2022年高考数学一轮综合复习：专题32数列大题解题模板（解析版）.pdf

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1、专题3 2数列大题解题模板一、递推数列的类型以及求通项方法总结：1、定义法：等差数列的通项公式：an=ay+(n-Y)d an=am+(n-m)d o等比数列的通项公式：为=囚 q7(q .q w 0)或%=am广(zn)S n=12、做差法：由4 与 S(即6+e+。“=/()的关系求。，Sn-Sn_vn 23、累加法：由。+-。=/()求明,an=(an an_x)+(cin_1 an_2)H-卜(生一卬+卬九之？)。4、累乘法：已 知 如=/()求 通 项%,勺=4 照”9(2 2)。%a-a-z a5、已知递推关系求6,用构造法(构造等差、等比数列)：(1)形 如%+1=/+/()，只

2、需构造数列 2 ,消去了()带来的差异，/()的形式有：/()为常数，即递推公式为，用=%+如其中、q 均为常数且网(p-l)w O)。解法：先设参转化为%+|+九=3“+九)，其中九=一,再利用换元法转化为等比数列求解。P-1/()为一次多项式，即递推公式为4“+=p-a“+L +S。f(n)为n的二次式，则可设d=a+A n1+B n+C.(2)递推公式为%+|=p q +4(其中 p、q 为常数且 p q(p-l)(q-1)*0)或 4+=p-a“+/7(其中 p、q、r 为常数)。解法：一般地要先在原递推公式两边同除以g+l 得：=.2+工，引入辅助数列 (其中/q q qb“=2),

3、得：=2 +，,再应用类型的方法解决。q q q(3)递推公式为a“+2=P,an+l+q,4(其中p q 均为常数)。解法：先把原递推公式转化为4+2-s-4+1=f(a,+i-s-a”)，其中S、f 满 足/+P,解出s、f,st=-q于是 4,+1-s q j 是公比为，的等比数列，就转化为前面的类型。6、形 如 勺=I 或41T _ b q=k q-*的递推数列都可以用倒数法求通项。k%+b7、形如a,+1=p-a：型，该类型是等式两边取对数后转化为前边的类型，然后再用递推法或待定系法构造等比数列求通项。两边取对数lg4,+1=lg(p-a：)=Igp+r-lga”,设b“-1gan,

4、原等式变为 q =r 用+lg p 即变为基本型。二、数列常用求和方法1、等差数列求和：S,=a =a+Tp”=；Sm+n=Sm+S,+mnd.叫(q =l)2、等比数列求和：S,=痴 一 q)一玛3#；S i=S,“+q 5=S“+g S,“。3、分组求和法：把数列的每一项分成几项使其转化为几个等差、等比数列，再求和。对于求|。|的前n项和的问题一般都是分类讨论。4、倒序求和法：将数列的顺序倒过来排列，与原数列两式相加，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求出，这样的数列可用倒序相加法求和。5、裂项相消法：就是把数列的各项分裂成两项之差，相邻的两项彼此相消，只余有限几项，就可以化简后求和。适用

5、条件：(1)一 其中%是各项不为0 的等差数列，c 为常数，可拆解为 一 =月(-!-)；(2)部分无理数列(3)一些常用的裂项公式：n(n+l)n +1有 1 1/1 、(几+2)2 n+2 一=;(一)；n(n+k)k n n+k(4)常见放缩公式：2(J +1 -V)=/7=v n+l+j =-=(-)4n2-1 (2 -1)(2 +1)2 2 n-l 2 +1,=A/M+1 -4n；V n+1+J 肉 1 M 1 1 in(n +l)(n +2)2 n(n +l)(n +l)(n +2)-j=-j=2(册-V/i-l);y/n+n l1k k+T k(k+l)1 1 1 1 0(n&N

6、+),且bx+b2+b3-1 5,又 4+4、a2+b2.叼+打成等比数列。(1)求数列 4 、4 的通项公式:(2)求数列%,的前九项和筹。审题路线图：(1)a“=Sn-S“_ 1 (2 2)-消去 S“-得 an+l=3an-an-3”；(2)观察an也,中 与bn的特点一 在7；前乘以a,的公比，构造使用错位相减得条件一-2/=-2 -3”一 得7；。规范解答：【解析】(1)；卬=1,。“+|=2S“+l(eN+),/.a=2S_(+U ne N+,n2),1 分%-4 =2(S“-S,i),即 a+|-4 =2%,；.a“+=3a“(weN+，n2),2 分iT ij a?2q+1=3

7、,a2=3q,数列 是以1为首项、3为公比的等比数列，q=3(wN+),3分.,4=1,%=3,%=9,在等差数列 中，优+82+4=15,：.b2=5,4分又；%+仄、a2+h2.%+匕3成等比数列,设等差数列0 的公差为d,则有(4+仿)(%+/)=32+与)2，5分(1+5-d)(9+5+d)=6 4,解得 d=-10或4=2,6 分乂 O(eN+),二舍去;=一1 0,取 d=2,J.伪=3,：.b=2n+l(n eN+)；7 分(2)由(1)知 7；=3x30+5x3i+7x3?+(2-l)x3-2+(2”+l)x3T，8 分37；,=3x31+5x32+7x3，+(2-1)X3T+

8、(2 +1)X3，9 分则-得一2 =3x3+2x3i+2x3?+2X3T+2X3T(2 +1)X3 10 分=3+2 x 6 +3?+3-2+3T)-(2 +1)X3”1 _ 3i=3+2 x 3 x -一(2 +l)x3=-2-3”,1 1 分Tn=n-3n o12 分构建答题模板：第一步：令=1,由S“=/()求出囚。第 二 步:令 心2,构造a“=S“-S,i，用小代换S“S,T(或用S“S,“代换4,这要结合题目特点),由递推关系求通项。第三步：验证当=1时的结论是否适合当2 2时的结论。第四步：反复回顾，注意 =1和2 2分类讨论和验证，明确规范书写答题。练 习1、已知正项数列 4

9、 的前项和S“满足6s”=%+3%+2,且出是可和必的等比中项。(1)求数列%的通项公式；(2)已知符合X表示不超过实数X的最大整数，$nOog23=l,log25=2,记求数列2 即 的前项和7；。【解析】（1）由65=%+3 4+2得:当=1 时，6$=a；+3q+2,即_ 3.+2=0,解得0=1 或=2,1 分当2 2 时，6s_=片+3a,+2,_ c c _ 片+3%+2 片_ +3/T+2 _ 端+3an-3%an-%-品-1 -7 -7，6 6 6即 3(a+an_)=d 一a 3 =(an+an_)(%-an_),2 分又数列%各项均为正数，.4+。,1。0,M=3,3 分当

10、4=1 时，数列 4 是首项为1、公差为3 的等差数列，.%=3 2,“2=4,4=1 6,满足2是1和4 的等比中项，可取，4 分当巧=2 时，数列 a,J是首项为2、公差为3 的等差数列，an=3 n-l,。2=5,a6=17,不满足的 是4 和。6的等比中项，舍去，5 分an=3n 2；6 分(2)由(1)可知 b=log2 -=log2(+l)，7 分：.b2=log2(2n+l)=n,A 2n-b2=n-T,8 分数列 2 为,的前”项和 7；=lx2i+2x22+3x23+3 +-2”,9 分27；=1X22+2 X 23+3 X 24+-+M-2,+I 1()分.上式减上式得：一

11、 7；=21+2?+23+2 二田2 I=2 x-n-2,+1=(l-n)-2,+1-2,1 1 分27；,=(n-1)-2fl+l+2 o 12 分模板二、数列求和问题例 2、已知数列/的前项和(其中wN+),且 S“的最大值为8。确定常数左，并求(2)求数列:；的前n 项和T“。审题路线图：S,=-为关于的二次函数-当 =%时，S,取最大值f S&=-g/+/=g%2=81 c9 9-2/7 n 解关于人的方程得：Z=4T S.=-a“=S“Si=5 （N 2）f bn=-=t刀，=1+T 用错位相减求和。规范解答：【解析】（1）S,=+比=一1 （一 Q 2 +J _ /2 ,2 2 2

12、1分.当 =%e N+时，S“取最大值，即8 =S =g/,故公=1 6,%=4,9 7 .9从1 1 1 4 =5-5_ =耳（2 2）,乂。=5 =5，八丁合要求，:=1 ；b,=9-2-a-n=nr,2 2T T 7 L ,1 2 3 n-n 公,T=bi+%+2=于+歹+级+产+而，1个 1 2 3 -1 7 7 G-Tn=-；+=+，2 21 22 23 2“T 2n则-得 京=摄+身 盘+9+生 一 方,Y）c +2=l x V-=2-,1 I 2 2 23分5分6分7分8分1 1分则刀,=4 崇。1 2分构建答题模板：第一步：利用条件求数列，的通项公式。第二步：写出7；=仿+4+

13、仇 的表达式。第三步：分析表达式的结构特征确定求和方法。第四步：反复回顾，注意求%时=1和2 2分类讨论和验证，明确规范书写答题。练习2、等比数列 为 的前 项和S“，S 3 =7且4+3、3 a 2、生+4成等差数列。求数列 4“的公比q和通项a；若 4 是递增数列,令b“=lo跣 如，求I以|+也1 +也1。6%=%+3+%+44+。2 +。3 =7【解析】（1）由已知条件得a2=2q=2或，22分故V4=24=2,或，1-1q _2：23-(2)若%是递增数列，则m=2 ,bn=n-l,记%的前几项和雹=n(n-13)2当1工九7时画|+也 什+。|=-北,当 论 8 时 的|+也 1

14、+。1=/-2 s 7,(13 ),他 1 +也|+|2|=2九(一 13),l n 74 分5分6 分8分10分12 分2+4 2/2 8模板三、数列中不等式的证明2 s2例 3、已知数列/中，a,=l,其前项的和为S“，且 满 足%=(2 2)。2 5.-1(1)求证：数列-5-是等差数列;s 1 1 1 3(2)证明：当22时，S1+-S.+-S3+-+-Sz/2(3)S；+S +S：=；(+*+*-+*)4+-L+-L+4 1x 2 2 x 3(一 l)x 2分4 分5分7分8分9分10分12 分1 1Q=-2 S T=-21)练习:1、在数列%中，囚=1,+g(2 2)。求%的通项公

15、式。(2)求 4 的前项和为S 。【解析】(1)。=3%_+4(2 2),=3a +4,设。/十 九=3(4+九)，解得4=2,2分.数歹U%+2 为首项是3,公比是3 的等比数列，.”+2=3 ,即4=3 -2；4 分出 4=，”3-2”，设为=小 3 ,前 项和为7；,g =2，前”项和为M”，Tn=+$+=l-31+2-32+-+n-3,5 分37；=132+233+小3|，6 分a”1-得：27；=3i+32+3”3+i=3x-3 i=-3M+1-n-3H+,1-3 2 2.7；二也二!-3 叫3,8 分 4 4又,*Mn=C 1 +。2 +,+%2+2 2-n=n+,210分5=T+

16、M =-=-3n+l+-+n2+n 12 分 4 42、已知数列 册 的前项和S.,=2,且 满 足/+i=S“+2+i(eN+)。q(1)证明数歹lj 2 为等差数列；2求 Sj+$2+S”。【解析】证明：由条件可知，S,+1S“=S+2+i,即S“+2S“=2+l 2 分整理得当q 一 2q =1,又当”=1时q斗=1,4 分2+1 2 21数 列 的 是以1为首项，1为公差的等差数列，宗=1+-1 =：6 分(2)解：由可知S=-2”,令7；=S1+S2+S”，7 分A 7；,=lx 2+2 x 22+-+n-2n,8 分27;=1x22+2x23+2向，9 分-得：-7；=2i+22+

17、23+2”?田，11 分整理得雹=2+(1)2 向。12分3、已知数列 “满足S“=2a“一w(eN+)。证明：4+1 是等比数列；求 4+%+%+a2,+i(eN+)。【解析】(1)当 =1时，由S=2 q 1得：4=1,1分当上2 时，a=S-S,=(2a-)-2an_x-(-1),2 分/.an=2an_t+1 ,从而由4+1 =2(4._+1)得卫士、=2(22),4 分a,i+l。+1 是以2 为首项，2 为公比的等比数列，/+l =2 x 2 i=2 ；6 分2(1-4+i)22n+3-3/1-5(2)由得。=21,.+%+%+.+2“+1=幺+-12 分1 4 34、已知数列 2

18、 的前项和S,且 S,+g 4 =1(w/)。(1)求数列 4 的通项公式：(2)设a=log3(l S+1)(eN+),求适合方程一 +_ +_ =的 正 整 数”的值。他 2 b2b3 bbn+i 511 2【解析】(1)当=1时，a=Sj=1 解得4=,1分当 2 2 时，=S“S,i=(lg a“)一 (1；a“T)=g(a,ia“)，即为 三 明，3 分.数列%是 以;为首项，；为公比的等比数列，a“=(x q)T=(；4 分1 I?1由知 5,=1-5。=1-5、1=1 一 1,5 分bn=log3(l-5+I)=log3(l-1 +=-(n+1),6 分二 1 1 =1 _L _

19、 8 分bbn+l-(+1)1-(+2)n+n+2.1 1 1 J L J k ,1 I、1 1 25,小bb2 b也3 瓦+1 2 3 3 4 +1 +2 2 n+2 51/.n 100 c12 分5、已知等差数列%中，首项4=1,公差d 为整数，且满足q+3%，W+5应，数列仍 满足b=!,其前几项和为s”。求数列仅“的通项公式;(2)若$2为 S、S,“(m eN+)的等比中项，求小的值。【解析】(1)由题意，得,4+3%+2”,解得上+3d 2 2=l+(n-2)-2=2n-1；4 分(2)V bn-=-=(-),6 分an-an+(2n-1)-(2H+1)2 2 n-2 +1-*S=

20、(1 H-F(-)=(1-)=-,8 分 2 3 3 5 2/1-1 2n+l 2 2 +1 2n+lI 2/1?S1=,S2=-,Sm=-，$2为 S、(相N+)的等比中项，10分3 5 2m+：.=S,S,即(2)2=1.解得“=12。12 分-5 3 2/JZ+I6、已知数列%是等差数列，4=产，/=4，%=产+人(1)求数列 6 的通项公式；(2)若数列 4 为递增数列，数列出,满足log2 bn=a ,求数列(4 一 1)4 的前项和S,。【解析】(1)由题意得f+产+f=2/=8,f=2,1分f=2 时，6=2,公差 d=2,.%=2，3 分/=2 时，a1=6,公差d=2,a“=

21、8-2；5 分(2)若数列 q 为递增数列,则a“=2，.log22=2,2=4,则-1)6.=(2-1)4,7 分5=I-4+3-42+5-43+-+(2/J-3)4,_|+(2-1)40,8 分45=1.42+3-43+5-44+-+(2M-3)4n+(2n-l)4n+l(2),9 分-W-3S=4+2-42+2-43+-+2-4,-(2 n-l)4n+l=4+2x吗/1(2”1)代=3(6:5)4 ,分y=(6广叫 分7、已知数列“中，,=2,。2=4，an+2a_,=3a(n 2)证 明:数 列 a-%是等比数列;(2)求数列仅“的通项公式；设 勿=。“-1,S”=#-+/-+不?一，

22、若 劫 eN+，使 S“-3 机成立，求实数?的取值范围。他 2 b2b3 bbn+i【解析】(1)证明：a.+i+2a“_=3a(”N 2),，a“+|-a“=2(a“-a”_i),a2-ax-2,2 分数列 4+i-4 是首项为2,公比为2 的等比数列，4+-/=2；4 分：an+i an 2,a”(an an_x)+an_2)1-H(%)+4=2 +2-H-i-2+2 2；6 分(3)ft=a 1 =2n 1,；.=-：-!-.8 分bnbn+l(2-1)(2,+|-1)22n+l-1,=2 +4+-咐 2她=a一 打）+（打一行+（F T T C T）=I_ C T10分若三eN+，使

23、S N4/%2-3 m成立，/.1 4m2-3m,解得一:22,n+2,7 2 =1当 =1时，4=%=2,不满足=2一，；./?=1,8分？1,n2当=1时，不等式等价为S 1-q+6=6 2 0成立，9分当“2 2时，S=2+2x2+3x22+4x23+-+nx2_ I,则 2S“=4+2x2?+3x2?+4x2,+x 2，-得 S”=2+2x21-22-23-2n-+nx2n=6 _ U +X2=6+4 2 T+X2=10+(2).2,11 分则当2 2时，不等式S“一na“+6 2 0等价为10+(-22 2+62 0,即 16-2-220,则2 4 8,得”43,则n的最大值是3。1

24、2分9、数列%满足(?|=2,4用=端+6a“+6(e M)。设cn=log5(a+3),求证%是等比数列;(2)求数列 4 的通项公式；(3)设勿J,数列 ,的前项和为，求证：_之 盯 2 成立。【解析】(1)当 =1 时，4 2=2 4-4=4,又各项都是正数，则q=l,I分当 2 2 时，4；-a3=2 S“-a“-2S,i+a,i=a“+a,i,2 分又数列 4 的各项都是正数，.。“一。,1=1，3 分数列%是首项为1，公差为1的等差数列，：.a =n；4 分(2)V a=n,：.bn=3+(-1严 X -2册,6“+|-hn=3 2-3+(-1)X-2n+1+(-1)T Q 2=2 x 3-3 Q(-1)T 2”,6 分要使 久 恒成立，只需(1)T 入 g)T，7 分当”为奇数时，即九(3产 恒成立，又(3尸 的最小值是1,“-(当T 恒成立，又-(三 严 的最大值是一三，.入 一,I1分2 2 2 23.,-1k2 成立。12分