河南省豫东、豫北十所名校2021-2022学年高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析.pdf

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1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1 .考生要认真填写考场号和座位序号。2 .试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2 B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3 .考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .若复数z满足(l7)z=-l+2 i,则|王=()A后 R 3 屈 n 12 2 2 22.已知等比数列%满足。2=1，。6=1 6,等差数列%中仇=4，S”为 数 列 也 的前“项和，则$9=()A.36 B.7

2、2 C.-3 6 D.3 623.已 知 双 曲 线 一 =i(bo)的一条渐近线方程为y =2&x,K，入分别是双曲线C的左、右焦点，点尸在双曲线C上，且 附=3,则I啕=()A.9 B.5 C.2或9 D.1 或54 .周易是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成，其中“一”表示一个阳爻，表示一个阴爻).若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为()D.23345 .已知抛物线C:y 2=4 x和点0(2,0),直线x =)-2与抛物线C交于不同两点A,B,直 线 与 抛

3、物 线C交于另一点E.给出以下判断：直线O B与直线O E的斜率乘积为-2 ；A E/y轴;以8 E为直径的圆与抛物线准线相切.其中，所有正确判断的序号是()A.B.C.D.6 .已知双曲线C:二-工=1 3 0,6 0)的右焦点为凡过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于Ma h点，M F的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为()A.7 5-1 B.0 C.也 D.7 57 .若不等式I d n x.L d+a c对X G1,+O O)恒成立，则实数的取值范围是()A.(-oo,0)B.(-co,l C.(0,+oo)D.l,+oo)8 .下列四个结论中正确的个数是(1)对于命题：

4、*)/?使得 X；-”0,则 都有 丁-1 0;(2)已知 X N(2,b2),贝！P(X 2)=0.5(3)已知回归直线的斜率的估计值是2,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为9=2 x-3；(4)“x i 1”是2 2”的充分不必要条件.xA.1 B.2 C.3 D.49.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析.缈孙亦l o l-oob9or成-根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间二y 0/2例内;乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；乙同学连续九次测验成绩每一

5、次均有明显进步.其中正确的个数为()A 4 B:C 丁 D.210.设 2=+(l+z)2(i 是虚数单位)，则|z|=()l+lA.0 B.1 C.2 D.y/511.函 数-*)=以+,在(2,+8)上单调递增，则实数。的取值范围是()XA.B.：+8)C.”,+8)D.10 0,412.函数/(x)=c o s2 x(x e -肛2句)的图象与函数g(x)=sin x 的图象的交点横坐标的和为()5n八 -7 一A.B.27r C.D.兀3 6二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.(1-3x)(1+X)，展开式中1项的系数是14.边长为2 的正方形经裁剪后留下如图所

6、示的实线围成的部分，将所留部分折成一个正四棱锥.当该棱锥的体积取得15.已知点尸是抛物线y=2 f 的焦点，M,N 是该抛物线上的两点，若|“尸|+|人下|=1，则线段M N 中点的纵坐标为.16.已知“在 AA8C中，=工=三”，类比以上正弦定理，“在三棱锥A-B C D 中，侧棱A B与平面ACD所sin A sin B sin C成的角为7、与平面BCD所 成 的 角 为 磐，则=.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系X。)，中，已知点M 1,?,。的参数方程为 一5 +a 为参数)，以坐标原点。为极y=6/39点，x 轴的正半轴为

7、极轴，建立极坐标系，曲线G 的 极 坐 标 方 程 为=2+cos2。.(1)求 G 的普通方程和G 的直角坐标方程;1 1(2)设曲线G与曲线。2相交于A,B 两 点,求 两 +丽 的 值.1 8.(1 2分)如 图，已知三棱柱A B C-4与G中，AAZ?。与AABC是全等的等边三角形.(1)求证：B C 1 AB,；(2)若 cosNBiBA=,求二面角8-A的余弦值.1 9.(1 2 分)如图，在四棱锥 PA B C。中，B C C D,A D C D,P 4 =3&，A 4 B C和 A P B C均为边长为2G的等边三角形.(1)求证：平面平面A B C D；(2)求二面角。一尸5

8、。的余弦值.A+C2 0.(1 2 分)在 AABC1中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,C,且s in(A+8)=c s in-.2(1)求 8；(2)若AABC的 面 积 为 由，周长为8,求尻2 1.(1 2分)如图,三棱柱A B C -A4G中，侧面8 BCC是菱形，其对角线的交点为。，且A B =A Q =遥,A 6 _ L(1)求证：4 9 _ 1 _平面8 8 6。；(2)设 N gB C =60。，若直线A 4 与平面BBC。所成的角为45。，求二面角4 一 4 G 6 的正弦值.22.(1 0 分)金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生.新生接待其实也是和社会

9、沟通的一个平台.校团委、学生会从在校学生中随机抽取了 160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下:愿意不愿意男生6020女士4040(1)根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；(2)现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选 取 10人.若 从 这 10人中随机选取3 人到火车站迎接新生，设选取的3 人中女生人数为X,写出X 的分布列，并求E(X).2 n(ad-bc)2附：K-，其中=Q+b+c+d.(a +b)(c +d)(a +c)(b+d)P(K 2 o)0.050.010.0013.8416.6

10、3510.828参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解.【详解】,、-l +2z(-1+2/)(1+)3 1、1-i(l-z)(l+z)2 2，|司=国=Vio故 选c.【点 睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.2.A【解 析】根 据 小 是 生 与 死 的等比中项，可 求 得。4,再利用等差数列求和公式即可得到$9 .【详 解】等 比 数 列%满 足 的=1，4=1 6,所 以4=如7 =4,又/0,所

11、以4=4,由等差数列的性质可得 Sg =9 4=9 a4 =3 6.故选：A【点睛】本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，是中档题.3.B【解 析】根据渐近线方程求得分，再利用双曲线定义即可求得2 5.【详 解】由于2 =2应，所以=2正，又忸耳|-|P矶=2 且|P&N c-a=2,故选：B.【点 睛】本题考查由渐近线方程求双曲线方程，涉及双曲线的定义，属基础题.4.B【解 析】基本事件总数为6个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为3个，由此求出概率.【详 解】解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，取 出 两 卦 的 基 本 事 件

12、有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共6个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共3个，3 1所以，所求的概率P =：=6 2故选：B.【点睛】本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题.5.B【解析】由题意，可设直线OE的 方 程 为 工=冲+2,利用韦达定理判断第一个结论；将X=。-2代入抛物线。的方程可得，以=8,从而，力=-必，进而判断第二个结论；设尸为抛物线C的焦点，以线段B E为 直 径 的 圆 为 则 圆 心M为线段BE的中点.设8,E到准线的距离分别为4,d2,0M的半径为R,

13、点M到准线的距离为d,显然B,E,月三点不共线，进而判断第三个结论.【详解】解：由题意，可设直线OE的方程为=阳 +2,代入抛物线C的方程，有丁一4m y 8 =0.设点3,E的坐标分别为（石,y）,（孙 必），则 y+%=4根，%=-8.所 X*2=（相1+2）（冲2+2）=根*%+2加（乂 +%）+4=4.则直线Q B与直线O E的 斜 率 乘 积 为 =-2.所以正确.xtx2将x=）-2代入抛物线C的方程可得，力 弘=8,从而，力=-%，根据抛物线的对称性可知，A，两点关于 轴对称，所以直线A E/）,轴.所以正确.如图，设尸为抛物线C的焦点，以线段3E为直径的圆为“，则圆心M为线段8

14、 E的 中 点.设3,到准线的距离分别为4，d2,。”的半径为R,点”到准线的距离为d,显然3,E,E三点不共线，nl则,d.+d-1,=J|BF|!+!|EF|!J|BE!=R.所匕 以，不正确.2 2 2故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于难题.6.A【解析】设M3,力，则 时 厂 的 中 点 坐 标 为 代 入 双 曲 线 的 方 程 可 得a,4 c的关系，再转化成关于a，c的齐次方程,求出的值，即可得答案.a【详解】2 2双曲线力 0)的右顶点为A(a,

15、O),右焦点为 c,o),cr b所在直线为x=。，不妨设M F的中点坐标为(4,2).代入方程可得I。g ,2 2-7 =1a b-=J,e2+4=0 e =5-1 (负值舍去).4a2 4故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造a,c的齐次方程.7.B【解析】转化2 x l n x一/+o r,x e l,+8)为2 1 n x+x,构造函数(x)=2 1 n x+x,x e l,+8),利用导数研究单调性，求函数最值，即得解.【详解】由 2 x l n x 一/+ax,x e l,+o o),可知q,2

16、1 n x+x.,2设(x)=2 1 n x+x,x e l,+o o),则/z(x)=+1 0 ,x所以函数以x)在口,”)上单调递增，所以 (X)m i n =力(1)=1.所以 4,/l(X)m i n =1 .故”的取值范围是故选：B【点睛】本题考查了导数在恒成立问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.8.C【解析】由题意，(1)中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；(2)中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；(3)中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；(4)中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定.【详

17、解】由题意，(1)中，根据全称命题与存在性命题的关系，可 知 命 题 小eR使 得 片-1 4 0,则p:7 x e R都有x2-l 0,是错误的；(2)中，已知X N(2,b2),正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为x =2,所 以P(X 2)=0.5是正确的;(3)中，回归直线的斜率的估计值是2,样本点的中心为(4,5),由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为y=2 x-3是正确；(4)中，当时，可得+!2 2.一=2成立，当工+!22时，只需满足龙(),所以是“x +，N 2”X X X X成立的充分不必要条件.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答

18、中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9.C【解析】利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可.【详解】甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高:加分，平均成绩为低于h o分，错误;根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间口 _；0,二0】内，正确;乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，正确；乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故不正确.故选：C.【点睛】本题考查折线

19、图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.1 0.A【解析】先利用复数代数形式的四则运算法则求出z ,即可根据复数的模计算公式求出|z|.【详解】2_=+(1+Z)2-1-Z+2/=1+Z,.|z|=a+i 2 =叵.故选：A.【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用,属于容易题.1 1.B【解析】对“分类讨论，当4 4 0,函数f(x)在(0,+8)单调递减，当。0,根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解.【详解】当时，函数/(x)=o x +在(2,+8)上单调递减,X所以。0,/(尤)=+,的递增区间是X所以

20、即故选:B.【点睛】本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.1 2.B【解析】根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可.【详解】|兀 37T令s i n x =co s 2 x,s i n x =l-2 s i n2x,所以s i n x =-l或s i n x =.又x e 一;r,2句，所以*=一,或x =或%=2或=附，所以函数/(x)=co s 2 Mx e-肛2句)的图象与函数g(x)=s i n x的图象交点的横坐标的和71 3 乃 71 57r c.3s-1-1-1-=2TC,故选 B.2 2 6 6【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值

21、求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。1 3.-20【解析】根据二项式定理的通项公式，再分情况考虑即可求解.【详解】解：(1-3 x)(1 +x)5=(l +x)5-3 x(1 +解展开式中父项的系数：二项式(1 +X)5由通项公式(+1 =玛(x)5-当r=3时，/项的系数是C；=1 0,当r=2时，V项的系数是C；=1 0,故Y的系数为C；-3 C；=-2 O；故答案为：2()【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意分情况考虑，属于基础题.41 4.-5【解析】根据题意，建立棱锥体积的函数，利用导数求函数的最大值即可.【详 解】设底

22、面边 长 为2 x,则斜 高 为l-x,即此四棱锥的高为所以此四 棱锥体积为V=-4%2-Vl-2 x =-ylx4-2x5,3 3令/?(x)=x4-2%s(0 x 1 6.2【解 析】类 比，三角形边长类比三棱锥各面的面积，三角形内角类比三棱锥中侧棱与面所成角.【详 解】归二气故J;三.3垃-屈sin3 si n ，故 区 V6 +V2 23 1 2 1 2 r【点睛】本题考查类比推理.类比正弦定理可得，类比时有结构类比，方法类比等.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1)y =V 3x-;x2+=1 (2)42 3【解析】(1)消去G参数方程中的参数

23、，求得G的普通方程，利用极坐标和直角坐标的转化公式，求得G的直角坐标方程.(2)求得曲线G的标准参数方程，代 入 的 直 角 坐 标 方 程，写出韦达定理，根据直线参数中参数的几何意义，求得1 1网+画的信【详解】x=I-1 /Q(1)由G的参数方程 2 a为参数)，消去参数可得y =J5 x-Y2,3由曲线C,的极坐标方程为=2 +co s e ,得2夕2 +co s?0 =3,P所以G的直角坐方程为3 1 +2 V =3,即/+手=1.(2)因为M 1,-在曲线G上，1 1X =1 +T故可设曲线G的参数方程为/厂 a为参数)，I 2 2代入3 f +2产=3化简可得3产+8,+2 =0

24、.8?设A,3对应的参数分别为*t2,则%+2=-，邛2 =，所 以 网+西=口 +丁丽=4.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用利用和直线参数方程中参数的几何意义进行计算，属于中档题.18.(1)证明见解析；(2)好.5【解析】(1)取8 c的中点。，则与。，8。，由AAbC是等边三角形，得从而得到平面片A。，由此能证明BC ABt(2)以Q4,O B,。片所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到结果.【详解】(1)取 的 中 点0,连接AO,BQ,由于AABC与用BC是等边三角形，所以有AO_LBC,B

25、Q上BC,且 AOCBtO=O,所以8C_L平面用A。，AB|U平面与A。，所以(2)设4J=。，AABC与A&BC是全等的等边三角形，所以 BB=AB=BC=AC=4 c =a,i 3又cosN81BA,由余弦定理可得 AB：=+a 2a ax =ci,44 2在 VABQ 中，有 A=AO2 +B 0 2,所以以。4,O B,。4所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示,则A出V0,0,0,0/QB,0,0,2设 平 面 的 一 个 法 向 量 为 =(x,y,z),贝 卜n-A B =0_ =，ZADC=6 6 3在 AADC中，由正弦定理，得:AC CDsmZADC si

26、nZC4）所以CD=2.以o 为坐标原点，以 ，砺，而 为 x，x z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,则 P（0,0,3）,网 0,6,0）,D（2,-V 3,o）,B P=（0,-7 3,3）,丽=（2,2 6,0 卜设平面PBD的法向量为n=（x,y,z）,n-一BP=Q，即J3x-y=0可得)=(i,G,i)，取平面B BC的一个法向量为卮=(0,0,1),则 C0S(1,2=n,1 也nln2#)5所以二面角A-5 G -8的 正 弦 值 的 大 小 为 差.(注：问 题(2)可以转化为求二面角A-8C一与的正弦值，求出AO=BO=G后，在中，过点。作8C的垂线，垂足为，连接

27、A H,则NAHO就是所求二面角平面角的补角，先求出0”=立，再求出A”=巫，2 2最后在 RtAOH 中求出 sin ZAHO=-A/5.)【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定以及二面角的求解，属于中档题.22.(1)有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；(2)详见解析.【解析】(1)计算得到左 6.635,由此可得结论；(2)根据分层抽样原则可得男生和女生人数，由超几何分布概率公式可求得X的所有可能取值所对应的概率，由此得到分布列；根据数学期望计算公式计算可得期望.【详解】.片的观测值女=160 x(60 x 40-40 x 20)2=32 6635，80 x80 x100 x6

28、0 3，有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关.3 7(2)根据分层抽样方法得：男生有10 xj=6人，女生有10 x =4人，选取的10人中，男生有6人，女生有4人.则X的可能取值有04,2,3,/.P(x=o)=皆c3cC1 020 1 C2C=-=P(X=1)=-4=120 6 I C；。601201P(X=2)c=c*2=至=P H=点废二120 0，()Cf041120 301X的分布列为:X0123pj_6 _2310130.（X）=0 x i+lx i+2x +3x =-.,6 2 10 30 5【点睛】本题考查独立性检验、分层抽样、超几何分布的分布列和数学期望的求解；关键是能够明确随机变量服从于超几何分布，进而利用超几何分布概率公式求得随机变量每个取值所对应的概率.