喷水的最高点恰好是遮阳棚的C 处，C 到竖杆的水平距离比1=2米（如图2）,此时水柱的函数表达式为,现将遮阳棚切绕点8 向上旋转45 （如图3）,则此时水柱与遮阳棚的最小距离为一米.（保留根号）.D1O x图1图2图34、如图，中点为46的中点，将沿切折叠至若44。=折46,B C=；&i ,c o sZ/JS4=V13,则点到1的距离是 .5、如图所示，草坪边上有互相垂直的小路制n,垂足为其草坪内有一个圆形花坛，花坛边

6、缘有4B,。三棵小树.在不踩踏草坪的前提下测圆形花坛的半径，某同学设计如下方案：若在小路上R Q,三点观测，发现均有两树与观测点在同一直线上，从 6 点沿着小路往右走，测得N1=N 2=N 3,园=1 6 米，Q4=24米；从 点沿着小路卬往上走，测得=1 5 米，B P m,则该圆的半径长为_ _ _ _ _ _ _ 米.三、解 答 题（5 小题，每小题1 0 分，共计50 分）1、计算：2s i n60 +t a n45 c o s 3 0 t a n60 2、计算：c o t 60 -c o s 3 0 -1 t a n2 60 +s i n2 45.3、为了丰富学生的文化生活，学校利用

7、假期组织学生到红色文化基地力和人工智能科技馆C 参观学习，如图所示，学校在8 处，力位于学校的东北方向，位于学校南偏东30 方向，C 在力的南偏西1 5方 向（32 +3 26）km处，学生分成两组，第一组前往4 地，第二组前往。地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40 km/h,第二组乘公交车，速度是32 km/h,哪组学生先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）.北4、如图，在 口 力 中，Z Z?=6 0 ,对角线4红 6 C,。经过点力、点 6,与 4C 交 于 点连 接 并延长与。交于点尸，与的延长线交于点后，AB=E B.（1）求证：尾 是。的切线;(2)若 4 9=2

8、6，求。的半径.5、如图，已知矩形/6 徵(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：以点4 为圆心，以力长为半径画弧交边比 于点,连接4公在线段上作一点F,使得N E F C=N 8 E&连接(2)在(1)作出的图形中，若 48=4,4 7=5,求 t a n/物尸的值.一参考答案一、单选题1、B【分析】利用8 A8,得到N劭 俏 根 据 同 圆 的 半 径 相 等，AOAB=3,再利用勾股定理求解C D,可得tan/A。*魄智,从而可得答案.【详解】解：如图，,：CD/AB,：./B A O N D C A.同圆的半径相等，：.A(=AB=3,而 A Q =2,C D =ylAC2-

9、A D2=75,在 口 4切 中，t a n/A C D=2 二与 二 空C D 7 5 5A tanZ BA(=tanZ AC D=-.5故 选 B.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用图形的性质进行角的等量代换是解本题的关键.2、D【分 析】由/第7=9 0 得 c o s Z A F E =s i n U =，根 据 折 叠 的 定 义 可 以 得 到 龙=阴 则 g=级,C F C F BC即可求出c o s Z A F E 的值，继而可得出答案.【详解】:/AFE+/CFD=9Q,c o s Z.AFE=s in Z.C FD =,C F由折叠可知，C B=C F,C D

10、A U 4矩形/及力中，AB=C D,c o s Z A F E-=一 =一.C F BC 5故选：D.【点本题考查了折叠变换的性质及锐角三角函数的定义，解题关键是得到C B=C F.3、C【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案.【详解】解：/3t a n 6 0o=/3 x 6=3 .故选C.【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键.4、A【分析】根据在直角三角形中，正切值等于对边比上邻边进行求解即可.【详解】解：如图所示，在直角三角形4 6 C中N 4 6 9 0 ,A C=2,aH,._ _ 2 _ 1 tan=,故 选A.【点睛】本题主要考查了求正

11、切值，解题的关键在于能够熟练掌握正切的定义.5、B【分析】根据直角三角形锐角三角函数即可求解.【详解】解：在向AABC中，BC=AB*tana=a ta n a,在 RtZ43O 中，BD=A 8tan/?=(7 tan/?,.C D =BC+BD=tan a +a lan/7.故选：B.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是掌握直角三角形锐角三角函数.6、D【分 析】先根据直线解析式求得点C 的坐标，然后根据 8%的面积求得切的长，然后利用正切函数的定义求得切的长，从而求得点6的坐标，利用待定系数法将点B坐标代入即可求得结论【详解】解：.直线产片户4与 x 轴交于点

12、力，与/轴 交 于点 C，.点。的坐标为（0,4）,：.00=4,过 8作 加 _ L y 轴于 0 5k 如 而 2,A-O CBD =-x4B=2,2 2:BD=1,*/t a n N 8 彼 1,.BD 1 =一，OD 5，公 5,.点方的坐标为（1，5）,反比例函数y=2在第一象限内的图象交于点B,X/.2=1 X 5=5.故选：D.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，锐角三角函数，三角形面积，待定系数法求分别列函数解析式，解题的关键是作辅助线构造直角三角形.7、B【分析】如图连结，OB,0 G,根据六边形力式加F 为圆外切正六边形，得出/仍=6 0 4 A O 8 为等

13、边三角形,根据点6 为切点，可得仇人A?,可得OG平分N/仍，得出/月3；Z A0 3=g x 6 0 o =30。，根据锐角三角函数求解即可.【详解】解：如图连结QI,OB,OG,六边形/比婀1 为圆外切正六边形，.N/吩 36 0 4-6=6 0 ,力如为等边三角形，.点G 为切点，J.OGA.AB,：.OG%-分 4AOB,：.A A O O-Z AOB=L 6 0。=30 ,2 2.,.co s 30 OG04.OA=OG R 2 显co s 30 G 32故选择B.【点睛】本题考查圆与外切正六边形性质，等边三角形性质，锐角三角形函数，掌握圆与外切正六边形性质,等边三角形性质，锐角三角

14、形函数是解题关键.8、D【分析】作 月 月 轴 于 点 M 构造直角三角形，根据三角函数的定义求解.【详解】解：作 轴 于 点 ，X 6,8),沪6,PM=8,.PM 8 4.tan cz=.OM 6 3故选：D.【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.9、A【分 析】根据直角三角形的两个锐角互余即可求得4=30。，根据特殊角的三角函数值即可求解【详解】年90,Z/f=60,4=30又 tan 30。=且3故 选 A【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，求特殊角的三角函数值，理解特殊角的三角函数值是解题的关键.10、D【分析】根据正弦、余弦及

15、正切的定义直接进行排除选项.【详解】解：在中，NC=90，BC=,AB=后,AC=yjAB2-B C2=2 4=空=或，6 必=变=1,3 8 =些=且,而 8=生=毡；AB 5 AC 2 AB 5 AB 5故 选 D.【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数的求法是解题的关键.二、填空题1、立3【解析】【分析】过 6 作 6cL 桌面于C,由题意得力比10圆，B O 5 c m,再由勾股定理求出4C的长度，然后由坡度的定义即可得出答案.【详解】如图，过 6 作BC 1.桌面于C,由题意得：AB=1 0 c/n,AC=y/AB2-B C2=5 G，这个斜坡的坡度 嘿=能 咛,故答案为：走

16、.3【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题以及勾股定理；熟练掌握坡度的定义和勾股定理是解题的关键.42、-#0.8【解析】【分析】连 接 B I,作废上作，可证/勿是等腰三角形，然后证明勿6 C,进而乙解三角形力切即可.【详解】解：如图，连接。/并延长交“于 连接8/,与。相切，：.AIVOD,：.ZAI0=ZAID=9Q,是 的 内 心，：.ZOAI=ZDAI,4ABI=NCBI,：AI=AI,：./AOI/ADI(ASA),：.AO=AD,：OB=OI,：.ZOBI=AOIB,：.AOIB=ACBI,J.OD/BC,ZADO=AC,作 阻L/C于E,.t a n/掰D,Cr=O

17、E=24,AE 7.不妨设施=24%AE=7k,：.OA=AD=25k,：.DE=AD-AE=T8k,；0D=yJoE2+DE2=30Zr,J.sinZACB=-=OD24k30145.-4故答案是：【点睛】本题主要考查了切线的性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键.【解析】【分析】先根据已知设出抛物线解析式，用待定系数法求函数解析式；将线段做沿了轴向下平移，使平移后的线段助V恰好与抛物线只有一个交点，先根据如与水平线成4 5 角，从而得到直线初与直线y=x平行，再根据得出必V平行于直线y=x,利用待定系数法求出直线版 的函数解

18、析式，再根据直线楙，和抛物线有一个公共点，联立解方程组，根据 =()求出直线祢V的解析式，再求出直线的V与y轴的交点 的坐标，求出517的长度，再根据NJWG=45。，求出比即可.【详解】解：将线段9沿y轴向下平移，使平移后的线段，网恰好与抛物线只有一个交点,过点6作BGLMN千G,如图:抛物线的顶点，的坐标为(2.3),/.设抛物线的解析式为y =心-2 +3,把点4(0)的坐标代入y =心-2 1+3得:1 =ax(0-2猿+3 ,解得：a=,1 ,1 ,y =(x2)+3 =x +2,x+1,:NDBC=45,旌L y 轴，.即与直线=彳平行，且 物 与y轴的夹角是4 5 ,BD/M N

19、,.施V与直线y =x平行，ZBMG=45,.设腑的解析式为y =x+E,/网，与抛物线只有一个交点，y=x+b方 程 组,=x、2 x+l只有一组解，y2X+*方程x+b =_gx 2 +2 x +i有两个相等的实数根，将方程整理得：x2-x +b-l=0,1 1A A=(-1)2-4X-X(/?-1)=0,23解得：b=j,3，腑的解析式为 =元+会3令=0,得y=,M(0,|),8(0,3),3 3A=-(米)，2 2在RZXBMG中，ZBGM=90,ZW G=45,?sin N8WG=,BM：.BG=BM sin45=-x =-V2(米)，2 2 4.此时水住与遮阳棚的最小距离为1 0

20、米.4故答案为：y=x2+2 x+,-A/2.【点睛】本题考查二次函数的应用以及锐角三角函数，掌握待定系数法求解析式以及二次函数的性质是解题的关键.4、5 73【解 析】【分 析】过 点。作 1交口的延长线于点尸，过 点6作 1交。延 长 线 于 点G,连 接4 1 交C D 千点、E,设/，=N定 理 可 得/=4,则=J 7 3，/=N=/+/,将4 沿 刃 折 叠 至 由 等 边 对 等 角 可 得,/=N ,根据三角形内角和=90，在直角三角形中利用锐角三角函数可得=2 y 1 7 3，再由勾股定理可得=3,=+=/0,由相似三角形的判定及性质可得_ 32_=强，再由勾股定理及求解方程

21、可得：=%最后根据三角形等面积法进行求解即可得.【详解】解：过点。作 1 交勿的延长线于点E过点6作 1AA,交CD干点、E,交。延长线于点G,连接：4 =73,设=4 ,则=l73，将A 沿 折叠至Z J-,=y173,=_/_/9 -9N ，=，N =/点为月6中点，/=，/=N ,+/+/4-2=180,4/+N）=180,N =N +/=9 0，cos N -.=,=2473,=7 I=（73 产-（3）2=8=2-2=）2-（3）2=2，+=10,1/+N=90,/=90 9/4-N=90,/=/=/=/在 小/与4中，=N ，/=N =9 0,)J _ j _8-7 32 _ 12

22、/，一#f,z 32 r=7.105=+F+B Fi,2+2=2,:%F =(海 I解得：2 =3b.J,=?/1 1X47310 x3.点到“的距离为故答案为：y 7 3.【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质、利用锐角三角函数解三角形、三角形内角和定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用各个知识点是解题关键.25 15、y#8-【解析】【分析】设圆心为。，过点C作b，连接OC交A3于点。，BE/QA,PA/n,根据题意可证明四边形尸瓦D 是矩形，进而求得尸8,证明 B CS AQ K C,根据tanN2=tan4 =tanNP仍 求 得 D C,设。的半径

23、为J在RtOAD 4,O D2+DA2=AO2,勾股定理即可求解【详解】如图，设圆心为0,过点C作CFJ_，连接0C 交A8于点。，根据题意，PB/n 在小路上只Q,三点观测，发现均有两树与观测点在同一直线上，且N1=N2,BE/QA,PAHnA B=E Q =6N2=N3,BA/QK:.ZA=ZCBA：.CB=CA:.OCAB：.BD=AD=-AB=S2，O，C,F三点共线四边形PET-是矩形.N2=N3,CF_LQK:.Q F Q K =2EF=EQ+QF=16+12=28;.PB=PD-BD =EF-BD=28-8=20/AB/QK:.AABCS AQKC.A 3 _ QC 四 2CF=

24、24=3PBIIn.=NPBE15 3tan Z2=tan Z1=tan ZPBE=20 4CF 3/.tan Z2=-QF 4-QF=12:.CF=9DC=-x 9 =63设。的半径为r,在向AOA。中，OD2+DA2=AO2则（，一6）2+8 2 =/解得”告2 5故答案为：-y【点睛】本题考查了两点确定一条直线，三角函数，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定，矩形的性 质，等边对等角，理清各线段长，并添加辅助线是解题的关键.三、解答题1、2【解 析】【分析】根据特殊角的锐角三角形函数值进行混合运算即可.【详 解】解：原式=2x半+1一冬行【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角形函数值的

25、混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键.2、0【解 析】【分 析】先将特殊角锐角三角锐角三角函数值代入，再合并，即可求解.【详解】解：原式=x 3 x（a 2+（交）23 2 3 21-1=-1 H 2 2=0【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的混合运算，熟练掌握特殊角锐角三角锐角三角函数值是解题的关键.3、第二组，见解析【解析】【分析】过点6 作8M A e 于 D,在 Rt品?中证得BD=C D,设B D=x,则C D=x,在 RtZX/I初 中，ABAC=30,利用三角函数定义表示出4?的长，在中，利用三角函数表示出切的长，由儿小列出方程问题得解.【详解】解：如图，过点8 作及Z1

26、/C于.C依题意得，ZBAE=45,ZABC=105,ZCAE=15,：.ZBAC=30,：.ZACB=45.在 Rt/BCD中,4BDC=90。,ZACB=45,：.ZCBD=45,：.ZCBD=ZDCB,：.BD=CD,设 BD=x,则 CD=x,在 R t 力 中，ZBAC=30,AB=2BD=2x,t a n 3 0 =,AD.y/3 _ X -f3 AD AD=G x,在.RtABDC中,4BDC=90。,ZDCB=45,：.sinZDCB=J fBC 2BC=-Jl x,：CWA32+326广6x =3 2 +3 2 ，x=3 2,AB=2 户 6 4,BC=BET+CD1=Jx2

27、+x2=岳=3 2 a,第一组用时：6 4 4-4 0 =1.6 (A)；第二组用时：3 2 7 2 3 2 =7 2 (力)，,.,5/2 1.6,.第二组先到达目的地，答：第一组用时L6小时，第二组用时及小时，第二组先到达目的地.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，方位角的计算，勾股定理，一元一次方程，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题.4、(1)见详解；(2)4.【解析】【分析】(1)连接班，根据平行四边形的性质得到N/吐/分 6 0 ,求得N的信3 0 ,根据等腰三角形的性质和 三 角 形 的 外 角 的 性 质 得 到 如 炉 3 0 ,于是得到结论；(2)根 据

28、 平 行 四 边 形 的 性 质 得 到 小，过。作。儿L 4 于,则四边形O B C H 是矩形，解直角三角形即可得到结论.【详解】(1)证明：连接O B,.四边形/颇是平行四边形，:.N A除“60。,：ACVBC,./力势9 0 ,劭作3 0 ,:B氏 AB,：./氏/BAE,ZAB(=ZE+ZBAO，:./斤NBA片30,?O A=O B,：.ZABO=ZOAB=30,AZ0 5 0 3 0 +6 0 =9 0 ,：.0B1CE,.比 是。的切线;（2）解：.四 边 形/颇 是 平 行 四 边 形,:.BOAA2 上，过。作0HLAM于H,则 四 边 形0BCH是矩形,：.O/=B(=

29、2y/3,.OH.礼丽=4,。的 半 径 为4.【点睛】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.5、（1）见解析；见解析；见解析；（2）1【解析】【分析】(1)根据要求作出图形即可；作/加6的平分线即可；根据要求作出图形即可;(2)利用勾股定理求出应；E C,再利用相似三角形的性质求出C F,D F,可得结论.【详解】解：(1)如图，图形即为所求.：AE=AD,/EAF=NDAF,AF=AF,:N E阻 XADF,:.NAEF=/D4O,：.ZDAE+ZDFE=180,：4DFC+/DFE=80,NEFC=/DAE,：AD/BC,：./BEA=NDAE,:./E F C=/B E A；(2).四边形/腼是矩形，.*.N8=NC=Ni9=90,AD=BC=5,AB=CD=,：AE=AD=,*-BE=AE2-AB2=用 孑=3,：.EC=BC-BE=5-3=2,.N6=NU90,ZAEB=A EFC,:AABESAECF,BE _ ABCFEC 3 _ 4一/F3CF=-,23 5：.DF=CD-CF=-=2 2A tanADAF=【点睛】1-2-5-2-5本题主要考查作图-基本作图，矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握角平分线的尺规作图是解题的关键.