2022届福建省莆田市高三3月份模拟考试数学试题含解析.pdf

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1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图.

2、则下列结论中表述不正确的是（）2000 2001 2002 2003 20M 2005 2006 2007 2006 2009 2010 2011 20122013 2014 20152016 年份A.从 2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B.2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番；D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根 据 2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1，2,，7）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型a=99+17件,根据

3、该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.2.若 i 为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1,图中复平面内点Z 表示复数二，则表示复数 的 点 是（）A.E B.F C.G D.H3.已知等差数列 q 的公差为-2,前”项和为S“，%,%,%为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120。,若 S“WS,“对任意的 eN*恒成立，则 实 数 机=（）.A.6B.5C.4D.31+z4.在复平面内，复数7r对应的点 位 于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5,若函数/(x)=e 的图象上两点M,N 关于直线y =x的对称点在g(x)=o x-2的图象

4、上，则”的取值范围是()A.1B.(-8,e)C.(%)D.(0,e)6.已知函数/(x)=c o s2 x +G s i n 2 x +1 ,则下列判断错误 的 是()A.f(x)的最小正周期为乃 B./的值域为 7,3 C.“X)的图象关于直线x =?对称 D./(X)的图象关于点 一o 对称7 .已知非零向量、b，若 忖=2 忖且|2 -=6忖，则向量坂在向量方向上的投 影 为()8.若函数,V =/(x)的定义域为M=x|-2 W X W 2 ,值域为N=y|O 0 W 2 ,则函数y =/(x)的图像可能是()9 .在棱长均相等的正三棱柱A B C =4 g G 中，。为 8 月的中

5、点，尸在A&上，且。尸，A0,则下述结论:AG L8 C；A F =F G；平面D 4 G，平面AC G A：异面直线AG 与 C O所成角为60。其中正确命题的个数为(C.3D.410 .已知数列 4 满足4 =1,an_x=n(n2)，则数列 afl的通项公式an=()A.-+1)B.-n(3n 1)C.n2 n +l D.n2-2 7 14-211.已知i 为虚数单位，若复数z =+l,则=2-19A.-+i B.1-i5C.1+i D.-i12 .复数2 满足z(l +i)=2(i 为虚数单位)，贝 I 的虚部为()A.i B.-i C.-1 D.1二、填空题：本题共4 小题，每小题5

6、 分，共 2 0 分。13.已知向量/%=(2,1)，=(4,y),若根 _ L ，贝 i j|2 m+“=.x y14.设国)满足约束条件3 x+y20,则目标函数z =2x+y的最小值为3 x-y a 0)的左、右焦点为6,尸 2,P(2,、同 为 双 曲 线 C 上一点，且信=3,若线段P 片与双曲线C 交于另一点4,则 如 的面积为.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 .(12 分)已知数列 可 满足4 =1,%=2的+2 -1(2 2),数 列 也 满 足 勿=。“+2 +3.(I )求证数列 是等比数列；(H)求数列 q 的前项和S.18.(1

7、2 分)已 知/(x)=e*-t r.(1)若曲线y =l n x在点9 2,2)处的切线也与曲线y =/(x)相切，求实数?的值；(2)试讨论函数f(x)零点的个数.1 9.(1 2分)如 图，在三棱柱A B C -4与6中，已知四边形A4.G。为矩形，朋=6,A B =AC =4,Z B A C =ZBA A=6 0 0,乙4,人。的 角 平 分 线 交 于 ).(1)求证:平面3 A _ L平面M G。；(2)求二面角A-8 -A的余弦值.2 0.(1 2分)若 正 数a,6,c满足a +c=l,求 一+二 一 +一 的最小值.3 a+2 3b+2 3 c+22 1.(1 2 分)已知函

8、数/(x)=l n(a v)-a,(a 0).(1)若函数(x)=e(x)在(0,+8)上单调递增，求实数”的值；(2)定义：若直线/：y=H+b与曲线G：(x,y)=0、C?：人。,四=。都相切，我们称直线/为曲线G、的公切线，证明：曲线/(x)=l n(a x)-a,(a 0)与g(x)=a e,(a 0)总存在公切线.2 2.(1 0分)已 知ae R,函 数 月=四%-1,g(x)=x-l n(x+l)(e=2.71 8 2 8是自然对数的底数).(I)讨论函数/(x)极值点的个数；(II)若a =l,且命题“Vxe 0,+8),/(*)依(6是假命题，求实数Z的取值范围.参考答案一、

9、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.【详解】对于A选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于8选项，2 0 0 0 -2 0 0 4投资总额为1 1 +1 9+2 5 +3 5 +3 7=1 2 7亿元，小于2 0 1 2年的1 48亿元，故描述正确.2 0 0 4年的投资额为3 7亿，翻两翻得到3 7x4=1 48,故描述正确.对于O选项，令/=1()代入回归直线方程得99+1 7.5 x1 0 =2 74亿元，故。选项描述不正确.所以

10、本题选D.【点睛】本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.2.C【解析】由于在复平面内点Z的坐标为(T,l),所以z=-l +i,然后将z=-l +i代入马化简后可找到其对应的点.Z【详解】由z=l +i,所以=-=i(1 i)=l i,对应点G.z-1 +z故选：C【点睛】此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题.3.C【解析】若S“K S,“对任意的eN*恒成立，贝！IS,“为S”的最大值，所以由已知，只需求出S“取得最大值时的即可.【详解】由已知，4 4%，又三角形有一个内角为1 2 0,所以a；=(q 2)一+(q-4厂+(q

11、2)(q 4),解得 q=7 或 q=2 (舍)，故 S.=7+(；D*(-2)=一 2+8”,当=4 时，S.取得最大值，所以m=4.故选：C.【点睛】本题考查等差数列前”项和的最值问题，考查学生的计算能力，是一道基础题.4.B【解析】化简复数为。+6的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案.【详解】1 +1 l +f _(l +l)l(1-z)2-2 z-z-1 +z 1 1 .=-=-1 I2 2 2，对 应 的 点 的 坐 标 为 在 第 二 象 限故选：B.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.5.D【解析】由题可知，

12、可转化为曲线g(x)=G r-2与y=l n x有两个公共点，可转化为方程a c-2 =In x有两解，构造函数(了)=2 1，利用导数研究函数单调性，分析即得解X【详解】函数f(x)=ex的图象上两点M，N关于直线y=X的对称点在y=In X上，即曲线g(x)=口-2与y=In x有两个公共点，即方程o r-2 =l n x有两解，口 r 2 +lnx-即。=-有两解，x人，/、2 +In%令(x)=-,x_.z、-1 -In x贝！J h(x)=-；-,x则当 Ovx 0；当工 1 时，hXx)-0 0;当 Xf+8 时，Z l(x)-O,所以()a/3 s in 2x+1可得/(x)=2

13、 c o s 2x+-s in 2x+1=2 s in f 2x +1、2 2 J k 6 J_ 2%27r对 于A,/(x)的最小正周期为T=K=%，故A正确；2对于 B,由”s in(2x +jK l,可得1W/(x)W 3,故 B 正确；JT JT对 于C,.正弦函数对称轴可得：2X o+=A +,(Ze Z)6 21-T解得：/=一%左+,(Z e Z),2 6IT当=0,Xo=-,故C正确；6jr对 于D,.正弦函数对称中心的横坐标为：2/+=b r,(A e Z)61 jr解得：x0=-k7V+k.e Z)若 图 象 关 于 点 对 称，则万+3 =f =8,故 2 而+1 =（T

14、,2）+（4,8）=（0,1 0）,故1 2 肩+“=1 0.故答案为：1 0.【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，向量模，意在考查学生的计算能力.1 4.-1【解析】x y根据工，）满足约束条件 3 x+y Z 0,画出可行域，将目标函数z =2 x+y,转化为y =-2 x+z,平移直线），=-2 x,3x-y 6找到直线y =-2 x +z在），轴上截距最小时的点，此时，目标 函 数z =2 x+），取得最小值.【详解】由X，y满足约束条件3 x +y 2 0 ,画出可行域如图所示阴影部分：3 x y 0或/(%)/2 sin(x4)G 1,-2,4此 时 鼠-1,故答案为：1【点 睛

15、】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，正弦函数的性质，辅助角公式，考查计算能力，属于中档题.m9逝1 0.-4【解 析】由 已 知 得 附|=3|%即也=9归舄，|明2=(2一 靖+2,可 解 得%由p R,闾 在 双 曲 线c上,代入即可求得双曲线方程,然后求得直线P K的方程与双曲线方程联立求得点A坐标，借 助sAf,A,-=SAP2-SMFIE2，即可解得所求.【详 解】由已知得归耳|=3归 国，又|尸用2=（2+4+2,归q 2=（2 _ 4+2,所以（2+京+2=9（2-c +2 ,解得4 2。=3或c=2,由P（2,0）在双曲线c上，所以 +4=0,所以y=孝，必=

16、正，f 7所以点A坐标为一二，下，所以I 4 4 JqPAF2SAP外-S责退=万24 4【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线方程的求解，考查求三角形面积，考查学生的计算能力，难度较难.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（I）见证明；（II）S“=3x2-2 4 6【解析】（I）利用等比数列的定义结合4-1 =2”,“+2-1（心2）得出数列也 是等比数列（D）数列 q 是“等比-等差”的类型，利用分组求和即可得出前项和S“.【详解】解：（I）当 =1时，q=1,故4=6.当“2 2时，an=2an_i+2 n-l,贝坨,=a“+2 +3=2

17、a“_+2-l+2 +3=2(*+2 +1)=2%+2(-1)+3,b“=2%,二数列 是首项为6,公比为2的等比数列.(H)由(I)得 勿=3x2,:.an=bn-2 n-3 =3x2 2一3,.=3(2+22+.+2)-2(1 +2+,-+)-3 +S“=3X2 +J 2 4 一6.【点睛】b(i)证明数列 4是等比数列可利用定义法广=q,(q?0)得出2-1(I I)采用分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.1 8.(1)团=1 2 (2)答案不唯一具体见解析【解析】(D利用导数的几何意义，设切点的坐标(x ,e*。-加/)，用不同的方式求出两种切线方程，但两条切线本质为同一条

18、，从而得到方程组：一:，再构造函数研究其最大值，进而求得机=1-e.2；淖=1(2)对函数进行求导后得/(尤)=-m，对?分三种情况进行一级讨论，即m (),m =0,相 0,结合函数图象的单调性及零点存在定理，可得函数零点情况.【详解】解：(1)曲线y =ln x在点(e z,2)处的切线方程为y 2=(x e?),即y =4 x+l.e eI令切线与曲线/(乃=一优相切于点(%0，淖 一勿/)，则切线方程为尸(。一机)人一/(%-1),e-m-e=，:.m+e-2 l-ln(7?2 4-e_ 2)J =l,令机+2=%则f(l-ln，)=l,记g)=m-l n O,gV)=l-(l+ln

19、r)=-ln r于是，g)在(0,1)上单调递增，在(L+8)上单调递减，,g)ma x =g(D =1，于是，=加+g-2 =1，/篦=1 6一*(2)fr(x)=ex-m ,当机()时，/(幻 0恒成立，f。)在R上单调递增，且/(0)=1机0,/(l)=e-l0m二函数f M在R上有且仅有一个零点；当加=0时，/(x)=e 在R上没有零点；当机0时，令/(x)0,则x ln m,即函数/(x)的增区间是(I n加,+8),同理，减区间是(一叫I n/n),f(x)mia=m(l-lnni).i)若 0/n 0,f(x)在 R 上没有零点；i i)若加=e,则/*)=-e x有且仅有一个零

20、点;出)若 心 e ,则 f(x)min=/n(l-ln w)h(e)Q.f(2nm)=m2-2mnm=m(e-2)0X V/(0)=l0,./(x)在R上恰有两个零点，综上所述，当0?e时，函数f(x)没有零点；当机e时，/(x)恰有两个零点.【点睛】本题考查导数的几何意义、切线方程、零点等知识，求解切线有关问题时，一定要明确切点坐标.以导数为工具，研究函数的图象特征及性质，从而得到函数的零点个数，此时如果用到零点存在定理，必需说明在区间内单调且找到两个端点值的函数值相乘小于0,才算完整的解法.1 9.(1)见解析；(2)3叵1 7【解析】(1)过点。作。E/AC交A 4于七，连接CE,BE

21、,设4)。后=。，连接B O,由角平分线的性质，正方形的性质，三角形的全等，证得CE L 8 O,C E A.A D,由线面垂直的判断定理证得C _ L平面8 4 0,再由面面垂直的判断得证.(2)平面几何知识和线面的关系可证得30,平面A A G C，建立空间直角坐标系。一孙z,求得两个平面的法向量,根据二面角的向量计算公式可求得其值.【详解】(1)如图，过点。作。E/AC 交 AA 于E,连接 CE,BE,设，连接 8 0,v AClAA,：.DELA E,又4。为/4 4。的角平分线，四 边 形 血 心 为 正 方 形，。_ 4。，又.AC=A,ZBAC=ZBAE,BABA,:.ABAC

22、BAE,：.BC=B E,又为CE的中点，:.CE1BO又.4),3 0 u平面B4),ADCBO=O,平面BAD,又CE u 平面 A41c C,平 面 84。平面 A41 G C，(2)在 AABC中，-.-AB=AC=4,ZB4C=60。，；.BC=4,在 RtABOC 中，CO=gcE =2血，6。=2血,又 AB=4,AO=AD2y/2,.-BO2+AO2=AB2，：.B O A D,又BOLCE,ADrCE=O,故建立如图空间直角坐标系O-型，则A(2,2,0),A(2,4,0),C,(-2,4,0),%(0,6,2虚)，谪=(2,2,2 0),延=(T,6,0),也=(4,0,0

23、),.fn (J n-4x.+6 V =0设平面ABC1的一个法向量为加=(F，y,Z),则 5 厂,5 八，比 LA G 2+2+2722,=0令玉=6,得证=(6,4,5 0),-/7 C,S,设平面A B C的一个法向量为=(为，必,z,)，贝 叫，即 g G A4X2 0 f.J r,令必=J 2,得=(0,夜1)2+2必+2缶2=。-m-n 9/2 3/?7 3=丽=7!就 口Tk，由图示可知二面角A/G.A是锐角,故二面角A-耳G-A的 余 弦 值 为 亚17【点睛】本题考查空间的面面垂直关系的证明，二面角的计算，在证明垂直关系时，注意运用平面几何中的等腰三角形的“三线合一”，勾股

24、定理、菱形的对角线互相垂直，属于基础题.2 0.1【解析】试题分析：由柯西不等式得(一T/T 仁 M+2)+W 2)+(3C+2)2 力-3 l(3 a+2)(3 b+2)(3 c+2)=9,所以 +1 1(3 a+2)(3 Z?+2)(3 c+2)、3。+2 3。+2 3 c+2试题解析：因为。，氏C均为正数，且(7 +C=l,所以(3 a+2)+(3 A+2)+(3 c+2)=9.于是由均值不等式可知 春+上+西+2)+(3 2)+如+2)2%(3 a+2)(3 Z?+2)(3 c+2)-3 1(3 a+2)(3 3+2)(3。+2)=9,当且仅当a=O=c=；时，上式等号成立.从而-T-

25、+-N 13 a+2 3b+2 3 c+2故-1-1-3a+2 3b+2 3 c+2的最小值为1.此时4 =匕=。3考点：柯西不等式2 1.(1)=1；(2)见解析.【解析】(1)求出导数，问题转化为(x).O在(0,+8)上恒成立，利用导数求出e(x)=ln(ax)+-a的最小值即可求解;x(2)分别设切点横坐标为牛与，利用导数的几何意义写出切线方程，问题转化为证明两直线重合，只需满足、1ae 2=玉 有解即可，利用函数的导数及零点存在性定理即可证明存在.In(。玉)-1 =aeX1-ax2eX 1【详解】(1)v /i(x)=evln(t z x)-a,x0 9 hf(x)=exln(ax

26、)+-a x函数(x)在(0,+oo)上单调递增等价于1 1(X).0在(0,+0 0)上恒成立.令夕(x)=ln(ax)+，_ a ,得 (x)=L -y =,x x x x所以。(幻在(0,1)单调递减，在(1,y)单调递增，则 奴 彳 焉=。(1).因为炉 0，则 (x).0在(0,+8)上恒成立等价于o(x).0在(0,+0 0)上恒成立；又；9(3 =0,a-。()=以 1)=0，a所以，=1,即“=1.a(2)设/(x)=ln(ac)-a,(a()的 切 点 横 坐 标 为 无，贝!|/(%)=切线方程为y -它必|)+a=(x -占).设 g(x)=ae*,(a()的切点横坐标为

27、x =Z，贝!1 8 (苍)=ae的，切线方程为y -a*=aeX2(x-x2).*1QC 2=若存在X，w，使成为同一条直线，则曲线/(幻与g。)存在公切线，由得 不 消ln(X)-a-l=aex-ax2eX2去 X得 一 工 a 1 =cic _ 7口 1 -I 2*+1a w +1 x2+l令 t(x)=ex-2 g +1,贝！11(x)=*；+:，+1 oX+1 (x+l)所以，函数y =，(x)在区间(0,+8)上单调递增，v r(l)-z(2)r(x0)=0又；.X-+0 0 时，f(x)4-0 0：.-=立 曰 二1在(0,+)上总有解a x +l综上，函数/(x)=ln()-,

28、(a 0)与 g(x)=aex,(a 0)总存在公切线.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的恒成立问题，导数的几何意义，利用导数证明方程有解，属于难题.2 2.(1)当“4 0时，/(x)没有极值点，当a 0时，/(X)有一个极小值点.(2)(1,+?)【解析】试 题 分 析：(1)f(x)=aex-l,分aW O,a 0讨论，当a W O时，对V x e R,fz(x)=aex-1 0时f(x)=O,解得x =In a,f(x)在(-e,-In a)上是减函数，在(-In a,+。)上是增函数。所以，当a W O时,f(x)没有极值点，当a 0时，f(x)有一个极小值点.(2)原命题为假

29、命题，则逆否命题为真命题。即不等式f(x)l讨论。试题解析：(I)因为f(x)=aex-x -l,所以f(x)=aex-l,当a W O时，对V x e R,f(x)=ae、-l 0时，fz(x)=aex-1,令f(x)=O,解得x =-ln a,若x e(-oo,-ln a),则f(x)0,所以f(x)在(-ln a,+oo)上是增函数，当x =-In a时，*)取 得 极 小 值 为“-1皿)=1皿,函数f(x)有且仅有一个极小值点x =-ln a,所以当a W O时，f(x)没有极值点，当a 0时，f(x)有一个极小值点.(D)命题“Vx e0,+8),f(x)?kg(x)”是假命题，则

30、T xG0,+OO),f(x)kg(x)”是真命题，即不等式f(x)0,所以h(x)在 0,+功上是增函数，h(x)h(O)=O,即F(X)N O,所以F(x)在 0,+助上是增函数，所以 F(x)F(O)=0,即 f(x)2 kg(x)在 x e 0,+co)上恒成立.k当k l时，因为h(x)=e-G%在 0,+功是增函数，因为h(0)=l-k 0,k所以h(x)在(O,k l)上存在唯一零点x 0,当xe O,Xo)时，h(x)h(x o)=(),h(x)在 O,Xo)上单调递减,从而h(x)W h(O)=O,即F(x)0,所以F(x)在 0,x 0)上单调递减，所以当X(0,x(J时，F(x)F(0)=0,即f(x)kg(x).所以不等式f(x)kg(x)在区间 0,+8)内有解综上所述，实数k的取值范围为(1,+8).