中考数学二轮复习考点解密05：开放探索性问题(含解析).pdf

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1、中考数学二轮复习考点解密开放探索性问题第 一 部 分 讲 解 部 分一、专题诠释开放探究型问题，可分为开放型问题和探究型问题两类.开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题.这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中.根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类.探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题.根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类.二、解题策略与解法精讲由于开放探

2、究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答.由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1.利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律.2.反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致.3.分类讨论法.当命

3、题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时.，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果.4.类比猜想法.即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证.以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用.三、考点精讲（一）开放型问题考点一：条件开放型:条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件.解这种开放问题的一般思路是：由己知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求.例1：（2 0 1 1江苏淮安）在四边形A

4、B C。中，ABDC,A O=B C.请再添加一个条件，使四边形A 5 C C是 矩 形.你 添 加 的 条 件 是.（写出一种即可）分析：已知两组对边相等，如果其对角线相等可得到 A B D g Z X A B C会A D C丝4B C D ,进而得到，Z A =Z B =Z C =Z D=9 0,使四边形A B C D是矩形.解：若四边形A B C D的对角线相等，则由A B=D C,A D=B C可得.A B D A A B C A D C A B C D ,所以四边形A B C D的四个内角相等分别等于9 0。即直角，所以四边形A B C D是矩形，故答案为：对角线相等.评注：此题属开

5、放型题，考查的是矩形的判定，根据矩形的判定，关键是是要得到四个内角相等即直角.考点二：结论开放型：给出问题的条件,让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题.这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征,进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍.例2：（2 0 1 1天津）已知一次函数的图象经过点（0,1）,谶 足y随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为.分析：先设出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象经过点（0,1）可确定出b的值,再根据y 随 x 的增大而增大确定出k的符号即可.解：设一次

6、函数的解析式为：y=kx+b（咛0）,一次函数的图象经过点（0,1）,：.b=l,随x 的增大而增大，：.k0,故答案为y=x+l（答案不唯一，可以是形如y=x+l,k 0 的一次函数）.评注：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=x+8（后0）中，k0,y 随 x 的增大而增大，与 y 轴 交 于（0,b）,当方 0 时 一，（0,b）在 y 轴的正半轴上.考点三：条件和结论都开放的问题：此类问题没有明确的条件利结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断.例

7、 3：（2010玉溪）如图，在平行四边形ABCD中，E 是 AD的中点，请添加适当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由.分析:先连接BE,D 作 DF BE交 BC于 F,可构造全等三角形 ABE和aC D F.利用 ABCD是平行四边形，可得出两个条件，再结合DEBF,BED F,又可得一个平行四边形，那么利用其性质，可 得 DE=BF,结 合 AD=BC,等量减等量差相等，可证AE=CF,利用SAS可证三角形全等.解：添加的条件是连接B E,过 D 作 DFBE交 BC于点F,构造的全等三角形是4ABE与a C D F.理由：.平行四边形ABCD,AE=ED,.在4ABE 与4CDF

8、 中，AB=CD,ZEAB=ZFCD,又：DEBF,DFBE,四边形BFDE是平行四边形,，DE=BF,又 AD=BC,AAD-DE=BC-BF,即 AE=CF,.A B E g C D F.（答案不唯一,也可增加其它条件）评注：本题利用了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、以及等量减等量差相等等知识.考点四：编制开放型：此类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，寻求解法的一类题，它更具有开放性.例 4：（2010年江苏盐城中考题）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元 已知 2 班 比 1班人均捐款多4 元，2 班的人数比1

9、班的人数少10%.请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程.分析：本题的等量关系是：两班捐款数之和为1800元；2 班捐款数-1班捐款数=4元；1班人数=2班人数X 9 0%,从而提问解答即可.解：解法一：求两个班人均捐款各多少元？设 1班人均捐款x 元，则 2 班人均捐款（x+4）元，根据题意得解得x=36 经检验x=36是原方程的根二x+4=40答：1班人均捐36元，2 班人均捐40元解法二：求两个班人数各多少人？设 1班有x 人，则根据题意得18 0 0 .18 0 0丁的=标解得x=5 0 ,经检验x=5 0 是原方程的根.9

10、0%=4 5答：1班有5 0 人，2 班有4 5 人.评注：对于此类编制开放型问题，是一类新型的开放型问题，它要求学生的思维较发散,写出符合题意的正确答案即可，难度要求不大，但学生容易犯想当然的错误，叙述不够准确,如单位的问题、符合实际等要求，在解题中应该注意防范.（二）探究型问题考点五：动态探索型:此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件的题目.例 5：（2 0 11临沂）如 图 1,将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形 A BCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F.另一边交CB的延长线于点G.（1）求 证:E F=E G：（2）如图2,移动三角板，使顶点E始

11、终在正方形A BCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立.请说明理由：（3）如图3,将（2）中的“正方形A B C D”改为“矩 形 A B C D”，且使三角板的一边经过点B,其他条件不变，若 A B=a、B C=b,求 的 值.分析：（1）由N G E B+N B E F=9 0。，Z D E F+Z B E F=9 0 ,可得N D E F=N G E B,又由正方形的性质，可利用S A S 证得R t Z F E D&R t Z G E B,则问题得证：（2）首先点E分别作B C、CD的垂线，垂足分别为H、I,然后利用S A S 证 得

12、 R t AF E I R t A G E H,则问题得证；（3）首先过点E分别作B C、CD的垂线，垂足分别为M、N,易证得E M A B,E N A D,则可证得 C E N s C A D,ACEMACAB,又由有两角对应相等的三角形相似，证得GMESFNE,根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案.解：（1）证明：V ZGEB+ZBEF=90,ZDEF+ZBEF=90,AZDEF=ZGEB,又；ED=BE,ARtAFEDRtAGEB,，EF=EG；（2）成立.证明：如图，过点E 分别作BC、C D 的垂线，垂足分别为H、I,!）!EH=El,ZHEI=90,：ZGEH+NHEF=90

13、,ZIEF+ZHEF=9G,.ZIEF=ZGEH,ARtAFEIRtAGEH,.EF=EG；（3）解：如图，过点E 分别作BC、CD 的垂线，垂足分别为M、N,则/MEN=90。，EMAB,ENAD.,.CENACAD,ACEM ACAB,即/IEF+/FEM=/GEM+/FEM=90,NGEM=/FEN,ZGME=ZFNE=90,GMEAFNE,评注：此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质.此题综合性较强，注意数形结合思想的应用.考点六：结论探究型：此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目.例 6：（2 0 11福建省三明市）在

14、矩形A5 CO中，点 P 在 A 力上，AB=2,A P=.将直角尺的顶点放在P 处，直角尺的两边分别交4 8，B C 于点E,F,连接E F （如图）.（1）当点E与点B重合时，点尸恰好与点C重 合（如图），求P C的长；（2）探究：将直尺从图中的位置开始，绕点尸顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：t a n/PE F 的值是否发生变化？请说明理由；直接写出从开始到停止，线段E F的中点经过的路线长.分析：（1）由勾股定理求尸8,利用互余关系证明 A R B s/x o c P,利用相似比求P C；（2）t a n/PE F 的值不变.过尸作F G _

15、L 4。，垂足为G,同（1）的方法证明得相似比 J=2,再利用锐角三角函数的定义求值；（3）如图3,画出起始位置和终点位置时，线段EF的中点。1，。2,连接。1。2,线段。1。2即为线段E 尸的中点经过的路线长，也就是ABP C的中位线.解：（1）在矩形 4 B C D 中，Z A=Z =90,4 P=1,CD=A B=2,则 Pf i=|I，N 4 8 P+N 4 P 8=90,又,.,N 8 PC=90,NAP8+N。尸C=90。,/ABP=NDPC,：.APBS/DCP,：.PC=2(2)tan/PE/的值不变.理由：过户作F G L A Q,垂足为G,则四边形ABFG是矩形,A ZA=

16、ZPFG=90,GF=AB=2,：.ZAEP+ZAPE=90,又:NEPF=90,NAPE+NGPF=90。,：.NPEsXGPF、ZAEP=/GPF,Rt/EPF 中，tan/PEF =2,.tan/PE尸的值不变；(3)评注：本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形.关犍是利用互余关系证明相似三角形.考点七：规律探究型：规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.例7

17、：（2 0 1 1 四 川 成 都）设，设，则 5=（用 含”的代数式表示，其中为正整数）.分析：由,求 QUOTEEMBED Equation.3*MERGEFORMAT,得出一般规律.EMBED Equation.3*MERGEFORMATEMBED Equation.3*MERGEFORMATEMBED Equation.3*MERGEFORMATEMBED Equation.3*MERGEFORMATEMBED Equation.3*MERGEFORMAT故答案为:EMBED Equation.3*MERGEFORMAT评注：本题考查了二次根式的化简求值.关键是由S“变形，得出一般规律

18、，寻找抵消规律.考点八：存在探索型：此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目.例 8：(2 0 1 1 辽宁大连)如图 1 5,抛物线y=a/+b x+c 经过 A (-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，对称轴与抛物线相交于点尸、与直线BC相 交 于 点 连 接 P 8.(1)求该抛物线的解析式：(2)抛物线上是否存在一点Q,使与 P M B 的面积相等，若存在，求点。的坐标；若不存在，说明理由；(3)在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点K,船R P M与/R M B的面积相等，若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由.分析：(1)利用待定系数法求解

19、；(2)若想求。点坐标，。到 M8 的距离应该等于P到M B的距离，所以。点应该在经过P点且平行于B M的直线上，或者在这条直线关于B M对称的直线上，因此，求出这两条直线的解析式，其与抛物线的交点即为所求Q点(3)设出R点坐标，分 别 用 其 横 坐 标 表 示 出 的 面 积，利用相等列出方程即可求出R点坐标.解：(2)Y ：.P(1,4)BC-.,M(1,2)P (1,4)；P B-.,当 PQ/BC 时：设尸0 1：,:P(1,4)在直线尸。上；解 得，：(2,3)；将P Q向下平移4个单位得到解 得，:(,);:,)(3)存在，设 R 的坐标为(，)T P(1,4),M(1,2)解

20、得,（舍）.当 时，：.R(,2)评注：求面积相等问题通常是利用过顶点的平行线完成；在表示面积问题时，对于边不在特殊线上的通常要分割.四、真题演练1.（2011山东潍坊）一个y 关于x 的函数同时满足两个条件:图象过（2,1）点;当EMBEDEquation.DSMT4*MERGEFORMAT 时.y 随 x 的增大而减小，这个函数解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _（写出一个即可）2.（2011山西）如图，四边形48C D 是平行四边形，添加二个条件：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,可使它成为矩形.3.（2011泰州）

21、一根弹簧原长10cm,在弹性限度内最多可挂质量为5kg的物体,挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，则弹簧的总长度y（cm）与所挂物体质量 x（kg）之间的函数关系式为y=10+0.5x（0 x QUOTEEquation.DSMT4*MERGEFORMATEMBED Equation.DSMT4*MERGEFORMAT当 a=4,b=4 时,与 QUOTEEMBED Equation.DSMT4*MERGEFORMATEMBED Equation.DSMT4*MERGEFORMAT 的 大小关系是EMBEDEquation.DSMT4*MERGEFORMAT=QUOTE EMBED

22、 Equation.DSMT4*MERGEFORMAT 探究证明如图所示，A B C 为圆O 的内接三角形，A B为直径，过 C 作 CD LAB于 D,设 AD=a,BD=b.（1）分别用a,b 表示线段OC,CD；（2）探求OC与 CD 表达式之间存在的关系（用含a,b 的式子表示）.归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出EMBED Equation.DSMT4*MERGEFORMAT与 QUOTE EMBED Equation.DSMT4*MERGEFORMAT 的大小关系是：2QUOTE EMBEDEMBED Equation.DSMT4*MERGEFORMATEquation

23、.DSMT4*MERGEFORMAT 实践应用要制作面积为1 平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值.8.（2011浙江绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目.在等边三角形ABC中，点 E 在 AB上，点 D 在 C B 的延长线上，且ED=EC,如图.试确定线段AE与 D B的大小关系，井说明理由.小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答:（1）特殊情况探索结论当点E 为 A B 的中点时，如 图 1,确定线段AE与的DB大小关系.请你直接写出结论：AE=DB（填“”，或（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与 D B的大小关系是：AE=DB（填“”，或 理 由

24、如 下：如图2,过点E 作 EFB C,交 AC于点F,（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点 E 在直线AB上，点 D 在直线BC上，且 ED=EC.若AABC 的边长为1,AE=2,求 CD的 长（请你直接写出结果）.“真题演练”参考答案十1.【分析】本题的函数没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条件即可.【答案】符合题意的函数解析式可以是y=EMBED Equation.DSMT4*MERGEFORMAT,y=-x+3,丫=-$+5 等，（本题答案不唯一）故答案为：y=,y=-x+3,丫=-，+5 等.EMB

25、ED Equation.DSMT4*MERGEFORMAT2.【分析】：由有一个角是直角的平行四边形是矩形.想到添加乙48c=90。：由对角线相等的平行四边形是矩形.想到添加4 c=8”【答案】/48C=90。（或 AC=BD等）3.解：根据弹簧的总长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式为y=10+0.5x（0 x5）可以得到：当 x=l时，弹簧总长为10.5cm,当 x=2时，弹簧总长为11cm,每增加1千克重物弹簧伸长0.5cm,故答案为：每增加1千克重物弹簧伸长0.5cm.4.解（1）选择。M=C N；（2）证明：AD=BC,Z A D M=Z B C N,D M=C N

26、：.A NZ）名8 C N,:.A M=B N,由 O D=O C 知 OM=ON,Q U O TEE M B E D E q u a t i o n.3 *M E R G E F O R M A T：.MN/CD/AB,且 M N7必8，四边形A 8 N M是等腰梯形.“练习部分”参考答案支1.【分析】设此正比例函数的解析式为y=k x (k/0),.此正比例函数的图象经过二、四象限，；.k 0,，符合条件的正比例函数解析式可以为：y=-x (答案不唯一).【答案】故答案为：y=-x (答案不唯一).2.【分析】因为两三角形三边对应成比例，那么这两个三角形就相似，从题目知道有两组个对应边的比

27、为2：1,所以第三组也满足这个比例即可.【答案】BC：EF=2：13.【分析】由于这个方程有实数根，因此/=EMCBN.EnDr nE qru a t i o.n口.D0,即 n2.【答案】答案不唯一，所填写的数值只要满足机1 12即可，如4等4.【分析】根据对顶角的意义可判断N 1不是N 2的对顶角.要使a A B C&A D E F,已知N1 =Z2,BC=EF,则只需补充AC=FD或/B A C=/F E D都可，答案不唯一.【答案】解：根据对顶角的意义可判断N 1不是/2的对顶角故填：不是.添 力 口 AC=FD或N B A C=/F E D后可分别根据SAS、A A S判定4 A B

28、 C 2 Z DEF,故答案为：AC=FD,答案不唯一.5.解：(1)添加的条件是：A8=A。，答案不唯一；（2）证明：在ABC和AOE中,/B=/D,AB=AD,NA=N4,，/AB C/A D E.6.命题；点（，J）是直线y 与双曲线二EMBED Equation.3*MERGEFORMAT的一个交点（EMBED Equation.3*MERGEFORMAT 是正整数）.（2）把代入y=x,加1=后右边二 刃EMBED Equation.3*MERGEFORMAT2=n，左边=右边，.点（，2）在直线上.同理可证：点（，2）在双曲线上，点（，/）是直线y =与双曲线丁=的一EMBED E

29、quation.3*MERGEFORMAT个交点，命题正确.7.解：观察计算：QUOTEEMBED Equation.DSMT4*MERGEFORMATEMBED Equation.DSMT4*MERGEFORMAT EMBED Equation.DSMT4=QUOTE*MERGEFORMATEMBED Equation.DSMT4*MERGEFORMAT探究证明：（1）VAB=AD+BD=2OC,:.oc=EMBED Equation.DSMT4*MERGEFORMATTA B 为。O 直径，.-.ZACB=90.VZA+ZACD=90,ZACD+ZBCD=90,AZA=ZBCD.,.ACD

30、ACBD.（4 分）EMBED Equation.DSMT4*MERGEFORMAT即 CD2=ADBD=ab,；.CD=EMBED Equation.DSMT4*MERGEFORMAT （5 分）（2）当 a=b 时，OC=CD,=EMBED Equation.DSMT4*MERGEFORMATQUOTE EMBED Equation.DSMT4*MERGEFORMAT；a#b 时，OCCD,EMBED Equation.DSMT4*MERGEFORMATQUOTE EMBED Equation.DSMT4*MERGEFORMAT-结论归纳：QUOTEEMBED Equ a t i on.D

31、SMT4 *MERGEFORMATEMBED Equation.DSMT4*MERGEFORMAT 实践应用设 长 方 形 一 边 长 为 x 米，则 另 一 边长为EMBED Equation.DSMT4*米，设镜框周长为1米，则MERGEFORMAT EMBED Equation.DSMT4*=4.MERGEFORMAT当=,即 x=l（米）时，镜EMBED Equation.DSMT4*MERGEFORMAT框周长最小.此时四边形为正方形时，周长最小为4 米.8.解（1）故答案为：=.（2）故答案为:=.证明：在等边AABC 中，ZABC=ZACB=ZBAC=60,AB=BC=AC,：EFBC,，Z AEF=Z AFE=60=Z B AC,；.AE=AF=EF,A AB-AE=AC-AF,即 BE=CF,ZABC=ZEDB+ZBED=60,ZACB=ZECB+ZFCE=60,VED=EC,AZEDB=ZECB,.ZBED=ZFCE,/.DBEAEFC,ADB=EF,AAE=BD.(3)答：C D 的长是1或 3.