湘教版九年级上册数学教案.pdf

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1、第1章 反 比 例 函 数1.1 建立反比例函数的模型（1）教学目标1.使学生理解并掌握反比例函数的概念。2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数，能根据已知条件确定反比例函数表达式。3 .能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想。教学重难点重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式。难点：理解反比例函数的概念。教学过程一、预习导学通过自主预习教材P 2-3完成下列问题1 .当路程一定时，速度与时间成什么关系？当一个长方形面积一定时，长与宽成什么关系？2.如果两个变量y与x的 关 系 可 表 示 成 （k为常数，k 0）的形式,那么称 是的反比例函数，自变

2、量x不能为，常数 称为反比例函数的比例系数。3 .若xy=2,则可写成y=,此 时y是x的。问 题1中的情境是学生熟悉的例子，当中的关系式学生都列得出来，鼓励学生积极思考、讨论、合作、交流，最终让学生讨论出：当两个量的积是一个定值时,这两个量成反比例关系，如xy=k（k为一个定值），则x与y成反比例。二、探究展示（一）合作探究1.如何解教材第2页“动脑筋”中的问题？以小组为单位，由组长带领组员讨论，得出结论：1当路程一定时，选手的平均速度与所用时间之间的关系式为丫=迎 也，当路程S 一定时，每当t 取一个值时，V 都有唯一的一个值与它对应，因此V 是 t的函数，由于当S 一定时，V 与 t 成

3、反比例关系，因此把这样的函数称为反比例函数。设计意图：先引导学生审题，列出函数关系式，并与我们以前学过的一次函数、正比例函数的关系式进行类比，找出不同点，使学生对知识认知有系统性、完整性。2.你能归纳反比例函数的概念吗？先由学生根据问题1 的结论讨论，然后总结:1/一般地，如果两个变量y 与x 的关系可表示成y=-（k 为常数，kW O）的函X数称y 是 x 的反比例函数，其中x 是自变量，y 是 x 的函数，k 是比例系数。反比例函数的自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数k反比例函数y=-的变式：xy=k,y=kxHX注意：（1）在反比例函数的表达式y=5（k 为常数,k N。）中 x

4、的次数是-L常数k 可正可负，反比例函数的实质是一类分式函数。k（2）在反比例函数的表达式y=-（k 为常数,kW O）中，变量x 与 y的位置X是对称的，即X 也可看作y的函数。（二）展示提升1.如图，已知菱形A B C D 的面积为1 8 0,设它的两条对角线A C,B D 的长分别为x,y。写出变量y 与 x学生先尝试着解答，然后再交流，从中得出什么结论与大家分享。2.下列函数是不是反比例函数？若是，请写出它的比例系数。(1)y=3 x-1y32(3)y15 x(4)y=1 x可点名展示，也可分组展示，培养学生分析问题和解决问题的能力；同时增强学生团结协作的精神。老师在此环节准确引导，及

5、时点拨和追问，总结出解决问题的方法和规律。设计意图：通过实例进一步加深对反比例函数的认识。三、知识梳理本节课我们学到了什么？启发学生谈谈本节课的收获。1.一般地，如果两个变量y与x的关系可表示成y=K (k为常数，k W O)的X函数称y是x的反比例函数，其 中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数。反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数2.反比例函数的变式有x y=k,y=k x，运用反比例函数的概念及变式正确判断一个给定的函数是否为反比例函数四、当堂检测1.写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数。如果是，指出比例系数k的值。(1)底边为5 c m的三角

6、形的面积y (c m2)随底边上的高x (c m)的变化而变化；(2)某村有耕地面积200h a,人均占有耕地面积y (h a)随人口数量x (人)的变化而变化；(3)一个物体重120N,物体对地面的压强p (N/m2)随该物体与地面的接触面 积S (n?)的变化而变化。2.下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？如果是，比例系数是多少？2 2(1)丫=鼻 x；(2)y=；(3)x y +2=O；o o x2(4)x y=0；(5)x=o3 y3.已知函数丫=(m+1)是反比例函数，则m的值为 o五、教学反思31.2反比例函数的图像与性质（2）教学目标1.体会并了解反比例函数的图象的意义2.能描

7、点画出反比例函数的图象3.结合图象分析并掌握当k 0 时反比例函数的性质教学重难点重点：反比例函数的图像及当k 0 时反比例函数的性质难点：绘制反比例函数的图像教学过程一、预习导学自主预习教材P 5-7,并思考下列问题：1.画 反 比 例 函 数 图 像 的 步 骤 是、o2.反比例函数y=&（k 为常数，kWO）的图象是,当K 0时，双曲线X的两支分别位于第一、象限，它们与轴、一轴都不相交，在每个象限内，y 随x 的增大而 o3.函数y=2的图象在第 象限，在每一象限内，y 随 x 的 增 大 而。X二、探究展示（一）合作探究如何画反比例函数y=g 的图象？X由组长带领本组组员共同探讨完成。

8、4由于反比例函数y=9的图象是曲线型的，且分成两支.对此，学生第一次接触X有一定的难度，因此需要分几个层次来探求：（1）可以先估计 例如：位 置（图象所在象限、图象与坐标轴的交点等）、趋势（上升、下降等）；（2）方法与步骤利用描点作图；列表：取自变量x的哪些值？一一x是不为零的任何实数，所以不能取x的值的为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值。描点：依据什么（数据、方法）找点？在平面直角坐标系内，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标,描出相应的点。X-6-5-4-3-2-1.5-111.5234566y=-X-1-1.2-1.5-2-3-4-664321.51.21连线：

9、怎样连线？一一可在各个象限内按照自变量从小到大的顺序用两条光滑的曲线把所描的点连接起来。5观察上图，图像位于哪些象限？图像与坐标轴相交吗？在每一象限内，函数值y随自变量x的变化如何变化？（点名回答）设计意图：学习正确的作图过程，在填表过程中感受y随x的变化规律，为基于图象探究函数性质打下基础。（二）展示提升31.完 成P6做一做，画出反比例函数y=的图像x设计意图：提高学生利用描点法画反比例函数的基本技能，加深学生对反比例函数图象的认识，为下一步归纳反比例函数的性质做准备。62.观察画出的y =9,y =3的图像，思考下列问题：X X（1）每个函数的图像分别位于哪些象限？（2）在每一象限内，函

10、数值y随自变量x的变化如何变化？先由小组讨论交流，教师准确引导，及时点拨和追问，总结出规律:一般的，当K0时，反比例函数y=&的图像由分别在第一、第三象限内的两支X曲线组成，它们与X轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量X的增大而减小。设计意图：让学生独立思考、讨论交流，经历从特殊到一般的归纳过程，积累基本活动经验。三、知识梳理启发学生谈谈本节课的收获。1.用描点法作反比例函数图象的步骤：列表、描点、连线。2.图像性质：反比例函数y=&（k为常数，k W O）的图象是双曲线，当K0时,X双曲线的两支分别位于第一、三象限，它们与X轴、y轴都不相交，在每个象限内，y随x的增大而减小。四、

11、当堂检测41 .画出反比例函数,=一的图像X2 .如右图，这是下列四个函数中哪一个函数的图象（）4 3A y=5 x By=2 x +3 C y=D y =xx3 .函数y =二的图象在第 象限，在每一象限内，y随x的增大而X74.在反比例函数y=9 图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，则kXk 4 的取值范围是 o 若关于x,y 的函数=士 图象位于第一、三象限，则Xk 的取值范围是 o五、教学反思1.2 反比例函数的图象与性质（3）教学目标1.能画出反比例函数y=K（k 为常数，kV0）的图象。X2.根据反比例函数y=K（k 为常数，kVO）的图象探索并理解其性质。X3.在自主探

12、究反比例函数的性质的过程中，让学生初步感知反比例函数的图象的对称性。教学重难点重点：反比例函数y=K（k 为常数，kVO）的图象的画法及其性质。X难点：由反比例函数y=K（k 为常数，kVO）的图象探究出其性质。X教学过程一、预习导学自主预习教材P7-9完成下列各题：8k1.反比例函数y=-（k为常数，k W O）的图象是由两支曲线围成的，这两支曲线X称为。2.当K 0 时，反比例函数y=K的图象与 的图象关-X -于 X 轴对称。k3.当K 0 时，反比例函数y=-的图象由分别在第_ _ _ _ _ _象限内的两支曲线X组成，它们与X 周、y 轴都，在每个象限内，函数值y 随自变量X的增大而

13、。二、探究展示（一）合作探究探究1：如何画反比例函数y =-9的图象？y =-9的图象与y =9的图象有什么XXX关系？由组长带领组员共同探讨画反比例函数y =的图象的方法。引导学生采用多X种方式进行自主探索活动：1 .可以通过探索函数y =-9与y =9之间的关系，画出y =-色的图象。X X X2 .可以用画反比例函数y =9的图象的方式与步骤进行自主探索其图象。9引导学生总结归纳：1.当K 0时，反比例函数y=K的图象与旷=-七的图象关于x轴对称，XX2.当K 0时，反比例函数y=K的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组X成，它们与X轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量X的

14、增大而增大。3.可用描点法画反比例函数y=K （K 0和k V O时图象性质的区别。设计意图：使学生经历由特殊到一般的过程，培养学生的抽象概括能力、渗透反比例函数y=(Z w 0)Xk的符号k 0k 曲y线）e04、yX取值范围x的取值范围x#0y的取值范围y W Ox的取值范围x W 0y的取值范围y W 0位置第一，三象限内第二，四象限内增减性每一象限内，y随x的增大而减小每一象限内，y随x的增大而增大渐近性反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远达不到x,y轴，画图象时,要体现出这个特点。对称性反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形。反比例函数的图象也是轴对称图形。分类讨论思想和类

15、比思想。（二）展示提升1.画出反比例函数 =-2的图象X2.反比例函数y =的图象在第一、象限，在每个象限内，函数值y随2x自变量X的增大而,图象关于 成中心对称，关于 成轴对称。3.若反比例函数丁=丝 口的图象 在 第 二、四象限，求m的取值范围。X11设计意图:通过练习及时去巩固学生对反比例函数图象的画法及其性质的理解及是否能够正确的运用其性质解决简单问题。三、知识梳理本节课有什么收获？1.用描点法画反比例函数y=K (K 0 时，图象在第一、三象限，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而减小；当K 0 时，X图象关于直线y=-x成轴对称，当k 0还 是K V O?说明理由(2)如果

16、点A (-3,y,),B (-2,y2)是该函数图象上的两点，试比较y,y?的大小。设计意图：读图能力训练，加深学生对反比例函数图象性质的理解。2.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P(-3,4),试求出它们让你的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象。提示：先设两个函数的表达式，且两个函数表示式中的比例系数应用I、k?区分。学生分组讨论交流，交流后小组代表展示，教师进行补充。设计意图：揭示知识间的内在联系，有助于构建较完整的知识网络。三、知识梳理启发学生谈谈本节课的收获。1.用待定系数法求反比例函数的解析式.142.用待定系数法求反比例函数的解析式步骤:(1)设出反比例函数

17、的解析式y=(k W O)X(2)把已知条件(一组自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于k的一元一次方程(3)解这个方程，求出待定系数k(4)将 k的值代入得出反比例函数的解析式。四、当堂检测1 .已知反比例函数的图像经过点(。，人)，则它的图像一定也经过()A、(a,b)B、(a,b)C、(-a,b)D、(0,0)2 .已知反比例函数y=K 的图象经过点M(-2,2)x(1)求这个函数的表达式(2)判断点A (-4,1),B (1,4)是否在这个函数图象上(3)这个函数的图象位于哪些象限？函数值y 随自变量x的增大而如何变化？3 .如图，一次函数丫=1 +1 3 的图象与反比例函数y =

18、的图象交于A(2,l)、XB (1,n)两 点(1)求反比例函数和一次函数的解析式(2)根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围五、教学反思151.3 反比例函数的应用(5)教学目标1 .经历通过实验获得数据，然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程，体会建模思想。2 .体验数形结合的思想。教学重难点重点：建立反比例函数的模型，进而解决实际问题。难点：经历探索的过程，培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力。教学过程一、情景导入，初步认知复习回顾1 .什么是反比例函数？2 .反比例函数的图象是什么？3 .反比例函数图象有哪些性质？4 .反比例函数的图象对称性如何？【教学说明】通

19、过提出问题，引发学生思考,培养学生解决问题的能力。二、思考探究，获取新知1.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地,他们沿着前进路线铺垫了若干块木板,构筑成一条临时通道,从而顺利完成了任务。你能解释他们这样做的道理吗？F _(1)根据压力F(N)、压强p(P a)与受力面积S(m 2)之间的关系式p=1，请你判断:当F 一定时，p 是 S的反比例函数吗？如人对地面的压力F=4 50 N,完成下表：受力面积s(n J)0.0 0 50.0 1 0.0 2 0.0 4压 强P a)(3)当F=4 50 N 时，试画出该函数的图象，并结合图象分析当受力面

20、积S 增大时,地面所受压强p 是如何变化的，据此，请说出它们铺垫木板通过湿地的道理。解:16F(1)对于p=S,当F 一定时，根据反比例函数的定义可知，p 是S的反比例函数。F _(2)因为 F=4 50 N,所以当 S=0 o 0 0 5m 2 时，由 p=S 得：p=4 50/0o 0 0 5=9 0 0 0 0 (P a)类似的，当 S=0。0 1 m 2 时，p=4 50 0 0 P a；当 S=0。0 2 m 2 时，p=2 2 50 0 P a；当 S=0。0 4 m 2 时，p=1 1 2 50 P a(3)当F=4 50 N 时，该反比例函数的表达式为p=4 50/S,它的图象

21、如下图所示，由图象的性质可知，当受力面积S 增大时，地面所受压强p 会越来越小，因此，该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积。以减小地面所受压强，从而可以顺利地通过湿地。2.你能根据玻意耳定律(在温度不变的情况下，气体的压强p 与它的体积V的乘积是一个常数K(K 0),即p V=K)来解释：为什么使劲踩气球时，气体会爆炸？【教学说明】逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力，提高感知水平；止 匕 外,在解决实际问题时，要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合运用。三、运用新知，深化理解1.教材P 1 5 例题。2 .一个水池装水1 2 m3,如果从水管中每小时流出x m3 的水，经过y h可

22、以把水放完，那么y 与 x的函数关系式是，自变量x的取值范围是1 2【答案】y=x ；x 023 .若梯形的下底长为x,上底长为下底长的5,高为y,面积为6 0,则 y 与x的函数关系是(不考虑x的取值范围).179 0【答案】y=%4 .某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为2 00c m2 的矩形学具进行展示.设矩形的宽为x c m,长为y c m,那么这些同学所制作的矩形的长y (c m)与宽x(c m)之间的函数关系的图象大致是()【答案】A5 .下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是()A.小明完成百米赛跑时，所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系B.

23、长方形的面积为2 4,它的长y 与宽x 之间的关系C.压力为6 00N 时，压强p(P a)与受力面积S(m2)之间的关系D.一个容积为2 5 L 的容器中，所盛水的质量m(k g)与所盛水的体积V(L)之间的关系【答案】D6.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：体 积 x/mL10080604020压强,/kPa6075100 150 300则可以反映y 与 x 之间的关系的式子是（）.3 000 6 000A.y=3 000 x B.y =6 000 x C.y=x D.y=x【答案】D7.一张正方形的

24、纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x、y,剪去部分的面积为2 0,若 2 W x W 1 0,则 y 与x的函数图象是()18A B C D【答案】A8.一个长方体的体积是1 00c m3,它的长是y(c m),宽 是5 c m,高 是x(c m).(1)写出长y (c m)关于高x (c m)的函数关系式，以及自变量x的取值范围；画 出(1)中函数的图象；当 高 是3 c m时，求长.解：2 0(l)y=x(x 0)；图象略；2 0(3)长为 3 c m。【教学说明】用函数观点来处理实际问题的应用，加深对函数的认识。四、师生互动、课堂小结先小组内交

25、流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结。教师作以补充。课后作业布置作业：教材 习题L 3”中 第1、2、4题。五、教学反思19第 1 章 反 比 例 函 数（复习课）（6）教学目标巩固本章知识点，牢记反比例函数的图象与性质，并能利用性质解决实际问题。教学重难点重点：理解反比例函数的图象与性质；难点：利用反比例函数的性质解决实际问题。教学过程一、基本知识：1、反比例函数的定义：一般地，如果两个变量X 与），的关系可以表示成y=A 是常数，0）的X形式，那么称），是x 的反比例函数。反比例函数解析式的几种表示法：y=g/为常数，k f O）y=T 化为常数，k xO）刈=可左为常数，k xO

26、）自变量的取值范围：X H 0 的一切实数。2、反比例函数的图象和性质：图象：是双曲线，分两支是断开的，关于原点成中心对称，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永不与坐标轴相交。（2）性质：在反比例函数y=K （心 0）中X 当%0 时，函数图象分两支在一、三象限，在每个象限内，），随X 的增大而减小；当4/5即点p到原点的距离为2逐。求k的值；求点P到原点。的距离。分析：,/在函数y=卜的图象上x/./I=BP nm km又*/m、是方程产-4,-2=0的两根nr+2 =+linn=16+4=20mn=-2J&=-2三、小结：牢记反比例函数的图象与性质，注意区别一次函数与反比例函数、读懂题意,

27、仔细作答。四、作业：1、课堂：点A（w,n）是双曲线y=kxl上一点，且m、n是一兀二次方程f 一3%-6=0的两根，求双曲线的解析式。已知一次函数尸x+m与反比例函数W吧（,叱-1）的图象在第一象限内的交点为p（%,3）,求一次函数和反比例函数的解析式。2、课外：完 成 学法大视野。五、教学反思22第2章一元二次方程2.1 一元二次方程（7）教学目标1、在把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程中，形成对一元二次方程的感性认识。2、了解一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化为一般形式，能写出一般形式的二次项系数、一次项系数和常数项。3、经历由具体问题分析数量关系并建立一元二次方程模型的过

28、程，体会数学建模思想。教学重难点重点：一元二次方程的有关概念，一元二次方程的一般形式。难点：把实际问题转化为一元二次方程的模型。教学过程一、预习导学学生通过自主预习教材P 2 6-2 7完成下列问题：1 .已知方程x （7-x）=8,它 一元一次方程。（填“是”或“不是”）2 .如 果 一 个 方 程 通 过 整 理 可 以 使 右 边 为,而左边是只含有 个未知数的次多项式，这样的方程叫做一元二次方程。3 .一元二次方程的一般形式是,其 中 二 次 项 为,一次项为，常数项为，二 次 项 系 数 为,一 次 项 系 数 为。学生课前完成，教师检查，学生通过预习初步感知一元二次方程的相关概念和

29、一般形式。二、探究展示（一）合作探究1.如图，已知一矩形的长为2 0 0 c m,宽 为1 5 0 c m,现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的上。求挖去的圆的半径x c m应满足的方程（其4中 兀 取3）23引导学生设挖去的圆的半径为x m,找等量关系：矩形的面积一圆的面积=矩形的面积X 士。4列出方程：2 0 0 X1 5 0-3 x 2=2 0 0 X1 5 0 X2。42.据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为7 5万辆，两年后增加到1 0 8万辆。求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程。引导学生思考：等量关系：两年后的汽车拥有量=前年的汽车拥有量义(1+

30、年平均增长量)2列出方程：7 5 (1+X)2=1 0 8 3.能把，化成右边为0,而左边是只含有一个未知数的二次多项式的形式吗？让学生展开讨论，并引导学生把，化成下列形式：化简，整理得X2-2500=0 化简，整理得2 5 x，5 0 x-l l=0 观察上述方程和，启发学生归纳得出：如果一个方程通过移项可以使右边为0,而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：a x2+b x+c=0 (a,b,c 是已知数，a W O)其 中a,b,c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项。4.让学生指出方程，中的二次项系数、一次项系数和常数项。设计意图：首先呈

31、现两个实际问题，通过寻找等量，列出方程，然后再引导学生观察列出的两个方程的特征，引出一元二次方程的形式，进而抽象出一元二次方程的概念。(二)展示提升1.下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。(1)0 o 0 1 t2=2 t (2)5 x (x+1)+7=5 x-4(3)3 x (1-x)+1 0=2 (x+2)(4)(9 y-l)(2 y+3)=1 8 y2+l注意：要确定一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须先将方程化为一般形式。242.某超市1月份的营业额是3 6万元，3月份的营业额是4 9万元，设每月营业额的平均增长率为x,则平均增

32、长率为x应满足的方程为 o3.已知一个数x与比它大2的数的积等于3 5,请根据题意，列出关于x的方程,这个方程是一元二次方程吗？设计意图：通过习题展示，让学生对本节知识进行及时巩固。三、知识梳理1.一元二次方程的显著特征是：只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2,整式方程。2.一元二次方程的一般形式为：ax=bx+c=O(a#O),一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项都是根据一般形式确定的。3.在把实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。四、当堂检测1.下 列 方 程 是 一 元 二 次 方 程 的 是 (只填序号)(1)x2=-l(2)x2+x

33、y+l=0(3)ax2+bx+c=0(4)21X2+3X-1=0(5)(-)2+x-l=0(6)(x+1)(x-l)x=x2+lX2.把一元二次方程(3x-2)(x+l)=8x-3化为一般形式是 其中二次 项 系 数 是，一 次 项 系 数 是，常 数 项 是。3.将一根长为64cm的铁丝剪成两段，每段均折成一个正方形，若两个正方形的面积和为160cm,且其中一个正方形的边长为xcm,请根据题意列出关于x的方程。4.已知关于x的方程(k2-l)x2+(k+l)x-2=0当k为何值时，此方程是一元二次方程，并写出这个方程的二次项系数、一次项系数和常数项。五、教学反思252.2.1配方法(8)教学

34、目标1 .知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。2 .掌握用直接开平方法对形如x2=a (a 2 0),(a x+n)2=d(a,n,d 为常数，d 2 0)形式的一元二次方程进行求解。3 .引导学生体会解一元二次方程中的转化与降次思想。教学重难点重点:用直接开平方法对形如x?=a (a 2 0),(a x+n)2=d(a,n,d 为常数，d 2 0)形式的一元二次方程进行求解。难点：体会解一元二次方程中的转化与降次思想。教学过程一、预习导学学生通过自主预习教材P 3 0 3 1 完成下列问题：1 .若 x?=a；贝!J x 叫 a 的,x=；若 x?=4,贝 I

35、 x=；若 x?=2,贝 U X=O2 .方 程(a x+n)2=d(a,n,d 为常数，d 2 0)的根为。3 .根 据 平 方 根 的 意 义 来 解 一 元 二 次 方 程 的 方 法 叫 做，其实质是，将一个一元二次方程转化为一个一元一次方程。二、探究展示(一)合作探究1.如何解本章2.1 节“动脑筋”中的方程:x-2 5 0 0=0 呢?问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程？引导学生把方程写成X2=2 5 0 0这表明x 是 2 5 0 0 的平方根，根据平方根的意义，得X=7 2 5 0 0 或 x=_ j 2 5 0 0因此原方程的解是:x,=5 0,X2=-5 0对于实际问

36、题中的方程而言，X z=-5 0 不合题意，应当舍去。注意：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。2.课本P 3 1 动脑筋：如何解方程(1+x)2=8 126先学生讨论交流：当二次项的底数是一个多项式时怎么用直接开平方法解答？教师引导：把1+X看成一个整体。由(1+x)J 8 1 得 l+x=Vs T 或 l+x=-J灯，即 l+x=9 或 l+x=-9解得 x,=9,X2=-9引导学生归纳总结：解一元二次方程的基本思路是：通过降次，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。对形如x =a (a 0),(a x+n)?=d(a,n,d为常数，d 2 0)形式的一元二次方程进行可以用直接开平方

37、法求解,一定要注意此时方程有两个解。设计意图：让学生经历用直接开平方法解一元二次方程的过程，使学生对一元二次方程的解有全面了解。(二)展示提升1 .解方程。(1)4 x 2-2 5=0 (2)(2X+1)2=2(3)(x+3)2-3 6=0 (4)x2-6 x+9=5小组讨论交流，然后小组代表在全班展示交流。设计意图：通过习题演练、展示，加深学生对用直接开平方法解一元二次方程的理解，让学生通过分组讨论的形式，训练学生的合作交流意识。三、知识梳理1 .解一元二次方程的基本思路是：通过降次将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。2 .对形如x?=a (a 0),(a x+n)=d(a,n,d为常

38、数，d 0)形式的一元二次方程进行可以用直接开平方法求解，一定要注意此时方程有两个解。四、当堂检测1 .解方程。(1)9 x 2-4 9=0 (2)9(1-2X)2-1 6=027(3)2(2 x-l)-4=0(4)2 5 x-1 0 x+l=92.一个正方形面积为7 m:宽是长的一半，求长和宽各是多少。五、教学反思2.2.1 配方法(9)教学目标1 .通过实例让学生理解配方法，知道用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤。2 .理 解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想方法。教学重难点重点：会用配方法解二次项系数为1的一元二次

39、方程。难点：用配方法将一元二次方程变形成可用因式分解法或直接开平方法解的方程。教学过程一、预习导学学生自主预习教材P 3 2-3 3完成下列问题：1 .a22 a b+b -。2.在下列各题中，填上适当的数，使等式成立：(1)x2+6 x =(x+)2(2)x2-6x+=(x-)2(3)X2+6X+5=X+6X+_+5=(x+)2-3.解方程(x+2)2-1 6=0。设计意图：配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征，通过几个题，进一步复习巩固完全平方式中常数项与一次项系数的关系，为后面掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备。28二、探究展示(一)合 作 探 究解 方 程

40、:x2+4 x=1 2分析:如果能够把方程x?+4 x=1 2写 成(a x+n)?=d(a,n,d为常数，d 20)的形式，那么就可以利用上节课讲的直接开平方法，根据平方根的意义来求解。那么怎样把方程x?+4 x=1 2写 成(a x+n)2=d(a,n,d为常数，d 20)的形式呢？小组讨论交流，然后总结得出：x，4 x=1 2是二次项系数为1的方程，在方程左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，再经过整理就可以使方程的一边配成完全平方形式，即(a x+n)2=d(a,n,d为常数，d 0)的形式，最后直接开平方，就可以求出该方程的解。让学生进一步体会化归的思想。一般地，在方程的左边加

41、上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫做配方。配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解。这种解一元二次方程的方法叫作配方法。教师总结：配方是为了直接运用平方根的意义，从而把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。(二)展示提升1.填空(1)X2+4X+1=X2+4X+_-+1=(x+)2-(2)X2+3X-4=X2+3X+_ _-4=(x+)-解方程。(1)x2+1 0 x+9=0 (2)x-1 2x-1 3=0(3)X2+8X-2=0 (4)x-5 x-6=0设计意图：通过展示，规范配方法解一元二次方程的过程，让学生充分理解掌握用配方法

42、解一元二次方程的基本思路及关键是将方程转化成(x+m)2=n (n 20)的形式。三、知识梳理1.将二次项系数为1的方程配方的基本步骤是：首先在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里；然后将配方后的一元二次方程用直接开平方法来解。2.配方是为了直接运用平方根的意义，从而把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。四、当堂检测291 .若方程x 2+k x+6 4=0的左边是完全平方式，则1 0当b2-4 a c 0时 一 卡/04Q-b+J b2-4 a c二 2a-b-/-4 o c-%-当/_4或 0-b -4-acx=-2a7 居 7 5

43、2 x2 =即%1=3 ,出=y-2.某数学兴趣小组对关于x 的方程(m+1)xm 2+l+(m-2)xT=0 提出了下列问题。(1)若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程。(2)若使方程为一元一次方程m是否存在？若存在，请求出。你能解决这个问题吗？分析：(1)要使它为一元二次方程，必须满足m 2+l=2,同时还要满足(m+1)W 0。(2)要使它为一元一次方程，必须满足：32zn2+1 =1或(m +1)+(m-2)W Ozn2+1 =0 ,zn -2 W O J m +I =0m-2#0解：(1)存在.根据题意，得：m 2+l=2m 2=l m=1当 m=l 时，m+

44、l=l+l=2 W 0当m=T 时，m+l=-l+l=O (不合题意，舍去)，当m=l 时,方程为2 x2-l-x=0a=2,b=-l,c=-lb 2-4 a c=(-1)2-4 X 2 X (-1)=1+8=9(1)9 _ 1 3久=2 x 2 =丁一 i _ 14 1 =1，%2 =一夏因此，该方程是一元二次方程时，m=l,两根xl=l,x2=-1 2.(2)存在.根据题意，得：m 2+l=l,m 2=0,m=0因为当 m=0 时，(m+1)+(m-2)=2 m T=T#0所以m=0 满足题意.当m 2+l=0,m不存在.当 m+l=0,即 m=T 时，m-2=-3 W 0所以m=T 也满

45、足题意.当m=0 时，一元一次方程是x-2 xT=0,解得：x=-l当m=-l 时，一元一次方程是-3 xT=0解得x=-l/333因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=T；当m=T时，其一元一次方程的根为x=T/3。【教学说明】主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式。四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充。课后作业布置作业：教 材“习题2.2”中第4题.六、教学反思2.2.3 因式分解法(11)教学目标1 .会用因式分解法求解一元二次方程。2 .进一步体会一元二次方程解法中的转化

46、与降次思想。教学重难点重点：用因式分解法求解一无二次方程。难点：如何对一元二次方程中的含未知数的多项式进行因式分解。教学过程一、预习导学学生自主预习教材P 3 7-P 3 9,完成下列各题。1.将下列各式分解因式(1)X2-3X；(2)2 x(5 x-l)-3(5 x-l)；(3)X2-4；(4)x-l O x+2 5.设计意图：复习因式分解，为学习本节新知识作铺垫。2.若 a b=O,则=0 或=0,若 x(x-3)=0,则=0 或=0。3 .试求下列方程的根34(1)x(x-7)=0；(2)(x+1+2)(x+1-2)=0；设计意图：解左边是两个一次式的积，右边是0的一元二次方程，初步体会

47、因式分解法解方程实现“降次”的方法特点。二、探究展示(一)合作探究解方程：X2-3X=0解：方程的左边提取公因式x,得x(x-3)=0由此得x=0或x-3=0即 x)=0,X2=3.归纳：像上面这样，利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法。议一议：请用公式法解方程X2-3X=0,并与上面的因式分解法进行比较，你觉得哪种方法更简单？设计意图：通过比较因式分解法相对于公式法的便捷之处，用因式分解法解一元二次方程的本质也是“降次”，即将一元二次方程分解为两个一次因式，分别令每个因式等于0,得到两个一次方程，这种解方程的方法不同于配方法的开平方，而是依据两个实数的积等于0的主要条件是两个实数

48、中必有等于0的数。根据以上解题步骤，组内交流，总结用因式分解法解一元二次方程的基本步骤：(1)将方程化为左边是含未知数的代数式，右边是0的形式；(2)将方程左边分解成两个一次因式；(3)令每个因式等于0；(4)求解。(二)展示提升用因式分解法解下列方程：(1)x(x-5)=3 x；(2)2 x(5 x-l)=3 (5 x T)；(3 (3 5-2 x)2-9 0 0=0；(4)x2-1 0 x+2 4=0 设计意图：方 程(1)、(2)先化成右边为0的形式，然后利用提取公因式法解方程；方 程(3)用平方差公式分解因式，再求解；方 程(4)需先配方，然后再利用平方差公式分解因式求解。学生上台展示

49、时，老师多加鼓励，以便学生在台上更自信，发挥出自己最佳水平，同时加以规范、引导，培养学生严谨的解题思维。35三、知识梳理以“本节课我们学到了什么？”启发学生谈谈本节课的收获。一元二次方程的三种解法：配方法、公式法、因式分解法，三种解法的特点是：配方法要先配方，再降次；公式法直接利用求根公式；因式分解法先要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0,再分别使各一次因式等于0；配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程，解一元二次方程的基本思路：化二元为一元，即“降次”。四、当堂检测1 .用因式分解法解下列方程:(1)x (x-3)=5 x；2.用因式分解法解下列方程:(1

50、)2x (x-l)=l-x；(3)(x-3)2-2=0；3.用因式分解法解下列方程:(1)X2-4X+4=(5-2X)3；五、教学反思(2)4x-20 x+25=0o(2)5 x (x+2)=4x+8；(4)X2+6X+8=0O(2)(4x-l)-1 0(4x-l)-24=0 o362.3 一元二次方程根的判别式(1 2)教学目标1 .理解一元二次方程根的判别式的作用，会用判别式判断一元二次方程是否有实数根和两个实数根是否相等。2.经历对判别符号的讨论，体会分类讨论思想。教学重难点重点：会用判别式判断一元二次方程是否有实数根和两实数根是否相等。难点：正确计算判别式的值；分类讨论思想的应用。教学