2021-2022学年度北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明章节练习试题(含答案解析).pdf

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1、北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明章节练习北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明章节练习考试时间：90 分钟；命题人：数学教研组考生注意：考生注意：1、本卷分第 I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100 分，考试时间 90 分钟2、答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第第 I I 卷（选择题卷（选择题 30 30 分）分）一、单选题（一、单选题（1010 小题，每小题小题，每

2、小题 3 3 分，共计分，共计 3030 分）分）1、如图，在等腰ABC中，AB=BC，ABC=108，点D为AB的中点，DEAB交AC于点E，若AB=6，则CE的长为（）A4B6C8D102、如图，在ABC中，BD、CD分别平分ABC、ACB，过点D作直线平行于BC，分别交AB、AC于点E、F，当A大小变化时，线段EF和BE CF的大小关系是()AEF BE CFBEF BE CFCEF BECFD不能确定3、如图，在中，C 90，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，若A 30，CD 2cm，则AC的长为（）A2cmB4cmC5cmD6cm4、下列命题是假命题的是（）A对顶角相等C同

3、位角相等B直角三角形两锐角互余D全等三角形对应角相等5、以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（）A4，8，7B5，12，14C2，2，4D6，8，106、如图，在中，C 90，A 30，点D为边AB的中点，点P在边AC上，则PDB周长的最小值等于（）AAC ABBABCACBCDAC7、如图，在中，DE是AC的垂直平分线，AE 3cm，则ABD的周长为 13cm，则的周长是（）A16cmB17cmC18cmD19cm8、如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论：1=+；BOC90A；2点到各边的距离相等；设=，AEAFn，则=其中正确的结论个数是（）

4、A1 个B2 个C3 个D4 个9、如图，在中，AD是角平分线，且ADAC，若BAC60，则B的度数是（）A45B50C52D58110、如图，在ABC中，B=62，C=24，分别以点A和点C为圆心，大于2AC的长为半径画弧，两弧相交AC的两侧于点M、N，连接MN，交BC于点D，连接AD，则BAD的度数为（）A70B60C50D40第卷（非选择题第卷（非选择题 70 70 分）分）二、填空题（二、填空题（5 5 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共计分，共计 2020 分）分）1、锐角中，A 68，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线交于O点，则BOC _2、如图，在中，ACB 90，AD平

5、分BAC交BC于点D，BC 10cm，点D到AB的距离为4cm，则BD的长为_cm3、若(a 3)2|b 7|0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_4、如图，AOB 42，C为OB上的定点，P、Q分别为OA、OB上两个动点，当CP PQ的值最小时，OCP的度数为_5、将一副三角尺如图所示叠放在一起，点A、C、D在同一直线上，AE与BC交于点F，若AB14cm，则AF_cm三、解答题（三、解答题（5 5 小题，每小题小题，每小题 1010 分，共计分，共计 5050 分）分）1、如图，为等边三角形，D是BC中点，=60，CE是的外角的平分线求证：=2、如图，已知锐角（1）尺规作图：作的高（保

6、留作图的痕迹，不要求写出作法）；（2）若B 2C，+与有什么关系？并说明理由3、如图，在ABC中，ABAC，AFBC，在CDE中，DCDE，DGCE，AF和DG的延长线交于点P，连接BP、EP（1）求证：BPEP；（2）若BCE135，试判断PBE的形状，并给出证明4、如图，ABC是等边三角形，点D、E、F分别同时从A、B、C以同样的速度沿AB、BC、CA方向运动，当点D运动到点B时，三个点都停止运动（1）在运动过程中DEF是什么形状的三角形，并说明理由；（2）若运动到某一时刻时，BE=4，DEC=150，求等边ABC的周长；5、如图，长方形AOBC在直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，

7、已知点C的坐标是（8，4）（1）求对角线AB所在直线的函数关系式；（2）对角线AB的垂直平分线MN交x轴于点M，连接AM，求线段AM的长；（3）若点P是直线AB上的一个动点，当PAM的面积与长方形OACB的面积相等时，求点P的坐标-参考答案参考答案-一、单选题1、B【分析】由等腰三角形的等边对等角性质即可得出CAB=BCA=36，再由垂直平分线定理可知CAB=ABE=36，再由三角形内角和为180即可推出CEB=EBC，故CE=BC=AB=6【详解】AB=BC，ABC=108CAB=BCA=36又点D为AB的中点，DEAB交AC于点EAE=BECAB ABE 36AEB 180 ABE CAB

8、 180 36 36 108CEB 180 AEB 180 108 72EBC 180 CEB BCA 180 72 36 72CEB EBCBC=CECE=AB=6故选：B【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、三角形内角和的性质，熟悉使用有关性质是解题的关键2、C【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可得EBDEDB，则ED BE，同理可得DF FC，则EF BECF，可得答案【详解】解：EF/BC，EDB DBC，BD平分ABC，EBDDBC，EDB EBD，ED BE，同理DF FC，ED DF BE FC，即EF BECF故选：C【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，

9、平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定定理，平行线的性质定理，角平分线的定义是解题的关键3、D【分析】由题意知AD BD，DBAACBD30，AD BD 2CD 4，AC CD DA可求出AC的值【详解】解：由题意知AD BDDBA ACBD 30在Rt BCD中CBD30BD 2CD 4 AD又AC CD DAAC 6故选 D【点睛】本题考察了垂直平分线的性质，30角的直角三角形的性质解题的关键在于灵活运用垂直平分线与30角的直角三角形的性质4、C【分析】根据对顶角的性质、直角三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质逐项判断即可得【详解】解：A、对顶角相等，则此项命题是真

10、命题；B、直角三角形两锐角互余，则此项命题是真命题；C、两直线平行，同位角相等，则此项命题是假命题；D、全等三角形对应角相等，则此项命题是真命题；故选：C【点睛】本题考查了对顶角、直角三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质、命题，熟练掌握各性质是解题关键5、D【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可【详解】解：A、42+7282，故不为直角三角形；B、52+122142，故不为直角三角形；C、2+2=4，故不能构成三角形，不能构成直角三角形；D、62+82=102，能构成直角三角形；故选：D【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已

11、知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形6、C【分析】作点B关于AC的对称点H，连接HP、HD，由轴对称的性质可知BP HP，由题意易得AB 2BC BH，AB 2BD，则有BC BD，然后由三角形周长公式可知CPBD BP PD BD HP PD BD，要使其最小，则需满足H、P、D三点共线即可，进而问题可求解【详解】解：作点B关于AC的对称点H，连接HP、HD，如图所示：BP HP，BC HC，C 90，A 30，AB 2BC BH，点D为边AB的中点，AB 2BD，BC BD，ABC HBD，AB

12、C HBD（SAS），AC HD，C BP PD BD HP PD BD，要使其最小，则需满足H、P、D三点共线，即BPPD的最PBD小值为HD的长，PBD的周长最小值为AC BC；故选 C【点睛】本题主要考查轴对称的性质、含 30 度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握轴对称的性质、含 30 度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键7、D【分析】根据题意，得AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13，AC=2AE=6，从而得到AB+AC+BC=19【详解】DE是AC的垂直平分线，AE 3cm，AE=EC=3，AD=DC，AC=2AE=6，ABD的周长为

13、13cm，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13（cm），AB+AC+BC=19（cm）故选D【点睛】本题考查了线段的垂直平分线性质，等量代换，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键8、C【分析】1根据ABC和ACB的平分线相交于点O和三角形的内角和等于 180，可得BOC 90 A；再2由ABC和ACB的平分线相交于点O和EFBC，可得EOB=OBE，FOC=OCF，从而得到BE=OE，CF=OF，进而得到EF BECF；过点O作OMAB于M，作ONBC于N，连接OA，根据角平分线的性质定理，可得点O到ABC各边的距离相等；又由AE+AF=n，可得SAEF=SAOE+SAOF

14、=2mn，即可求解【详解】解：在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点O，1OBC=2ABC，OCB=2ACB，ABC+ACB=180-A，OBC+OCB=2（ABC+ACB）=90-2ABOC=180-（OBC+OCB）=90+2A，故正确；在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点O，OBC=OBE，OCB=OCF，EFBC，OBC=EOB，OCB=FOC，EOB=OBE，FOC=OCF，BE=OE，CF=OF，EF=OE+OF=BE+CF，故正确；过点O作OMAB于M，作ONBC于N，连接OA，11111又在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点O，ON=OD=OM=m，即点O到AB

15、C各边的距离相等，故正确；AE+AF=n，SAEF=SAOE+SAOF=2AEOM+2AFOD=2OD（AE+AF）=2mn，故错误；综上所述，正确的结论有 3 个故选：C1111【点睛】本题主要考查了角平分线性质定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键9、A【分析】根据角平分线性质求出DCA，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解C和B即可【详解】解：AD是角平分线，BAC 60，DCA=2BAC=30，AD=AC，C=（180DCA）2=75，B=180BACC=1806075=45，故选：A【点睛】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质

16、、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键10、A【分析】根据BADBAC DAC，想办法求出BAC，DAC即可解决问题【详解】解：B62，C24，BAC180 8694，由作图可知：MN垂直平分线段AC，1DADC，DACC24，BAD94 2470，故选：A【点睛】本题考查作图 基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型二、填空题1、136【分析】根据垂直平分线的性质可得ABO BAO,ACO CAO，由三角形内角和定理可求出OBCOCB 44，从而可求出BOC【详解】解：如图，根据直平分线的性质可得ABO BAO,ACO

17、 CAO，BAOCAOBAC 68ABOBAOACOCAO 2BAC 268136OBC OCB 180(ABOBAOACOCAO)180136 44BOC 180(OBC OCB)18044 136故答案为：136【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等解题的关键是利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理2、6【分析】过点D作DEAB根据角平分线的性质定理解得DE=DC，结合图形解题即可【详解】解：过点D作DEABAD平分BAC，ACB90，DEABDC DE 4cmBD BC DC 104 6cm故答案为：6【点睛】

18、本题考查角平分线的性质，掌握相关知识是解题关键3、17【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分情况讨论求解即可【详解】解：(a 3)2|b 7|0，a30，b7 0，解得：a 3，b 7，若a 3是腰长，则底边为 7，三角形的三边分别为 3、3、7，337，3、3、7 不能组成三角形；若b 7是腰长，则底边为 3，三角形的三边分别为 7、7、3，能组成三角形，周长为：77317，以a、b为边长的等腰三角形的周长为 17，故答案为：17【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值和平方的非负性，以及三角形的三边关系，难点在于要分类讨论求解4、6【分析】作点C关于直线OA的对称点C，连接C

19、C，交OA于点D，过点C作CM OB，交OA于点N，根据CP PQ CP PQ CQ，且当CQ BO时最小，所以当CP PQ的值最小时，当点P与点N重合，点Q与点M重合时，此时OCP等于OCN，进而根据直角三角形的两锐角互余，以及角度的和差关系求得OCN即可【详解】解：如图，作点C关于直线OA的对称点C，连接CC，交OA于点D，过点C作CM OB，交OA于点N，CP CP，CP PQ CP PQ CQ，且当CQ BO时最小，所以当CP PQ的值最小时，当点P与点N重合，点Q与点M重合时，此时OCP等于OCN，CC OA又AOB 42DCN CND 90,AOC ONM 90,ONM CNACC

20、M AOB 42DCO90 AOC 48根据对称性可得NCD DCD 42NCODCM DCM 48 42 6当CP PQ的值最小时，OCP的度数为6故答案为：6【点睛】本题考查了根据轴对称求最短线段和，垂线段最短，直角三角形的，根据题意作出图形是解题的关键5、7 2【分析】求出AFCE45，由直角三角形的性质求出AC7cm，由勾股定理可得出答案【详解】解：由题意知，ACBD90，CFDE，E45，AFCE45，ACCF，AB14cm，B30，AC2AB7cm，AFAC2CF2 7 2（cm）故答案为：7 2【点睛】本题主要考查含 30 度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握含30 度直角三角

21、形的性质及勾股定理是解题的关键三、解答题1、证明见解析.【分析】过D作DGAC交AB于G，由等边三角形的性质和平行线的性质得到BDGBGD60，于是得到BDG是等边三角形，再证明AGDDCE即可得到结论.【详解】证明：过D作DGAC交AB于G，1ABC是等边三角形，ABAC，BACBBAC60，又DGAC，BDGBGD60，BDG是等边三角形，AGD180 BGD120，DGBD，点D为BC的中点，BDCD，DGCD，EC是ABC外角的平分线，ACE（180 ACB）60，BCEACBACE120AGD，ABAC，点D为BC的中点，ADBADC90，又BDG60，ADE60，ADGEDC30，

22、在AGD和ECD中，12AGD ECD，GD CDADG EDCAGDECD（ASA）ADDE【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键2、（1）见详解；（2）ABBD DC，理由见详解【分析】（1）以点A圆心，适当长为半径画弧，交BC于两点，再以这两点为圆心，大于这两点的距离的一半为半径画弧，交于一点，然后连接即可；（2）在DC上截取DE=BD，连接AE，由题意易得AB=AE，则有B=AEB，进而可得AE=EC，最后问题可求解【详解】解：（1）如图所示，AD即为所求；（2）ABBD DC，理由

23、如下：在DC上截取DE=BD，连接AE，如图所示：AD BC，AB=AE，B=AEB，B 2C，AEB 2C，AEBCEAC，C EAC，AE=EC=AB，DC DE EC，ABBD DC【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键3、（1）见解析；（2）等腰直角三角形，见解析【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得出答案；（2）证出BPE2（FPC+GPC）90，则可得出结论【详解】（1）证明：连接PC，ABAC，AFBC，DCDE，DGCE，AP、DP分别为线段BC、CE的垂直平分线，PCPB，P

24、CPE，PBPE（2）解：PBE的形状为等腰直角三角形；BCE135，PGCPFC90，在RtPGC和RtPFC中，FPC+GPC45；AP、DP分别为线段BC、CE的垂直平分线，FPCFPB，GPCGPE，BPE2（FPC+GPC）90；PBPE，PBE的形状为等腰直角三角形【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和判定，等腰直角三角形判定，熟练掌握垂直平分线的判定是解题的关键4、（1）DEF是等边三角形，理由见解析（2）等边ABC的周长为18【分析】（1）利用DEF是等边三角形的性质以及三点的运动情况，求证EBD FCE和ECF FAD，进而证明DE EF FD，最后即可说明DEF是等边三角形（

25、2）利用题（1）的条件即DEC=150，得出DEB是含30角的直角三角形，求出BD 1BE 2，最后求解出等边ABC的BC长，最后即可求出等边ABC的周长2【详解】（1）解：DEF是等边三角形，证明：由点D、E、F的运动情况可知：AD BE CF，ABC是等边三角形，AB C 60,AB BC CA，BD AB AD BC BE CE,CE BC BE CA CF AF，在EBD与FCE中，BD CEB CBE CFEBD FCE(SAS)，DE EF，同理可证ECF FAD，进而有EF FD，DE EF FD，故DEF是等边三角形（2）解：由（1）可知DEF是等边三角形，且EBD FCE，D

26、EF 60，BDECEF，BD CE，DEC 150，BDE CEF DEC DEF 90，在RtDEB中，DEB 90 B 30，BD 1BE 2，2BC BE CE BE BD 6，AB BC CA，等边ABC的周长为3BC 18【点睛】本题主要是考查了全等三角形的性质及判定、等边三角形的判定及性质和含30角直角三角形的性质，熟练利用等边三角形的性质，找到相等条件，进而证明全等三角形，综合利用全等三角形以及含30角直角三角形的性质，求出对应边长，是解决该题的关键144128128845、（1）y x4；（2）5；（3）点P的坐标为（，）或（，）55525【分析】（1）由坐标系中点的意义结合

27、图形可得出A、B点的坐标，设出对角线AB所在直线的函数关系式，由待定系数法即可求得结论；（2）由勾股定理求出AB的长，再结合线段垂直平分线的性质，可得AMBM，OMOBBM，再次利用勾股定理得出AM的长；（3）（方法一）先求出直线AM的解析式，设出P点坐标，由点到直线的距离求出AM边上的高h，再结合三角形面积公式与长方形面积公式即可求出P点坐标；（方法二）由PAM的面积与长方形OACB的面积相等可得出S PAM的值，设点P的坐标为（x，2x4），分点P在AM的右侧及左侧两种情况，找出关于x的一元一次方程，解之即可得出点P的坐标，此题得解【详解】解：（1）四边形AOBC为长方形，且点C的坐标是（

28、8，4），AOCB4，OBAC8，1A点坐标为（0，4），B点坐标为（8，0）设对角线AB所在直线的函数关系式为ykxb，14 bk 2，则有，解得：0 8k bb 4对角线AB所在直线的函数关系式为yx41（2）AOB90，勾股定理得：ABAO2OB245，MN垂直平分AB，BNAN12AB25MN为线段AB的垂直平分线，AMBM设AMa，则BMa，OM8a，由勾股定理得，a242（8a）2，解得a5，即AM5（3）（方法一）OM3，点M坐标为（3，0）又点A坐标为（0，4），直线AM的解析式为y43x4点P在直线AB：y12x4 上，设P点坐标为（m，12m4），24点P到直线AM：xy4

29、0 的距离h341mm4432 42132m2PAM的面积SPAM2AMh|m|SOABCAOOB32，解得m128，5154故点P的坐标为（4412812884，）或（，）5555（方法二）S长方形OACB8432，SPAM32设点P的坐标为（x，2x4）当点P在AM右侧时，SPAM2MB（yAyP）25（42x4）32，解得：x128，51111点P的坐标为（44128，）；55111当点P在AM左侧时，SPAMSPMBSABM2MByP1025（2x4）1032，解得：x128，512884，）55点P的坐标为（综上所述，点P的坐标为（【点睛】4412812884，）或（，）5555本题考查了坐标系中点的意、勾股定理、点到直线的距离、三角形和长方形的面积公式，解题的关键：（1）根据坐标系中点的意义，找到A、B点的坐标；（2）由线段垂直平分线的性质和勾股定理找出BM的长度；（3）（方法一）结合点到直线的距离、三角形和长方形的面积公式找到关于m的一元一次方程；（方法二）利用分割图形求面积法找出关于x的一元一次方程本题属于中等题，难度不大，运算量不小，这里尤其要注意点P有两个