线性代数期末考试试卷答案合集1.pdf

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1、X X X大学线性代数期末考试题一、填 空 题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）1-3 11.若 0 5 x =0,则力=o-1 2 -2羽+4+无3 =02 .若齐次线性方程组 修+九2+/=0只有零解，则4应满足X I +%+=03 .已知矩阵A,B,C =（&）,*“，满足A C =C B,则A与8分别是 阶矩阵。/a dy 24 .矩阵A=电1 “2 2的行向量组线性 oa3 a3 2 J5 .阶方阵 A满足 A?-3 A -E=0,则 AT=。二、判断正误（正确的在括号内填“J ，错误的在括号内填“X”。每小题2分，共10分）1.若行列式。中每个元素都大于零，则。0。

2、（）2 .零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（）3.向 量 组q,a2,-,a,“中，如果与册对应的分量成比例，则向量组,&线性相关。()014 .A=001 0 00 0 00 0 10 1 0则 A-1=A ()5 .若 几为可逆矩阵A的特征值，则 的 特 征 值 为;L （）三、单项选 择 题（每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分）1.设A为阶矩阵，且 同=2,则|小=（）。2 2 T 2用 42 .维向量组 四，as 3 s T-1-3 -70-3 -4 -100 0-16 -16-3 -1-70-3 -1-70 0-13 -13100001

3、000010-2210则 广（4,4)=3 ,其中 q,4,构成极大无关组，a4=2 q +2 a 2 +q7.A-l|花 _ 川=000z i 1-2002-1=(1)3=0特征值4 =%=4 =i,五、证明题|A+/|=|A+M|=|A|/+A=000对于入1 =1,4E-A=二 2|(/+A)=0,.|(/+A)=O一、选择题(本题共4 小题，每小题4 分，满分16 分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1、设A,8 为 n阶方阵，满足等式A B =O,则必有()(A)A=O 或 8 =0;(B)A+B =0；(C)网=0 或忸|=0 ;(D)|A+即=0。2、A 和3均为阶

4、矩阵，且(4 +3)2 =4+2 4 3 +3 2,则必有()(A)A=Et(B)B =E；(C)A=B.(D)AB=BA.3、设A 为?x 矩阵，齐次方程组心=0 仅有零解的充要条件是()(A)A 的列向量线性无关；(B)A 的列向量线性相关；(C)A 的行向量线性无关；(D)A 的行向量线性相关.4、阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是()(A)A 的秩小于；(B)|川/0；(0 A 的特征值都等于零；(D)A 的特征值都不等于零；二、填空题(本题共4 小题，每题4 分，满分1 6 分)5、若 4 阶矩阵A 的行列式|川=-5,4是 A 的伴随矩阵，则“卜 o6、A 为x 阶矩阵，且A2-A

5、2 E =0,贝！J(A+2E)T=23aQ +2 x2=一 2人X3,7、已知方程组23无解，则a=8、二次型演)=2 x；+3 x；+尾+2 中2 +2%也 是 正 定 的，则/的 取 值 范 围是O三、计算题(本题共2 小题，每题8 分，满分1 6 分)1 +X 1119、计算行列式。=1 1-X111 1i +y11 11l-y1 0、计算阶行列式%+3 x2 xnx,X2+3 x Dn =：*2 当+3四、证明题(本题共2小题，每小题8 分，满分1 6 分。写出证明过程)1 1、若向量组%,4,口 3 线性相关，向量组%，见，线性无关。证明：(1)能有出，。3 线性表出；(2)不能由

6、a 1,4，4线性表出。1 2、设A 是阶矩方阵，E是阶单位矩阵，A+E可逆，且/(A)=(E-A)(E +A)T。证明(1)(E +/(A)(E +A)=2 ；(2)/(/(A)=A。五、解答题(本题共3 小题，每小题1 2 分，满分3 2 分。解答应写出文字说明或演算步骤)2 01 3、设4=0 3W 20、2 ,求一个正交矩阵P使得P-%P 为对角矩阵。3,X1 +x2+x31 4、已知方程组%+2X2+ax3Xj+4X2+a2x3=0=0 与方程组占 +2 尤 2 +%3 =a-1 有公共解。=0求a 的值。1 5、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知7,小，小是它的三个解向

7、量，且求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C；2、D；3、A；4、Ao二、填空题5、-1 2 5;6、2三、计算题7、-1；8、t -3 059、解：第一行减第二行，第三行减第四行得:第二列减第一列，第四列减第三列得:D.VX001-x1100yy1ii-yX0001-xi0D=00y010i一 y（4分）按第一行展开得-x 1 0D=x 0 y 00 1 -y按第三列展开得y（4分）1 0、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子（f x,+3 ，再通过行列式的变换化3=1）为上三角形行列式=3-1 区七+3 /,=!7(4 分)四、证明题1 1、证明：(1)、因为4，&3,4

8、 线性无关，所 以&2 ,内线性无关。，又名，。2，。3 线性相关，故 能 由%,。3 线性表出。(4 分)(,a,(Xy)3 (2)、(反正法)若不，则应能 由 四，%，&3 线性表出，不妨设%=上必+k2a2 +攵 3 a 3 由(1)知，%能 由%，火线性表出，不妨设四=4%+t2 a3 o所 以&=匕。建2 +，2。3)+“2 4 +k3a，这表明。2,%，&线性相关，矛盾。1 2、证明(1)(+/(A)(E +A)=E +(-A)(E +A)-1(E+A)=(+A)+(-A)(E +A)-1(E+A)=(E +A)+(E-A)=2 E (4 分)(2)/(/(A)=-/(A)E+/(

9、A)-1由(1)得：E +/(A)=；(E +A),代入上式得f(f(A)=E-(E-AXE+AYE+A)=；(E+A)(E-A)(E +4 尸|(E+A)=1(E +A)-1(E-A)=A（4分）五、解答题1 3、解：（1）由 A|=0 得 A 的特征值为 4=1,4=2,4=5。（4 分）（2）4=1 的特征向量为q=-1 ,4=2的特征向量为a=卜；4=5的特征向量为刍=，。（3）因为特征值不相等，则&正交。（3 分）（2 分）（4）将。4 g 单位化得p 产11 J 0（2 分）取 P =（P ，P 2，P 3）01一 正1 V21 000、1正1V2,1 0 0、（6）P-AP=0

10、2 0、0 0 5,1 4、解：该非齐次线性方程组=对应的齐次方程组为Ar =0（1 分）因R(A)=3,则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。(5分)另一方面，记向量J =2 1-m 2+/)，则A j =A(2|一%-3)=2 A/7 -A%-A/-2b-b-b-Q直接计算得 =(3 4 5,6)7 W O,J就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为x=转+小(7分)15、解：将与联立得非齐次线性方程组:xt+x2+x3=0,%+2 九2 +axj=0,%1 +4X2+a2x3=0,+2X2+x3=a .若此非齐次线性方

11、程组有解，则与有公共解，且的解即为所求全部公共解.对的增广矩阵作初等行变换得：即与有公共解，其全部公共解即 111 0、1 1 1 0 、1 2 a 00 1 a-l 0A=.(4 分)1 4 a2 00 0 (a-2)(a-l)0J 2 1 a-I,1 0 0 l Q 4 1)1 当。=1时，r(A)=r(A)=2 0 0 0 0、0 0 0 0,1、则方程组为齐次线性方程组，其基础解系为：0-T所以与的全部公共解为女0,A为任意常数.（4 分）2 当a=2时，有“A）=r（,）=3,方程组有唯一解，此时fl 0 0 0、(0 0 0 0)(0、故方程组的解为：1 ,即与有唯一公共解=01-

12、1（4 分）7线性代数习题和答案第 一 部 分 选 择 题（共28分）一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2 分，共 28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式alla2 1al2a2 2=m,a1 3 alla2 3 a2 1=n,则行列式A.m+nC.n-m2.设矩阵人=0all al2 +al3a2 l a2 2 +a2 3B.(m+n)D.m-n等 于（)A._30000200c.300001002;33.设 矩 阵 人=12A.-6C.20200、0,则A-I等 于（3-101)、B.D.1002000j_

13、2002300013002、-1,A”是 A 的伴随矩阵，则 A*中 位 于（1,2）的元素是（4 JB.6D.-24.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则 必 有（A.A=0C.A/0 时 B=C)B.BC 时 A=0D.|A|wO 时 B=C5.已知3X4矩阵A 的行向量组线性无关，则 秩（A D 等 于（)A.1B.2C.3D.46,设两个向量组Q,a 2,A.有不全为0 的数人1，B.有不全为0 的数人,C.有不全为0 的数人D.有不全为0 的数人,入2,入2,入2，入2,(1 5和3，0 2,Bs均线性相关，则()，入s使入1 a +入2 a 2+入s a s=0和入B 1+入

14、2 B 2+入s B s=0，入 s 使人 1(a +B )+入2 (a 2-*-6 2)+$(a$+Bs)=0，入$使入 1(a -0 )+X 2 (a 2-6 2)+入$(a$-Bs)=0,入s和不全为0的数”1，2，Us使入1 a +入2 a 2+入s。s=0和 U 1 B +H 2 B 2+U S P s=07.设矩阵A 的秩为r,则 人 中（）A.所有r-1 阶子式都不为0C.至少有一个r 阶子式不等于0B.所有r-1 阶子式全为0D.所有r 阶子式都不为08.设A x=b 是一非齐次线性方程组,A.n i+n 2是 A x=o的一个解c.n i-n 2 是 A x=o的一个解9.设

15、n 阶方阵A不可逆，则 必 有（A.秩（A）nC.A=On”是其任意2个解，则下列结论错误的是（B.n i+n 2 是 A x=b 的一个解2 2D.2 n1 1 2 是 A x=b 的一个解）B.秩（A）=n-1D.方程组A x=0 只有零解1 0.设A是一个n（2 3）阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数人和向量a使 A a =A a ,则 a是 A的属于特征值人的特征向量B.如存在数人和非零向量a ,使（A E-A）a=0,则入是A的特征值C.A 的 2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如人|,入2，入 3 是 A的 3个互不相同的特征值，a ,a 2，a 3 依次是A的属于入

16、1，X 2,入 3 的特征向量，则 a”a 2，a 3 有可能线性相关1 1.设入o是矩阵A的特征方程的3 重根,A的属于入 的线性无关的特征向量的个数为k,则必有（）A.k W 3C.k=3B.k 31 2.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A 必 为 1C.A_|=ATB.|A|必 为 1D.A 的 行（列）1 3.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T A C.则（A.A 与 B相似B.A 与 B不等价C.A 与 B有相同的特征值D.A 与 B合同向量组是正交单位向量组）1 4.下列矩阵中是正定矩阵的为（)A.2 3B.3C.q0、002-30-35,D.1J120ro2

17、,二、填空题第二部分非选择题（本大题共1 0 小题，每小题2分，共 2 0 分）（共72分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。1 5.3 5 69 2 5 3 61 6.设 A=1 2-1 -23,厕 A+2 B=1 7.设 A=(a“)3 x 3，|A|=2 ,A.表 示|A|中 元 素 a”的 代 数 余 子 式（i,j=l,2,3 ）,则（a U A 2 1+a|2 A 2 2+a 1 3 A2 3厂+（a 2 1MI +a 2 2 A 2 2+a 2 3 A 2 3）+（a 3 1 A o I+a 3 2 A 2 2+a 3 3 A 2 3）=.1 8.设

18、向量（2,-3,5）与 向 量（-4,6,a）线性相关，则 a=.1 9.设A是 3X4矩阵，其秩为3,若 5，n 2 为非齐次线性方程组A x=b 的 2个不同的解，则它的通解为2 0 .设 A 是 m Xn 矩阵，A 的 秩 为 r(n),则齐次线性方程组A x=0 的一个基础解系中含有解的个数为.2 1 .设向量a、B的长度依次为2和 3,则向量a+S 与 a-B的 内 积(a +6,a -P )=.2 2 .设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有 2个特征值-1 和 4,则 另 一 特 征 值 为.，02 3.设 矩 阵 人=1、一 21 0-31 06-38,，2、，已知a=-1是

19、它的一个特征向量,、2,则 a所对应的特征值为.24.设实二次型f(X ,X 2,X 3,X 4,X 5)的秩为4,正惯性指数为3,则 其 规 范 形 为,三、计算题(本大题共7 小题，每小题6 分，共 42分)门2 01/、(2 3 1125.设 A=3 4 0,B=|.求(1)ABT；(2)|4A|.k-2 4 0；l-l 2 )3 1-1 226.试计算行列-式5，1：3-4,.2 0 1-11-5 3-3试判断a 4是否为a a 2，a 3-2-1 0 2、-2 4 2 6-629.设矩阵A=2-1 0 2 3 3 3 3 3 4?的线性组合；若是，则求出组合系数。求：(1)秩(A)；

20、(2)A的列向量组的一个最大线性无关组。0-2 2、30.设矩阵A=-2-3 4的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,T-A T=D.12 4-V31.试用配方法化下列二次型为标准形 )f(X,X2,X3)=x j +2x 2-3x 3+4X X 2-4XX3-4X2X 3，并写出所用的满秩线性变换。四、证 明 题(本大题共2 小题，每小题5 分，共 10分)32.设方阵A满足AR,试证明E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2.33.设是非齐次线性方程组A x=b 的一个特解，一，&2是其导出组A x=0的一个基础解系.试证明(1)n i=n0+1.n2=n()+&2 均是

21、 A x=b 的解；(2)n(),n i,明 线性无关。答案:一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2 分，共 28分）l.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.Bl l.A12.B13.D14.C、填 空 题（本大题共10空，每空2 分，共 20分）15.617.418.-10 19.n i+c(n2-n i)(或 s a n 2-n D),20.n-r 21.-5 22,-2 23.124.z.+Z 2+Z 3-Z 4c 为任意常数三、计 算 题（本大题共7 小题，每小题6 分，共 42分）25.解(1)A Br=320、，2-2、6、4034=18102bIo;3(1

22、0=1L、一 1所以(1B=(A-2E)-1A=1-2 1 3 o51 -3 0-128.解一0 2 2 4、3 4-1 9,_ 0-5 3-2)1-3 0-10 112 0 13-1 12;_、1 0 3 5、0 1 1 20 0 8 8-2-1020328-30006-2000-217,1-20 30 0、0 0-1 0 2、0 0 0J（1）秩（B）=3,所 以 秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与 B的列向量组有相同的线性关系,而 B是阶梯形，B的 第 1、2、4 列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故 A的 第 1、2、4 列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的 第 1、2

23、、5 列 或 1、3、4 列，或 1、3、5 列也是）30.解 A的属于特征值A =1 的 2 个线性无关的特征向量为=(2,-1,0)T 2 石/5、&2=（2,0,1）T.经正交标准化，得 山=-V 5/5.0.2石/15、5 475/15、回3,，1 ）（1/3入=-8的 一 个 特 征 向 量 为 g 3=2,经单位化得n 3=2/31-2/3J 2 石/5 2V 15/15 1/3、1 0 0、所 求 正 交 矩 阵 为 T=-75/5 45/5/15 2/3.对 角 矩 阵 D=0 1 0、0 V 5/3-2/3 2右/5（也可取T=0、石/52V 15/15 1/3、-石/3 2

24、/3.)-475/15-213,31.f t?f(x”X 2，X 3)=(X|+2X 2-2X 3)2-2X22+4X2X3-7XJ2=(X|+2x2-2x 3)2-2(X 2-X 3)2-5XJ2.Y 1=X +2X2-2X3X =Y j -2y2 1 -2 0设卜2=X 2-X 3,即卜2=y2+y3，因其系数矩阵C=0 1 1 可逆，故此线性变X 3=丫 3 v 0 0 1；卜3=X 3换满秩。经此变换即得f(x“X 2,x”的标准形y r-2y22-5y32.四、证明题(本大题共2 小题，每小题5 分，共 10分)32.证 由 于(E-A)(E+A+A2)=E-A3-E,所以 E-A 可逆，且(E-A)T=E+A+A?.33证 由假设 A n()=b,A g i=0,A&2=0.(1)A n i=A (n0+C 1)=A n0+A C i=b,同理 A n2=b,所以 O i，Q 2 是 A x=b 的 2 个解。(2)考虑/()q o+(n i+，2 n 2=0，即(/0+/1+/2)n()+/i&i+，2&2=0.则/o+/i+/2=O，否则no将是A x=o的解，矛盾。所以l 1+/2 c 2=0.又由假设，,g 2线性无关，所以/1=0，2=0，从 而 4)=0.所以no,Hl,“线性无关。