2022年八年级数学下《特殊平行四边形最值问题训练（培优）》专项练习题-带解析.pdf

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1、八年级数学下-专题:18.33特殊平行四边形最值问题八年级数学下-专题:训练(培优篇)(专项练习)一、单选题1.如 凰 在 矩 形AB CD中，力 庐4,力 分6,点户在4上，点。在B C上,且V=CQ,连 接CP,Q 1),则 和+Q的最小值为()2 .如 图,在 菱 形 中，点P是对角线8。上一点，。是8 c中点,若菱形周长是16,4=12 0。，则P C +PQ的最小值为()3 .如图，在正方形/8 C O中，E、尸分别为8 C、8 上的点，且“E平分N8 4 C,8 E=C/,P为线段 C上的动点,记P D +PF的最小值为机，若正方形边长为历,则/的值为()A.6-4后 B.8 4

2、/2 c.8 +4及 )6+4 /24 .如图,正方形/及力的边长为4,点E,点尸分别是边B C,边切上的动点,且B E-CF,四 与B F相交于点P.若 点 为 边 形 的中点，点为边切上任意一点，则秘1V W的最小值等于()1第1页 共4 2页A.M-l B.5 c.2 /10-2 D.25.如图，点P为正方形4 8。内一点，己知正方形N 8 C D的边长为2,且有尸/_ L PZ),则P 8的最小值为().A.1 B.2 C.石 T D.亚+16.四 边 形 四 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为4 0,4),8(3,0),C(4 j),D(4,y +l),则四边形488周长的最小值为(

3、)A.12 B.6+2石 c.6+屈 D.6+后7.如图,菱形4M)的对角线相交于点0,月C=12,放=16,点尸为边比 上 一点,且点尸不与点6、C重 合.过 点 巴 乍 见4 c于点七仔工仍于点连结死则的最小值为()A.4 B.4.8 C.5 D.68.如图,矩形AB CD中,4 8=4,AD=8,E 为a 的中点，F为外1上一动点,P为)中点,连接P&则A.4 B.8 C.2&D.4应9.如图,正方形/及笫的边长为4,E 为回上一点,且B E=,F为4 6边上的一个动点,连接2第2页 共4 2页砧以旗为边向右侧作等边分心连接的则 的最小值为（）A.0.5 B.2.5 C.6 D.110.

4、如图，U ABC丝U AED,BC与 ED交于点F,连接AF,P 为线段AF上一动点,连接二、填空题11.如图，在 矩 形/朋 中,/8=4,%=8,为边的中点，若 P、。为宽边上的两个动点,且 偌=2,四边形4续的周长最小值为12.如图，正方形4 8 8 的边长为4,E 为 边 上 一 点，AE=1.5,尸为/。边上一动点，连接 E E,以EE为边向右作等腰直角口E G,NFG=90。，连接8 G.当8G 取最小值时，切 的长度是.13.如图,在四边形/8 8 中，乙48 0 =60。,8=2,8。=4,四边形8。的面积为3石，连接对角线8。，则B D+C D的 最 小 值 为.3第3页 共

5、4 2页14.如图,在矩形4 8 8中，48=2,力。=4,E为X。的中点，尸为线段EC上一动点，户为BF中点,连接心，则线段尸。长的取值范围是15.如图，尸为正方形/8C D的边。上一动点，/8 =2,连接8%过/作 力，8斤交BC 于H,交 B F 于 G 连 接 C G,当C G为最小值时，。/的长为H16.如图，矩形Z8CD中，4 D=5,DC=7,点 H在 边 A D 上,4 =1,为边松 上一个动点，连H E.以H E为一边在H E的右上方作菱形H E F G ,使点。落在边上,连结CF.(1)当 菱 形 为 正 方 形 时，0G的长为；(2)在点的运动过程中，AFCG的面积S的取

6、值范围为_ _ _ _ _ _ _ _.17.如图，正方形力腼的边长为8,/的C的平分线交C于点发 若 点 入。分别是4 和 熊上的动点，则或+国的最小值是_ _ _ _ _ _ _ _ _.第4页 共4 2页418.如图，四边形”88是边长为正的正方形，为对角线8。（不含8点）上任意一点.（D/M+CM的 最 小 值 是.A M +BM+C M的最小值是.19 .如图,边长为4的菱形/用力中，/。=60 ,点 为 的 中 点，区厂是对角线初上的两个动点，且 跖 =2,则线段，妒+4 6 的最小值为.2 0 .在口力8=6cm,将 纸 片 沿 对 角 线 劭 对 折,边 的 对 应 边B F与

7、或边交于点七此时,恰为等边三角形.(1)求 4?的长度；(2)重叠部分的面积为；(3)将线段宽沿射线B A方向移动,平移后的线段记作B C，请直接写出B RC夕的最小值.参考答案1.B【分析】连接B P,则小初的最小值转化为。小阳的最小值,在B A的延长线上截取忻*4,连接P E、丝 则 小 的 附 加=磔 心 绢 再 根 据 勾 股 定 理 求 解 即 可.【详解】解:如图,连接俄8第 8 页 共 4 2 页在矩形 AB CD 中,AD/B C,AD=B C=6,JAF CQ,：.AD-AP=B C-CQ,:.D六 Q B,DP/B Q、.四边形或是平行四边形，：.P B/DQ,P B-DQ

8、,则P C+Q l)=P C+P B,则期他的最小值转化为户仆房的最小值，在B A的延长线上截取A,连 接 抬 凿贝IJg2仍8,：P A1.B E,.必是跖的垂直平分线，：.P B=P E,:.P C+P B-P C+P E,连接 CE,则 P C+Q D=P O P B-P C+P E CE,.若 炉+婚=io,二小外的最小值为10,即A%的 最 小 值 为10,故选:B.【点拨】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识;熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证 出 依 公 心 冷gg位是解题的关键.2.A【分析】点。和点C是定点，点P在直线助 上 一 动点,是

9、轴对称最值问题,连接“C,由菱形的对称性可知，点A和点C关于8。对称,连接A Q,A Q即为所求.【详解】解:如图，由菱形的对称轴可知,点A和点C关于BD对称,连接/Q,4Q即为所求尸C+尸。的最小值.第9页 共4 2页9DB 匕-!-4?O 连接/C,484)=120。，四边形力8。是菱形，.-.Z AB C=60 ，AB =B C，.匚 N8C是等边三角形，:点 2 为8 c 的中点，s.A Q L B C 菱形4 8 8 的周长为16,，AB =B C=4在 R t/X AB Q 也 4 8 C =60。，/.4/0 =30。B Q =-A B =-x 4 =2 ,A Q =小 AB?-

10、B Q2=V42-22=2百故选:A.【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键.3.B【分析】连 接EG,B P,由题意得当点产与点G重合时，P D +PF的值最小=分;再证明和ED B CF,WBA M GA M 匚 B4E A GA E从而得口CEG是等腰直角三角形，设C,则E O区,列方程求出x 的值,进而即可求解.【详解】解:连接比,纪 点8 与点关于对称，P D+P F=P B +P F,当点一与点C重合时，心+尸尸的值最小=必；.:在正方形A B C D 中，AB=B&NAB 氏/8 华90,第 1 0 页 共 4 2 页10

11、APL /B又/BE=CF,BCF，:/B A人 CBF,：NBAE+NAB忙NCBR/AB拈9。；即：NA峥NAMG=9。：.AE平分NBAC,：.NBA沪NGAM,又,；A归AM,;Q BAM iG AM：.AB=AGt又：AE=AE,jB A E G A E N4宓=N45斤90,CEG是等腰直角三角形，设 C2B芹 G 5x,则 EC-C x,r rx=厂=2-V2 产 J2x=j 2,解得：1 +V2,.B六 J()+(2-后，=-I应，即：呐 78-472,/n2=8-4V2.故选B.II第 1 1 页 共 4 2 页【点拨】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质,全等三角形的判定

12、和性质，等腰直角三角形的判定和性质，添加辅助线,构造全等三角形,是解题的关键.4.C【分析】作 M关于C D 的对称点Q,取 A B 的中点H,连接PQ与 C D交于点N,连接PH,H Q,当 H、P、N、Q四点共线时,MN+NP=PQ的值最小,根据勾股定理I I Q,再证明 AB E B C F,进而得a A P B 为直角三角形，由直角三角形的性质,求得PH,进而求得PQ.【详解】解:作M 关于C D的对称点Q,取 A B 的中点H,连接PQ与 C D交于点N,连接PH,H Q,则 MN=QN,四边形AB C D是正方形，.AB=B C,AB/7 C D,ZAB C=ZB C D=9 0

13、,在AB E f f AB C F 中，AB =B C，NAEB =N B C FB E=CF/.AB E AB C F(SAS),ZAE B=ZB FC,V AB C D,ZAB P=ZB FC=ZAE B,V ZB AE+ZAE B=9 0 ,ZB AE+ZAB P=9 0 ,A Z APB-9 0 ,.PH=2 AB=2,点是B C 的中点，.B M=MC-C Q=2 B C=2,VPH+PQH Q,12第1 2页 共4 2页.,.当H、P、Q 三点共线时，PI 1+PQ=11Q=+V22+62=2 7 10 的值最小，PQ的最小值为2M -2,此时,若N 与 N 重合时，MN+PN=M

14、N=QN+PN=QN+PN=2.-2 的值最小，故答案为:C.【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理,轴对称的性质，关键是确定PM+MN取最小值时P 与 N 的位置.5.C【分析】取 4?中点 连 接 战 防 当 只E、6 三点共线时，尸 8最小，求出庞、即可.【详解】解:取4。中点 连 接 战BE,正方形/B C D 的边长为2,：.PE=AE=,BE=AE2+AB2=V5PBBE-PE y当尸、E、6三点共线时，E B 最小，最小值为石-1,故选:C.【点拨】本题考查了正方形中线段最短问题,解题关键是确定点P 的运动轨迹，明确B P长取值范围

15、.6.D【分析】根据C和 D 的坐标可知,C和 D 点位于直线X =4 上,然后做出A 关于直线X =4 的对称点Ab再作A=l 且 Ai G _ Lx 轴,构造平行四边形,找到最小值是C和 D 的位置，计算即可13第 1 3 页 共 4 2 页解:如图所示，作点A 关于直线x =4的对称点A1,然后做A(G=1且 A Cx轴,连接G B 交 y 轴于点C,然后点C上移一个单位后得到点I),此时四边形AB C D周长最小Y A 和 Ai 关 于 直 线 4 对称.A1D=AD,Ai 坐标为(8,4)：Ai G DC 且&G=DC二四边形A1DC 6 是平行四边形.*.A1D=AD=C G.AD

16、+B C=B G,此时AD+B C 有最小值；G坐标为(8,3).B G=-X y)+5/3 4；A(0,4),8(3,0),C(4,y),0(4,y +1)A A B=7 4?+3r=5)C D=1/.四边形A BCD周长的最小值=6+后故选:D【点拨】本题主要考查将军饮马，做对称点,然后构造平行四边形是解题的关键.7.B【分析】由菱形的性质可得AC 1B D,B 0=2 B D=8,0 C=2 AC=6,由勾股定理可求B C 的长,可证四边形 0 E PF是矩形,可得E F=0 P,0 P1B C 时,0 P有最小值，由面积法可求解.【详解】连接0 P,/四边形 AB C D 是菱形,AC

17、=12,B D=16,AAC I B D,B 0=2 B D=8,0 C=2 AC=6,.B C=J O B O C?=10,/PE AC,PFB 1),AC B D,14第1 4页 共4 2页2 0 2 2 年八年级数学下 特殊平行四边形最值问题训练（培优）专曲练习题.四边形0 E PF是矩形，.FE=0 P,.当0 PJ _ B C 时,0 P有最小值，_ 1 _此时 SAOB C=2 0 B-0 C=2 B C-0 P,6 x 8.0 P=10 =4.8,；.E F的最小值为4.8,故选:B.【点拨】本题考查了菱形的性质,矩形的判定和性质,勾股定理,掌握菱形的性质是本题的关键.8.D【分

18、析】根据中位线定理可得出点点P 的运动轨迹是线段PF2,再根据垂线段最短可得当C PLPF2 时,PC 取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知C P|，PF2,故 C P 的最小值为 C Pj 的长，由勾股定理求解即可.解:如图:当点F 与点D 重合时，点 P 在 Pi 处,AP|=DPi,当点F 与点E 重合时，点 P 在 P2 处,E P2=AP2 J,；.P1P2 DE 且 PIP2=5DE当点F 在 E D上除点D、E的位置处时,有AP-FP由中位线定理可知:P1PDF且PP=5DF.点P 的运动轨迹是线段P1P2,当 C PP1P2时,PC 取得最小值15第 1 5 页 共 4

19、 2 页2 0 2 2 年八年级数学下 特殊平行四边形最值问题训练（培优）专项练习题.矩形 AB C D 中,AB=4,AD=8,E 为 B C 的中点，.AB E、AC DE.Zk DC Pi 为等腰直角三角形,DPi=2A ZB AE=ZDAE=ZDP1C=4 5 ,ZAE D=9 0；.NAP2 Pl =9 0 NAP P2=4 5；.NP2 Pl e=9 0 ,即 CP_LPIP 2,；.C P的最小值为C P的长在等腰直角C DP（中,DP1=C D=4,；.C Pi =4 也.PB 的最小值是4&.故选:D.【点拨】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识,解题的关键是学会利用特殊位置解

20、决问题，有难度.9.B【分析】由题意分析可知，点 F为主动点,（；为从动点,所以以点E为旋转中心构造全等关系,得到点G的运动轨迹,之后通过垂线段最短构造宜角三角形获得CG 最小值.【详解】由题意可知，点 F是主动点，点 G是从动点，点 F 在线段上运动，点 G也一定在直线轨迹上运动，如图，将 A E F B 绕点E旋转60 ,使 E F 与 E G 重合,得到A E F B w A E H G,从而可知A E B H 为等边三角形，点 G在垂直于H E 的直线H X上,如图，作 CMLH N,则 C M 即为C G 的最小值，作 E P XCM,可知四边形H E P M为矩形，16第 1 6

21、页 共 4 2 页2 0 2 2 年八年级数学下 特殊平行四边形最值问题训练（培优）专项练习题1 3 5C M =M P +CP =H E +-E C =+-=-=2.5贝 ij2 2 2.故选B.【点拨】本题考查了线段极值问题,构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型.分清主动点和从动点,通过旋转构造全等,从而判断出点G的运动轨迹,是解本题的关键.1 0.B【分析】依据点C 与点D 关于A F 对称，点 B与点E 关于A F 对称，即可得到CP=DP,E F=B F=3,再根据当B,P,C 在同一直线上时,B P+DP 的最小值等于B C的长，即可得出B P+DP 的最小值.【详解】解:如图

22、所示,连接CP,F.由题可得，点 C 与点D 关于A F 对称,点B与点E 关于A F 对称，；.CP=DP,E F=B F=3,B P+DP=B P+CP,当 B,P,C 在同-直线上时,B P+DP 的最小值等于B C的长，：E F=3,CF=5,；.B F+CF=B C=8,.B P+DP 的最小值是8,故选:B.【点拨】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理,结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.2/1 7+2 +6/2【分析】要使四边形/期的周长最小，由于AE 9&都是定值,只需/代 0 的值最小即可.为此,先在比1 边上确定点

23、P、0 的位置,可在4。上截取线段4 4原 2,作尸点关于a 的对称点G,连接 跖 与 6c 交于一点即为0 点,过A点作用的平行线交正于一点,即为P点,则此时4 周 除 跖 最 小，即四边形加磔的周长最小.【详解】17第 1 7 页 共 4 2 页在 力，上截取线段力代小2,作尸点关于笈的对称点G,连接EG与比1交于一点即为0点,过4点作修的平行线交B C千一 点，即为P点,过。点作a,的平行线交。的延长线于H点.则四边形如好是平行四边形:.D好 EC=2.AE=y/AD2+D E2=2717 法 旌6,叱位=2+4=6,N 隹90。,：.4 G EH=4 5,E G=6五 ,四边形4回里的

24、周长的最小值=仍4+即=2折 +静2+.2折+协2+8=2 a +g 2一 2后+2+6 6故答案为2 a+2+6啦.【点拨】本题考查了矩形的性质,轴对称-最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性,是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求.12.1.5【分析】如图所示,过点61作 以4?,交4 7的延长线于点根据正方形的性质和三角形的内角和可以推出N 1=N 3,根据全等三角形的判定可得加陛施3,正方形的边长为4,AE=1.5,设FD=x,B G=y,根据勾股定理可得股=(1.5-x)2+l.5?=(尸1.5)2+1.52,再根据非负数的性质知,当产1.5时，尸有最小值1.52,即当6G取

25、最小值时，阳的长度为1.5.【详解】18第1 8页 共4 2页2022年八年级数学下 特殊平行四边形最值问题训练(培优)专曲练习题解:如图所示，过 点。作G HVAB,交力6的延长线于点H,:正方形AB CD,C.AD-AB,ZJ=900=4 EHG,又,：Z FEG=90，陷 园.Zl+Z2=Z2+Z3=90,.Z 1=Z 3,.“2%/欣：.AE=G H,A 产 EH,：正方形的边长为4,AE=1.5,设FD-x,B G=y,贝ij E4A产4-x,除4-1.5=2.5,G H=AE-l.5,B H=EH-EB=-x-2.5=1.5-x,由B(?=B 徉+G 徉得,产=(1.5-*)2+1

26、.52=(1.5)2+1.5221.52,当产1.5时，/有 最 小 值1.52,当伙;取最小值时，外的长度为1.5,故答案为：1.5.【点拨】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定和性质，非负数的性质等.解本题要熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质等基本知识.13.2【分析】连接AC,过 点/作AH1B C于点H,利用直角三角形的性质和勾股定理求出相应线段,从而计算出 放 的面积,结合四边形/质的面积得到4加 的面积,从而求出点到/C的距离h,过点作DEHAC受纪延长线于点过 点C作应的对称点为F,连接EF,DF,B F,CF,过点尸作尸H L四 于 点G,结合对称的性质证明呼是

27、等边三角形,利用勾股定理求出跖的长,根据对称的性质判断出当且仅当B,D,厂三点共线时,即以取得最小值,即为跖即可.【详解】19第1 9页 共4 2页解：如图，连 接 阳 过 点 2 作M BC 于点、在中，/9 0 ,N/的 60,小 2,/力庆30。,J 娇 5 力左1,82_6”2=5 除 4,CIFB CB 4 3,；.足而_5=2 5：.AC-2AH,N 4觥 30,-B C A H =-x4xy/3=2y/3*S AB尸 2 2，S 四 边 形 ABCIT _，_，_ J3,四 边 形 A B C!厂S&AB 7 CD-B D DF B F,当且仅当氏尸三点共线时，筋或取得最小值，即

28、为明二6 小勿的最小值为2 成，故答案为：2 m.【点拨】本题考查了对称的性质,勾股定理,等边三角形的判定和性质，最值问题,直角三角形的性质，多边形的面积,知识点较多,难度较大,解题的关键是作出辅助线,得出当且仅当B,尸三点共线时，刚切取得最小值.1 4.2 7 2 P D AB=2,OB=OA=,OC=yloB2+BC2=V l2+22=y/5 AH 1.BF,：.ZAGB=90：AO=OB0G=-AB=222第 2 2 页 共 4 2 页CGOC-OG，“1 ,G,C共线时，C G的值最小，最小值=石-1(如图2中),Z.O B G =4 0G Bv A B H CDNOBG=4CFG Z

29、.OGB=Z.CGFZ C G F =4 C F G:.CF=CG =j5-i NABH=ABCF=NAGB=909NBAH+NABG=90，Z-ABG+Z.CBF=90，./BAH =NCBF AB =B C iM BH =B CF(AS A):.B H=CF=-1CH=B C-B H=2-(5-1)=3-V5故答案为：3一逐.【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考选择题中的压轴题.【分析】(1)由于四边形力及力为矩形，四边形的心为正方形，那么N/N左/盼9

30、0,盼 您 易 证而侬为得DG=AH-;过 尸 作FMVDC,交 C延长线于M,连 接G E,由于AB/CD,可 得 仁/欣 范 同 理 有NHEG Z FG E,利 用 等 式 性 质 有/加 阱 汉 再 结 合 N生/折90,晔FG,可证及密劭%;从23第2 3页 共4 2页而 有 进 而 可 求 式CG的面积S的最大值和最小值,从而确定S的取值范围.【详解】解：（1）如 图1,当 菱 形?G为正方形时，/E H G =90。，GH=EH、图1.四边形N88为矩形，.4 =/。=90:D H G +AAHE=AAHE+NAEH=90 tZDHG=ZAEH在A G O 和中，2。=乙4=90

31、。,ZDHG=/AEH.GH=EH*,/.GDH 三 AHAE(AAS)DG=AH=.故答案为：1；如 图2,过尸作F N O C,交O C延 长 线 于 连 接GE,图2 ABH CD i.NAEG=4MGE:HE/GFNHEG=NFGENAEH=/M G F在&4 a E和AMFG中,24第2 4页 共4 2页Z A =ZM =90 Z A E H =ZM GF.iE H =F GM H E =MFG(AAS)fF M =/M=1,即无论菱形E F GH如何变化，点 尸 到 直 线C D的 距 离 始 终 为 定 值1,S.f rr=x F M x G C=x 1 x CG -CG因此 2

32、 2S =Z设0 G =x，则 由 一 2在 AJ/E 中，A E A B =11H E2 50/.X2+1 650 x /3 47-xl-y/3 42.7-取 7S 的 最 小 值 为2,此 时O G =取，S,CG的最大值为5，此 时O G =0,厚 S 2二在点E的运动过程中，尸C G的面积S的取值范围为：2 2;上叵5i AH2+G H2=2疗,.:监十力少的最小值为2近，故答案为：2近.【点拨】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定及性质、中位线的性质、平行四边形的判定及性质以及勾股定理,此题较难,能够灵活运用各种图形的性质及判定是解决本题的关键.20.4.8.【分析】过 作CFL

33、AB 于点、F,利用勾股定理建立方程便可求得CF,当 如，4 8时,。的值最小，即DE的值最小,证此时DE=CF.【详解】解：四边形/腔是平行四边形，：.O A=O&DE=2Q D,.当如J_47时,。的值最小，即止的值最小，过，作6F L46于点F,则功4 9 0 ,/平行四边形ADCE中，AD/CE,即AB/CE,灰尸=90,.四边形 次是矩形，:.DE=CF,；4 7=/=5,B C=6,设 B F=x,则 JA=5-%29第2 9页 共4 2页,:BG-B2=CP=AG-A户,即 6 2-4=52-(5-JTM,解得,x=3.6,.,.跖=3.6,CF=lBC2-BF2=162-36=

34、4.8.原的最小值为4.8.故答案为4.8.【点拨】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理的逆定理、垂线段最短等知识;构造直角形求出）是解题的关键.1521.4.【分析】-J/W =18根据题意可知2,可知当AP取最小值时,DE有最大值;根据直角三角形斜边中线的性质可知AN=2 DE,故当DE取最大值时,AN有最大值;求出AP的最小值即可解决问题.当APBC时,AP取到最小值,利用三角形面积公式可求出AP的最小值.【详解】解:如图，图30第 3 0 页 共 4 2 页；A DP E 是筝形,以尸E DE =1 8筝形A DP E 的面积=2,A AP2DE=36I二当 A P

35、取最小值时,DE 有最大值，；P为 BC边上一个动点，当 A P 1 BC时,A P 取到最小值，-ABU4C2_ _ _ _ _ _ _1 八 八 4BCAC 6 x 8 2 4一 C -=-；.A P 的 最 小 值=2 =BC 1 0 5 ,=3 6二 5,1 5；.D E=2 ,1 5.D E 的最大值是彳，.R t Z X A D E 中，点 N为 D E 中点，.,.A N=2 D E,当 D E 取最大值时,A N 有最大值，1 5.A N 的最大值是Z.1 5故答案是：了.【点拨】本题考查直角三角形斜边中线的性质及直角三角形的面积公式，理 解“筝形”的定义是解题的关键,难点在于

36、分析出当A P 取最小值时,D E 有最大值.2 2.6 百【分析】连接A Ab得到直线1,先证明四边形A B E D 为平行四边形,得至i j B1C=A1D,由此可得A +B =A +A iD,作 D点关于的对称点D ,D D交 1 于 H点，连接C D ,得 D H=D H,则A j C+B j C 的最小值为C D ,由四边形A B C D 为菱形，Z B A D=1 2 0 ,B D 为对角线,在R t A D A l l 中，求出 D H 的长，再得到到a C D D，为等腰三角形，过 D 作 D M _ L C D 交 C D 于 M点，再求出C D ,即可求解.【详解】连接4,

37、得到直线;/瓦）沿B D运动得到口44,31第 3 1 页 共 4 2 页,1/BD ABJICD,A.B,=CD,.四边形ABC D为平行四边形，.,BXC=AD，,.,AC+BC=AC+AD，此时c、。为动点，4在/上 运动，两定一动为将军饮马问题，作。点关于的对称点D久DD交1于H点“连接CD,得DH=DH,y iil 4 c +BC=4 c +4。=CD 四边形力5 c o为菱形，40=120。，BD为对角线,Z.ADC=60，ZJ5=30，AD=AB=6，fH/BD,NDAH=NADB=30，DH=AD=x 6=3在我出Q4”中，ND4H=30。,40=6,2 2ZADH=60在C。

38、中，ZCDDr=ZADC+NADH=60+60=120CD=D =6,即C。为等腰三角形，过。作QM _L c。交c z r于朋点，C。为等腰三角形，OM VCD第3 2页 共4 2页32二 DM 平分 NCDD DM CM,ZDDM=-ZCDD=l x 1 2 0 =6 0 在此Z)。朋 中，2 2DM=DD=x6=3f32 2 CD=2x DM=2x3y/3=6y/3，.AIC+BIC=6 .故答案为：6 后.【点拨】这题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理,和最短路径问题,解题的关键是理清题意,灵活运用平行四边形的性质和判定,等腰三角形的性质和判定,解直角三角形

39、等知识求出最小值.此题较难.2 3.50+5【分析】连接/C,AM,求出N C,根据C M,H C +4W即可解决问题.【详解】解:如图，连接4 C,AM.:四边形 8 C O 是正方形,./。=9 0 ，4 0 =8 =5 ，AC=5y/2Q ),阳 关 广直线/时称，:.AM=AD=5CM AC+AM=5y/2+5f C M的最大值为50+5.故答案为：5&+5.【点拨】本题考查了正方形的性质,轴对称变换、线段和最值等知识,解题的关键是熟练学握基本知识,属于中考常考题型.2 42 4.533第3 3页 共4 2页【分析】当点N 关于A C 对称点N 与 P,M三点共线且与B C 垂直时，P

40、 N+P M 的最小值就是M N 的长,然后求M N 得长即可.【详解】解:如图：当点N关于A C 对称点N与 P,M三点共线且与B C 垂直时,P N+P M 的最小值就是M N 的长.菱形A B C D 的两条对角线长分别是6和 8,.*.B C=?+3r=5,V M N，B C 5菱 形 八 1 0 3 0 血 二 5 8 口 八（；.1 ,。x 6 x 8 x=2 _ _ _ _ _卫.M N=5 52 4即 P M+P N 的最小值是5 .2 4故答案为行.【点拨】本题考查了菱形的性质和运用轴对称确定最短路径问题,将P M+P N 的最小值转换为线段M N 的长度是解答本题的关键.2

41、 5.4 五【分析】作 P点关于线段A E 的对称点尸，根据轴对称将D Q +PQ转换成。尸，然后当O P 工 C的时候。尸,是最小的,得到D P 长,最后求出正方形边长D C.【详解】.A E 是N D 4 c 的角平分线，；.P 点关于线段A E 的对称点一定在线段A C 上,记为尸 由轴对称可以得到P 0 =P 0,.D Q+P Q =D Q+P Q =DP 如图，当D PA C的时候。P是 最 小 的,也 就 是+尸。取最小值4,34第 3 4 页 共 4 2 页：.DP =4,由正方形的性质P 是 AC的中点，且 OP=PC,在 R t DDCP 中，D C =yjDP 2+P C2

42、=V42+42=阮=4应故答案是：4&.【点拨】本题考查轴对称的最短路径问题,解题的关键是能够分析出D Q+PQ取最小值的状态,并将它转换成D P 去求解.26.3旧-3【分析】先判断出RgADM g Rt口 BCN(HL),得出NDAM=/C B N,进而判断出DDCE好口 BCE(SAS),得出/C D E =/C B E,即可判断出/A FD =90。，根据直角三角形斜边上的中线0F=-A D=3等于斜边的一半可得 2，利用勾股定理列式求出0C,然后根据三角形的三边关系可知当0、F、C三点共线时,CF的长度最小.【详解】如图，D M N CAB在正方形 ABCD 中，AD=BC=CD,/

43、A D C =/B C D,/D C E =/B C E在Rt匚 ADM和RtD BCN中，(AD=BCM=BNRCADM g R tD B C N(HL)./D A M =/C B N35第 3 5页 共 4 2 页在口DCE和BCE中，BC=CD.JJDCE.二 BCE(SAS)/C D E =/C B E/D A M =/C D E *NADF+NCDE=NADC=90/./D A M +NADF=90 i.NAFD=180-90=90取AD的中点0,连接OF、0C,OF=DO=-A D =3则 2,在 RtJODC 中，OC=VDO+DC7=3后根据三角形的三边关系，OF+C FO C

44、,.当0、F、C三点共线时,CF的长度最小，最小值=-O F=3石-3,故答案为3后-3.【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,三角形的三边关系等,综合性较强,有一定的难度,确定出CF最小时点F的位置是解题关键.27.3亚【详解】解析：.在正方形ABCD中,AC=6及，.,.AB=AD=BC=DC=6,ZEAD=45设EF与AD交点为0,0是AD的中点，.,.A0=3以AD为对角线的所有口AEDF中，当EFAC时,EF最小，即AAOE是直角三角形，72 3&,/ZAE0=90o,NEAD=45,0E=2 0A=2,EF=20E=3

45、拒36第3 6页 共4 2页【分析】9分另l j 根据图 1 和图 2 得出 MN2=AB 2+B N2=(a+3.9)2+2.5 2,M N 2+B N/2=3.92+(2.5+7 )2,求出a值,连接B P,B l),求出B D 和 B P,分析出当B、P、D 三点共线时,D P最短,利用D P=B D-B P得至U D P的值即可.【详解】解：由图 2 可知:AB=AM +B M =a+3.9,V B N=2.5,二在图 1 中，MN2=AB2+B N2=(a+3.9)2+2.52,V a:b=7:9,9b =a：.7,9在图 2 中，M N 2=B M 2+B N 2=3.9 2+(2

46、.5+7 )2,：MN2=M，N 2,9(a+3.9)2+2.5 2=3.9 2+(2.5+7 ”，解得:a=2.1 或 a=0(舍)，；.AB=a+3.9=2.1+3.9=6,二在图 1 中，MN=+二 9)2+2.5,=府+2.5 2 =6.5连接B P,B D,如图,V Z B AD=9 0 ,AD=AB=6,.B D=JAB2+A D2=V 62+62=6 /2 ,V ZMZ B N =9 0 ,P 是 M N,的中点,j_ J _ 2 13.,.B P-2MZ NZ-2 MN=2 X6.5-4 ,V D P B D-B P,37第 3 7 页 共 4 2 页2022年八年级数学下 特

47、殊平行四边形最值问题训练(培优)专项练习题13，当B、P、D三点共线时，DP最短，此时DP=BD-BP=6&-4,13.在滑动的过程中，点D到木棍中点P的最短距离为6及 一4.13故答案为：6夜 一 彳.【点拨】本题考查了正方形中的最短距离问题,勾股定理,属于动态型的问题,解题的关键是根据所学知识结合实际情境判断出当B、P、D三点共线时,DP最短.29.(1)见解析(2)4(3)4【分析】由“9 S”可证力药*/0或 可 得4金西；(2)要使四边形/尸。的周长最小，由于/与偌都是定值,只需4代园的值最小即可.为此,先在6 c边上确定点P、。的位置,可在力上截取线段4片 牍2,作尸点关于比的对称

48、点G,连接EG 与8。交于一点即为。点，过/点作四的平行线交加于一点,即为P点、,则此时A件EEG 最小,然后过G点作6C的平行线交ZT的延长线于点，那么先证明/必作45,再由 比1即可求出外的长度；(3)要使四边形气阳/的周长最小，由于倒是定值，只需冏 蛆4QV的值最小即可，作点。关于4。的对称点F,作点。关于切的对称点连接用交/于M,交CD干 N,连接P M,QV此时四边形做W的周长最小，由面积和差关系可求解.(1)解:证明：四 边 形 曲 是 矩 形，庐4,除 仍8,.点是打?的中点，点。是优的中点，龄C04,CE=2,：.AB=CQ,：於2,：.B P=2,：.B P CE,又O N比

49、/0 90,:.AB 2X Q CEIS AS,：.AF Q E(2)如图,在4 上截取线段4六 阶2,作尸点关于火的对称点G,连接EG 与 比 交 于一 点即为。点，过/点作闻的平行线交笈于一点，即为P点,过G点作，笫的平行线交加的延长线于38第3 8页 共4 2页2022年八年级数学下 特殊平行四边形最值问题训练(培优)专项练习题图 ,喝 止6,以2+4=6,N 沪90,/作45,N的45,设 B六x,贝ij CB CB P P 8 8-2二6-x,在侬 中，/0 8 9 0，/445,CQ-EC、:.6一 尸2,解得产4,二 小4;(3)如图，作点关于4。的对称点F,作 点。关 于 切

50、的 对 称 点 连 接 网 交4。于M,交CD千A；连接P M,Q N,此时四边形户出财的周长最小,连接交于T,:.P 4F4 BO6y cm,:D5E&:,SGDEQ SD CQ X 5 X6X6 柩=9&*(3)由平移可知：於a C,BC/B C,.四边形4 9(力是平行四边形，：.AD=BC,AD/BC,：.AD-B C,AD/B C,.四边形4V B 是平行四边形，：.C 户 B D,作点关于1 6的对称点，则 B D-B，即 F B 户B ff+B F,当夕，共线时，6*f B,尸最短，即 为 加，4跖是等边三角形，.4=60 ,.R 3,麻 心-q=3百=G,过尸作的能垂足为同理可