高等数学课后习题及参考答案第三章.pdf

《高等数学课后习题及参考答案第三章.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学课后习题及参考答案第三章.pdf（45页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、高等数学课后习题及参考答案(第三章)习题3-11.验证罗尔定理对函数户In s in x在区间段,当 上的正确性.6 6解 因为 尸In sin x在 区 间 色 当 上 连 续，在，当 内 可导，且6 6 6 6综)=负手)，所以由罗尔定理知，至少存在一点欠管，手，使 得y=cot由 y(X)=COt 4。得 红(卷,老).2 6 6因此确有 沁*,苧)，使y =co t兵o.2 6 62.验证拉格朗日中值定理对函数产4 d-5 f+x-2在区间 0,1上的正确性.解 因为)=4 d-5 f+x-2在区间 0,1上连续，在(0,1)内可导，由拉格朗日中值定理知，至少存在一 点(0,1),使y

2、G)=，(l：F)=0由 y(x)=127 10 x+l=0 得%=美 醇e(0,l).因此确有=里叵e(0,l),使yG)=当 普.1Z 1U3.对函数兀r)=sin x及F(x)=x+cos x在区间 0,创上验证柯西中值定理的正确性.解 因为r)=sin x及尸(x)=x+cos x在区间 0,岸上连续，在(0,9可导，且尸(x)=l-sin x在(0,3内不为0,所以由柯西中值定理知至少存在一点小(0,多,使得网乡一厂(0)令_2-即.(x)F()-F(0)c o sx _ 21-sinx 4一2化简得s i n x=$T L易证 高二一，所 以 襁=在 枭 一1在(0号)内有解，即确

3、实存在欠(0,9，使得崎(。)=午F(1)-F(0)F 4.试证明对函数y +q x+r应用拉格朗日中值定理时所求得的点J总是位于区间的正中间.证明因为函数y=pf+qx+r在闭区间口，加上连续，在开区间伍，份内可导,由拉格朗日中值定理，至少存在一点弃色,垃 使得y3)-y()=y(?S-a),即(pf+qb+QT pf+qa+r Qpg+qXb-a).化间上式得p(b-a)(b+a)=2 p J (h-a),故 公 啜5 .不用求出函数於:)=(x-l)Q-2)(尤-3)(1)的导数，说明方程广。)=0有几个实根，并指出它们所在的区间.解由于/U)在 1,2 上连续，在(1,2)内可导，且/

4、U)$2)=0,所以由罗尔定理可知，存在为仅1,2),使广(备)=0.同理存在&任2,3),使/(盘)=0;存在因(3,4),使/)=0.显然虞、殳、分都是方程/(幻=0的根.注意到方程/(x)=0是三次方程，它至多能有三个实根，现已发现它的三个实根，故它们也就是方程了3=0的全部根.6 .证明恒等式：a rc sinx+a rc c o sx=(-l x l).证明 设 f i x)-a rc sin x+a rc c o s x.因为所以/(x)三 C,其 中 C是一常数.因 止 匕 /(x)=/(O)=a rc sinx+a rc c o sx=y,a rc sinx+a rc c o

5、sr=y.7.若方程aW+s 广。+a _|X=0 有一个正根孙 证明方程C lQlVi1 1 +C I|(H1)A Z，+?_ =0必有一个小于xo 的正根.证明 设F(x)=a +a +an-x,由于尸(九)在 0,演)上连续，在(0,xo)内可导，且 0)=尸(即)=0,根据罗尔定理，至少存在一点生(0,沏)，使 尸 =0,即方程CIQU)L 1+I(Z J 1 )A*/,+,+a”_ =0必有一个小于沏的正根.8 .若 函 数 7U)在他，加 内 具 有 二 阶 导 数，且 ZUDMM)4M),其中a x xi X31,证明：nb 1(a-b)a-b nan1(a-b).证 明 设火x

6、)=/,则/U)在 仇 0上连续，在(仇a)内可导，由拉格朗日中值定理，存在狂(8 a),使M)d b)=f g-b),即 an-bn=n-a-b l因为 nbn-(a-b)n a-b)nd a-b 所以 nbn-a-b)a-bn0,证明：-I n f 嘤a b b证明 设 穴x)=ln x,则/(x)在区间 九旬上连续，在区间(a)内可导，由拉格朗日中值定理，存在低S,a),使f i a)-f i b)=f (a-b),即 lna lnb=：(a份.因 为 斥a,所以(a-Z?)ln-ln/?Y(a-Z?),即 a n a .a b a b b11.证明下列不等式：(l)|arctan iz

7、-arctan b e x.证 明(1)设y(x)=arctan x,则 火x)在 a,加上连续，在(a,Z?)内可导，由拉格朗日中值定理，存在亚他,勿，使r()(b-a),即 arctan/?-arctan a=1(b-a),1+片所以larctan/?-arctan a=-h-a b-a,BPlarctan a-arctan b e(x-1),即 ex e x.12.证明方程f+x-iH)只有一个正根.证 明i ：f i x)=x5+x-l,则7U)是 0,+8)内的连续函数.因为犬0)=-1,/)=1,寅0/1)0,所以函数在(0,1)内至少有一个零点，即J C5+X-1=0至少有一个正

8、根.假如方程至少有两个正根，则由罗尔定理，/，(幻存在零点，但fG)=5X4+1*0,矛盾.这说明方程只能有一个正根.13.设於)、g(x)在口,加上连续,在(a,6)内可导,证明在(a,b)内有一点J，使/3)/g(a)gS)=(b-a)/(a)g(a)gG)解设例x)=?那 W,则*)在 a,切上连续，在3 )内可导，由拉格朗日中值定理，存 在 生 3 加，使一份一-)=(面 a),即 阴 明隐 阴=()眄嘴+收7Mg(a)g(0)|g(a)g(a)|_|这(砌 g 7 g 因此/(a)9)以 公/因此 g(a)gd%(a)g C).1 4.证 明：若函数;/(x)在(-=,+0 0)内满

9、足关系式/(x)勺(x),且八0)=1则7(x)=e证 明 令 如 卜 誓,则 在 E+8)内有(p(x)=r (x)e*-/(加2 _/(x)/一 /(於2=0,所以在(-8,+8)内奴X)为常数.因此奴%)=奴0)=1,从而犬x)=e1 5.设 函 数 月(x)在x=0的 某 邻 域 内 具 有 阶 导 数，且火0)4，(0)=T(0)=0,试 用 柯 西 中 值 定 理 证 明：包=5(00-2 (-1)(-2)目一与 介 于0与殳之间)，依次下去可得尸 T(九)1)2如严 )-产f(o)&)(一1)2 盘_ (-I)2 0 ！(当介于。与多T之间),所 以 出=$2xnnn由于部可以表

10、示为5=以(0 a 1),所 以 出=心”xn(0 a x _ Ql im瞥;v-+ol nta n2x呼需2l nQ+与(9)l im-x+arccotx(10)l im 1+A2);i o se c x-c os x(11)l imx c ot 2x;A-0i(12)l imNe 7;x f 0(叫(14)l im(l+-r；1 8 X(15)limxf+o(16)lim p严 包x1解(l)limgN =lim牛=lim J-=Lx-0 x%。1 x-Ol+X(2)limg-.=lim-=2.D Sinx-V-0 cosx lim闻=lim 华=c。*.x a X-C l x a I(4

11、)li msinj=lim os3x=4X T冗 t an5x X TTT 5 sec2 5x 5(5)lim IllnlMsi1n1x-=lim cotxJlimx/(乃 一 2x)2 x,2(万 一 2x(2)4了 _ 1-2x-nxnl叫naT n lim 瞥 萼=lim-ta?-7xs seecc 7x.7xf+o In t an2x xf+o J se c2 以,2tan2x J 一=7 i1 1 mt ai2x=7 i1 1 ms-eyi2-x-2-=11.2i+ot ai7x+os e&lx7(8)limtarutan3x=limr2secsec23x-3J i m毁 学3 T:

12、co 铲 x1 2c olx(-s i 6x)-3.c o3Lr3.!g 2C 0 s i a)=_ 7-1i：1 xm-3-s-i：-3-x-=3Q.丫、n-s 1 IX2(9)_ L.(_ L)l n(14-)1+-%2 2l im-=l im-=l imX T”a rc c otr x-*o 1 -x+x2+x2=lim T-=lim=1.x-+oo 1+2x X-H 2(1=l im-s x ln 甘】)=se c x CO S X x-0 1 CO S2X sol c os xr=l im-2x-：-=lri mx=1,.D 2c os x(-sin x)A-O s i ix(注:c

13、 osx-l nCl+x2)-%2)(11)l imx c ot2r=l im=l im-=!.x-ota n2x A：-x)se c22x-2 2i(12)l imx2 2=l im =l im=l im J=+8X-0 X-0 1 ，T+8 t 7T+O D 1(注：当 x-0 时，1=4+oo.x2(13)l iT 电号T 电x l n(l+)(14)因为1而(1+旦尸=1加e Xx 8 X X 8I而1 n 吩 2)1 i nx(1 ii-()=1 i m-x-x X X-8-=1 i m-1 x-+0 x +01而 l im sinx l nx=l im l im-x-+0 I+O

14、CSCX x-+O-c S f f-C O X=-1i 1-mw-s-i -A-x-=Un,Xf+0 XC O 联所以l im l im sinx l nv=e()=l.x-+0 x-+0(16)因为 lim(-)tanv=e-tanxlnx,x1而 lim tanxlnx=lim 也 J 1 i m=x-+0 x-+0C OX x f+0 C S CX=-1,1 ms-i-f-t-x=0n,X f+0 X所以 1 i n-)tanx=li ire-tanxlllx=e=l.x-+0 x x-+02.验证极限lim切更存在，但不能用洛必达法则得出.Xf8 X解l i 便 卫=iim i+豆区）

15、=1,极限lim三皿是存在的.x-0 0 X x-o o X x-O O X但 lim空警=lim上 符=lim（l+cosx）不存在，不能用洛必达法则.X-8（X）Xf 8 1 X-GCx2 sin3.验证极限lim存在，但不能用洛必达法则得出.x-o sinx/s in 1 x2sini解 lim；=limY-xsin=1-0=0,极限 lim；是存在的.xf o sinx x-（）sin x x x o sinx(x2 sin-)z 2xsin-cos但 lim-：=7 =lim-D(sinx)XTO COSX(l+x)x4.讨论函数/(x)=ei解 f(0)=e29 hm f(x)=不

16、存在，不能用洛必达法则.x 在点mO处的连续性.x+o x-o e x-o*而 1i1 ml-li1 n“l0-x、)-l=11.m1 nl(yx)-xA-+0 X X x-+0 xz=l im =l im 1-,x f+o 2 x x-+o2(l+x)2X所rr 以K i li m f(，x/)、=hm-r(-1-+-X-)-%x-lvi m ex 1x nl f x)-l%+o x 0 e x 0i=”=/(0).因此,/(x)在点m O处连续.习题3-31.按(尤-4)的暴展开多项式X4-5X3+X2-3X+4.解 设 於)=d 5J?+X2_ 3X+4.因为a)=-5 6,广(4)=函

17、 _ 1 5X2+2X-3)|,V=4=2 1,尸(4)=(12?-30 x+2)|i=74,广”(4)=(24430)k 4=6 6,/(4)=24,所以f i x)=/(4)+/(4)(1)+(1)2+0 (-4)3+(I)，=-5 6+2 1(X-4)+37(X-4)2+1 1(X-4)3+(X-4)4.2.应用麦克劳林公式，按x幕展开函数/x)=-3x+l)3.解因为/,(X)=3(7-3X+1)2(2X-3),广。)=6(/3%+1 )(2x 3心+6(/3x+l)2=30(？-3x+l )(？-3x+2),/,(x)=30(Zr-3)(？-3x+2)+30(x2-3z+l)(2x-

18、3)=30(2x-3)(2x2-6 x+3),/(4)(X)=60(2X2-6X+3)+30(2X-3)(4X-6)=360(?-3X+2),/(x)=36 0(2x-3),/Q)=720；胆)=1,r(0)=-9,(0)=6 0,/(0)=-270,/(0)=720,/)()=_ 08 0J(0)=720,所以/(x)=y(o)+/w+-2!3!4!5!6!=1-9A:+30X3-45?+30X4-9?+X6.3.求函数/(幻=五按(x-4)的哥展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式.解因为A4)=2,八4)=产3V，/=_*、4=-今，尸 =浜|岛，心 力=4 1总所以 =/(4)+(4)

19、(1)+与 加 一4)2+/(1)3+(1)4=2+J(x-4)一与(x-4)2+(x-4)3-弓-/$(x-4)4(06 k l).4 6 4 5 12 4!阂4+畋-4)74.求函数,*x)=l nx按(x-2)的累展开的带有佩亚诺型余项的 阶泰勒公式.解因为尸(x)=/J(x)=(-1)无之广，(止(1)(2)婷/(x)=(-1)(-2)(-+1)尸”=/11：-1)!；/=f D!(修1,2,+1),所以l nx=/(2)+/Wx-2)+-(x-2)2+(x-2)3+-+U-2 r+d U-2 r 2!3!rv.=ln2+：(x 2)义。一2尸+上。-2)3 2)+d(x 2).乙 乙

20、、乙 D 乙 /5.求函数/(幻=上按(犬+1)的事展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式.X解因为危)=,/。)=(-1),广(止(1)(一2)婷/(%)=(-1)(-2)(-)x-(+)=O -了 伏)(-1)=一 俎 伏=1，2,)，所以 1=/(-l)+/V l)U+l)+(x+l)2+(x+l)3+-x 2!3!+牛(X+1)+上 幽(x+产rv.(+1)!=-l+(X+l)+(X+l)2+(x+l)3+(x+l)+p 3a+I)M(06kl).6.求函数/(x)=tanx的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式.解因为/z(x)=sec2x,/M(x)=2sec x-sec x-tan

21、 x=2sec2x-tan x,)=4sec x sec x-tan2x+2sec4x=4sec2x-tan2r+2sec4x,/4)(x)=8sec2vtan3x+8sec4x-tan x+gsecStancugsinNsi：x+2)；cosxa)=0,/(O)=1J(O)=O,广 (0)=2,所以 ta w=+点+5岫)产+2/(0 4)3 3c 0国 合)7.求函数/(x)=x才的带有佩亚诺型余项的阶麦克劳林公式.解因为f(x-)=ex+xex,f (x)=ex+e+xe=2ex+xef(.x)2ex+ex+xex=3ex+xex,f(Xx)=nex+xex,尹)()=%(七 1,2,)

22、，所以 心*=/(o)+/，(o)x+/M x 2+N I 2 1V3+.+,()(o)/+=炉)2!3!nl=x+x2+-x3d-xn+o(xn).2!(n-1)!8 .验证当04旧 时，按公式4 1+%+争 总 计 算/的 近 似 值 时，所产生的误差小于0.01,并求人的近似值，使误差小于0.0L2 3解 因 为 公 式 右 端 为 的 三 阶 麦 克 劳 林 公 式，其余项为2 6农3。)=余4,所以当OWx W：时，按公式e 6 1+x+苧 计 算/的 误 差1舄.)崎/喏 g)%0.0045 27)3+).(一耨67)(A27)4(纱于 27 与 x 之间).，/4!o 1于是 版

23、 土 病+；.27 三 3+1(一 427 号.32+1碧27 号.33+/-/+条卜3 1 0 7 1,其误差为l&(30)H 1(-整 热 丁 岛.券2 7V%段总瞅2.4!o 1 4-o 1 4!,J(2)已知s i氏=-9+g14 c介于o与 之间),所以 si n 18。=或 端 端(念3 ao.3090,其误差为 卢 si n 喝 管 月 苧 玲)朱 飞6(行4=2.03x 11.10.利用泰勒公式求下列极限：(1)l i m (V x +S x2-VA：4-2X3);X4-00c o sx-e l i m ),x-ox2 x+l n a-x)场1 +X2-V 1+x2(c o s

24、x-2)si n x2解 l i m (V x3+3x2-V x4-2x3)=l i mXf+QOX=l i m拒行一在互X-Hf f+0 t因为V =l+f+a f),O F=l 3r+(r),所以-./-0+/+0(。_口_/+0)-O C(八 Ol i m (V x3+3x2-v x4-2x3)=l i m-=l i m 4+-=.x-+oo r-+0 t/-+()2/2春 品蚂 1-1A:2+1X4+O(X4)-1-1X2+1-1X4+O(X4)2/l+l n Q x)可1.。(却=lim、耳二-Vo.a。1 l+e-,1+1 nl6X)x1+袅2-Ji+%2(3)lim-；-=lim

25、x 0(cosx-ex )sin x21+#一 1+#一#+混)#+5 4+”(炉)(1+/+#+(/)卜23 44、3,。(尤4)3+a*)卬+丁 h i=lirn-=Jim-=-=-5 _*_%+/.幺4)2 _1 122 24 2 24-2习题3-41.判定函数於)=arctan犬-工单调性.解 因 为 八 折 f 会0);x FK最;(4)y=n(x+ll+x2);产(x-l)(x+l)3;y=W(2x-a)(a-x)2(a 0);(7)尸x%-*(/?0,x0);(8)y=x+|sin 2x.解 y=6f 12x-l 8=6(x-3)(x+1)=0,令 y=0 得驻点无尸一1,M=3

26、.列表得X(-o o,-l)-1(-1,3)3(3,+o o)y+00+y/可见函数在(-8,-1和 3,+8)内单调增加，在-1,3内单调减少.(2).=2 _ 4=2比2率2/，令y=o得驻点光尸2,检=_ 2(舍去).因为当x2时,)，0;当0 r 2时,y 0,所以函数在(0,2 内单调减少，在 2,+o o)内单调增加.潦貂等 令H得驻点*昌，3 i,不 可 导 点 为 I(4)因为 y-(1-1 )=,所以函数在(-8,+0 0)内单调x+yjl+x2 2 V 1+X2 v l+x2增加.(5)y(x+1 )3+3(x-l)(x+1)2=4(x-1)(x+l)2.因为当 时，y，0

27、,所以函数在(-8,5内单调减少，在；,+内单调增加.-(X-)(6)y =f,驻点为国=与，不可导点为电罟，向=。.3 (2 x-a)2(a-x)3 2列表得X(-吟a2然)T2 a(-pa)a(a,+o o)y+不存在+0不存在+y/可见函数在(-8,9，母 争，3+8)内单调增加，在华,编内单调减少.(l)y e xxnn-x),驻 点 为 因 为 当0a0;当 时,y k O,所以函数在 0,上单调增加，在 ,+0 0)内单调减少.尸x+s i n 2 x k7 v x k7 v+-兀 2（攵=0,1,2,）,龙 一 s i n 2 x k7 r+-x k7 r+7 r2l+2 co

28、s 2 x k,7 r x k7 r+-y =4 2 伙=o,i,2,）.1-2COS2JC k7 i+xJ l+x；(2)当 x 0 时，l+x ln Cc+J l+dAJ l+j c2;当 0 x 2 x;(4)当 0 cxx+与丘(5)当 x 4 时,2x x2;证 明(1)设/(x)=l+/x V T 7 7,则/在 0,+8)内是连续的.因为八%)=5-J=2 2 V 1+7/工I。2 j l+x所以/(X)在(0,+8)内是单调增加的，从而当x 0时/(X)才(0)H),即l+；x-J l+x 0,也就是(2)设/a)=l+x l n(x+7 i m)-,则/(%)在。+0 0)内

29、是连续的.因为ff(x)=l n X+V l+x2)+x-；-()-.x),A=1 n X+V l+x2)0,X+v l+X2 V l+X2 v l+x2所以/Q)在(o,+8)内是单调增加的，从而当xo时./U)M O)=O,即1+x l n X+V l-+-x2)-V l+A2 0,也就是 1+x l n X+V l+x2)71+x2.(3)设火x)=s i n x+t a n x-2 x,则 r)在 0,9 内连续，、2 c(co s x-l)(co s 2 x-l)-co s xfr(x)=cos x+s e c x-2 =-5-.co szx因为在(0,9内 co s x-l0,co

30、 s2x-l0,-co s x 0,所以r(x)0,从而於)在(0,9内单调增加，因此当0 工 Q,也就是 s i n x+t a n x 2 x.(4)设/(x)=t a n x x gx3,则於)在 0,学内连续，/(x)=s e 2:x-l-x2=t a i vc-x2=(t a j n-x)(t .因为当0 x 0,3也就是 t a u x+-x2.(5)设段)=x ln 2-2 1 n x,则/(x)在 4,+8)内连续，因为八%)=3 2=野-2*沁x 2 x 2 4所以当x4时，/(x)0,即於)内单调增加.因 止 匕 当x 4时，.*x)/4)=0,即x ln 2-2 1 n

31、x 0,也就是2W.5.讨论方程In m a x (其中a 0)有几个实根？解 设r)=ln x 如则火x)在(0,+8)内连续，八x)=_ L_ a=上空，驻点为X XX一 1.a因为当0 x J 时/(x)0,所以火X)在(0,g内单调增加；当X 工时Ja a a，(x)+8时-0 0,所a以如果/d)=ln L-l0,即a L则方程有且仅有两个实根；如果a a e/(l)=ln l-l0,这 就 明 在(-8,+8)内是单调增加的.广Q)=-S i n X在(-8,+8)内不保持确定的符号，故广(%)在(-8,+0 0)内不是单调的.7.判定下列曲线的凹凸性：日x-x2;(2)y=sh

32、x;(3)y=l+l(x 0);(4)y=x a r ct a n x;解(l)y=4-2 x,y=-2,因为y 0,所以曲线在(-0 0,+o o)内是凸的.(2)y=ch x,y=shx.令厂=0,得 x=0.因为当x =s h x 0,所以曲线在(-o o,0 内是凸的，在 0,+o o)内是凹的.(3)加一点,y=.因为当A0时,y 0,所以曲线在。+8)内是凹的.(4)ct a n x+言，广舟.因为在(-*+8)内,y 0,所以曲线产x a r ct g尤在(,+8)内是凹的.8.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：(1 ).y=x3-5 x2+3 x+5 ;户3;(3)-(x+l

33、)W;(4)月n(7+l);(5)餐 。(6)y=x4(l 2 1 n x-7),解(1)户3上 期+“，3-1。.令W0,得 话.因为当“3时,y 0;当x*时，)0,所以曲线在(-8,0内是凸的，在|,+8)内是凹的，拐点为育,招).(2)y e x-xe x,y=-e x-e x+xe x e x-2).令 y=0,得 x=2.因为当光 2时，y 2时，y 0,所以曲线在(-%2 内是凸的，在 2,+8)内是凹的，拐点为(2,2 2).(3)/=4(x+l)3+Z,y=l2(x+l)2+ex.因为在(-8,+00)内，y 0,所以曲线产(九+1)4+/的在(-0 0,+8)内是凹的，无拐

34、点.(4)y =等，=2(,+；)*以=一 子7卷1).令，=o,得为=1,忿=1.X2+l(炉+1)2 (X2+1)2列表得X(-0 0,-1)-1(-1,1)1(l,+8)y0+0ycln 2拐点uln 2拐点c可见曲线在(-00,-1 和 1,+00)内是凸的,在-1,1 内是凹的,拐点为(-1,ln 2)和(l,ln 2).，=*a n x.二，y，=F (l _ 2 x).令 y=0 得，x=l1 4-X2 1 +片 2因为当x 0;当 吗 时，y”0,所以曲线尸ea r g在(-吗 内是凹的，在心,+0 0)内是凸的，拐点是(鼻由叫).(6)/=4/(1 2 1 n x 7)+1

35、2?,y=1 44?.ln x.令 y=0,得 m 1.因为当0 x l时,y l时，y 0,所以曲线在(0,1 内是凸的，在 1,+8)内是凹的，拐点为(1,-7).9.利用函数图形的凹凸性，证明下列不等式：(1)3(x +y )(空)。0,o,D;x+v 一，-e 2 (x w y);x ln x+y ln y (x+y)ln苫 (x 0,y 0,).证明 设火。=/，则广)=T j，=(_ 1)广2因为当0时J”0,所以曲线)=f在区间(0,+8)内是凹的.由定义，对任意的x 0,y 0,的 有押(x)+/(y)/(竽)，设财=4则/(f)=e )=/.因为广0,所以曲线财=，在(-8,

36、+8)内是凹的.由定义，对任意的x,y e(-8,+8),工今有自/3)+/(y)/(亨)，即ex+ey2X+Ve 2 (x w y).(3)设则/=ln r+l,r(0=1.因为当0时J 0,所以函数；的图形在(0,+o o)内是凹的,由定义，对任意的x 0,y 0,x w y有和(x)+/(y)/(燮)，即x ln x+y l”(x+y)lnx+y171 0.试证明曲线产早有三个拐点位于同一直线上.x2+l证明i x 2+2 x+l=(茶+1)2“A-6/-6 x+2 _2(x+l)x-(2-回 收(2+两(5+1)3 (X2+1)3令)=0,得X 1=1,&=2-6,%=2+。.例表得X

37、(-1,2-7 3)(2 ,2+回(2+/,+8)可见拐点为(-1,7),(2-靖 系)，Q+6艰 磊)因为y0+00+yn-11 5/34(2-V3)c1+V34(2+两u1-6 /i i+追/i 百 歹 )4W2_I2-5/3-(-1)干 2+3-(-1)4所以这三个拐点在一条直线上.1 1.问。、。为何值时，点(1,3)为曲线产63+法2 的拐点？解y a x2+2 b x,y 6a x+2 b.要使(1,3)成为曲线 厂加+小 的拐点，必须y(D=3 且/=0,即。+=3 且 6 a+2 任0,解此方程组得。=-掾，匕=|.1 2.试决定曲线尸o?+加+c x+d中的a、b、c、4 使

38、得4-2处曲线有水平切线,(1,-1 0)为拐点，且点(-2,44)在曲线上.解 y-i a +lb x+c,Y-6a x+lb.依条件有y(-2)=44M D=T 0 p ny(-2)=o，即y =0一 8。+4/?-2。+4=44。+。+。+4=-1 012 a-4 b-c=06a+2 b=Q解之得 a=,b=3,c=2 4,J=1 6.1 3.试决定产Z(d-3)2 中左的值，使曲线的拐点处的法线通过原点.解 y=4丘3 _ 12 kx,y=1 2 Z(x 1 )(x+1).令 y =0,得用=-1,切=1 .因为在内=-1 的两侧y 是异号的，又当户-1 时尸必，所以点(-1,4攵)是

39、拐点因为 (-1)=眺 所以过拐点(-1,4%)的法线方程为y-必=-2 (x+l).要使法8 k线过原点，则(0,0)应满足法线方程，即-4女=一!，k=土 零.OK O同理，因为在修=1 的两侧y”是异号的，又当4 1 时尸4攵，所以点(1,4Z)也是拐点.因为y (l)=-8 A,所以过拐点(-1,的 的法线方程为y-4k=(x-1).要使法8K线过原点，则(0,0)应满足法线方程，即-4女=-2，k=土 喜.8 k X因此当女=孚时，该曲线的拐点处的法线通过原点.O1 4.设y或x)在m m的某邻域内具有三阶连续导数，如果/(x o)=O,而f”(x o)M,试问(即,人即)是否为拐点

40、？为什么？解不妨设尸”(劭)0.由尸(x)的连续性，存在沏的某一邻域(的-育沏+力，在此邻域内有(x)0.由拉格朗日中值定理，有广,(力/(的)/(尤-沏)C介于劭与x之间)，即 广(X)寸 (J(AX O).因为当尤0-Av O o时J (x)0；当Xo x-x-ln(l+x);1+2 x 2；(4)y=x+y/l-x;尸l+3xJ 4+5/(6)y=3-+4 了+4x2+x+l(7)y=ex cos x;(8)y=G;(9)y=3-2(x+l)3 ；(1 0)r=x+ta n x.解(1)函数的定义为(-0 0,+oo),y=6?-l2 x-l8=6(X2-2X-3)=6(X-3)(X+1

41、),驻点为用=-1,M=3.列表X(-8,-1)-1(-1,3)3(3,+8)y+00+y/1 7 极大值X-4 7 极小值/可见函数在x=-l处取得极大值1 7,在 x=3 处取得极小值-4 7.1 丫(2)函数的定义为(-1,+00),yf=-=，驻点为40.因为当-1 0 时，/o 时,y o,所以函数在户o处取得极小值，极小值为M O)=O.(3)函数的定义为(-0 0,+8),y=-4xi+4 x=-4 x(xi-1),1 2?+4,令 y=o,得%i=o,X2=i,%3=i.因为 y(0)=4 0,y-(-l)=-8 0,y =一 8 o；当 X o；当时，y o,所 以 函 数

42、在 年 处 取 得 极 大 值，极大值为1 2T(6)函数的定义为(-8,+8),y=T+2),驻点为内=0,乃=-2.(x2+x+l)2列表X(-8,-2)-2(-2,0)0(0,+0 0)y0+0y极小值3/4极大值可见函数在4-2处 取 得 极 小 值 在40处取得极大值4.3(7)函数的定义域为(-8,+8).y=eA(c o s x-sin x),y=-e ,sin x.令 y=0,得驻点工=生+2%4，1=+2(2+1)乃，/=0,1,2,).4 4n r r-+2 M 因为/(?+2%乃)0,所以)，+2(2+1闭=一是函数的极小值.442(8)函数y=C的定义域为(0,故)，-

43、1yr=xx-(1-ln x).x2令y，=0,得驻点x=e.因为当xe时,y 0;当x e时,y 0,所以义6)=/为函数人幻的极大值.2 1(9)函数的定义域为(-8,+8),=-4，万，因为y。，所以函数/U)无极值.2 .试证明：如 果 函 数 尸 加2+C X+”满足条件从_3敬 0,所以当”0吐)，0;当a 0时,y 0.因 此 广 苏+加+行+j是单调函数,没有极值.3 .试 问a为何值时，函数/(x)=sin x+sin 3 x在x=?处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.解 f M=a cos x+c o s 3 x J (x)=-“sin x-3 sin x.要使函

44、数危)在x=工处取得极值，必有(乙)=0,即,一1=0,。=2.3 3 2当。=2时，/(守=-2 曰 0.因此 当许2时，函数/(x)在 x=q 处取得极值，而且取得极大值，极大值为了(乎)=百.4,求下列函数的最大值、最小值：(1)y=2 x3-3 x2,-1 x 4;(2)y=x-8 x+2,-l x 3 ;(3)y=x+-J-x,-5 x 1.解(1 )y=6x2-6x=6x(x-1),令 y=0,得 X|=0,X2=l.计算函数值得X-D=-5,y(0)=0,j(l)=-l,)，(4)=80,经比较得出函数的最小值为X-l)=-5,最大值为J(4)=80.(2)，=4 f-1 6 x

45、=4 x(f-4),令)*=0,得为=0,起=-2(舍去),心=2.计算函数值得X-D=-5,y(0)=2,y(2)=-1 4,y(3)=l 1,经比较得出函数的最小值为y(2)=-1 4,最大值为y(3)=ll.13(3)y=i-，令 y=o,得x 二.计算函数值得2 Vlzx 4y(-5)=-5+向4 4经比较得出函数的最小值为y(-5)=-5+V6,最大值为.5 .问函数尸2 x 3-6 f-1 8x-7(H 4)在何处取得最大值？并求出它的最大值.解 y=6x2-12 x-1 8=6(x-3)(x+1),函数,/(x)在 1 球 4 内的驻点为 x=3.比较函数值：XD=-2 9,y(

46、3)=-6 1,1 4)=-4 7,函数7 U)在 4 1 处取得最大值，最大值为，(1)=-2 9.6 .问 函数)，=c iS-4.a o)在何处取得最小值？x5 4解 y =2 x+-,在(-8,0)的驻点为4-3.因为xy(3)=2+等 0所以函数在x=-3 处取得极小值.又因为驻点只有一个，所以这个极小值也就是最小值，即函数在4-3处取得最小值，最小值为y(-3)=2 7.X7 .问 函 数 在 何 处 取 得 最 大 值？x+11 _x2解 y 二 了 函数在(0,+8)内的驻点为ml.(X2+1)2因为当o a o；当x l时 y o,所以函数在m l 处取得极大值.又因为函数在

47、(0,+8)内只有一个驻点，所以此极大值也是函数的最大值，即函数在m l 处取得最大值,最大值为/(1)=；.8.某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌2 0 c m 长的墙壁，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解 设 宽 为 x长为 则 2x+产20,尸20-2x,于是面积为S=xy=x(20-2x)=20 x-2x2.S=20-41(10-x),S =-4.令 S=0,得唯一驻点x=10.因为S(10)-4 0,所以x=10 为极大值点，从而也是最大值点.当宽为5 米，长 为 10 米时这间小屋面积最大.9.要造一圆柱形油罐，体积为V,问底半径r 和高等于多少时，才能使

48、表面积最小？这时底直径与高的比是多少？解 由/力，得心丫升|一2 于是油罐表面积为,2VS=2TT/+2%rh=2 r 4-(0 x 0,所 以S在驻点r处取得极小值，也就是最小值.这时相应的高为力=，y=2 r.底直径与高的比为2r:/?=l:1.兀心10 .某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图)，截面的面积为5m2,间底宽x 为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？解设矩形高为，截面的周长S,则皿+、(当2万=5,h=-x .2 2 x 8于是Xc 仆X7 T 7 t 10/八S=X+2H-=XHx (0 x 0,所 以 为 极 小 值 点，同时也是最小值点.x3 V

49、4+因此底宽为X 层 时 所 用 的 材 料 最 省 11.设有重量为5kg的物体，置于水平面上，受 力F的作用而开始移动(如图).设摩擦系数产0.25,问力户与水平线的交角a为多少时，才可使力产的大小为最小？解 由 Feos a=(m-Fsin a)得F=刖.(。彳),cosa+sina 2%(sina-cosa)卜 、一，(cosa+sina)一驻点为 a -arctan/.因为F 的最小值一定在(0,2)内取得，而 F 在(0,2)内只有一个驻点a =arctan2 2所以garctan 一定也是尸的最小值点.从而当o=arctan0.25=14。时，力尸最小.12.有一杠杆，支点在它的

50、一端.在距支点0.1m处挂一重量为49kg的物体,加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平(如图).如果杠杆的线密度为5kg/m,求最省力的杆长？解设杆长为x(m),加于杠杆一端的力为 则有1 5 49xF=-x-5x+49 0.1,B P F=-x+(x0).22 x驻点为4 1.4.由问题的实际意义知，”的最小值一定在(0,+o)内取得，而/在(0,+8)内只有一个驻点x=1.4,所以厂 一定在4 1.4机处取得最小值，即最省力的杆长为1.4九1 3.从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图),间留下的扇形的中心角9取多大时，做成的漏斗的容积最大？解 漏斗的底周长/、底半径八高力分别