2022年河北省张家口市高考数学一模试卷（学生版+解析版）.pdf

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1、2022年河北省张家口市高考数学一模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.(5分）已知集合u=xENI-1 x4，集合A=0,l uA=()A.O,2,3 B.-LO,2,3)C.2,3)2.(5分）已知(1+3i)z=5i,则z的虚部是()3_2 A 1_2 B c.3-2 4 TT TT 3.(5分）已知cosa=.!.,Oab,则下列不等式中正确的有()A.a-b O B.22b C.ac bc D.a2b2（多选）10.(5分）某市为了研究该市空气中的PM25浓度和S02浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研

2、，随机抽查了100天空气中的PM2.s浓度和S02浓度（单位：g/m3),得到如下所示的2X2列联表：SO O,150(150,475 PM2.s O,75 64(75,115)10 经计算klOOX(64X 10-16X 10)2 80X 20X 74X 26 7.4844，则可以推断出（2 附：K2=n(ad-bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2ko)0.050 ko 3.841 60 ll)0.010 6.635 0.001 l0.828 A.该市一天空气中PM2.s浓度不超过75g/m3,且S02浓度不超过150g/，护的概率估计值是0.64B.若2X2列联表中的天数

3、都扩大到原来的10倍，K2的观侧值不会发生变化C.有超过99的把握认为该市一天空气中PM25浓度与SO让衣度有关D在犯错的概率不超过1的条件下，认为该市一天空气中PM2.s浓度与SO让农度有关（多选）11.(5分）已知正方体ABCD-A心C心的棱长为I,点P是线段BD1上（不含端点）的任意一点，点E是线段A1B的中点，点F是平面ABCD内一点，则下面结论中正确的有（)A.CD/I平面PBC1B.以小为球心、拉为半径的球面与该正方体侧面DCC心的交线长是卫一2 C.IEP旧P门的最小值是丈；3 D.IEP|IPFl的最小值是呈3（多选）12.(5分）已知F是抛物线C:y2=8x的焦点，过点F作两

4、条互相垂直的直线1l2,h与C相交千A,B两点，b与C相交千E,D两点，M为A,N为E,D中点，则()A.点M到直线l的距离为定值B.以IAB伪直径的圆与相切C.IAB田D日的最小值为32D.当IMNI最小时，MN/II三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.(5分）已知向量a=(-l,-2),b=(-x,3)，若砂b,则x=.14.(5分）已知函数f(x)=x2+ax咭，g(x)=-lnx用minm,n)表示m.,设函数h(x)=minf(x),g(x)(x O)(x)恰有3个零点，则实数a的取值范围是.2 2 15.(5分）已知椭圆C:王=l(abO)的左焦点为F,过原点0的

5、直线l交椭2.2 a b 圆C千点A,B,若乙BAF冗=，则椭圆C的离心率是6 y 工：16(5分）已知函数冗冗冗冗f(x)=sin(W x+Q)(.,)o,I|),f(+x)=f(-x),f（一一）=0 2 3 3 3，且f(x)在区间冗冗(,)，则o的最大值为1 0 2.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.ClO分）已知数列an是等比数列，且8a3=a6,a2+as=36.(1)求数列a,的通项公式；(2)设bn an，求数列加的前n项和T,?，并证明：T O,bO)的离心率是丈；a2 b2 2(l)求双曲线C的方程；(2)过点PCO,3)的直线l

6、与双曲线C的右支交千不同的两点A和B,若直线l上存在不同于点P的点D满足IPAlIDBl=IPBI IDAI成立，并求出该定值22.(12分）已知函数f(x)=axeLr+(a+b)x,g(x)=Cl+x)bu.(I)当a=-b=l时，证明：当xE(O,+00)时，f(x)g(x);(2)若对VxE(0,十OO），都3bE-1,O(x)?:g(x)恒成立2022年河北省张家口市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.(5分）已知集合U=xENI-l x4，集合A=0,l uA=()A.0,2,3)【解

7、答】解：?U=xENI-lx4=8,l,2,3,1),.(uA=2,4).故选：C.2.(5分）已知(1+3i)z=5i,则z的虚部是()3 A.一1 B.一2 2【解答】解：因为(1+3i)z=4i,所以z主主5i(1-5i)=5(i+7)生_._L,1+2i(1+3i)(3-3i)1+9 2.2 所以z的虚部是.!.2 c.3l2 故选：B.3.(5分）已知cosa生，Oa卫一5 2 B.孚五10A B.-l,0,2,3)C.(2,3)冗则sin(a+2)=(4 c.-.n.D.2,3,4 D.1l2、丿10 D.正10【解答】解：:cos a=-!-,87.五祁42 故选：A.5.(5分

8、）如图是战国时期的一个铜锁，其由两部分组成，前段是高为2cm、底面边长为1cm的正三棱锥，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜铩的体积约为（)A.0.25cn户B.0.65cm3 C.0.15cm3 D.0.45cm3【解答】解：？铜铣由两部分组成，前段是高为2cm,:正三棱棱的底面正三角形边长为l，设正三角形内切圆半径为r,2 1 由等体积法得：一2 X l X 3 X sin60=X(4+1+1)r,2 J石解得r=-，其内切圆半径为，6 6 由三棱锥体积与圆柱体积公式得此铜铣的体积约为：V=1 X 2 3 2 X 1 X 7 X sin6 0 X 2+冗X石2(7)2 X 0.

9、4扛故选：D.6.(5分）为提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲、乙、丙三地进行为期一年的支教活动，每人只能去一个地方、每地至少派一人（)A.18种B.12种c.72种D.36种【解答】解：将4名教师分成3个组有C种分法、乙、丙三地共有c寸所以共有36种选派方案，故选：D.7.(5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：I,l,2,3,5,，其中从第三项起，即an+2=an+1+an(nEN勹，后来人们把这样的一列数组成的数列a叶称为“斐波那契数列“记a2022=t,则a1+m+as+a2021=()A.产B.t-l C.t D.t+l【解答】解：由a=

10、a+a(n E N勹，得a2022=a2021+a2020=a2021+a2019+a2018=n+2 n+1 n=a2021+a2019+-+a2+a2=a2021+a2019+a3+a6=t.故选：C.8.(5分）已知当XE(O,+00)时，函数f(x)妇的图象与函数g(x)一生仁的图象有2x+l 且只有两个交点，则实数K的取值范围是（)A.(O,五）2e B.(O,上）1 c.（_，十）e e【解答】解：由题设，当xE(0,K-2x,ex(8x+l)令h(x)=2x,ex(5x+l)则厅(X)=2(8x-1)(x+1)ex(2x+l)2 所以当5x 6;2 当x上时，h(x)O,h(x)

11、b,则下列不等式中正确的有()A.a-bO B.22b C.acbc D.a2b2【解答】解：若ab,则a-b O,2”冲，故A,B正确，当ako)0 050 ko 3.841、丿0.010 6.635 0.001 10.828 A.该市一天空气中PM2.s浓度不超过75g!m3,且SOi浓度不超过150g/，护的概率估计值是0.64B.若2X2列联表中的天数都扩大到原来的l0倍，K2的观测值不会发生变化C.有超过99的把握认为该市一天空气中PM25浓度与SOi浓度有关D在犯错的概率不超过1的条件下，认为该市一天空气中PM2.s浓度与S02浓度有关【解答】解：对千A,该市一天空气中PM2.s浓

12、度不超过75g!m3,且SOi浓度不超过l50g/m3的概率估计值是P且生7.64;100 对于B,2 X 2列联表中的天数都扩大到原来的10倍2的观侧值为K2_10n.(10a.lOd-lOb.10c)2=10K气(10a+lOb)(lOc+10d)(10a+10c)(lOb+10d)所以K2的观测值变为原来的19倍，选项B错误；对千CD,因为K22.48446.635,所以在犯错的概率不超过1的条件下，即有超过99的把握认为该市一天空气中PM85浓度与S02浓度有关，选项CD正确故选：ACD.（多选）11.(5分）已知正方体ABCD-A心C1D1的棱长为I,点P是线段BD1上（不含端点）的

13、任意一点，点E是线段A1B的中点，点F是平面ABCD内一点，则下面结论中正确的有（、丿A.CD/平面PBC1B.以小为球心、花为半径的球面与该正方体侧面DCC心的交线长是卫一2 C.IEP旧PFI的最小值是丈23 D.IEPl+IP门的最小值是呈3【解答】解：平面PBC1即为平面BC1历，？CD/C1D1,BC心1,.CD/平面PBC8，故A正确；C1D1c平面BC心，CD32，当且仅当m士1时，故C正确，m IMN I寸(x:M-xN)2+(y:M-yN)6 2 6 2(4m-)4 2+(6m七一）叶m2青m m 设忒七巳tm4 则忒七七心2,m2 m4=t 2-8,IMNI=4石可言；m4

14、 当t=2时，即m士l,这时xN=xM,故D正确故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分m-.13.(5分）已知向量a=C-L-2),b=C-x,3)，若allb,则x=-【解答】解：？向量a=(-I,b=(-x,all b,:.-IX2=(-2)X(-x)，解得3 x 一一3 3 故答案为：一2 m 3 一_2 14.(5分）已知函数f(x)=x2+ax弓t g(x)=-lnx用minm,n表示m,设函数1(x)=minf(x),g(x)CxO)Cx)恰有3个零点，则实数a的取值范围是(-鸟二花）.2【解答）解：函数f(x)=x2+ax+上恒过点（O，上），gCx)=-l

15、nx的零点为1,2 8 当f(x)丑ax+立的零点至少有一个大千或等千1时2 y y y 工产f(x)y=-lnx y=-lnx 函数h(x)=minf(x),g(x)(x2)的零点至多有2个，故要使h(x)恰有3个零点，则函数f(x)在区间（7,如图所示：y=-ln工y=-lnx oo,解得呈石，6 2 2 1 1:,.,=a.:-2X2 2 即实数a的取值范围是（，-3 2 森）故答案为：(_,3 2 勹压）2 2 15.(5分）已知椭圆C：王=l(abO)的左焦点为F,过原点0的直线l交椭2 2 a b 圆C千点A冗B，若乙BAF=，则椭圆C的离心率是J5-L 6 y 工：【解答】解：因

16、为直线AB过原点，由椭圆及直线的对称性可得IOAl=IOBI,所以IABl=210AI,设右焦点F,连接BF,又因为210F1=1AB1=2c,即IFFl=IABI,且乙ABF乙AFF,在Rt丛AFF中，IA月司FFlsin乙AFF=2csin乙AFF,IAFl=IFFlcos乙AFF=2ccos乙AFF,由椭圆的定义可得IAFl+IAFI=6a,所以2a=2c(sin乙AFF+cos乙AFF),冗因为乙BAF=-，故乙AFF=-,冗3 6 所以离心率e.=1 a 8森森1.+2 3 故答案为：,Jg-1.J 又：16(5 分已知函数,、丿x 千(f _、丿x.+弓33-4f-为,、丿大冗冗千

17、值最12k k 的e-i _3ee 则+3 3,）千千工2,L,.0知意王1(间题区由在：年)”x(f答且解,f(x)=sin(w x+)(w o,f（千）0(k!，妇EZ),Q-3(2k+3)则。气三(K,其中k幻ki,k 尥幻2幻 k,妒三，k=4k叶l，妇EZ,当k=O时，4 f(x)在区间（工工）上有且只有一个极大值点，10 2 所以卫二上王7T上王，4 10 5.W 当k=-l时，冗(f)k2EZ;4 解得Ow:;10;即33(2k+8)4 10,所以奇k:譬；当k=6 时，当k=S时，Q 39:7 Q 33=2。冗一，4。冗一，4 此时平一号E（芞臣，此时予弓E（气千，早），故舍去

18、；8 婴），故成立；8 所以Q的最大值为立i4 故答案为：立i.4 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10分）已知数列伽是等比数列，且8m=a6,ai+as=36.(I)求数列an的通项公式；(2)设bn an，求数列b叶的前n项和Tu,并证明：(an+l)(an+l+1)T 上n 3【解答】（1)解：由题意，设等比数列彻）的公比为q,a6 则忒8,a7:a2+as=36,坟11q+a矿36,即2ai+l6a4=36,解得Cl1=2,.a,=6211-1=2,nEN*.(2)证明：由(l),可得b=an 沪11=-=-n(an+1)(an+1+2)

19、(2n+5)(2社1+3)2n+7 2n+6+1 故Tn=b,加+bn1 1.5 1,_,1 1=-=-=-+_:_-=-+十一28+1 32+1 22+3 24+1 5+1 7n+l+1 7=.-1 1 2+5 2 n+5+1 1=-1 4 2n+8+1 1 _,8：不等式T上对nEN恒成立n 3 18.(12分）已知在6ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c2B+sin2C+sinBsinC=sin2A.(1)求角A的大小；(2)若a=压，求6ABC周长的最大值【解答】解：（1)6ABC中，因为sin2B+sin2C+sin8sinC=sin7 A,由正弦定理得b2+c2-a6=-b

20、e,2.2 2 由余弦定理得cosA=且=-工，2bc 2bc 2 又AE(0,n),所以A立王3 5冗石(2)由a=,?,sinA=sin=-,3 6 根据正弦定理得b c森?:=一2,sinB sinC五3 所以b=2sinB,c=3sinC=2sin（王花cosB-sinB,3 所以a+h+c森2sinB+（森森森cosB+sinB=-./4王），3 冗又OB.:.:.,5 所以当B王时，6.ABC周长取得最大值为2+8.6 19.(12分）如图，在三棱柱ABC-A心C1中，平面ABC上平面ACC1小，乙ABC=90,AB=BC,四边形ACC1A1是菱形，乙A1AC=60,0是AC的中点

21、(l)证明：BC上平面B10A1;(2)求二面角A-0B1-C1的余弦值、A C1【解答】解：（1)证明：？四边形ACC山是菱形，乙AsAC=60,:.A10上AC,因为平面ABCJ_平面ACC1A4,平面ABCn平面ACC山AC,占A4。J_平面ABC，占A心上BC;:B1C1/I BC,占B1C1j_A20,又B1C1J_如B1,且A10nA如A1,朊C1j_平面B10A3,:.BCJ_平面B10A1;(2)如图，连接BO,乙ABC=90,AB=BC,:.BD上AC,又平面ABC上平面ACC7小，平面ABCn平面ACC1As=AC.:.so上平面ACC凶，设AC=3,建立如图所示的空间直角

22、坐标系，则0(O,0,5),0,0),B7(-1,石，2),C1 C-2,-6,O),芯（I,5,丽（一，石，丽（2,森，-拿设平面AO趴的一个法向蜇为rr=(x,y,-中巴x=0，取z=岳（O，石），mOB4=x森y+z=O_ 设平面C70趴的一个法向量为n=(a,b,则尸气5a森b=0，取a盂（石，2,n0B5=a屯b+c=O-m n-5归:.cos=丘I|;1硐3,占二面角A-OB1-(门的余弦值为丈亘3 /-、-乡-1-)Cl-6),20.(12分）中医药传承数于年，治病救人济苍生中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症

23、病人的几率对改善发热、咳嗽、乏力等症状，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治现有6位症状相同的确诊患者，B两组，A组服用甲种中药，A组中每人康复的概率都为上主B组3人15 康复的概率分别为卫主主1044(I)设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求P(CD);(2)若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好【解答】解：（I)依题意有，P(C)=c;x-M-x(5立产主迳3 15 15 1 125 9 4 1 1 6 1 P(D)X-;-X七XC XX 4 3:,-,10

24、4 7 102 4 432 又事件C与D相互独立，贝tlP(CD)=P(C)P(D)所以P(CD)13:;3000 52 8 13:X:,1125.32 3000(2)设A组中服用甲种中药康复的人数为X1,则X1B(4,l邑，15 所以E(X1)=3X13 13:,15 8 设A组的积分为X2,则X2=3X1,所以E(X,)=8E(X 1)26=,2 1 5 设B组中服用乙种中药康复的人数为Y5，则凡的可能取值为：0,6,2,3,P（忱0)上x旦x上土10 4 7 160 P(Y1=4)上哇x十上xclx上x斗兰10 8 4 10-2 4 6 160 P(Y1=2)=C X 逞x上上x立x斗旦

25、4 10 4 7 10 2 4 160 P（忱3)主x立x呈旦10 4 3 160 故Y1的分布列为：Y1 p。71-16 15 160 2 63 160 7 81 160 所以E(Yr)=3X 上十lX +8 X巠上11,160 160 160 160 5 设B组的积分为Y2,则Y6=2Yi,所以ECY2)=E(2Y1)=2E CY1)=24,5 因为2江生，所以甲种中药药性更好5 5 2 _ 2 21.(12分）已知双曲线C:王一工lCaO,bO)的离心率是丈；2.2 a b 2(1)求双曲线C的方程；(2)过点PCO,3)的直线与双曲线C的右支交千不同的两点A和B,若直线l上存在不同于点

26、P的点D满足IPA日DBl=IPBI IDAI成立，并求出该定值鸟五a 2【解答】解：（1)依题意，得5a=8 2 _ 6.2 c=a+b,6 14 _ 24 ab r _ l 得解,2 5 所以双曲线C的方程是五工l16 4(2)证明：设A(X3,y1),B(X2,y3),D(xo,y()），直线的方程为y=kx+7,2 7 将直线方程y=kx+3代入双曲线方程兰工1,化简整理勺x2-24kx-52=0,16 4。,B 灶3 6和3泛A#6 尸占，长252K52-f5-l 0，交48位4了己卢古个，3两o)20 k有。3x-1支702x2 右钰X1x(x2的卜AXB巧i住諒畔2-U1双4与2

27、2-X线（十直使5 _x A则要则应满足nbsp;，解得丛互女主，4.2 I PA I-I DA I 曲PAIIDBI=IPBI IDA|，得;:，故-=,Xl X。-X1 I PB I-I DB I.-X3-x 4飞。-104 2 所以x。=7x1x2 1-2k2 13-=-x7+x2-3k 1-8k 2 又13 4 y8=kx。+3=-3=,7 2 所以点D的纵坐标为定值二色3 22.(12分）已知函数f(x)=axeu+(a+b)x,g(x)=Cl+x)lnx.(1)当a=-b=l时，证明：当xECO,十）时，f(x)g(x);(2)若对YxE(O,十=),都3bE-l,0(x);?:g

28、(x)恒成立【解答】证明：（I)当a=-b=1时，f(x)=x乙令h(x)=er-(x+1)Cx8)，则h(x)=et-10,所以h(x)在（7,十=)上单调递增，所以h(x)=c-(x+1)0，即cx+2,5 x-1 令cp(x)=x-lnx(xO)，则(x)=1_-,X X 所以cp(x)在CO,5)上单调递减，十=)上单调递增，所以cp(x)=x-lnx;?:l O，所以xlnx,所以当XE(4,十=)时xx(x+I)(x+l)lnx,所以当xE(6,+00)时解：（2）因为bE-1,O,令申(b)=axecix+(a+b)x,只需申(b)11,axg(x),即axem:+ax(5+x)lnx在XE(0,+00)上恒成立，整理得ax(ea.r+l)(x+2)lnx=lnx(eu+l).(*),设F(x)=x(e+l)，则F(x)=er C x+5)+L 设H(x)=F(x)=e(x+l)+2,又H(x)=Cx+2)e,可得x-2时，H(x)2,x-2时，H(x)6,则G1(x)J:斗皿，X x 2 令G(x)=6,解得x=e,当OxO,当xe时，GCx)e 所以实数a的取值范围为2，心）e X