2023届高考数学一轮知识点练习题：抽象函数（含解析）.pdf

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1、2023届高考数学一轮知识点训练：抽象函数一、选择题(共20小题)1 .下列函数为奇函数的是()A.y=Vx B.y=|si n x I C.y=cosx D.y=ex-e-x2 .已知定义在R 上 的 函 数%)=2 此加一1 (巾 为 实 数)为 偶 函 数.记 Q=f(l o g o.53)，b=/(l o g25),c=/(2 m),则 Q,b9 c 的大小关系为()A.a b c B.a c b C.c a b D.c b 03.已知函数/(%)=0,x =0,设 F(x)=7 ./(%),则 F(%)是()-1,x 0A.奇函数，在(-8,+8)上单调递减B.奇函数，在(-8,+8

2、)上单调递增C.偶函数，在(一 8,0)上递减，在(0,+8)上递增D.偶函数，在(一 8,0)上递增，在(0,+8)上递减4 .已 知/(%)是定义在R 上的偶函数，且在区间(一 8,0)上单调递增，设。=f l o g i 3 ,b=巡)c=f (端)则()a b c B.c b a C.c a b D.b a c5.函 数 的 定 义 域 为 0,若对于任意的与,孙6。，当与 乂2 时，都有f Oi)W f G z)，则称函数/(x)在D上为非减函数.设/(x)在 0,1 上为非减函数，且满足以下条件：(1)/(0)=0；4)=(江 (3)f(l -x)=l -八乃，则+()B*C,l

3、D.|6 .己知 f(x)=5-2|x|,(x)=x2-2x,F(x)=g 3)，则 F(x)的最值是If (x),若/X x)/(3-J)/(o g2 i)B.f(l o g2 9 f(3 司 Z(3-5)C.f(l o g21)/(3 4)f(3-Z)D./(3-J)f /(l o g2 08.已知函数f(x)的定义域为R，且满足：f(x)是偶函数，f(x l)是奇函数，若 f(0.5)=3,则/(2 01 2)+/(2 01 4)+f (-2.5)等于()A.-9 B.9 C.-3 D.39 .下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+8)上单调递增的是()A.y=2l x l B.y=-C

4、.y=|l n%|D.y=%2 4-x1 0.若函数f(x)满足，对定义域内任 意 的 x2(X i x2),有/01)+/(孙)2/(牛)，则称函数/(x)具有“性质.则下列函数中不具有H 性质的是()A./(x)=(J B./(x)=In xC./(x)=x2(x 0)D./(x)=tan x (0 4 久 f1 1 .已知定义在R 上的函数y=/(%)满足下列三个条件：对任意的x e R 都有f(x)=/(%+4)；对于任意的0 3工1%2 32,都有f (%1)/(%2)；丫=f(x+2)的图象关于y轴对称.则下列结论中，正 确 的 是()A./(4.5)/(6.5)f (7)B./(

5、4.5)/(7)/(6.5)C.f(7)/(4.5)/(6.5)D./(7)f(6.5)/(4.5)1 2 .已知函数/(%)=ex-e-x,则关于x的不等式/(x)+/(%2-2)0 的解集为()A.(-2,1)B.(-00,-2)U(1,+o o)C.(1,2)D.(8,1)U(2,4-00)1 3.关于函数/()=(2 表).力和实数m,n的下列结论中正确的是()A.若 一 3 V m 几，则 f(m)f(n)B.若 TH V 九 V 0,则 f(jn)f(n)C.若 f(m)/(n),则 m2 n2D.若 f(m)f(ji),则 m3 0 时，/(x)=x-2,则/(一)的值为()A.

6、-B.-C.-D.-2 2 2 21,X 01 5.已知符号函数 sg n s=0,%=0,/(%)是 R 上的增函 数,gx=/(x)/(ax)(a 1),则.-1,X 0()A.sg n g(x)=sg n xB.sg n (x)=-sg n xC.sg n(5(x)=sg n /(x)D.sg n gM=-sg n /(x)1 6 .若定义在正整数有序对集合上的二元函数f满足：/(x,x)=x,f(x,y)=f(y,x),(x +y)/(x,y)=yf(x,x+y),则 f(1 2,1 6)的值是()A.1 2 B.1 6 C.2 4 D.4 81 7.已知函数/(x)=(x l)(ax

7、 +b)为偶函数且在(0,+8)单调递减，则/(3 -x)M,存在%i 使得f(.Xi)-93)=k成立，则称g(x)是/(x)在 t,+00)上的“追逐函数”.已知f(x)=x 2,下列四个函数：9(x)=x；g(x)=l n x +l；9(n)=2*-1；g(x)=2-：.其中是/(%)在 1,+00)上的“追逐函数”的是()A.B.C.D.1 9 .已知/(x)是定义在R 上的偶函数，且/(X)在(0,+8)内单调递减，则()A./(0)/(l o g32)/(-l o g23)B./(l d g32)/(0)/(-l o g23)C.f(-l o g 2 3)/(l o g32)/(0

8、)D./(l o g32)/(-l o g23)0 时，/()的图象如右图所示，那么/(x)的值域是.2 2 .定义在R 上的奇函数f(x)在区间(0,+8)内是增函数，且 f (3)=0,则不等式x-f(x)且时,g(x)=/(x).给出下列三个结论：9 =不等式g(x)0 的解集为R；函数9。)的单调递增区间为 2 k,2 k+1 ,f cGZ.其中所有正确结论的序号是2 4 .已知定义在R 上的函数/(%)满足/(-%)=/(%),且对于任意孙&丁 。，+8),笑等 0.若/()=$2/(l o g i x)0 有 f (f(x)+0 =则/(8)的值是.2 6 .已知函数/(%)是偶函

9、数，当 0 时，/(x)=%2 3%,则当 V 0 时，/(%)=2 7.已知/(%),g(%)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且/(%)-g(%)=“1)+或1)=.X 1,%2 ,均有3 且/(x)-p3+x2+1,则三、解答题(共8 小题)2 8.已知函数/(%)=0,%0).(1)求证：/(%)在(0,+8)上单调递增;若 f(x)在悖,2 上的值域是住,2 卜 求 a的值.2 9 .解下列各题：(1)己知函数 f(x +1)=3 x +2,求/(x)；(2)已知/(%-,=/+专，求/(x)；(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f Q)2 f(T)=l +2 x,求 f(x).

10、3 0 .设函数 f(x)=a -.(1)求证：不论。为何实数/(x)总为增函数；(2)确定a的值，使 f(x)为奇函数；(3)在(2)的条件下求/(久)的值域.3 1 设/(1)判断函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)求证：函数y=f(x)在 R上是严格增函数；(3)若/(1 一。+八 1 一 户)0)且(a 力1)表示成一个奇函数与一个偶函数的和.3 3 .设函数/(%)=/+|%-a a为常数.(1)若/(x)为偶函数，求 a的值；(2)设 a 0,90)=早，x C(O,a 为减函数，求实数a的取值范围.3 4 .已知函数/(X)的定义域是。，若 对 于 任 意 的 C 0,当

11、X 1 f(x),则称/(x)为 M上的t 一增长函数.(1)己知函数g(x)=x,函数h(x)=x 2,判断g(x)和 九(均是否为区间 一 1,0 上的|一增长函数，并说明理由.(2)已知函数f(x)=田，且 f(x)是区间 一 4,一 2 上的。一增长函数，求正整数n的最小值.(3)请在以下两个问题中任选一个作答：如果对任意正有理数q,f(x)都是R上的q-增长函数，判断f(x)是否一定为R上的单调递增函数，并说明理由.如果/(%)是定义域为R的奇函数，当 之0时，/(%)=1%-。2|一。2,且/(%)为 R上的4 一增长函数，求实数Q的取值范围.答案1.D【解析】y=的定义域为 0,

12、+8),所以y=为非奇非偶函数；y=1 s in x I与y=cosx为偶函数；令 V =/(%)=e -e-七%G R,则满足/(一%)=-/(%),所以 y=e*e-*为奇函数.2.C【解析】因为/(%)=2戊 一 刈 一 1为偶函数，所以m=0,因为 a =f (l og 3)=/(l og 2 3),b=/(l og25),c=/(0),l og25 l og23 0,而函数%)=2田一1,在(0,+8)上为增函数，所以/(l og25)/(l og23)/(0),即 b a c.3.B一1,【解析】因为/(一%)=0,(1,x 0 (1,%=0 =-0,%V 0 .1,x 0%=0

13、=一/(%),%0又 F(x)=x2 /(x)=0,x =0-x2,x 0所以尸在(一8,+8)上单调递增,可排除A.4.C【解析】根据题意，/(%)是偶函数，且在区间(-8,0)上单调递增，则/(%)在 9+8)上单调递减,则 a =f(l og：3)=f(l og 2 3),b=f(G),c=/(l og 2|)=/(l og25),0.2V 1 =l og22 l og23 3 F 3-彳 0,l og2-因为f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+oo)上单调递减，所以/(l og z E)=/(-l og 2 3)=/(l og2 3)f(3 F)0时，y=l n x 是增函数，满

14、足条件.y-x2+2 x,对称轴彳=一1,不是偶函数，在(0,+8)上单调递增，但不符合题意.1 0.B【解析】若定义域内任意的与，x2(X1 H x2),有/(%1)+/(x2)2 f(血 券)，则点(/(Xi),(x2J(x2)连 线 的 中 点(弩 (弩)的上方，如图(其中a =f(空),1 =/)；八、2)根据函数/(x)=G)，f(x)=l n x,/(x)=x2(x 0)./(x)=t a n x(0 W x 0),f(x)=t a n x(0 W x 以，具有”性质，函数 f (x)=I n x 不具有 H性质.11.B【解析】由三个条件知函数的周期是4,在区间 0,2 上是增函

15、数且其对称轴为x =2,所以 f(4.5)=0.5),f(7)=f(3)=f(2+1)=f(2 -1)=/(l),/(6.5)/(2.5)=f(2+0.5)=f(2-0.5)=f(1.5),因为0 0.5 1 1.5 2,函数y=/(x)在区间 0,2 上是增函数，所以 f (0.5)/(I)/(1.5),即 f (4.5)f(7)0,则函数f(x)在R上为增函数，/(x)+f(x2-2)0 =f(x)-/(x2-2)=/(x)/(2 -x2)x 2-x2,即/+x 2 0,解得一2x0时，2、一卷与总是增函数，且函数值为正，2兀故函数/(x)=(2X 一费)/在(0,+0 0)上是一个增函数

16、，由偶函数的性质得函数在(-o o,0)上是一个减函数，此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立,考察四个选项，A选项无法判断m,九离原点的远近；B选项M的绝对值大，其函数值也大，故不对；C 选项是正确的，由/(m)V/(n),一定得出m2 V 九 2；D 选项/(m)/(九)，可得出I m|0 是/(%)=%-2,所以f(m=2=-|又因为/()是奇函数，所以 O-f(J=|.方法二：任取x 0,所以 f(-x)=-2，因为f(x)是奇函数，所以 f(x)=-/(-X)=X+2，所以 OW+2=|.15.B【解析】因为f(x)是 R 上的增函数

17、，a l,所以当%0 时，x ax,有 f (%)f(ax)，则 g M a x.有 f(%)/(a%),则 g(x)0,1,%0所以 sgn(x)=-sgn x.16.D【解析】依题意：因为(x+y)/(x,y)=yf(x,x+y),所以 f(x,x+y)=；(x+y)/(x,y),所以“12,16)=f(12,12+4)=i (12 4-4)/(12,4)=4/(12,4)=4/(4,12)=4/(4,4+8)=4 x*4 +8)f(4,8)o=6f(4,8)=6/(4,4+4)=6 x；(4+4)f(4,4)=12/(4,4)=12 x 4=48.17.B【解析】因为/(%)=(%-l)

18、(a x +b)=a +(b -a)-b 为偶函数,所以/(一%)=/(x),则 ax2 (b a)x b=ax2 4-(b -a)x b,即 一(b -a)=b af得 b -a =0,得 b =Q,则 f(x)ax2 a=a(x2 1),若/在(0,+8)单调递减，则Q V O,由 /(3 切 V 0 得 a (3 -%)2-1 0,得 4 或 V 2,即不等式的解集为(-0 0,2)U (4,+8).18.D【解析】由题意得若函数g(%)为/(%)在 匕+8)上的“追逐函数”，则/(%)，g(%)在 比+8)上的值域相同且/(c)=g(t),对任意%0 w +8),/U o)g(%o)，

19、因为/(%)=%2 在 1+8)的值域为 1,+8),且/(I)=1,对于：g =1,当 W l,+8)时,g(x)e 1,4-0 0),设/i(x)=/(x)-g(x)=x2-x,则”(%)=2%1 0,x e 1,4-c o),所以对任意 x0 e (1,+8),/i(x0)/i(l)=0,/(x0)g(%o)，所以g(%)=%是f M=/在 1,4-o o)上的“追逐函数”;对于：g(l)=l,当%口,+8)时，g(x)w l,+8),设 u(x)=/(%)g(x)=x2 nx 1,则 u (x)=2%0,x G 1,4-o o),所以对任意的 x0 e(1,4-c o),u(x0)u(

20、l)=0,/(&)g(%o)，所以g(%)=I n%+1是f(x)=产 在 1,4-o o)上的“追逐函数”;对于：当=5 时，g(5)=2S-1 =3 1 2 5 =/(5),所以g(%)=2-1不是%)=炉 在 口+8)上的“追逐函数”；对于：g(x)=2 -：在 1,+8)的值域为 1,2),所以g(x)=2 -1不是/(X)=/在 口,+8)上的“追逐函数”：综上所述，其中是/(X)=产 在 1,+0 0)上的“追逐函数”的有.19.C【解析】根据题意，f(x)是定义在R上的偶函数，则 f(-l o g 2 3)=y(l o g23),又由f(x)在(0,+8)内单调递减，且0 V l

21、 o g32 1 l o g23,则有 f(10 g 2 3)V f(l o g 3 2)V f(O),即有/(一I o g 2 3)f(l o g 3 2)0时，因为 x f(x)0,所以 f(x)又因为f(x)在(0,+8)单增，所以0 x%,当 x 0时，因为 x/(x)0,因为f(x)为奇函数，又因为f(x)在(0,+8)单增，所以/(x)在(-o o,0)单增,又 因 为 3)=0,所以 3 x )【解析】由f(幻=久)，得函数f(x)是偶函数，若对于任意与,&6。，+8),与力犯，均有 不)0,则此时函数f (x)为减函数，%12因为 2f(l o g y)1,f(l o g y)

22、p即不等式等价为f (l o g y)/J，即 小 瞥|)：或 l o g i X -i,8 3 8 31_ 1解得 0c x G)3 =2.2 5.(【解析】由题意存在q0使 f(x 0)=3,又因为函数/(%)是定义在(0,+8)上的单调函数,所以这样的X。是唯一的，又因为 f(a)+3=3,所以 X。=/(&)+;所以工0 =3 +,x0解得Xo =4或一 1(舍)，所以 f(x)=4-3从而 r(8)=2 6.x2+3 x2 7.12 8.(1)设2 与 。，则 X2-0,%1%2 0，因为/(X2)-/(X1)=d)W)1 1_ Xt X2所以外M)/。1),所以f(x)在(0,+o

23、 o)上单调递增.(2)因为f(x)在假月上的值域是悖,2 卜又 由(1)得 f(x)在 L，2 上单调递增，所以/=%f(2)=2,易得 a =)2 9.(1)令x +l =t,所以x=t-1,所以/(t)=3(t-l)+2 =3 t-l,所以 f(x)=3 x-l.因 为，L)=M+妥=1 一 丁+2,令 t=%-2,X所以/。)=尸+2,所以/(%)=X2+2.(3)由题意，在/(%)2/()=1+2%中，以一 X 代替 x 可得/(-%)-2/(%)=1-2%,联 立 可 得 伶 盼;2 W：+廿(/(-X)-2/(%)=1-2%,消去八一%)可得/(x)=|x-l.3 0.(1)设1

24、 V 冗2，mil C/、2.2 2 2 2(241-242)则 f (/)-/(冷)=a-即-a +罚=k-时=(2*+1)(2冷+1)因为在所以0 2必 2 必，即/(%1)-/(m)0,则/8)1,所以 就 i 2，2-2 l 或 t 0 且 a x i.3 3.(1)因为f(x)为偶函数，且久eR,所以 f(-x)=f(x)，即(一 支 尸+l x a=x2+l x-a ,即|x -a|=|x -a|=|x a|2=|x-a 2,所以4 ax=0对一切x G R成立，所以a=0.(2)因为 Q0,且 XW(0,Q,所以9(刈=世=立4=立 二=;,+巴 一1,XX X X任取 0 V%

25、1 V%2 W Q，g(%i)-9 3)=%i+F 一 七 一 3X1 x2=(XL X2)+等2=(力*,xlx2因为0 V/V小工Q，所以-2 V ，且 0 X 1%2，所以a a2,又 a 0,所以0 V Q 4 1.3 4.(1)/i(%)不是，/z O)是.因为f i(l)/i(2)，则A (%)不是 L4 上的非减函数.似幻=L-3,21 x%42fV x1,x2 G t 2,且设 1 4%1%2工2,则 段01)=6(%2)，显然满足(%1)工左(%2)；V%!，x2 e(2,4,且设 2 xr x2 则心01)=2%i-3 2 x2-3 =心(%2)，显然满足心(%i)1,显然

26、满足%(%2)，综上所述,f2M是 1,4 上的非减函数.(2)k，X 2 2,4,设 23工12工4,则 g(%i)-g(%2)工。，g(%)-g(M)=2%+券 一(2功 +居)=22-2犯+(券-为=2%-2犯+最(2”一2必)=(2%】-2肛)(1-0,2a 2X12X2)则V x1(x2 e 2,4,设2 w X i%2 4 4,不等式1 一 百 去2 0恒成立,即：2 a-2 A 2也,则 a/lg)=1 h(l)=i/l =1-/lG)=5得 出:呜=呜=:v x e g,|),因为函数以x)在 上 为 非 减 函 数，所以九所 以 三 g)/得到：v x e 1,|,/i(x)

27、=|由(ii)知，/i(x)=jh(3 x)八(寂)=*(寂)=专八(箴)所以M 嬴)=壶 3 5.(1)g(x)=%是，因为 V x e -1,0,g (x +习-g(x)=(%+1)-%=|0；h(x)=x2 不是，反例：当=-1 时，h (-1+1)=/i G)=：V Zi(-1)=1.(2)由题意得，|%+n|%|对于 W -4,一 2 恒成立,等价于 x2+2nx 4-n2%2,即 2nx+层。对 w 4,一 2 恒成立,因为九 0,所以2 九%+n2是关于x的一次函数且单调递增，于是只需-8 n+z i2 o,解得n 8,所以满足题意的最小正整数九为9.(3)不是，构造/(X)=：

28、_ 1 北1 Q,则对任意的正有理数q,若 Q,则+q Q,因此/(x +q)=x +q%=/(%)；若 W CRQ，则+q W CRQ，因此 f(x+q)=%+q /(%),因此f (%)是 R 上的q-增函数，但/(%)不是增函数.根据题意，当之0 时，/(%)=x-a2 -a2,则当 ZQ2 时，/(x)-x-2 a2,当 时，/(%)=-%,由奇函数的对称性可知：当工一小时，/(%)=x+2 a2,当一时，/(%)=%,则可得函数图象如图：易知图象与轴交点为M(-2 a 2,0),N(2Q2,O),因此函数f(x)在-a2fa2上是减函数，其余区间上是增函数，/(%)是 R 上的4 一增长函数，则对任意的心都有/(%+4)/(%),易知当一 2小工工工o 时，/(%)0,为保证 f(x+4)/(x),必有 f(x+4)0,即+4 2a2,故 2M 工 工 0 且+4 2a2,所以4 4a2,解得一 1 V Q V 1.故答案为Q W (1,1).