人教版高中数学公式大全.pdf

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1、高中数学常用公式及常用结论1.元素与集合的关系x e A x CL,A,xw C“A=x e A.2.德摩根公式射(A P I 8)=Q A U Cc,B;I。(A U B)=G A A 8 .3.包含关系A n 8=A=A U 8 =8 o A q B o三 g A=A n，B =(D=Q,A U B=R4 .容斥原理card(A U B)=card A+cardB-card(4 P l B)card(A U 8 U C)=card A+cardB+cardC-card(A A B)-card(A fl 5)-card(B DC)-card(C P l A)+card(/I P l 5 Cl

2、 C).5.集合%,电，的子集个数共有2 个；真子集有2-1个；非空子集有2-1个；非空的真子集有2-2 个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式/(x)=ax2+hx+c(a w 0);(2)顶点式 f (x)=a(x-h)2+k(a 丰 0);零点式/()=。(万一七)“一*2)(4 *).7.解连不等式N /(x)M常有以下转化形式N f(x)M /(x)-A/(x)一 N 0、M+N,M-No (x)-1 2 2会静。1 1-f(x)N M N8 .方程/(x)=0 在伙”2)上有且只有一个实根,与/(占)/(右)0 不等价，前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地，方程“小+

3、Ax+c=0(a*0)有且只有一个实根在(匕，葭)内,等价于/(占)/(左 2)0,或/(匕)=0 且 匕 2 ”出，或f(k,)=0 且2a 2k,+b,-0 时，若x=-6 p,q,则/(x)min=/(-),/(x)max=max /(p)，/；2a 2aX =-五 史 p，q，/(X)max=m ax/(P),/(q)，/。焉=min /(P)J (2)当 a0 时，若 x=-e p,q,则/(x)min=m in/(/?),/(7),若x=p,q 则 f(x)m a x =m a x /(p)J(q),/Wm i n=m i n /(p),/().1 0 .一元二次方程的实根分布依据

4、：若/(机)/()mI 2)(M 0/()0(2)方程/(%)=0在区间(z,)内有根的充要条件为/(?)/()0或1 p 2 _ 4 q 2 0t n -0 af(m)0p2-4(y 0(3)方程/(x)=0在区间(o o,)内有根的充要条件为/(,”)0或，p.-0(x g L).在给定区间(-o o,+o o)的子区间上含参数的二次不等式/(x,f)N O (f为参数)恒成立的充要条件是fMn ian 0恒成立的充要条件是a 0a6 2 0 或 八 b -4ac 01 2.真值表1 3.常见结论的否定形式Pq非PP或qP且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假原结论反设词原结论反设词

5、是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有(一 1)个小于不小于至多有个至少有(+1)个对所有X，成立存在某X，不成立p或q p且一1q对任何X,不成立存在某X ,成立p且q-t p 或 一 q1 4.四种命题的相互关系1 5.充要条件(1)充分条件：若 p =q ,则p是q充分条件.(2)必要条件：若 q n p ,则p是q必要条件.(3)充要条件：若 p n q ,且“np,则p是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.1 6 .函数的单调性 设 玉.%e ,/?,玉H x2那么(x,-x2)/(x,)-/(x2)0 /)

6、二/0 o/(x)在卜用上是增函数;(苞7 2)(/)-/()0,则/(x)为增函数；如果f (x)=/(x)是偶函数，则/(x+“)=/(x a)；若函数y =/(x +a)是偶函数，则/(x +a)=f(-x+a).2 0 .对于函数、=/(x)(x e/?),f(x+a)=/(b x)恒成立,则函数/(x)的对称轴是函数x =F；两个函数丁=/(8+。)与 =f(b-x)的图象关于直线=V 对称.2 1 .若f(x)=-f(-x+a)，则 函 数y =/(x)的 图 象 关 于 点(p 0)对 称；若/(x)=/(x +a),则函数y =/(x)为周期为2 a的周期函数.2 2 .多项式

7、函数尸(x)=anxn+a-R i +4的奇偶性多项式函数P(x)是奇函数o P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数o P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.2 3 .函数y =f(x)的图象的对称性(1)函数y =f(x)的图象关于直线x =a对称o fa+x)=fa-x)o/(2 a-x)=/(x).(2)函数y =/(x)的图象关于直线x =+对称=f(a+m x)=f(b-m x)o f(a+h-m x)=f(m x).2 4 .两个函数图象的对称性(1)函数y =/(x)与函数y =/(x)的图象关于直线x =0 (即 y轴)对称.函 数 y =/(

8、机x 。)与函数y =m x)的图象关于直线x =3 对称.2m(3)函数y =/(x)和 y =/t (x)的图象关于直线y=x 对称.2 5 .若将函数y =/(x)的图象右移a、上移6个单位，得到函数y =/(x a)+b 的图象；若将曲线/(x,y)=O 的图象右移。、上移b 个单位，得到曲线/。-凡)，-6)=0的图象.2 6 .互为反函数的两个函数的关系O 尸(6)=a.2 7.若 函 数 y =/(乙+6)存 在 反 函 数，则 其 反 函 数 为 y=L T(x)切，并不是k3,=-|(依+。)，而函数);=-|(履+力 是 y =匕/(%)一切的反函数.k2 8.几个常见的函

9、数方程(1)正比例函数/(x)=cx,/(x +y)=/(x)+/(y),/(l)=c.(2)指数函数 x)=ax,f(x+y)=f(x)/(y)J(l)=0.对数函数 f(x)=lo g x,f(xy)=f(x)+f(y),f(a)=l(a O,al).(4)事函数/(x)=x ,f(xy)=f(x)f(y),f(l)=a .余弦函数/(x)=co s x,正弦函数 g(x)=s i nx ,f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y),3 X2 9 .几个函数方程的周期(约定a 0)(1)f(x)=f(x+a),则/(x)的周期 T=a；(2)/(x)=/(x +a)=0,或/(x +

10、a)=-(/(x)丰 0)，f(x)或/(x+a)=_-(/(x)#0),/(x)或 g +J/(x)/2(x)=/(x +a),(/(x)e 0,1 )，则 f(x)的周期 T=2 a；(3)/(x)=1-1-(/(x)丰 0)，则/(x)的周期 T=3 a；/(x +a)(4)/(x,+)=/乎+乙 旦且/()=l(/(x,)./(x2)1,0 1 x,-x,l O,m,n G N*,且 1).yjam上 1 a =(。0,机，eN*，且”1 ).an3 1 .根式的性质(1)(V a)n=a.(2)当为奇数时，幅=a ；当为偶数时，(优=1”|=1-a,a O,r,s eQ).(2)(a

11、rY =ar s(a O,r,se Q).(3)(ab)r=arbr(a 0,b 0,r e Q).注：若 a 0,p 是一个无理数，则 a，表示一个确定的实数.上述有理指数累的运算性质，对于无理数指数暴都适用.3 3 .指数式与对数式的互化式lo g“N=Aoa=N(a 0,a/l,N 0)3 4 .对数的换底公式lo g Nlo g 0 N=-(。0,且。工 1,根 0,且，”h 1,N 0).lo g,”af l推论 lo g hn=lo g.b(a 0,且。1,0,且加 w 1,w 1,N 0).a m3 5 .对数的四则运算法则若 a 0,a#L M 0,N0,则 lo g/MN)=

12、lo g“M+lo g N ;M L O G O AF=1O8 6,M_ 1OS,;V:(3)lo g(,Mn=nlo gf l M(e R).3 6 .设函数 f(x)=lo g,(ax2+bx+c)(a 0)，记 =/-4 a c.若/(x)的定义域为R,则a0,且 0,且 A N 0 .对于a =0的情形，需要单独检验.3 7.对数换底不等式及其推广若 a 0,b 0,x 0,x ,则函数 y-lo gM(/?x)a(D 当ab 时，在(0,1)和(，,+o o)上 y =lo g“(bx)为增函数.a a.(2)当a 1，p 0，a0，且aw l，贝 iJ lo g,+p(+P)lo

13、g (2)log”mlog”log/m+n238.平均增长率的问题如 果 原 来 产 值 的 基 础 数 为N,平均增长率为p,则对于时间x的 总 产 值y,有y=N（l+p 39.数列的同项公式与前n项的和的关系s.,n=1（数列 ,的刖n项的和为s”=q+a,+。“）.40.等差数列的通项公式an=q +(l)d=dn+ci-d(ne N*)；其前n项和公式为“(4+4,)J(l)Isnlt=!2-=na1+-2-ad 2.7 1 ix n+(6 Z.cl)n.2241.等比数列的通项公式aa=上 q(*G N*)；q其前n项的和公式为l-7叫,q=T或s=彳i 一 q n,q=142,等

14、比差数列 :+=qa+d,%=W 0)的通项公式为b+(几-l)d,q=1“=W+3-q-T其前n项和公式为nb+n(n-l)d,(q=1)s=(d、q d.(b-)-+-q q-一q43.分期付款(按揭贷款)每次还款犬=a l +b)”元(贷款。元 次 还 清，每期利率为b).(1+Z?)n-144.常见三角不等式冗(1)若 xw(0,),则 sinx 尤 tanx.,冗、s in(+a)=(2)若工(0,2)，贝 UI 1.4 5.同角三角函数的基本关系式w in 0s in2+cos2=l,t an。=-,t an0-co t O=1.co s 64 6.正弦、余弦的诱导公式n(-1)2

15、 s ina,(n 为偶数)ZJ-1(1)2 C O S a,(n 为奇数)r(n为偶数),n 7 i、(-l)2cos a,cos(；+a)=四(n 为奇数)(-1)2 s in a,4 7.和角与差角公式s in(a )=s in a cos (3 cos a s in/;cos(a J3)=cos a cos -s in a s in ;/,0、t an a t an 尸t an(a /?)=-.1 +t an cr t an 夕s in(cr +/7)sin(a-J3)=sin2 a-s in2(3(平方正弦公式);cos(6Z +夕)cos(a B)=cos2 d z-s in2(3

16、.as ina+bcos a=J4 +/s in(a+e)(辅 助 角cp所 在 象 限 由点(白力)的象限决.b、定,t an=).a4 8.二倍角公式s in 2a=s in a cos a.cos 2a=cos2 or-s in2 a=2cos?a-l =l-2s in2 a.t an 2a=2 t an a1-t an2 a4 9 .三倍角公式s in 3。=3 s in。一 4 s in,。=4 s in 8 s in(y 一。)s in(y+0).cos 3。=4 cos3 0-3 cos 6=4 cos 0 cos(-6)cos(+6)八 八 3 t an t an3 0 八 M

17、 八、/乃 八、t an 30 -；-=t an 0 t an(-0)t an(+0).l-3t an2 3 350 .三角函数的周期公式函数 y=s in(69 X+0),xR 及函数 y=cos(6 +9),xR(A,川，0 为常数，且 A#0,27r7t3 0)的周期T=；函数y=t an(公x+e),1。&乃+w Z (A,3,0为常数，且ACD 2TTWO,3 0)的周期7=.C D51.正弦定理sin A sin B sin C52.余弦定理a2=h2+c2-2hc cos A;b2=c2+a2-2ca cos B;c=a2+b2 cos C.53.面积定理(1)S=-a h =b

18、hh=-chL.(ha hb 4分别表示 a、b、c 边上的高).2 2 2(2)S=ahsinC=bcsinA=easin B.2 2 2 S,f向丽广说前L54 .三角形内角和定理在AAB C 中，有 A+8+C=;T=C=;T (A+8)C 7i A+B 八 c、u =-u 2C=2万一2(A+3).2 2 255.简 单的三角方程的通解sinx=a 0 1=氏 乃 +(1)arcsina(k G Z,ltz l 1).cosx=a o x=2kiarccosa(女 G Z,l tz l x=攵 乃 +arctan a(k G Z.a G R).特别地,有sina=sin夕=a =%万+

19、(1 /(攵 G Z).cos a=cos 3 0 a=2k 兀士 队k G Z).tan a =tan =a =k4+0(k G Z).56.最简单的三角不等式及其解集sin x a(ai)o x e Qk 兀+arcsin a,2k 兀+万一 arcsin a),k e Z .sin xa(a)x e Qk 兀一万一 arcsin a,2k 兀+arcsin a),k e Z.cos x a(al)x E Qk 兀-arccos a,2%乃 +arccos a),k G Z.cosx a(21 1)x G(2Z乃 +arccosa,2攵 乃+2%-arccosa),&G Z.JItanx

20、a(a G 7?)=x e(k兀+arctana,k兀),k EZ.271tanx x e(k兀-，上 万 +arctana),%G Z.57.实数与向量的积的运算律设人、口为实数，那么结合律：入(u a)=(入口)a;(2)第一分配律：(X+p)a=Xa+u a;(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.58.向量的数量积的运算律：(1)a,b=b,a(交换 律)；(2)(2 a),b=2(a*b)=A a*b-a*(2 b);(3)(/b)c=a,c+b c.59 .平面向量基本定理如 果e e z是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数3、3,使得a

21、=3ei+3ez.不共线的向量&、。叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.6 0.向量平行的坐标表示设 a=(X，x),b=(%2,%)，且 b*0,则 a b(bO)o xty2-x2y1=0.53.a 与 b 的数量积(或内积)a b=a b|cos 9 .61 .a,b 的几何意义数量积a-b 等于a 的长度与b 在 a 的方向上的投影I b l co s 0 的乘积.62.平面向量的坐标运算 设 a=(再，%),b=*2,%)，则 a+b=(为 +%2,%+%),(2)设 a=(x,，%),b=(x2，%)，则 a-b=(一 一 ,%-上)(3)设 A(X，M),B(x2,y2),则

22、A B =O B-O A =(x2-xl,y2-yi).(4)设 a=(x,y),4e R,则 l a=(/l x,4y).(5)设 a=(X,%),b=(X2,%)，则 a ,b=(xtx2+%)63.两向量的夹角公式co s6 =-F=A=(华(x,y,),b=(x2,y2).64.平面两点间的距离公式九=1而1=，而.而=5(一占)2+(2-)|)2(A(X|，X)，B(x2,y2).65.向量的平行与垂直设 a=(尤 ,y),b 二(，力)，且 bwO,贝 IJA bob=入 a%-尤2y i =0.a _ L b(a W0)=a b=0=xx2+yy2=0.66.线段的定比分公式设

23、6(七,必)，6(乙，当)，P(x )是 线 段 的 分 点，丸是实数，且耳下=丸 巫，则_ _+AX2 二下厂0万二处碎%+4y 2 1 +Ay 二-I 1+4 1o O P =t OP+(l-t)OP2 Ct =).1 +267 .三角形的重心坐标公式 A BC 三个顶点的坐标分别为A(X,yj、B(X2,y2),C(x3 丫 3),则A A B C 的重心的坐x-x h ：,oO P =O P +P P .y=y标是 G(X|+；+&M +g+%)68 .点的平移公式x-x+h*.o a2+b2 2ab(当且仅当 a=b 时 取 =号).(2)a/c/T n 竺之 而(当 且 仅 当a=

24、b时 取“二”号).2(3)a3+/?3+c3 3abc(a 0,/?0,c 0).(4)柯西不等式(a2+/?2)(c2+J2)(ac+bd)2,a,b,c,d G R.(5)a-b|7 +/?|o(或 0)(47 0,4=62-4敬 0),如 果a与a/+b x +c同号，则其解集在两根之外；如果a与a f+b x +c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.X,X x2(X-X1)(x-x2)0(x,x2);X o(x X1)(X-X2)0(x,0时，有x a X1 a-a x 0(1)(x)J g(x)=g(x)(2)(3)(x)0g(x)N 0 或 J(x)g(

25、x)27(%)0g(x)0.J(x)0g(x)0(x)g(x)=l o g g(x)=f(x)0g(x)0f(x)g(x)(2)当0 a l 时，ON”o/(x)l o g g(x)o “f(x)0g(x)0/(x)0所表示的平面区域上下两部分;(A j +B/+G)(A2 x+B2y+C2)0).x=a+r co sdy=h +r sin 3(4)圆 的 直 径 式 方 程(x%)(x 2)+(一%)(一 2)=0(圆的直径的端点是A(X,%)、B(x2,y2).8 7.圆系方程(1)过点4%,3),8(X 2,为)的圆系方程是(工一七)(%一 2)+(一%)(一%)+用(%一可)(弘一必)

26、一(一口)(一)=0(x-x,)(x-x2)+(y-y,)(y-y2)+A(ax+by+c)=0 ,其中 ax+by+c=0 是直线A 8 的方程，入是待定的系数.(2)过直线/:Ax+B)，+C =O 与圆C :犬+2+。犬+/=0 的交点的圆系方程是 f +J+Ox+E y+p +i Ax+B y+C l M O,入是待定的系数.(3)过圆 G:厂+y-+D yX+&y +/=0 与圆 C:r +y-+D x+E,y+F,=0 的交点 的 圆 系 方 程 是/+)，+口 3+&+/1(/+2 +)2 3+1 2+工)=0,X是待定的系数.88.点与圆的位置关系点P(x0,光)与圆(x “A

27、 +(y b)2=r2的位置关系有三种若d=&一/)2+(t _yo，则d r o 点P在圆外；d=r。点、P在圆上；d r o 相离 A 0;d=r 0 相切 o A =0;d r 相 交=().其中dAa+B b+C+B290.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为0“02,半径分别为n,r2,002 =dJ r,+r2 外 离 O 4条 公 切 线；d=6+G =外 切 o 3条 公 切 线；卜 一弓|d 八+弓 o 相 交 o 2 条 公 切 线；d=,-|o 内 切=1 条 公 切 线；0 c d ,+=+产=0 当（x0,先）圆外时，xx+y0y+2竽D +匕+/+尸=0 表示过两

28、个切点的切点弦方程.过圆外一点的切线方程可设为丁-%=人（-/），再利用相切条件求k,这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线.斜率为k 的切线方程可设为y=+再利用相切条件求b,必有两条切线.已 知 圆/=，.过圆上的4（X（）,为）点的切线方程为xox+yoy=r;斜率为k 的圆的切线方程为y k x ry jl+k2.92.椭圆 j+=1（b 0）的参数方程是a b y=bsin02 293.椭 圆 二+二=1（。6 0）焦半径公式a b2 2P F=ex+）,PF2=e（-x）.94.椭圆的的内外部r2 v2 x2（1）点尸（小，打）在椭圆 H =1（。）的内部+a b a2

29、2 2（2）点尸（小,%）在 椭 圆 三+2=1（。8 0）的外部=W+a b a95.椭圆的切线方程（1）椭 圆 +2r=1（。b 0）上一点尸（工,%）处 的 切 线 方 程 是 岑+浮=1.a b a b2 2（2）过 椭 圆 二+与=1（。匕0）外一点尸（%,%）所引两条切线的切点弦方程是a b2%F2%F11a2 b2Y y2(3 )椭 圆/+后=l（a b 0）与 直 线 Ax+By+C 0 相 切 的 条 件 是A2a2+B2b2=c2.96.双 曲 线 3=（a Q,h 0）的焦半径公式a b2 2|P f；|=le（x+）1,PF2=le（-x）.97.双曲线的内外部2 2

30、2 2（1）点尸（%,九）在 双 曲线二一与=1 3 0/0）的内部。乌 1.a b a b2 2 2 2（2）点尸（玉,九）在双曲线三一？7=1（。0/0）的外部0存 与 0,焦 点 在xa2 b2 a2 b2轴上，X 0力 0)外一点尸(后,右)所引两条切线的切点弦方程是a b V%。_ ia2 b22 2(3 )双 曲 线 二 与=l(a0力 0)与 直 线Ax+B y+C=Q相 切 的 条 件 是a bA2a2-W=c2.1 00.抛物线V=2 p x的焦半径公式抛物线)3 =2 P x(p 0)焦半径|Cf|=%+g过焦点弦长I。X|+-+x2+x2+p .21 01 .抛物线y 2

31、 =2 p x上的动点可设为P(乂-,y。)或尸(2 p/,2 pf)或P(x。,”)，其中2P4=2p x0.1 02 .二次函数y=ax2+bx+c=a(x+)2+(a丰0)的图象是抛物线：顶2a 4 ah 4ac h h 4-cic-h+点坐标为(-2,);(2)焦点的坐标为(-2,c 十1)；(3)准线方程是l a 4 a 2a 4 a4ac-b2-1y-.4a1 03 .抛物线的内外部点 P(x0,y0)在抛物线 y2=2 P x(p 0)的内部=y2 0).点 P(x(),y0)在抛物线 y2-2 P x(p 0)的外部 o y2 2Px(p 0).(2)点 P(x 0,%)在抛物

32、线 y 2 =-2 px(p0)的内部o V 0).点 P(x 0,y0)在抛物线 y2=-2 px(p 0)的外部=y2 -2p x(p 0).(3)点尸(x。,右)在抛物线x?=2 py(p 0)的内部o x?0).点 P(x0,%)在抛物线 x2=2p y(p 0)的外部 o x2 2p y(p 0).点 P(X o，y o)在抛物线/=2 py(p 0)的内部 of 0).点 P(x(),%)在抛物线 x2=-2p y(p 0)的外部=X?-2p y(p 0).1 04 .抛物线的切线方程(1)抛物线y 2 =2 P x上一点P(x,%)处 的 切 线 方 程 是=p(x +/).(2

33、)过抛物线V=2 p x 外一点P(x 0,先)所引两条切线的切点弦方程是%y =P(x+M).(3)抛物线尸=2 px(p 0)与直线Ax +By +C =0 相 切 的 条 件 是=2 A C.1 05.两个常见的曲线系方程过曲线(x,y)=0,力(匕 )=0 的交点的曲线系方程是工(x,y)+Zf2(x,y)=0(A 为参数).2 2(2)共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程+=1 ,其 中&min 6 Z2,/72 nt,表示椭圆；当minla。/k (),a为直线F(x,y)=0A B 的倾斜角，k 为直线的斜率).1 07 .圆锥曲线的两类对称问题(1)曲线F(x,y

34、)=0 关于点尸(玉),先)成中心对称的曲线是F(2XQ-X,2yo-y)=O.(2)曲线尸(x,y)=0 关于直线Ax+B y+C 0成轴对称的曲线是 2A(Ax+B y+C)2B(Ax+B y+C),八F(x-7 2 2-，y-瓦一 -)二 -A+B-A+B 1 08 .“四线”一方程对于一般的二次曲线Ax2+B xy+Cy 2 +o x +Ey +/=0,用 xox代 x2,用代/)用X o)；D o代 孙,用 二 代 x,用 上 代 y即得方程Ax x+8汽坐 +C%)+。2+E 当 上+尸=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.1 09 .证明直线与直线的平行的思考

35、途径(1)转化为判定共面二直线无交点；(2)转化为二直线同与第三条直线平行；(3)转化为线面平行；(4)转化为线面垂直；(5)转化为面面平行.1 1 0.证明直线与平面的平行的思考途径(1)转化为直线与平面无公共点；(2)转化为线线平行；(3)转化为面面平行.1 1 1 .证明平面与平面平行的思考途径(1)转化为判定二平面无公共点；(2)转化为线面平行；(3)转化为线面垂直.1 1 2 .证明直线与直线的垂直的思考途径(1)转化为相交垂直；(2)转化为线面垂直；(3)转化为线与另线的射影垂直；(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.1 1 3.证明直线与平面垂直的思考途径(1)转化为该直线与平面内

36、任一直线垂直；(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直；(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行；(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面；(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.1 1 4 .证明平面与平面的垂直的思考途径(1)转化为判断二面角是直二面角；(2)转化为线面垂直.1 1 5 .空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a+b=b+a.(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).(3)数乘分配律：X(a+b)=X a+X b.1 1 6 .平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点

37、为始点的对角线所表示的向量.1 1 7 .共线向量定理对空间任意两个向量a、b(bW O),a b=实 数 入 使 a=、b.P、A、8三点共线=A PII A 6 =而=，踵=而 =(1 f)刀+，砺.A BW C D A B,而共线且A B、CO不共线o 筋=f 而 且 A B、CO不共线.1 1 8 .共面向量定理向量P 与两个不共线的向量a、b 共面的=存在实数对x,y ,使 p =a x +b.推论 空间一点P 位于平面M A B 内的=存在有序实数对x,y,使 声=x M A +y M B ,或对空间任-定点0,有序实数对x,y,使丽=两+苏+y 丽.1 1 9 .对空间任 一 点

38、。和不共线的 三 点A、B、C,满 足 而=犬 次+丁 丽+z 近(x +y +Z=k)，则当A =1 时，对于空间任一点。，总有P、A,B、C四点共面；当时，若平面A B C,贝 iJ P、A、B、C四点共面；若。任平面A B C,则 P、A、B、C四点不共面.A、B、C、D 四 点 共 面=而 与 谶、衣 共 血 o 而=踵+)，蓝 o0D=(1 -x-y)OA+x O B +y O C(。右平面 A B C).1 20 .空间向量基本定理如果三个向量a、b、c 不共面，那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,p=x a+y b+z c.推论 设 0、A、B、C是不共面的

39、四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数 X,y,Z,使 而=+y 而+Z反.1 21 .射 影 经：已 知 向 量 而=a 和轴/,e是/上与/同方向的单位向量.作 A点在/上的射影A,作 B点在/上的射影8,则,一A B=1 A B I c os a,e)-a e1 22.向量的直角坐标运算设 a=(q,%，%)，b=(4 也 也)则(l)a+b=(q +4,。2+%,。3 +4)；a b=(a-h,a2-b2,a3-Z73)；Xa(Aa19Aa2,Aa3)(入 R)；a b=a&+a2b2+%与；1 23.设 A(Xi，y i，z J ,B(x2,y2,z2),则AB O B-O

40、 A (x2-x,y2-ypz2-z().1 24.空间的线线平行或垂直1 1设a =(须，,，1 1),b(x2,y2,z2)，则X.AX21 1 1 111aPb a=Ab(b w 6)=弘=Ay2；W=怎1 1 1 1a l b a-b=0 xtx2+yyz+ztz2=0.1 25.夹角公式设&=(%,。2，。3)，b=(b,/?2，&),贝I,a,b.+a、b,+a hco s a,b)-,J a；+a；+a；J b；+用 +b；推 论(4 +/4+4 4)2 W(a；+a；+a；)S；+f+b；)，此即三维柯西不等式.1 26.四面体的对棱所成的角四面体4 B C D中，AC与6。所

41、成的角为。，则C l(AB2+C D2)-(B C2+D A2)lco s 6-.2 A C BD1 27 .异面直线中成角co s 6 Te o s(a,/?)II I_ I XtX2+M%+Z1 Z2 Ia-b y/xc+y+zi1-y/x2+y22+(其中e (0 z n GN ,S.m n).(n-m)!注：规定O!=l.152.排列恒等式(1)A：=(m+l)A：i;(4)研；=媚-4；(5)A 1=M+m A广(6)l!+2-2!+3-3!+-+n-n!=(n+l)!-l.153.组合数公式A：n(n-l)-(n-m +l)！.,C=-=-=-(N,m e N,H.m +(C；：-

42、.156.排列数与组合数的关系然=加C.157.单条件排列以下各条的大前提是从个元素中取a 个元素的排列.(1)“在位”与“不在位”某(特)元必在某位有A：；种；某(特)元不在某位有A：-A：；(补集思想)=(着眼位置)+(着眼元素)种.(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻)定位紧贴：k（k m n）个元在固定位的排列有&A：二:种.浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有A；二种.注：此类问题常用捆绑法；插空：两组元素分别有k、h 个（左 +1）,把它们合在一起来作全排列，k个的一组 互 不 能 挨 近 的 所 有 排 列 数 有 种.（3）两组元素各相同的插空机 个大球个小球排成一列，

43、小球必分开，问有多少种排法？An当?+1 时，无解；当 1 时，有=G 工种排法.（4）两组相同元素的排列:两组元素有m个和n 个，各组元素分别相同的排列数为C；.1 5 8.分配问题（1）（平均分组有归属问题）将相异的机、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共有 N =一 6 C；=军（2）（平均分组无归属问题）将相异的根“个物体等分为无记号或无顺序的机堆，其分配方法数共有N _ 1 C：C,2“G i C；_（必！m W（3）（非平均分组有归属问题）将相异的P（P=r i|+n 2+、）个物体分给加个人，物件必须被分完，分别得到J 4,，“件，且1,%，勺这团个数彼此不相等，则其分

44、配方法数共有N =C；.C；-m=p m-（4）（非完全平均分组有归属问题）将相异的P（P=n 1+n 2+n”）个物体分给?个人，物件必须被分完，分别得到 ,n2,山件，且 ,n2,，”,这根个数中分别有a、C?-C2,.C：ml nimib、c、个相等，则其分配方法数有N=一 切 一任一=-.n,n2!(a!b!c!)（5）（非平均分组无归属问题）将相异的P（P=1+电+,+品）个物体分为任意的勺，n2,，勺件无记号的机堆，且九，n2,，勺这2 个数彼此不相等，则其分配方法数有 N=-4勺!.4!（6）（非完全平均分组无归属问题）将相异的P（P=%+&+、）个物体分为任意的，2，勺件无记号

45、的机堆，且九，n2,，勺这机个数中分别有a、b、c、个相等,则其分配方法数有N =-g-.（7）（限定分组有归属问题）将相异的p（p =%+%+,“）个物体分给甲、乙、丙,等 7 个人，物体必须被分完，如果指定甲得件，乙得4件，丙得3 件，时;则无论外，2,，“等机个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有1 5 9.“错位问题”及其推广贝努利装错笺问题:信封信与n个信封全部错位的组合数为/(n)=n!l-l+l .+(-l)nl.推广：个元素与个位置,其中至少有用个元素错位的不同组合总数为/(,?)=!C*(n-1)!+C1in-2)!-C；(-3)!+C：(n-4)!.+(-ir C(n-p

46、)!+-+(-l)mC：(n-m)!2 3 4 0p in=nll-d-d 丝-F(1)P H-F(1)11 A!A；A；A；+(Af()4 J1 6 0 .不定方程须+X 2 +x =加的解的个数(1)方程芯+x“=根(n,m e A*)的正整数解有C：个.(2)方程西+=加(，机e N*)的非负整数解有C-个.1 x n+nr-1(3)方 程/+当=根(n,m e N )满足条件七2 k(k N*,24i W -1)的 非 负 整 数 解 有 个.(4)方程为+工2 +居=机(,加 N*)满足条件七K攵(N ,2 i -1)的正整数解有Ci-C1 O-+C2 O-+(_1)2 c -2 c

47、，i 个.n+m-I n-2 m+n-k-2 n-2 m+n-2k-3 n-2 州+1-*-2 乂1 6 1 .二项式定理(a+b)n=C an+Can-b+Ca-2b2+-+Can-rbr+-+C；,bn;二项展开式的通项公式，+i =C；a (r=0 1 2，).1 6 2 .等可能性事件的概率、mP(A)=一.n1 6 3 .互斥事件A,B分别发生的概率的和P(A+B)=P (A)+P(B).1 6 4 .n个互斥事件分别发生的概率的和P(A1+A2+-+An)=P(A1)+P(A2)+-+P(An).1 6 5 .独立事件A,B同时发生的概率P(A-B)=P(A)P(B).1 6 6

48、.n个独立事件同时发生的概率P(Aj A2.An)=P(A，P(A2).P(An).1 6 7 .n次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率匕伏)=尸(1 P)z1 6 8.离散型随机变量的分布列的两个性质(1)2 0 1,2,)；(2)耳+6+=1.1 6 9 .数学期望E=xtPl+x2P2+-+xl,P+-1 7 0 .数学期望的性质(1)E(aJ+b)=a E(J)+b.(2)若自8(a,p),则石&=砂.(3)若J 服从几何分布，且 P e =k)=g(k,p)=q J p,则=P171.方差OJ=（x 砧 i+H七 广出+一,+(x“-EJ)；P+172.标准差成=4.173.方

49、差的性质(1)。(结+/?)=/；(2)若 J 8(,p),则。用=p(l p).(3)若自服从几何分布，且 P C =A)=g(&,p)=q i p,则。4=乌.P 174.方差与期望的关系行=EL175.正态分布密度函数（A/（x）=-=-e 2 6?,x e（-oo,+oo）,式中的实数 u,a（0）是参数，分别表兀6示个体的平均数与标准差.176.标准正态分布密度函数1 一 二(-0 0,+0 0).177.对于7（,。2）,取值小于x 的概率F(x)=O|P(X 1 x0/）二 （尤 尤 2）一夕（X 九】）=F（X2）-F（X1）=0)%一(J-(T178.回归直线方程人y=a+b

50、x,其中 为(%-a/=1 i=l（七2 一而2）这 2_万2）1=1i=|W 1,且|r|越接近于1,相关程度越大；|r|越接近于0,相关程度越小.180.特殊数列的极限0(1)lim qn=oo不存在 1q =iq 1 或 q =l(2)k k-lim。+%/+()TO O b +白 T H-卜 b。I I-I V0abk、不存在(k i)(3)T 8-q l-q(S 无穷等比数列 q q T(lq l l)的 和).1 8 1 .函数的极限定理lim f(x)=a lim f(x)=lim f(x)=a.X-X-X0-X.v0+1 8 2 .函数的夹逼性定理如果函数f(x),g(x),h