辽宁省名校联盟2023届高考模拟数学试题（一）(含答案).pdf

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1、绝密启用I前2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学(一)本试卷共4 页，22小题，满 分 150分。考试用时120分钟。一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集 U=-2,0,-1,1,2 ,集合4 =0)的焦点为F,点 M 在 C 上，点 A1 多 0),A M =-F M ,则cos Z M F A=(),V2石 6 1A.B.C.D.-2 2 3 26.古印度数学家婆什伽罗在 丽拉沃蒂一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2 子安贝(古印度货币单位)，以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，

2、以一个月31天计算，记此人第八日布施了子安贝(其中1W W31,e N*),数列 q 的前项和为S”.若关于的不等式S“一 62 C=/ABC=90,平面 A8C_L平面 4CZ),三棱锥A-B C D的所有顶点都在球。的球面上,F分别在线段OB,C D上运动（端点除外），B E =4 1 C F.当三棱锥七一46的体积最大时，过点尸作球0的截面，则截面面积的最小值为（）A.兀 B.C.7 1 D.2兀22 28.已知双曲线C*-方=1（心0方 0）的左、右焦点分别为尸i，B，M，N在C上，且6HMi|=|月6记+2研=砺/，则C的离心率为（）A.2 +y/3B.3-y/3c+2 3V3+12

3、二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。9.已知a O Z?c,则（）A.ac C.l g -0 D.a b a-c1 0.如图，在直三棱柱A B C -A4G中，Z A Z?C=90,A B=B C=3,B B1=后，E,F分 别 满 足 耶 =2反,够=2羽，则（）A.E,F,A,B 四点共面 B.B i C J平面 8 EFC.异面直线A E与 所 成 的 角 大 于60 D.存在过A B的平面与平面EF C平行1 1.某中学积极响应国家“双减”政策，大力创新体育课堂，其中在

4、课外活动课上有一项“投实心球”游戏,其规则是：将某空地划分成四块不重叠的区域，学生将实心球投进区域或者一次，或者投进区域两次，或者投进区域三次，即认为游戏胜利，否则游戏失败.已知小张同学每次都能将实心球投进这块空地，他投进区域与的概率均为p（0 p l）,投进区域的概率是投进区域的概率的4倍，每次投实心球的结果相互独立.记小张同学第二次投完实心球后恰好胜利的概率为P,第四次投完实心球后恰好胜利的概率为尸2,则（）A.0 p C.鸟=1 2(+3 63一 1 2 2)B.6=1 6/D.若 0,oeZ)在区间内单调，在区间(0,?内不单调,则 3的值为.1 6.已知%和%=是 函 数/(x)=e

5、*-z n r 2-2 02 3 W w R)的两个极值点，且 工2 2 3王，则机的取值范围是.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1 0 分)1 7记正项数列 凡 的前项积为7；,且 十=1-擀(1)证明：数列 7；是等差数列；(2)记”=(-1)”.色 士 求数列也,的前2项和邑T,Tn+l18.(12 分)记A B C 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知2 s i n 3 s i n Cc o s A+c o s A =3 s i n 2 A-CO S(JB-C).(1)证明：2 a b=c；3(2)若 b +c =2,

6、c o s A =，求A B C 的面积.519.(12 分)如图，在四棱锥 P-A B C D 中，底面 A B C。为直角梯形，A B /C D ,AD CD,AD1PA,A B =A D =2 C D =2,P A=P B =.(1)证明：平面平面B 4 ；(2)求直线鬼与平面P B C所成角的正弦值.2 0.（12 分）5 G技术对社会和国家十分重要，从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽机革命、电气革命和计算机革命后的第四次工业革命.某科技公司生产一种5 G手机的核心部件，下表统计了该公司2 0 17-2 0 2 1年在该部件上的研发投入x （单位：千万元）与收益y （单位：亿元）

7、的数据，结果如下：年份2 0 172 0 182 0 192 0 2 02 0 2 1研发投入X23456收益y23334（1）求研发投入”与收益y的相关系数r （精确到0.0 1）;（2）由表格可知y与 x线性相关，试建立y关于x的线性回归方程，并估计当x为 9 千万元时，该公司生产这种5 G 手机的核心部件的收益为多少亿元；（3）现从表格中的5 组数据中随机抽取2组数据并结合公司的其他信息作进一步调研，记其中抽中研发投入超出4 千万元的组数为X,求 X 的分布列及数学期望.参考公式及数据：对于一组数据（七,凹）（i=l,2,3,）,相关系数r=一 曰 ,其 回 归 直 线y=b x+a的

8、斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 分 别 为 5=a=y-b x ,垂 2.2 3 6.2 1.（12 分）2 2己知椭圆c：%+=（a f c 0）的右焦点为F,过尸作一条直线交C 于 R,S 两点，线段R S 长度的最小值为3,C 的离心率为2（1）求 C 的方程；（2）不 过 C 的左顶点A的直线/与C 相交于P,。两点，且直线AP与 AQ的 斜 率 之 积 恰 好 等 于.试 问直线/是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.2 2.（1 2 分）已知函数/(x)=ar(x-l)-ln x (e R).(1)当a=2时，求曲线y=x)在 点 处 的

9、切 线 方 程；(2)若函数g(x)=/(x)+g x(2-ox)有两个不同的零点，求 的取值范围.数学(一)一、选择题1.B【解析】由已知得4=0,1,所以A u 3 =-1,0,1,故a(A uB)=-2,2.故选B项.2.C【解析】由题意得 2+i a(2 i)+/?=i,即(2-2a+b)+(l+a)i=i,所以 2-2。+/?=0解,得 1+Q =1,a 0,b=-2,所以a Z?=2.故选C项.3.A【解析】R 方)-0-2万)=a-b-2a2-b+2a-b=3a-b-b2-2a2=3x4xlx-1-2x16=36.故选 A项.4.C【解析】设高三年级共青团员成绩的样本平均数为X,

10、则 80*85+60()X9()+6()(卜=88,解得尤=90.故800+600+600选C项.5.B【解析】由题意知点A为C的准线与x轴的交点，如图，过点M作 垂 直 于 准 线 于 点N,令|户加|=2a,则|4图=碣，由 抛 物 线 的 定 义 可 得|MN|=|FN|=2a,所 以cos/AMN=J =警，所以sinZAMN=.又MNA P,所以/AM尸=N4VW,所以sinNAMF=.在4M尸中，由正弦定5 5理得|AMkinNM4E=|fM|sinNA!E4,77 V5眄包0竺二竺三，所以 FM 2a 2cosNMFA=Jl(g=+.故选B项.26.B【解析】由题意可知，数列 q

11、是 以2为首项，2为公比的等比数列，故a“=2 (l W”W 3 1),所以空 二J=2“+2.由 5 6 2。3一切“+1，得 2行 一 6 4 2 2 +2 八2|,整理得/2+2向 一1n 12 十 +1 2 +1对 任 意1 W”W 3 1,且e N*恒成立，又 费+2向一1 2 2卷3二1 =1 5,当且仅当22=8,即=2时等号成立，所以r 1 5,即实数 的取值范围是(0/5).故选B项.7 .C【解 析】如 图，取A C的 中 点0,连 接O F,O B,因 为 N A D C=Z ABC=9 0 ,所以O A =O B =O C =O D =-A C,即。为球心，则球。的半径

12、R=2.又A B=B C,所以0 B L 4 C,又平面A 8 C2，平面 A CQ,平面 ABC c平面 A CZ)=A C,所以 0 B _ L平面 A CZ X 设 CF=x，则 B E =2 ,所以0 x x O E =x x x x 2 /2 x(2-3 23 2x/21当 尢=时，V取 得 最 大 值 一.由 于0 A =0 8 =0C=。，在a C O F中，由 余 弦 定 理 得2 3,则截面面积的最小值为23一万.故 选C项.22兀 广=718.D【解 析】由1MH咐 卜|耳 耳|可 知，点F,是 M N出 的 外 心，由恒+2耶=讽 得耳 耳+耶?=丽+丽=一 丽，即 月

13、月+而+月 法=0,所以点K是 M N B的重心，所以AMNF2是等边三角形，由 对 称 性 可 知.且14MH耳N|=2 c,/M Q N=1 2 0 ,不妨设M在第二象限，所以点例的横坐标为-c-2 c c o s 6 0 =-2 c,纵坐标为2 c s in 6 0 =W c,故点A/(-2 c,百c).又点M在双O F =yjoc*2+C F2-2 O C-C Fc os Z A C F =,根据球的性质可知，当。尸垂直于截面时，截面圆的面2积最小，设此时截面圆的半径为r,所以=此一0尸2曲线 斗*=1(&0,h 0)上，所以三1一5 =1,即。一 告 弓=1,整理得4c 4-8c 2

14、 a 2+/=0,a b a b a c-a-所以4e 4 8e 2 +l =(),解得e 2=2 Y l,所以6 =避 上1,又e l,所以e =9上L 故选D项.2 2 2二、选择题9.B C D【解析】对于A项，-0-,故A项错误；对于B项，由a 0与6 c,得abac,故B项正确；a ba h a b对于C项，由题4 0 b c,得一 b 一c,所以o a-b a-c,所以0 1,所以1 g 0,故CC L -C(2 C项正确；对于D项，由题得0一 方V -C,所以(一份2(一c)2,即故D项正确.故选B C D项.1 0.A B D【解析】对于A项，由题得A,E B.FECXFC,所

15、以E尸 AA，又A8 Ag,所 以 所 AB,所以E,F,A,B四点共面，A项正确；对 于B项，易知tan NBCB=处=旦,t a n ZB.BF=,所B C 3 1 B.B 3以=所以N B i C B=N B山F,所以N B CB+N/B C=N B i B F+/BC=90,所以 F Bl BtC,易证得B|C _ LE F,E F C F B =F,所以81 C _ L平面8E F,B项正确；对于C项，易知/4 A E为异面直线A E与 所 成 的 角，而t a n ZA,AE=幺=平=G =t a n 6 0 ,所以/4A E 6 0。,C项错误；A 4t 6 3对于D项，因为A

16、B 所，A Bt Z平面E F C,rU平面E F C,所以A B 平面E F C,故存在过A 3的平面与平面E F C平行，D项正确.故选A B D项.1 1.AC【解析】小张同学投进区域的概率为4p,投进区域的概率为1 6 p,故0 0,得 0 p 或-p 1,又 0 p一,所以 0 p ,D 项错误.故选1 2 1 8 6 1 2A C 项.1 2.B C【解析】因为g(4-x)+g(x)=0,所以)=g(x)的图像关于点(2,0)对称，所以g(2-x)=-g(x+2),因为 g(x)+7(x 4)=5,所以 g(x+2)+r 2)=5,即 g(x+2)=5-/(x 2)，因为大x)g(

17、2 x)=3,所以x)+g(x+2)=3,代入得大x)+5-/(x-2)=3,即人)一段-2)=-2,A 项错误；因为定义域为R 的函数g(x)的图像关于点(2,0)对称，所以 g(2)=0,B 项正确；因为 g(x)+7(x-4)=5,所以 g(x+4)+/(x)=5,与犬x)-g(2-x)=3,联立得g(x+4)+g(2 x)=2,所以y=g(x)的图像关于点(3,1)对称，C 项正确；由大外一g(2 x)=3,得式 0)g(2)=3,即共0)=3,/2)=-2+0,即。9.因 为 当 工，&4 3 3(3 3=)展开式的通项公式为4+1=孰(/广 一 标)二(一3)CJ号.令710)71

18、 7t时，6 9 X-G所 以-7 1(0 -7y1 ,2 7 1(0 7 1 (/左,乃，%+Z,1、)(k，e Z ),则M1 K7 T,3 3/(RwZ),解 得2 9 7 1 /,-7 i-kn3 33 41+3左G2+Z(%Z),令女=0,则 而。一，2 341A故一Gl时,g (x)0,故 g(x)在区间(-8,0),(0,1)内单调递减,在区间(1,+8)内单调递增，且当 0 时，g(x)m i”=g(l)=e,作出g(X)的图像如图所示:e，由图可知汨，%20,且 2机e,因 为&23 即，所以取必=3即，并令即=0),则&=3 f,所以一二,t 3tIn 3解得/=出，此时2

19、加=竺 上=空，故 加 上 正，即阻的取值范围是,+o o2In 3 In 3 In 3 l n 3四、解答题17.(1)证明：由题意得“匚=。“(”2 2),因 为 工=1一2,所以工 3 =1 2(22),即Tn-1 4 Tn Tn Tn2)，所以7；I-=2(”22).I 2当=1 时，a T,所以一=1-,解 得 T|=3,故 雹 是以3 为首项 2 为公差的等差数列.(2)解：由(1)可知，Tn=3+(n-l)x 2 =2 n+l,所以d=（f4 72+4 _ z 4H+4苏=）.（2 +l）（2 +3）（T）,1-1-（2 +1 2 +3,所以沁11-1-4H 1 4/1+1+11

20、-1-4 +1 4+3+4 3 4 n +3 12/1+918.(1)证明：由题意得2s i n B s i n C c o s A-3s i n 2A=c o s(3+C)-c o s(B-C),+仃2 2即 2s i n B s i n C c o s A-3s i n 2 A=-2s i n B s i n C,由正、余弦定理得 2/?c-3 a2=-2 bc,2 bc整 理 得+c?+c =4/,即(b+c)2=4 a2,又 0,b 0,c 0,所以 b+c=2，所以 2 一Z?=c.(2)解：由(1)得。=幺b+，c=1,由c o s A=32 得s i n A=41,2 5 5由余

21、弦定理得 a2=h2+c2-2 bcc o s A=(/?+c)2-2 bc-bc,即1=4 3儿,所以从=”,5 16所以A8C 的面积S =L bc s i n A=Lx Ex 3 =3.2 2 16 5 819.(1)证明：因为山2+PB2=4=AB2,所以 MJ_P B.因为 AO _L C Z),A B/C D,所以 AO _L A8,又AD _L M,A B rP A =A,所以AO _L平面曲8,又PBu平面P 4 8,所以P B _L AD,又Q4cA D=A,所以P 8_L平 面%D因为P B U 平面P B D,所以平面尸2 _L平面P A D.(2)解：取 A3 中点 O

22、,连接尸。，0 C,由 B 4=P 2,W P OLA B,又 A O J_平面力8,POu平面B,所以 AO J_P O,又 A QcAB =A,所以 P O J_平面 AB C。，又 08,O Cu平面 AB C。，所以 P OLOB,P OVOC.由。为A 8的中点，A B=2 C D,四边形A8C。是直角梯形，可知四边形AO C。为矩形，所以O B _L O C.以。为坐标原点，OB,0C,而的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 8(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,1),A(-l,0,0),P A=,而=(1,0,1),B C =(-1,2,0

23、).设平面P B C的法向量为蔡=(a,b,c),则m P B -0_，则m-B C=0aC=0,令匕=1,则五=(2,1,2).-a+2 b=Q,、)设直线出与平面P B C所成的角为仇则s i n 6=H丽 种 晶=即直线P A与平面P B C所 成 角 的 正弦值为逆.3及 刀 、,r/日 2+3+4 +5+620.解：(1)由题可得无=-2+3+3+3+4 c=4,y=-二3,55=，4 +1 +0+1+4 =V 10，=J1+0+0+0+1=V 2,所以厂二*0.89.(2)因为二上14100.4 ,。=y-B x=3-0 4 x 4 =1.4,.依；)(，/=1所以y关于x的线性回

24、归方程为y=0.4x+1.4.当x=9时，y=0.4x9+14=5,所以此时该公司生产这种5 G手机的核心部件收益估计为5亿元.(3)易知X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=鲁q,P(X=1)*=|,P(X =2)=|q,所以X的分布列为X012p3To351103 3 1 4所以 E(X)=0X +1X3+2X=)10 5 10 52 1.解：（1）根据题意得也=3,aa2-b2 1所以 3+;右4 m2-123+4 k2nn-i2 k2+3 m2 1即 Z Z =,16 A +4 z -16 km 22所以5加 一4左2 -8切2 =（）,即（加一2攵）（5机+2%）=0,所以m=2%

25、或加=一二，均符合（）.当初=2&时，直线/：），=丘+2%恒过定点（-2,0）,因为直线不过点A,所以舍去；当机=一2攵时，直线:y=一 l%恒过定点（l，。）.当直线斜率不存在时，设直线/：x=x0,不妨设P（&，泗），则。（沏，一州），1 2 2则 心“黑,言=-5，吟+女，2解得 1或xo=-2（舍去）;此 时 直 线/过 定 点 综 上，直线/恒过定点（g,0解得,a*1=4,b2=3,a2 一 4r2 2所以。的方程为上+L=1.4 3（2）由（1）可知A（2,0）,当直线/斜率存在时，设直线/方程为巾）,Q（x2,yi）,联立4y=kx+m,x2 y2 消去y整理得（3+42卜2

26、+8以+4m 2 12 =0,4=48（4/一 加2+3）0,丁 丁 一 所以i=_工，再“皿小1-3 +4公 1-3 +4左2因为”心0=_ g,所以2l zA P.八kA QX y2 _ kxt+m kx2+m _ lcxix2+kmx+x2）+ni川+2 x2+2%+2 x2+2 xx2 4-2（Xj+x2）+4417 8 km-km-7I 3 +4-+2,1 3+4/JW-1 22+m2+42 2.解：(1)当。=2 时，/(x)=2 x2-2 x-nxi所 以/(X)=4X-2-L,又11)=0,/(1)=1,所以所求切线方程为y=x-l.(2)g(x)=/(x)+x(2-o x)=

27、ax2-a x-n x+x-ax2=o x2-(a-l)x-ln x(x0),所以 g (尤)=OX_(Q_ 1)=-L,X X X当 a N O 时，由 g，(x)0,得 xG(l,+8),所以g(x)在区间(0,1)内单调递减，在区间(1,+8)内单调递增，所以若g(x)有两个不同的零点，则必有g(l)=g a +l 2.当x c(i,+8)时，g(2)=2 a-2(a-l)-ln 2 =2-ln 2 0,因为g(x)=-2 x)+x-l n x,当xG(o,1)时，一I Cf-Z r VO,所以g(x)Q+X I n x,2/I A i 1 /1 A 1所以g e 2 a +e 2 -I

28、 n e 2=e 2 0,所以g(x)在区间(0,1),(1,+8)内各有一个零点，故。2满足题意；当。=一 1 时，因为g U)O,所以g(x)在区间(0,+8)内单调递减，所以g(x)至多有一个零点，不符合题意;当一l a V 0 时，因为当x e(O/)u,+oo)时，g(x)0,所以g(x)在区间(0,1)内单调递减，在区间 1,内单调递增，在区间(一：,+8)内单调递减，所以g(x)的极小值为g(l)=l-ga 0,所以g(x)至多有一个零点，不符合题意；当 4 一1 时.因为当x e(0,-，)u(l,+o o)时，(x)0,所以g(x)在区间(0,J1 内单调递减，在区间(一：,1)内单调递增，在区间(1,+8)内单调递减,所以 g(x)的极小值为 g f =+(1)-I n =1 +ln(-4/)0,a)2 a a a)2 a所以g(x)至多有一个零点，不符合题意.综上，a的取值范围是(2,+).