上海立体几何高考试题汇总.pdf

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1、上海立体几何高考试题汇总（0 1 春）若有平面a与B，且a n B =/,a _L B，P e a,P /,则下列命题中的假命题为（）（A）过点尸且垂直于a的直线平行于0.（B）过点尸且垂直于/的平面垂直于（3.（C）过点P且垂直于B的直线在a内.（D）过点P且垂直于/的直线在a内.（0 1）已知a、b为两条不同的直线，a、B为两个不同的平面，b P,则下列命题中的假命题 是（）DA.若 忙 则 a B B.若 a_ LB,则 a _L bC.若 a、b 相交，则 a、6 相交 D.若 a、B相交，则 a、b 相交（02春）下图表示一个正方体表面的一种展开图，图中四条线段AB、CD、EF和 G

2、H 在原正方体中相互异面的有 对。3(0 2)若正四棱锥的底面边长为2口z,体积为4 c/,则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 3 0(0 3 春)关于直线出仇/以 及 平 面 下 列 命 题 中 正 确 的 是().(A)若aM,b/M,则ab(B)若则(0 若 auM/uM,月 I J _a,/_L b,则/(D)若,则M _L N D(0 3)在正四棱锥p ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60 ,则异面直线P A与 BC所成角的大小等于.(结果用反三角函数值表示)a rc t g 2(0 3)在下列条件中，可判断平面a与 B平行的是()A.a、B都垂直于平面r.B.a内存在

3、不共线的三点到8的距离相等.C.I,m是 a内两条直线，且/B,m B.D.I,机是两条异面直线，且/a,m a,/8,m B.D(0 4 春)如图,在底面边长为2 的正三棱锥V-A B C 中,E是 BC的中点,面 积 是,，则侧棱VA与 底 面 所 成 角 的 大 小 为(结 果 用4主_、1表小)a rc t g 4(0 4)在下列关于直线1、m与平面a、P的命题中，真命题是()(A)若 1 U 0 且 a，p,则 l _L a.(B)若 L L。且 a 也则 U a.(C)若 1 _L 0 且 a _L|J,则 l a.(D)若 a n p=m 且 l m,则 1/7a.B若aVAE的

4、反三角函数（0 5春）已知直线/、?、及平面a,下列命题中的假命题是（A）IIm ,m H n,贝（B）若/J _a,n/a,则/_L.(C)若/_L 加，m H n ,则/_L .(D)2（0 5）有两个相同的直三棱柱，高 为 一,底面三角形的三a为3 a、4 a、5a底 乂 .用它们拼成一个三棱柱或四所有可能的情况中，全面积最小的是一个四棱柱，值范围是.V15.0a 0）易得v 二-3（h +；）h因为h+工22 人.1=2,所以丫4,h h 6等式当且仅当/7=L,即6=1时取得。h故当=1米时，V有最大值，V的最大值为!立方米.6（0 1 春）在长方体 ABCD-A|B C|D|中，点

5、 、F 分别、D ,且 AE _ L A|B,AFLAD（1）求证：A6_ L平面A E F：（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等。试根据上述定理，在AB=4,AD=3,4 4|=5时，求平面4 E F与平面。出出。所成的角的大小。（用反三角函数值表示)证(1)因为C8_L平面A 1 8,所 A C 在平面4 8 上的射影为A1 8由 A1 8_LAE,AEu 平面A8,得 AC_LAE,同理可证4 c -L AF因为 _LAE所以A|C_L平面AEF解(2)过 A

6、 作8。的垂线交C。于G ,因为iC_LAG,所以AG J.平面3 月8。设 AG与A C 所成的角为a，则a 即为平面A E F与平面DXByB D所成的角.由已知，计算得。G =2.4如图建立直角坐标系，则得点40。0),9G1,3,0),4(0,0,5),C(4,3,0),9AG =；,3,0 =4,3,-5,4因为AG与&C所成的角为a所以cosa=A G A CAG-A.C1 2 VI251 2V2a=arccos-25山定理知，平面A E F与平面C E F所成角的大小为arccos12625(0 1)在棱长为a的正方体OABC-OABC中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且 A

7、E=BF.(1)求证：AF _ L CE；(2)当三棱锥B-B E F 的体积取得最大值时，求二面角B-E F-B 的大小.(结果用反三角函数表示)(1)利用空间直角坐标系证明；(2)a rc t a n 2 点(02#)如图,三棱柱 OAB-OAiBi,平面 OBBQiOAB,OiOB=60，/AOB=90，且 OB=OOi=2,求：(1)二面角OLA B-O大小；B1_ L平 面OA=V3o(2)异 面 域AiB与AOi所 成 饮 小。(上述结果用反三角函数值表示)解(1)取OB的中点D,连 结O Q,则OiDLOB。平面 OBBQi，平面 OAB,，OiD_L平面 OAB过D作AB的垂线

8、，垂足为E,连 结O iE,则O E_LAB。I.ZDEOi为二面角Oi-AB-O的平面角。由题设得O|D3,DE=DBsinZOBA=2V7.在 RtZOiDE 中，tgNDEO|=S,NDEO尸arctgS.即二面角 Oi-AB-O 的大小为 arctg 0(1)证明：三棱柱A B C-A M G是正三棱柱；(2)若?=缶，求直线C A与平面A A 8与所成角的大小.(0 3)已知平行六面体 ABCDA|B|C|D|中，A】A_ L平面 ABCD,AB=4,AD=2.若 B|D_ L BC,直线 BD 与平面A B C D所成的角等于3 0 ,求平行六面体ABCDA|B|C1 D的体积.解

9、 连结 B D,因为 B|B_ L平面 ABCD,BQ _ L BC,所以 BC_ L BD.在4BCD 中，BC=2,CD=4,所以 BD=2Vi.又因为直线B Q 与平面ABCD所成的角等于30,所以ZB,DB=30于是BB产 专BD=2.故平行六面体ABCDAIBIC QI的体积为SABCD*BB|=8百.（04春）如图，点 P 为斜三棱柱A BC-A BG的侧棱BB|上一点,PMJ_BBi 交 AA|于点 M,PNBB,交 CCi 于点 N.（1）求证：CCi_LMN;（6 分）（2）在任意4D EF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF-EFCOSNDFE.拓展到空间,类比三角

10、形的理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面的关系式，并予以证明.（8 分）余弦定角之间证明：.CCi_LPM,CC PN,且 PM、PN 相交于点 P,，CC|_L平面 PMN.TM NU 平面 PMN,ACCilM N.解：（2）在科三棱柱ABC-A|B|G中，有S嬴%=S BCC|B|+S ACC|A,-2S BCC、B、S ACG A CO SA其中a 为平面CCiB.B与平面CC|A（A 所组成的二面角CC|_L平面 PMN,二平面CC.BiB与平面CC|A|A所组成的二面角为/M NP在PMN 中,PM2=PN2+MN2-2PN-MNCOSNMNP,PM2 CC:=P

11、N2 CC:+MN2 CC:-2(PN-CC1)(MN-CCI)cosZMNP由于 S BcciBi PN-CCi,S ACG A=MNCCj,S ABBiAi=PM-BBi 及 CC=BB|,贝“S=S BCC|B|+S ACG A-2S fiCC|/(|S 4CC|4|cosa（04）某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长位:m）的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面y 分别为多少（精确到0.001 m）时用料最省？【解】山题意得18一&xxy+X2=8,y=-=-(0 x4+4 G .2 2 x分别为x、y（单积 8cm2.H x、当(3+J )x=,B|1 x=8-

12、4-/2 时等号成立.2x此时,x-2.343,y=2 6=2.828.故当x 为 2.343m,y 为 2.828m时，用料最省.(05春)已知正三棱锥P-A B C的体积为72百，侧面与底面所成的二面角的大小为60.(1)证明：P A L B C,(2)求底面中心。到侧面的距离 证明(1)取 BC边的中点。，连接A。、PD,则 A。_L 8C,P D L B C ,故 8C _L 平面PAPD.4 分P A V B C.A06 解(2)如图，由(1)可知平面P8C_L平面A P O,则NPD4是侧面分与底面所成二面角的B平面角.过点。作 OE J.PD,E为垂足，则O E就面的距离.9 分

13、设。E 为，由题意可知点。在上，Z P D O=60,O P =2h.是 点。到侧AC。喙 一B C=4/?,1 1 分：72后 八助二净，I即底面中心。到侧面的距离为3.(05文)已知长方体ABCD-A1B|CID1中,M、N 分别是BB|和 BC的中点,AB=4,AD=2.B】D 与平面ABCD所成角的大小为60。,求异面直线B.D与 MN所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)解 联结BC,由M、N 分别是BB,和 BC的中点，得 B1 CMN,ND BQ 就是异面直线B Q 与 M N所成的角.联结BD,在 RtAABD中，可得BD=27?,又 BB|L 平面ABCD,Z B(DB是

14、B,D与平面ABCD所成的角,.NBiDB=60.在 RtAB,BD 中，B,B=BDtan60=2V1 5,又 DCJ_平面 BB|C|C,ADClBiC,AD C D C在 RtADB.C 中，tan/D BC=B】C+BB；-2/.ZDBjC=arctan.即异面直线BjD与 MN所成角的大小为arctan.2(0 5 理)已 知 直 四 棱 柱 ABCD-ABCD 中，A A|=2底 面 A B C D 是 直 角 梯 形，N A 为直角,ABCD,AB=4,AD=2,DC=1,.求异面直线BC】与 DC所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)解 由题意ABCD,.NC】BA是异面直线

15、B G与DC的角.连结AC|与 AC,在 RtAADC中，可得AC=V5.又在RtAACC,中，可得AG=3.在梯形ABCD中，过 C 作 CH AD交 A B 于H,WZCHB=90,CH=2,HB=3,ACB=V1 3.又在 RtACBC1 中，可得 BC,=V1 7,成4/1 7 a J 7在AABC中,cosNCBA=,C)BA=arccos异面直线B G与 DC所成角的大小为arccos叵1 7另解:如图，以 D 为坐标原点,分别以DA、DC、DD1 所在直线为x、y、z 轴建立直角坐标系.则 G(0,l,2),B(2,4,0),西=(-2,-3,2),而=(0,-1,0),设 西

16、与 无 所 成 的角为9,r i l八 BC CD 3V1 7,3V1 7贝 IJ cos0=.=-,9=arccos-.BC-CD 17 17异面直线B G与 DC所成角的大小为arccos独21 7(06春)在长方体ABC。-4 月G 3 中，已知DA=DC=4,DD尸3,求异面直线A R 与 B Q 所成角的大小(结果用反三角函数表示).解法一 连接A.D A】DB|C,A NBA|D是异面直线A)B 与 B,C所成的角 4 分连接 BD,AA DB 中,AB=A1D=5,BD=4 41.6 分cosZBAD=AB2+A.D2-B D22 B AyD_ 25+25-32 _ 92-5-5

17、 2510分9.,.异面直线AiB与 B|C所成角的大小为arccos一 .12分25 解 法 二 以 D 为坐标原点,DA、DC、D D,所 在 直 线 为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.2 分则 A|(4,0,3)、B(4,4,0)、B(4,4,3)、C(0,4,0),得 谦=(0,4,-3),瓶=(-4,0,-3)6 分设 谦 与 炉 的 夹 角 为 0,9八c o s 0=一二不 1 0 分A同 怀。2 59.异面直线AiB与 B,C所成角的大小为arccos 一（06 文）在直三棱柱 ABC-ABC 中，ZABC=90,AB=BC=1.(1)求异面直线4G与AC所成的角

18、的大小;(2)若A。与平面ABCS所成角为45,求 三 棱 锥 ABC的体积解：(1)BCB|3,NACB为异面直线B C i与 AC所成角(或它的补角)ZABC=90,AB=BC=1,ZACB=45,.异面直线BQ】与 AC所成角为45.(2).AA 平面 ABC,NACA 是 A C 与平面ABC所成的角，ZACA=45.Z A BC=90,A B=BC=1,AC=V2,AA|=/2.三棱锥ArABC的体积VMSAABCXAA产 逅3 2(06理)在四棱锥PABCD中，底面是边长为2 的菱形，ZDAB=60,对角线AC与 BD相交于点O,POJ_平面ABCD,PB 与平面ABCD所成的角为

19、60.(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)若 E 是 PB的中点，求异面直线D E与 PA所(结果用反三角函数值表示)解(1)在四棱锥P-ABCD中，由 POL平面ABCD,Z PB O 是 P B 与 平 面 ABCD所成的角,在 RtAAOB 中 BO=ABsin300=l,由于是,POBOtgGO-百，而底面菱形的面积成 角 的 大 小得ZPBO=60.PO1 BO,为 2省.B，四棱锥P-ABCD的体积V=x2石 xVJ=2.3(2)解法一：以。为坐标原点，射线OB、0C、OP分别为x轴、y轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系.在 RtZ AOB 中 O A=J),于是，点 A、B、

20、D、P 的坐标分别是A(0,-V3,0),B(1,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,V3).E 是 PB 的中点，则 E(,0,-)于是。E=(,0,-),AP=(0,V3,V3).2 2 2 2设 读 与 而 的夹角为。，有 cos0=34 4，异面直线DE与 PA所成角的大小是arccos；4解法二：取 A B的中点F,连接EF、DF.由 E 是 PB的中点，得 EFPA,ZFED是异面直线DE与 PA所成角(或它的补角)，在 RtAAOB 中 AO=ABcos300=VJ=OP,于是，在等腰RtZXPOA中，PA=V6,则 EF=逅.2在正4ABD 和正PBD 中,DE=DF=,

21、1户户V65 T OcosZFED=-=7=-V3 4工异面直线DE与 PA所成角的大小是arccos-.4(07春)如图，在棱长为2 的正方体A8C-A8C力 中，E、F 分 别 是 和 A 8的中点，求异面直线AF与 CE所成角的大小(结果用反三角函数值表示)解法一如图建立空间直角坐标系.2 分由题意可知 A(2,0,2),C(0,2,0),E2,1,2),F(2,1,0)./=(0,1,-2),C=(2,-1,2).6 分设直线A F与CE所成角为。，则co sI疗西5J五J.1国 一6 3 -31 0分即异面直线4 F与CE所成角的大小为arccos正31 2分 解法二连接EB,2分A

22、 EHBF,且 AE=8E,J.AEBE 是平行四边形，则 A尸 E8,异面直线AF与CE所成的角就是CE与E8所成的角.由 C8 平面 A88A,得C8J.BE.在 Rt CEB 中，CB=2,BE=M,则tan ZCfi=51 0分/.Z.CEB=arctan?旧.5异面直线AF与CE所成角的大小为arctan至.5（07文）在正四棱锥尸ABC。中，尸4=2,直线PA与平面ABC。所成的角为60,求正四棱锥尸一 ABC。的体积V.解：作PO_L平面A 8C O,垂足为O.连接A。，。是正方形ABC的中心，NPAO是直线PA与平面A8CO所成的角.NPA。=60,PA=2.PO=G4。=1,

23、AB=VLABV=-P O 5,sr=-x/3x2=3 ABCD 3 331 7.解：由题意，得cosB=2,B为锐角,5sinfi=-5sin A-sin(n-B -C)-sinf -57721 0由正弦定理得。=必7.S=L si n 8x2xWx-2 2 7 5 7（07理）如图，在体积为1的直三棱柱ABC-A|B|G中，NAC8=90,AC=BC=1 .求 直 线 与平面BG。所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.解法一：由题意，可得体积V=CC|S&ABC=CC|AC BC=CCt=l,AA =CCt-2.连接 BC,.-AG-L 81 G，AG J-e q,/.A-L 平面 8B

24、|G。，/.N A fq是直线A乃与平面8片GC所成的角.g=y/cc：+BC?=V5,tan ZABC=-=,则 Z.ABCX=a rc ta n.BC1,5 5即直线A,8与平面B B&C所成角的大小为arctan .解法二：由题意，可得体积丫=CC,SMBC=CC,|AC BC=gcG=1，/.CC,=2,如图，建立空间直角坐标系.得点8（0,1,0）,G（0,0,2）,4（1,0,2）.则 港=（-1,1,一2）,平面BBiG C的法向量为n=（1,0,0）.设直线AtB与平面B B C C所成的角为6,与的夹角为（p,贝Ucos夕=1 4片？i=-，sin。=|cos0|=3=a r c s i n,|n|6 6 6即直线A 8与平面5&GC所成角的大小为arcsin逅.63 41 7.解：由题意，得cosB=-，8为锐角，sinB=,5 5(3兀sin A=sin(n-B-C)=sinl-B7A/2w由正弦定理得 c=,5=-ac sinB=-x 2 x x-=-.7 2 2 7 5 7