专题18圆锥曲线中的求范围及最值问题（解析版）-备战2022年新高考数学必考点提分精练（新高考地区专用）.pdf

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1、专题1 8圆锥曲线中的求范围及最值问题一、单选题1.已知双曲线C*-，=1（a0 力0）的左，右焦点分别为耳,鸟，点若C 的右Q支上的任意一点 满足|M|+|M N|5 b,则 C 的离心率的取值范围为（）【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的定义，E转化为|%|+|M N|+2 a?,即（MF2+MN）m,n+2 a -,当点M,序 N 三点共线时，|M闻最小，转化为不等式+2a,最后求离心率的范围.2a 2【详解】由已知可得I 用-|M 用=2a,M Fl+M N b,O/7 O即|“|+1 MN|+2ay ,右支上的点M均满足忻M|+1M N吟b,9b只需|M%|+|MN|的最小值满足|

2、班|+|血|+2 万即可，当点“在 6 N 上时，最小，此时|MF,|+|MN|=空,2aSh2故+2a ,B P 5b2+4a2 9ab,2a 2(a-b)(4a-5b)。4。58或 25b2 或 a2cb2,可得 41 a?25c2 或 2a2 c2,解得l e 痘 或&O 匕 0),则&忖所以二二 百，双曲线方程为/-匕=1,由3?-匕=1,得 产 2 而，5 2 屈,3 3因此A(3,5)在双曲线外部(不含焦点的部分)，又c =/=2,所以尸(2,0),在AAMF中，山三边之间的关系可知当M 是线段A F 与双曲线的交点，即A、M、尸三点共线时，|M 4|+|M F|取得最小值,且 最

3、 小 值 为|=J(3-2 尸+(5-0)2 =医，故选：B.A1 1.已知双曲线C的一条渐近线为直线v-y =O,C的右顶点坐标为（1,0）.若点M（均,加）是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为（3,5）,则|M 4|+2 x”的最小值为（）A.7 2 6-1 B.7 2 6C.V 2 6+1 D.V 2 6+2【答案】C【解析】【分析】求出双曲线的标准方程，双曲线的右准线方程，右焦点坐标，确定A在双曲线的外部，利用圆锥曲线的统一定义把24转化为M到右焦点F的距离，然后易得最小值.【详解】设双曲线方程为一AsQ。，贝 心a=1所以,aa=1b=后双曲线方程为Y-=1,32-=1得 =2，5

4、276,因此43,5）在双曲线外部（不3 3含焦点的部分），XC=V173=2,所以e =2,=1,即双曲线的右准线是x =1,记双曲线的右焦点a c 2 2为 F（2,0）,则 2（x,“-g）=|M%|M 4|+2/=|M 4|+|M尸|+1,所以当M是线段AF与双曲线的交点时，|M 4|+|M F|取得最小值,最小值不|A F|=&3-2）2+（5-0=宿，所以|M 4|+2 x,”=MA+MF+1 的最小值是 7 2 6+1.故选：c.1 2 .直线，=匕(4用 与椭圆：+三=1 相交于4 B 两 点,若将x 轴下方半平面沿着x 轴翻折，使之与上半平面成直二面角，则|四|的取值范围是(

5、)A.立 佝 B.2,2#C.(2,2 伺 D.(2,6【答案】C【解析】【分析】判断直线与椭圆的交点的位置，然后求解的取值范围即可.【详解】由：+?=1 可知，椭圆的短轴长幼=2 点，长轴长2 a =2，又直线=(A e R)与椭圆：+=1 相交于4 B 两点,所以|A B|的最大值为26，将 x 轴下方半平面沿着x 轴翻折，使之与上半平面成直二面角，此时|A B|的最大值仍然是长轴长2 面，而短轴两个端点间的距离为 庐 工 7 =2，由于4 8不能在短轴端点处，所以2|BF|=/（-2-1）2+（2-0）2=713,当且仅当8,P,尸三点共线时取等号，所以d+|P目的最小值为 旧.故选：C

6、.1 8.已知抛物线C:y 2=2 p x（p 0）的焦点到准线距离为2,点A是抛物线C上的动点,3（4,0）,点。为动点，且|叫=2,且则通.而的最小值为（）A.8 B.9 C.1 1 D.1 2【答案】A【解析】【分析】利川向量运算求出AB-AD=A B -4,再由两点间距离公式及二次函数.【详解】/2 由题意可得抛物线C的方程为y 2=4 x,设4 ：/，由4 上班可得通.而=|而=|西2-4,所以当产=8时 府 取得最小值1 2,通.而 取 得 最小值8,故选：A1 9 .已知点P（x,y）满足J（x-1 y +田+J（x +1 f +y 2 =2应,点4 8关于点。（0,-2）对称且

7、|他|=2,则 丽丽 的 最 大 值 为（）A.1 0 B.9 C.8 D.2【答案】C【解析】【分析】利用向量的加法运算求记PA,PB,根据向量数量积基底模式求出 丽 丽=|而 一 1 ,再用两点间的距离公式及点P(x,y)在椭圆+V=1 上即可求解.【详解】由椭圆定义可得点P(x,y)在椭圆+丁=1 上，因为点4 8 关于点0(0,-2)对称，所以丽.丽=(而+网(而+函=(而而)阿+；可:而 I 网 2=囤 2 _ ,而|P D =4+(、+2)2 =2-2/+(y +2)2=/-(-2)2+1 0 ,因为-1 4y 41,所以 当 尸 1 时|尸。|取得最大值3,所 以 身.而 的最大

8、值为3?-1 =8.故选:C.2 0.己知椭圆C：+占=1(。0)的左，右焦点大,用，过原点的直线/与椭圆C相交a b于N两点.其中M在第一象限.|%|=闺 用，圈 之 坐，则桶圆C的离心率的取值范围 为()A.(0,2 1 1 B.(0,7 6-2 C.(0,6-1 D.(,7 3-1【答案】D【解析】【分析】由题设易知四边形财叫为矩形，可得i M B F-Z d i M K i+z/n O,结合已知条件有a|MF,|(G -l)a,2 1 ：即可求椭圆C的离心率的取值范围.=。2-2 0【详解】由椭圆的对称性知：INR HMEI,而|用6|+|M|=2 a,又卜忻用，即四边形M片”为矩形，

9、所以|M 入+|例|2=牝.2,则2|屿|2-4|岫|+42=牝2 且“在第一象限,整理得|M/s|2-2aMF2+2b2=0,=a2-2b20所 以 即|=“-”2-0，又需=f=黑褊J即四小“6-1)入 MF,=a-4a1-2b2 (-l)a 坨 2 1 ,c?r综上，整理得上 2a2-2c2 2 a2所 以 变 ew/-L2故选：D.【点睛】关键点点睛：由椭圆的对称性及矩形性质可得I MF212-2 a|MF21+2b2=0,由已知条件得到a|MF21 (6-1)4A 0进而得到椭圆参数的齐次式求离心率范围.2 1.已 知 双 曲 线 氏 -卫=1（。0,6 0）的左、右焦点分别是耳、尸

10、2,且旧月|=2,a b若产是该双曲线右支上一点，且满足归用=3归用，则P/谯 面积的最大值是（）【答案】A【解析】【分析】根据已知条件，结合双曲线的定义求出|尸 耳|与|%|,然后在鸟中，利用余弦定理求出c osN f JP B，再根据面积公式及二次函数的知识即可求解.【详解】解：因为P是该双曲线右支上一点，所以由双曲线的定义有|耳|-|局=2 a,又忸 耳|=3|尸 闾,所以归周=3%归 闾=”,设 ”=0,所以 c os6 =匕Q q E =纪 二，2 x0 x3。3a2V J1 .Y_ 9 4。2 5 a4-2 0a2+4 _ /2 5丫，99所以（S PFF）xx3axsi n0 a

11、 1-=-4 a H K ,（2 J 4 I 9a4）I 8）1 6 1 6所以4 当且仅当/=?时等号成立，4o所 以 面 积 的 最 大 值是1,4故选：A.2 2.已知F是椭圆C:+=l的右焦点，点 彳2,苧）在C上，直线A尸与V轴交于点8,点户为上的动点，则 序.丽 的最小 值 为（）【答案】C【解析】【分析】2 2 o 1c由题可得椭圆C:二+2=1,进而可得B 0,-*,利用向量数量积的坐标表示可得1 6 1 5 I 1）冈 丽=X；-2 玉）+为2 -,再结合条件及二次函数的性质即求.【详解】（啕2由题可得?3J，m 1 5/.m =6,即椭圆 C:+=1,1 6 1 5A F（

12、1,O）,直线 AF 方程为 y =（x-l）,设尸伍，儿），则至+4 =1，丽=2-知 乎-，方=-%，-笠-%1 0 1 5 1 L0 c 2 =xo _ 2 x（）+为 -2 c i c 1 5 2 4 5x0-2 x0+1 5-V -=1（，。_ 6）一曰,X-4 x0 0 抱 0）的一条渐近线的方程为、=&，且过点（1 口，01blI 2，-2椭圆。2：0 +与=1 的焦距与双曲线C 1 的焦距相同，且椭圆C?的左、右焦点分别为 F2,过 点 线 的 直 线 交 于 A,B两点，若 点 则 下 列 说 法 中 正 确 的 有（）A.双曲线G 的离心率为2B.双曲线G的实轴长为:C.点

13、B的横坐标的取值范围为D.点8的横坐标的取值范围为(-3,-1)【答案】A D【解析】【分析】A B.根据双曲线的一条渐近线的方程为 =瓜，和过点求解判断；C D.易知椭圆焦点耳(-1,0),6(1,0),不妨设A(l,y)(x 0),设直线A B的方程为y =，(x +l),与椭圆方程联立，利用韦达定理求解.【详解】2 2双曲线G：=-与=1(4 0,40)的一条渐近线的方程为y =,4-垃则可设双曲线G 的方程为/一 片=2，过点(1，小，.1 一=义，解得4 =3 2=,即 丁-至-1,3 4 4可知双曲线G 的离心率0=2,实轴的长为1,故选项A 正确，选 项 B错误；a Q 2 2由

14、 泻 =1,可知椭圆。2：方=1 的焦点片(-1,0),位(1,0),不妨设A(l，x)(y 0)，代入得！+*=1,./上，a b a b ab2 z2y=(x+i)直线A B的方程为y =(x +l),联立|J。，2aIxK +铲y消去)并整理得(+3 卜2+2(/-1 卜-3/-1 =0,根据韦达定理可得卜/=-岩，可得XB=-3 +滔%,Q又片 1,/./+3 4,1 -2,:.-3XB 0）的焦点为 R W/：（2+/t）x+（-2 x/3 2）y+4A-7=0与抛物线C 交于4 8 两点，当直线/经过点尸时，|AF|=3忸耳.设圆尸为以点尸为圆心，。下为半径的圆（。为坐标原点），则

15、下列说法正确的是（）A.抛物线的C 的方程为丁=4xB.直线/截圆尸的弦长的最小值为gC.直线/截圆F 的弦长的最大值为2D.当2=3 时，|AF|+|班1取到最小值【答案】ACD【解析】【分析】对于选项A：判断出直线/过定点网2,旬.设直线/的倾斜角为凡 由|叫=3|明 可 得1 ,/3 0 7 TCOS=-,即可得eg利用斜率 =解得：P=2,即可得抛物线。的方2程；对于选项B：判断出点P在 圆/外，可得直线/截圆尸的弦长的最小值为0；对于选项C：直线/截圆厂的弦长取到最大值为圆尸的直径；对于选项D：设点4,8的坐标为（4,无）,（孙 丹），表示出AF+BF=xi+x2+p=4r -2y/

16、3m+6,利用二次函数求最值.【详解】对于选项A：直线/:（2+/1）+（6 2 6 2）丫 +4/1 7 =0,可化为：2 x-2百y+4+2x+石y-7=0,所以直线/过定点P（2,6）.设直线/的倾斜角为。，贝IJ有网、二。忸目I：,且由|AF|=3|明 可 得cosO=（即可得0 =.点F的坐标（n ,兀为（5,0，所以，二 工7小狗号，解得：P=2,即可得抛物线C的方程为2=以，故选、2项A成立；对于选项B：可得圆尸的方程为（*-1丫 +/=1,因为点P在圆尸外，可得直线/截圆厂的弦长的最小值为0,故选项B错误；对于选项C：当直线/经过点尸时，此时直线/截圆尸的弦长取到最大值，最大值

17、为圆厂的直径P=2,故选项C成立；对于选项D：由/过定点产，可设直线/为x=?（y-W）+2,设点4,8的坐标为（孙 匕），（范，/），联立 ）nJ W y2-4/ny+in-8=0 .I y2=4x,根据韦达定理可得/+%=4m,AF+BF=xt+x2+p =4m2-2y/3m+6,当机=3时，网+阚 取 到 最小值为?，此时;1 =,，故选项D成立.故选：ACD.2 6.已知椭圆C：E+=1的左、右焦点为耳、用，点M为椭圆上的点（M不在x轴上），则3 2下列选项中正确的是（）A.椭圆C的长轴长为2KB.椭圆C的离心率e=gC.的周长为2G+2D.砥 丽 的 取 值 范 围 为 1,2）【答

18、案】A C【解析】【分析】根据椭圆的方程,求出。，b,c,判断A,B,C的正误，对于D,设出,表示 出 砥.丽的解析式，求出其范围，判断正误即可.【详解】2 2.椭圆 C:土+匕=1,/./=3 =2,/=1,3 2a=6,b =y/2,c =1 ,椭圆的长轴长为2 a=26,故A正确，椭圆的离心率e=3,故B错误，a 3 M 6鸟的周长为：|叫+|用段+|4川=勿+2。=26+2,故C正确，设 M（x,y）（y x O）,则一石 且 耳（后 0）,居（疯0）,故丽=卜#_3）,丽=又 上+=1,则炉-3 =-?,3 2 2故 函.丽=/_ 3+,2,.0 y 辍以二-1 -；y 2 0)的左

19、右焦点分别为 ，F2,过点”的直线/交椭圆于44 b-B 两 点.若|伍|+怛闾的最大值为5,则下列说法正确的是()A.椭圆的短轴长为2万B.当|破|+|跖|取最大值时，|伍|=|明|C.离心率为gD.|A B|的最小值为2【答案】A B C【解析】【分析】由椭圆定义有忸闾+|和|+|明=4 a,结合已知确定|明的最小值并确定此时A B的位置，即可判断D、B的正误，此时设4卜1)，结合椭圆方程及参数关系求短轴长，即可判断A、C的正误.【详解】由题意知：a=2,则 网|+阿+|期=4 =8,又|他|+忸国的最大值为5,易知|他 的最小值为3,故D错误；当_L x轴时|明 取 最 小值,此时|A&

20、+忸闾取得最大值，|伍|=忸玛|,故B正确；不妨设将/代入椭圆方程得J+京=i,c2=a2-b2=4-b2,故土4-2A2+二Q=1,即1_h幺2 9+=1,所 以Q 义=h22,解得匕=行r-，所以椭圆的短轴长为2白r-,4 4b2 4 4h2 4 4故A正确；(、1因为4 =2,8=石，所以c=l,所以离心率e=彳，故C正确.a 2故选：AB C.2 9.已知椭圆*+g =l(a 0)的左、右焦点分别为、工，长轴长为4,点尸(1)在椭圆内部，点。在椭圆上，则以下说法正确的是()A.离心率的取值范围为(0,g)B.当离心率为正时，I Q EI +I Q P I的最大值为4 +包42C.存在点

21、Q使 得 西 窈=0D，Q Ft|+Q F21的最小值为1【答案】B D【解析】【分析】根据点尸在椭圆内部求得b的范围，从而解得离心率范围即可判断A；由 离 心 率 求 得Ac,再利用椭圆定义，数形结合求得I 2 6 I +I Q P I的最大值；根 据 函 的=0可得|Q 2|=c,结合选项A中所得瓦c的范围即可判断；利用均值不等式以及椭圆定义，即可求 得 焉+焉 的最小值.【详解】因为长轴长为4,所以2a=4,即。=2；因为点尸（0,1）在椭圆内部，2 1所 以/+1,又b a,故可得走6。，所以不存在Q使 得 砒 西=0,故C不正确；1 1 QF.QFA对于选项D：由基本不等式可得（IQ

22、6I+I筑 供 函+西）=2+岗+弱“，当且仅当|QE|=|QR|时取得等号.又IQZ I+IQ5 1=4,所 以 焉+而 上，故D正确.I I I 2 r21综上所述：正确的选项是：B D.故选：B D.3 0.已知线段A 3 是圆C:(x-i y+(y-3)2=4 的一条动弦，G为弦A B 的中点，|AB|=26，直线4：g-y+3.+1=0 与直线4h+缈+3?+1 =0 相交于点尸，下列说法正确的是()A.弦 A 3的中点轨迹是圆B.直线/的交点P在定圆(x +2 y+(y +l)2=2 上C.线段PG长的最大值为6+6D.丽丽的最小值18-86【答案】A C D【解析】【分析】设G(

23、%,%)，由已知结合垂径定理求得G的轨迹判断A;联立两直线方程消去加判断8；由选项A、B及两圆的位置关系判断C;由数量积运算结合选项C 求得数量积的最小值判断D.【详解】对于选项/：设。(/，九)，因为|4 川=2 道，G为弦A 8 的中点,所以|G 8|=6.而C:(x-i y+(y 3)2=4,半径为2,则圆心到弦A B的距离为|C G|=旧 不 同=1.又圆心 C(l,3),所以(%-I 7 +(%3)2=1,即弦A 3中点的轨迹是圆，故选项/正确;对于选项8：twc-y+3m+=0,%+初）+3 m+1 =0消去也可得,得（x+2 p+（y+l）2=5,选项8不正确;对于选项C：由选项

24、/知，点G的轨迹方程为：(x-i y+(y-3)2=l,又由选项5 知，点尸的轨迹方程为：（x+2 y+（y +l）2=5,所以G（L3）M=1,R（_ 2,T），4=,线段|P G l a =|/G,|+/i+r,=J（l +2）2+（3 +1）2 +1 +石=6 +新，故选项 C 正确;对于选项：PA PB=（P G +GAj（P G +G B）=P G2+P G（GA+G B）+GA GB=P G2+P G 0-G B2=P G2-3.故（苏 方）=（所：3）,/m i n /m i n山选项 C 知,|P G|n i i n=麻|_弓 _4 =J(l+2)2+(3+1-I-#=4-5所

25、 以(丽方)=(4-石 丫-3 =1 8-8石，故 选 项D正确.故 选：A C D.三、填空题2 23 1 .双 曲 线C:-与=l(a 0,6 0),P为 双 曲 线C上的一点，若 点 尸 到 双 曲 线C的两条渐a b近 线 的 距 离 之 积 为1,则双曲线的半焦距c的取值范围.【答 案】+8)【解 析】【分 析】分别求得尸到两条渐近线的距离分别为4 =岁,一 日，出=y/a2+b2阶+时y ja2+b2根据题意列出方程，结合双曲线的方程及基本不等式得到1 即可求解.【详 解】2 2由题意，双曲线可得其渐近线方程 为 叱 心。,设P(x,y),可得点尸到两条渐近线的距离分别为4 =一

26、口,4 =将雪,y/a2+b2 Ja2+b2因 为 点 尸 到 双 曲 线C的 两 条渐近线的距离之积为1,可 得4人燧掇一垮事=1 12 2又 由0-3=1,可得匕22-2 y 2=/,a b所 以 舞“B|J a2+b2=a2b2(a 2+b 2)2,B|Jc2 23 3.在平面直角坐标系x O y中，已知双曲线5-=1(4 0,。0)的左、右顶点为A、B,若该双曲线上存在点P,使得直线B 4、P 8的斜率之和为1,则该双曲线离心率的取值范围【分析】求得即AMB=与，利用基本不等式可求得的取值范围，结合离心率公式可求得结果.【详 解】设点尸伍,九)，其 中X”a ,易知点A(-a,O)、5

27、(4,0)，且有多一5=1,则 芯=/+和,当点尸在第一象限时，x0a,%0,则即-。，-。，且%x L，X()-r C l A()C l由基本不等式可得kPA+%2屈%=,因为存在点P,使 得 直 线R 4、尸8的斜率之和为1,则 竺 1,即a a 23 4.过 抛 物 线V =2 x的 焦 点F作两条相互垂直的直线4、射 若4和4分别交该抛物 线 于A、B和C、。两 点，则 网 网+|因.|因 的 最 小 值 为.【答 案】4【解 析】【分 析】分析可知直线乙、4的斜率都存在且不为零，可设设直线4的方程为x=，y+g(mw o)，将直线4的方程与抛物线的方程联立，结 合 韦 达 定 理 可

28、 得 出 词 关 于 加的表达 式，同理可得出忸41回关 于 机的表达 式，利用基本不等式可求得|科|尸8|+忻7|尸0|的最小值.【详解】抛 物 线y 2 =2 x的焦点为F(g,o若 直 线 乙、4中有一条与 轴 平 行，则另一条直线与x轴重合，但x轴 与 抛 物 线y?=2 x只有一个交点，不合乎题意.所 以，直 线 入4的斜率都存在且不为零，设 直 线4的方程为x =缈+!(，k 0),则直线。的方程为x =-工y+工，2 m 2y2=2x设 点A(%,y J、8(w，%)，联 立，1，可 得y 2 _ 2冲-1 =0,x=my+A=4 z n2+40,由韦达定理可得%+必=2，z y

29、2=-1,所以，-4 1 尸 臼=（%+；）12 +j =（如 1+1）（%+1）=那+%（乂 +%）+1=-m2+2m2+1 =/+1 ,同理可得恒。M Q=+I,因此，|M|-|Ff i|+|r c|-|FD|=/n2+-+2 2 m2-+2 =4,n V v m当且仅当必=1 时，等号成立，因此，|*HFB|+|FC|.|阳 的 最 小值为4.故答案为：4 .3 5.已知与 在 双 曲 线?-g=1的右支上，4(0,2),动点8满 足|阴=2,尸是双曲线的右焦点，则归目-归却的最大值为.【答案】V1 3-2#-2 +/B【解析】【分析】由题意可知8的轨迹是以A为圆心，2为半径的圆，利用双

30、曲线定义将归目-归回转化为|P|-|P A|-4,结合图形，利用几何性质可求得答案.【详解】动点B满足|明=2,则点B的轨迹是以A为圆心，2为半径的圆，设双曲线的左焦点为 耳,由题知|P耳卜|用=4,忸产|=|尸周4则1P刊_ 俨旬=忸周一|期|-4 4|然 卜4 =/5 _ 4,所以|产目-归功的最大值为 屈 一2,故答案为：23 7.已知椭圆工+=1的焦点为，F2,点P为椭圆上任意一点，过工作/月产弱的外角4 3平分线所在直线的垂线，垂足为点0.抛物线)，=：/+2上 有 一 点 它 在x轴上的射影为点H,则|M 4|+|QM|+忻。的最小值是.【答案】V17【解析】【分析】如图所示，延长

31、K。交 P于点N，连接。，求出点。的轨迹方程为Y+y2MH+QM+FFFX,即得解.【详解】解：如图所示，延长乙。交 写尸于点N,连接。.因为/月 鸟的外角平分线是P。,且ENLPQ.所以|PN|=|PKI,因为|P|+|P居|=2x2=4,所以|P|+|PN|=2x2=4,因为|。耳 R OF21,|NQ|=|QF2OQ=NF1=2,所以点。的轨迹为以点。为圆心2为半径的圆，所以点Q的轨迹方程为f+V=4.4,证明所以 IMFRM/7I,所以|M77|+|QM|+旧口=|“用+|QM|+忻。习厂用因为|式|=JT+4?=Ji7.所以|M川+|QM|+|KQ|2折.所以|M+|Q M+闺。的最

32、小值是j万.故答案为：V172 23 8.己知尸是椭圆二+二=1上的动点，且不在坐标轴上，心是椭圆的左、右焦点，8 4。是坐标原点，若 M是N 尸鸟的角平分线上一点，且用0 砺=0,则|两|的取值范围是【答案】(0,2)【解析】【分析】设 P在第一象限，延长尸鸟交6 的延长线于点N,连接Q M,然后可得1 1 1 I C V-O M =-F2N =-(PFt-PF2)=-(2a-2PF2)=a-PF2,推导出 P g =+y2=a(其中x为尸的横坐标)，从而。知=?，由x e(O,4)可知O M w(0,c),由此能够得至l j|丽|a的取值范围.【详解】由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限,延

33、长PR交 K M 的延长线于点N,连接O M ,由于M 在/月尸外的角平分线上，可知“P M =N N P M ,所以耳P M 4 NPM全等，则F、M =M N,再由6。=。6，知O M 今卧,F2N =P Fl-P F2=2a-2x P F2,PF /x-c Y +y2=a （其中x为 尸的横坐标）,a:.OM=a由X (),)可知。M (0,c),由椭圆的方程知c =2,二口例 的取值范围是(0,2).故答案为：(0,2)3 9.设点”是椭圆C：!+=1上的动点，点N 是圆E：(x-行+丁=1上的动点，且直线MN 与圆E相切，则|M Z V|的 最 小 值 是.【答案】石【解析】【分析】

34、数 形 结 合 将|刚 转 化 为 1 ,问题转化为求椭圆上一点到圆心E的距离，采用函数方法即可求解.【详解】由题可知E(l,0),|阳=1,设必(知 几)，?+?=1 =$=8 1-,-3 觎3,”。y)则|M N|=J M E|2-|7V|2=j M E f-l =+#一 2x 0+8 1 磊R _j o y lxo-18 x0+72 J（x（）-9）-9=后-2%+8=3-=；当=3 时，|M N|r ajn=2 =.故答案为：有.4 0.直线/：x =%，+2 经过抛物线C:y 2=2p x(p 0)的焦点尸，与抛物线相交于4 8两点，过原点的直线经过弦4B的中点D,并且与抛物线交于点

35、E (异于原点)，则 端 的 取 值 范OE围是.【答案】(0,1)【解析】【分析】求出抛物线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，求出。的纵坐标，求出。的坐标得到直线。的方程，与抛物线联立，求出E的纵坐标，然后转化求解比值即司;【详解】解：直线/：x =m y +2 经过(2,0)是抛物线C:y 2=2px(p 0)的焦点尸(2,0),所以。=4,抛物线方程为：/=8 x,y 2=联立一 ，可得/_8 冲-16=0,A=64加恒成立，设 A(A X)、3(,),x =殴 +2所以乂 +必=8m，%+w =m(y +%)+4=8/+4,所以弦A B 的中点。(4+2,4/M),所以。的方程

36、为：y=-x,4 w +2=8x ,由题意可知机*0,与抛物线y 2=8x 联立 4m，解得先=*2 +1),y=3 x m4m2+2LOI=2J=C_ _ i i o 0,所以一 0,所以2+r 2,所以 1 2,2+F m-m 2+Tnr tn即。也J,1 0E T故答案为:(o,|.41.如图，椭圆 +=1的左、右焦点分别为耳、鸟，过点5、鸟分别作弦A 8、C D.若5 4AB/C D,则|A用+|C 闾 的 最 小 值 为.【解析】【分析】分析可知|C 闾=忸 制，贝!|做|+|。闾=|阴，设直线A B的方程为*=阳-1,与椭圆的方程联立，利用韦达定理、弦长公式可求得|明 的 最 小值

37、，即可得解.【详解】设点C关于原点的对称点为E,山于椭圆关T原点对称，则点E在椭圆上，因为。既为C E 的中点，也为线段片写的中点，故四边形C 百Eg为平行四边形,故。工/环且|跖|=|环因为A W/y且 ReA B,故点B与点E重合，所以，|A用+|C 闾=|钻|,由题意可知，直线A 8 不与x 轴重合，易知点耳(1,0),设点A(x”y J、8(电,),设直线A B的方程为f联立:黑；L o,可得州+5)/。,A=64m2+64（W+5）=32。+1）,y+必=8帆4m2+5K%=一164m2+5所以，I AB|=j l+，/+必y_4y ly2=：；一当且仅当机=0时，等号成立，故H耳|

38、+|c用 的 最小值为 竽.故答案为：巡52 24 2.已知6，E是椭圆E：亍+,=1的两个焦点，尸是椭圆E上任一点，则 辟 炉 的取值范围是.【答案】2,3【解析】【分析】求出焦点坐标，设出尸（科）（-4 4君 ,利用向量的数量积的坐标表示和椭圆方程表达 出/.亏=3-#,结合的取值范围，得 到 用 好 的取值范围.【详解】由2=4，b2=3 f 解得：c2=6/2 Z?2=1 所以 c =l,不妨令6（-1,。），鸟（1,。），因为P是椭圆E上任一设点，设P（狐 耳（_ 内4 4白）,2 2 A 则+g =1,即 n r=4-/?2,其中6户由尸=（加 +1,）（7 1,）=_ +2 =3

39、-/|2因为一6 6 4 6，所以0。2 K 3,2 3-/72 0 11.A1,否则与A。二 一 几。耳矛盾，大+万=1 ,，。点轨迹为 尹 尹1,即直线2x+3 y 6 =0,线段3长度的最小值即为原点到直线的距离，.=r=处.1 lmm 7 4+9 13故答案为：巫.13【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够利用向量坐标运算求得动点Q的轨迹方程，根据轨迹为直线可将问题转化为坐标原点到直线距离的求解.44.已知抛物线的方程为y2=4x,圆C：（x-2）2 +丁=1,点/,8在圆C上，点P在抛物线上，且满足|43|=2,则 而.而 的 最 小 值 是.【答案】3【解析】【分析】由题可知,48

40、是圆的直径，西 丽=（&？-而）（而-丽）=|方-1,问题转化为求抛物线上点P到圆心。的距离的平方减1的最小值.【详解】：圆的圆心为C（2,0）,半径尸=1,|/冏=2,是圆的宜径，C是 的 中 点，连 接/C、P A,叨设尸（病,2）PA-PB=（C4-CP）-（CB-C?）=（-CB-CP）（CB-CP）=|CP|2-|CB|2=|CP|2-1=（疝-2,+4/-1=/+3.3 ,当且仅当加=0时取等号.故答案为：3.4 5.已知耳、鸟是椭圆+f =1的两个焦点，尸是椭圆上的 动 点（不在x 轴上），。是原4 3点，G 是AOPF2的重心，则直线G 斜率的最大值是_.【答案】1#0.5【解

41、析】【分析】设点不,。）、/1,0）,不妨设点户（知 九），则为H 0,可得出G（空，芝可得出直线G耳 的 斜 率 为 左=总;，分析可知直线y=%（x+4）,将此直线方程与椭圆方程联立，由A 2 0 结合女工0,即可求得女的最大值.【详解】在.机网 F-=1 中，a=2,b=y/3,则 c=Q=1，4 3设点耳（1,0）、6（1,0）,不妨设 点?（如 几），则工0,则G（空当）%直线G 的斜率为 =,=上,可 得%=%（毛+4）,%+1 I /+432 2所以，直线y=A（x+4）与椭圆5+=1 有公共点，联立 ；：；?2，可得 G 公+3产 +32k2+64炉-12=0,A=322-4（

42、4A:2+3）（642-12）0,整理可得 1一 4公 2 0,解得当京=0时，y=0,不合题意，故人的取值范围是-p0 uO 因此，直线G 斜率的最大值是故答案为：y.4 6.已知点尸是曲线%2=4)，上任意一点,过点尸向x轴引垂 线,垂 足 为 点。是曲线y =l n x上任意一点，则|”|+|尸。的最小值为.【答案】V2-1【解析】【分析】首先根据抛物线的几何性质得到归以|+|尸。引八2|-1，设Q(x,l n x),得到|Fe|2=x2+(l n x)2-2 1 n x+l,再构造函数，利用导数求解最小值即可.【详解】如图所示：因为炉=4 y,F(O,1),P H=P F-lf所以M+

43、|p =|p月+|尸。一12怛2|-1,设Q(x,l n x),忻 =f+(l n x-1)2=x2+(l n x)2-21n x+l,设/(A:)=x2+(l n%)2-21n x+l,x 0 ,、1 2 2(x2+l n x-l)ff(x =2x+2n x-x x x因为y =尤2 一i +i n x在(O,+8)为增函数，且x =l时，=0,所以三(0,1),尸(x)0,/(X)为增函数，所以/(x)m m=/(l)=2,即|?川十|打2|的最小值 为 应-1.故答案为：V 2-12 24 7.已知厂是椭圆+斗=1(。6 0)的一个焦点，若直线=履与椭圆相交于4 2 两点，a b且 ZA

44、FB=135。，记椭圆的离心率为e,则e?的取值范围是.【答案】立 矩 4/1;4【解析】【分析】设 F 为椭圆的另一 焦点，根据椭圆和直线的时称性可得出四边形AEBU为平行四边形，从而得到/E 4 9=45。：然后在AAFF中，利用余弦定理及基本不等式即可求出的取值范围.【详解】设尸为椭圆的另一 焦点，如图，连接A F,B E8F,A F,根据椭圆和直线的对称性，可得四边形A所 产 为平行四边形，又因为ZAFB=135。，所以NE4尸 =45.在“F尸 中，|F F f=|AF|2+AFf-2AFAFcosZFAF=(|AF|+|A 尸 一 (2+0)x|AF-AF,所以(|AF|+|AF

45、y-(2+夜)x,4/1；叱 (|尸 尸 I?，当且仅当|AF|=|AF|时,等号成立,2-7 r FF Y、4-|A F|+|A F|J 又因为|=2 r,|4 q+|A F|=2 ,所以又因为 1，故 主 史V/1.4故答案为：e2 0)的左顶点为4(-2,0),焦距为2 g，过点3(2,2)的a b直线交椭于点M,N,直线B O与线段A M、线段/W 分别交于点P,Q,其中。为坐标原点.记OMN,A/P。的面积分别为B，邑.ay,（1）求椭圆的方程；求S邑的最大值.【答案】?+y 2=l（2）4 5/5-8【解析】【分析】（1）由 已 知 得 然 后 计 算 出。可得椭圆方程;（2）设直

46、线MN：y =k（x-2）+2,其中1,设加（5,乂），N（&,%），直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得为+%，为 马，由弦长公式求得弦长|M N|，求出原点到直线朋N的距离，得 三 角 形 面 积 由 直 线 方 程 求 得P,。坐标，得弦长|P Q|,计算出A点到直线P Q的距离得面积邑，计算SS，利用换元法、基本不等式可得最大值.（1）因为左顶点为A（-2,0）,所以4 =2,又焦距为2月，所以/-户=3,所以=1,所以椭圆的方程 是%由题意设直线 MV：y =kx-2）+2,其中&1,设 M（x，y）,N（x2,y2）,!1-y=A:(x-2)+2X2 2 .厂之消去y 整理得

47、(4%2 +1片+1 6%(1-少+4(4%2-8%+3)=0,且 =1 6%（1-左）丁-1 6（4公+1）（4公-弘+3）=1 6（弘-3）0,4（4公-8 Z +3）所以为+7 r2,中2=I.用.所 以|=j+k2|x,-x2 =J l +公 +x2)2-4xtx2=41+“4公+1,2k-2又点O到直线M N的距离4 =V l+Jt2所以E=；1断 卜4 =4 g 1).J 8k-34 r +1因为P,0在直线8。上，所以可设尸(七,电)，e(x4,x4),又因为4,P,M三点共线,所以a=告7,所以1=2%同理=2%石 +2 x3+2 百 一 y+2 x2-y2+2所以|PQ|=应

48、 后 匕|=2近 一L-石 一 M+2为工2 2+2=2A/2kX 1 2k+2 kx 2k+2(1 A)%+2k(1 k)X)+2k_ _ _ _ _ _ _4&.|2&-1|也 _%|_ _ _ _ _ _ _ _ 4&j8 k-34k2+24。-%)(占+x2)+(l-)xtx2 8k-3又点N到直线8。的距离&S所 以.5 2=+0也=嗯1设，=R-1 0,+8),c c1 6(&-1)_ 1 6/1 6 V 4/田、r-即sS2=G7 f=彳而京i W)(当且仅当r=孝，即tk=l,等号成立).2因 此,S此的最大值是4 6-8.5 0.平面直角坐标系xOy中，已知直线/：x+2y+

49、4=0与抛物线C:y2=2px(p0)相切.(1)求抛物线C的方程；(2)设4 B,尸为抛物线C上的三个点，若直线AB与/平行，线段AB的中点为M,点N在x轴上且而5=2而，求AOPM面积的取值范围.【答案】y2=4x(2)(1 6,+0 0)【解析】【分析】(1)联立直线方程与抛物线方程消元，由判别式等于0可得；(2)设直线AB：x+2y+f=0联立.抛物线方程，由判别式大于0可得f的范围，再由韦达定理可得“坐标，根 据 已 知 可 得 为 何 中 点，从而可得尸、N坐标，然后表示出三角形面积，根据f的范围可得.(1)联立直线/：X+2y+4=0 与抛物线c:丁=2px(p 0)的方程得v

50、+40，+8P=(),由题意，A=(4p)2-4x8p=0,解得P=2,所以抛物线C 的方程为y2=4x.依题意设直线AB:x+2y+r=0,与抛物线C：V=4 x 的方程联立，得 V+8y+4 0.由A=64-16z0m?4,由韦达定理可知，线段AB的中点M 的纵坐标加=4,横坐标%=-2y,“-l=8-t.由于点N 在*轴上 且 痴=2而，所以N 为线段产河的中点，故力=-%=4,代入抛物线方程可得点P的坐标为(4,4)，点N的横坐标X”=也 产=等.于是，AOPM的面积=(加卜|井-九1=24-2/,因为f 60)的离心率为坦，椭圆的中心。到直线x+y-2 6 =0 的a b 2距离为5