高数期末考试模拟试卷.pdf

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1、模拟试卷选择题：本大题共5个小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。01.函 数/(x)=1(C)A./(0 +0)H/(0)c./(o+o)不存在x 0B./(0-0)/(0)D./(0-0)不存在2.设f（x）为连续函数，且 f（x）dx=0,则下列命题正J-a确 的 是（C）A./（x）为 一。，a 上的奇函数B./）为-a,a 上的偶函数C./（幻 可能为-a,a 上的非奇非偶函数D./*）必定为-0上的非奇非偶函数3,设 有 单 位 向 量 万 ,它 同 时 与5=3：+7+4%及1=f+二都垂直，则 讲 为（C）1 一 1 -1

2、 -A-忖+寸 苏B.i+j kc -百J十 1戏 r 飞1”r D.i j+k4.募级数(+l)x”的收敛区间是(B )=,+1A.-1,1 B.(-1,1)C.-1,1)D.(-1,1 5.按 照微分方程通解的定义，y =si n x的 通 解 是(A )A.-si n x +Cj X+Cj B.-si n x +Cj +c2C.si n尤+C/+C2 D.si n x +G+c 2(其中G、C2是任意常数)6.设 函 数/(x)=，-4x +4,x e 2,+8),g(x)是/(x)的反函数，则(B )A.g(x)-2-V x B.g(x)-2+V xC.g(x)=-2-D.g(x)=-

3、2+五7.若 加 是/(x)的极值点，则(C)A.7(%)必定存在,且/(4)=0B.y (%)必定存在，但/(%)不一定等于零C./(%)可能不存在D./(/)必定不存在8.设有 直 线 =上=三，则该直线必定(A )0 4-3A.过原点且垂直于x轴B.过原点且平行于x轴C.不过原点，但垂直于X轴D.不过原点，且不平行于x轴9.基 级 数 在 点 尤=2处收敛，则级数Z(T)。,n=0=0(A )A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散 D.收敛性与凡 有关10 .对微分方程y +3y +2y =eT,利用待定系数法求其特解y*时，下面特解设法正确的是(C)A.y*=A ex B.y*=(A x

4、+B)eC.y*-A xe D.y*=A x2ex二.填空题：本大题共10个小题，把答案填在题中横线上。1.设/鱼)=/1X*为 连 续 函 数，则。a x=Q222.函数/=2 1+3，-12+1的单调递减区间是岂2Do3.设罢是/(x)的 一 个 原 函 数，则公c o sx-X2si n x-F C 4.设 力=(1+巧a rc t a n x+ex,则 f(x)22x a rc t a n x-2xex+1 。=乃，其 中k为常数，则43L6.设 z =e-si/S，）？，则分-2/），si n 2（孙尸卜-i 1,。7.微 分 方 程，d x-一 匚 办=0 的 通 解 为1 +y

5、+x-2（/_ y3）+不2 _ 丁2）=c （c=6C）8.点 例 o(l，2,3)到平面x +2y z 2=0的距离d =|l +3 x 3-3-2|5 瓜a=j=-o+22+(_I)2 68.募级数(x 1)”的 收 敛 区 间 是(-3,5)(不n=0 4含端点)。9.方 程 y”2y+5y =0 的 通 解y=e (G c o s2x +c2 si n 2x)_ o _li m Jx+X+IX1150 A-+o o -=13/2-是11.设 y =1+x2n 1,(X T5!y=-J(1+x2)212.设 F(n-2x)=edtK/)=4 x2 j+2 e-eJ则13.=2 5 1)

6、：x j l+ln x -14.设z =1 51n(l+9r +9),则d.z I)=1 欧+1 外.1 5.己知 5=1,2,1,b=29-1,1),则 过 点M0(l,1,1)且 同 时 平 行 于 向 量 万 和 的 平 面 的 方 程 为3 九 +y 5z+1 =0.1 6.微分方程祟+3 y=e2A的通解是：e2 j r+c e 7，1 7 .累 级 数。一?一”的收敛区间是_(_ 2,4)_ .n=0 91 8 .设G =f +j +2 E,则 与 万 同 方 向 的 单 位 向 量 1 1 -1 -2 -*“飞户飞入1 9 .交换 二 次 积 分I =f(x,丁 的 的 次 序

7、得/=(可；/(x,y)d y =J?yJ:f(x,y)dx.三.解答题：本大题共1 3 个小题，解答时应写出推理，演算步骤。1.求极限l i m-.r x e-1解:.(ex 1 靖(0 -1)-e2x-ex-xl i m-=l i m 4 =l i m-x ex-)。-1)z o x22e2x-ex 4e2x-ex 3=l i m-=l i m-=X f。2x 1 0 2 2c、L替 x+(a r c t a n x)2.计 算-$-dxJ l +x2(x+(a r c t a n x)2,解：-丁匚 长J l +x2(a r c t a n x)2,-；ax1 +x2=g J：)+J (

8、a r c t a n x)2d(a r c t a n x)1 .z-2 x 1/、3=l n(l +x-)+-(a r c t a n x)+c3 的 i m 1 +)一/(1)3.设/(x)=e ，求 力-h解:(l+2_/广h4.设 y=X+(a r c t a n x)-xa r c t a n x+g l n(l+/),求 力。解:,7 2 x2+1 _ 1 1 1 2xy=x(a r c t a n x)+-2 a r c t a n x-a r c t a n x-+-7 2 1 +x2 l+x2 2 1 +x2=x(a r c t a n x)2x 1+l +Y所 以 力=y

9、 d =x(a r c t a n x)2+X-11 +x2dxr35.判定函数y=y y 的单调区间3-(3 7 2)4(3-正(3-x2)2X2(9-X2)(3-x2)2当一3Vx 0,函数单调增加；当x 3时，y o,函数单调减少，故函数的单调递减区间为(-00,-3)u(3,+0 0),单调递增区间为(3,3)6.设函数/(x)=Inx-,求解：设 A =必:，则/（x）=l n xA,两边求定积分得A =J f(x)dx-j (l n x-A)dx(x I n x-x-=-A e +A +1解得：A =,，于是e/(尤)=I n x-e收敛,7.判定级数n=l还是条件收敛？(-1)的

10、收敛性，若其收敛，指出是绝对J/2 +品00解：（1）先判别级数zM=1y .1的收敛性念，2 +11 A令”有iH H 1WlZq发散M=1 W=1 十 工n=zt=l/1.发散U+n（2）由于所给级数是交错级数且1 M=/yin21J(+1)2 +(+l)%,=0由莱布尼兹判别法知，原级数收敛，且是条件收敛。8 .设 z=/s i”？+孙3,求法4解：一=2 xs i n y2+y3a台 z d di a.?3-=()=(2 xs i n y_ +y)法分方=4 孙 c o s y 2 +3 y 29.求微分方程y +3 y+2 y=x 的通解先求方程y +3 y+2 y=0的通解：特征方

11、程为 产+3厂+2 =0,特征根为八二一1,G二一2 ,于是齐次方程通解为y=cxex+c2e2 x.(1)方程中的/(x)=x/=泥 处，其中。=1不是特征根,可令y*=3 +W则 y*=+a +b)ex,y*M=(a x+2 a +b)ex代入原方程并整理得(6 ax+5。+6 b)ex-xex=6 =1,5 ci+6 b=0 a=,h=-6 3 6_ i 5所求通解为 y=y+y*=cex+c2ex+(x-)e 6 3 61 0.将函数/(x)=a r c t a n 2 x展开为麦克劳林级数*7 00解：/(x)=(a r c t a n 2 x)=3-2-=2自(4/)”=Z(T)2

12、 2+-2(工=o2-)2oof M-f(O)=尸 力=J；0(1)2 2 +室 心n=0Q 2+1n 乙 工2 +12n+1(-l)n22 n+l2 n=(-l)n=0，?=0即00/(x)=a r c t a n 2x=n=01z x2/1+12n+11-4龙 W-22l l.设/(/)=4,求r(x)cue X解:因？/(J)=/，(尤2).2%由 L/(X2)=J.得axclx x?r(/)=I 从而/，(*)=I2x 2x1 2.求函数z=-x2-/在条件y-1 =0之下的最值。解：把条件极值问题转化为一元函数的最值Z(x)=_九2V3当x =0时，函数取到最大值匚2V3当x =J时

13、，函数取到最小值021 3.求曲线y=的渐近线-U+D2解：（i）工 FT=0 0曲线没有水平渐近线/c、lim,lim一三一x3(尢+1)200,曲线有铅直渐近线X =-1/Q x lim y_ _ limx-8-x-ooX7X、-7 =l=aU+D2工(y-3=工(*+1)2-x)=l i m 父 T 一 尸 7所以曲线有斜渐近线y=x-21 4.设 区 域 为 D：14/+/4 2,y NO ,计 算r r dxdyJ J A 2 2D =尤 x3在 x =0 处 不 可 导，2-1 X3-1y=l-x 3=-j (x w 0时)一令 y=0 得驻点 x =l ,求 得y(-l)=-g,

14、y(0)=0,y=_ g于 是y在-1,1 上的最大值为y(0)=0,最小值为X-1)=-|1 6.求不定积分J s i n 。解：令&=t,x=t2,dx-2tdt,于是j s i n 4xdx=js i n r -2tdt=2 j/s i n tdt一2 1 r(c o s z)*J r=-2 r c o s r -j cos tdt=-2 r c o s r-s i n r +cS bi-2 Vx c o s Vx +2 s i n Vx +c1 7 .设 z=z(x,y)由方程/+2 y2 +3Z2+D Z=9 确4 4dL di定，odx dy解：令尸(X,y,z)=%2 +2/+3

15、 z?+孙-z-9 ,则工=2 x +y,F/=4 y+x,工=6z-l于是，包=一 丝:=_2a Fz 6z-1di _ Fy _ 4 y+xdy F二 6 z-11 8.若 区 域D：x2+y2l,计 算 二 重 积 分-dxdy ox+y解：D用极坐标表示为(八。)|0 6 2为0 r l)ff-7-dxdy-1才一 二)=2)J J +x+y J o J o i +产 Jo 1 +r2=4*1 +I)=乃 +)l n 2yx2+y2l0 x1 9.求过三点 A(0,1,0),B(1,-1,0),C(1,2,1)的平面方程。解：电=1,-2,0,AC=1,1,1,平面法向量或同时垂直于益

16、和 公,于是可令in=A B x A C=11J k-2 0 =-2 i-j+3 k =-2,-1,3)1 1平面方程为：-2（x-0）-（y-l）+3（z-0）=0 即-2x-y+3 z+l =02 0.判定级 数 上i +g解：因为 斗 是 公 比 夕 二=1 400L)的收敛性。3二二 .-=u+l,h m“=h mTn VH+1 由 莱 布 尼 兹 判 别 法 知n=v=0 J”满足9 =0)=-收 敛，=级数n2 1.求方程 y+y 2 y解：特征方程为r+rf(x)=x2=x2en为：y*-x。-eO x (ax2y*=2 ax +/?,y*”2.cix2+(2。-2b).=/的一

17、个特解。-2 =0,特征值八=-2,r2=1,这里a=0不是特征根，可设特解+Z?x +c)=ax2+hx+c=2 a代入原方程并整理得：x+(2 a+h 2 c)=x2解得:234于是 y*=_ L 2 _ L _ 32 2 422.证明:/a?、dx解：/(，+!佳 心JI X Xr2 j a2 x dt 1 r 2 a2、dt又2,dt由 1、2得:2 3.设/(x)为连续函数，且/*)=/+3 x(/(x)必:，求/(幻。解：令 A=J7(X)0C,则f(x)=x3+3xf(x)dx=x3+3 Axn J j(x)公=1(I+3&)公=(；/+&2)=：+Au n.1 3 .1即 A=

18、I A.=A=4 2 23于是/(x)=x3-X2 4.设 抛 物 线y=o x?+/?x +c过 原 点（0,0）且当x e 0,1 时，y 0,试 确 定a、b、c的 值。使得抛物线y=o?+公+。与直线彳=1,y=0所围成图形的面积为一，且9使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小。解：因 抛 物 线y=G +b x+c过 原 点（0,0）,有c=0 n y=ax2+bx依题意，如图所示阴影部分的面积为弧+加（刎+/）=拚5-9-4该图形绕X轴旋转而成的旋转体的体积为V=(ax2+hx)2dx=句)(“中 +2abx3+b2x2)dx(a2 1 ,1,1 5 2 3)=V(a)=-+-a -5 2 19=0,得驻点:64a H-243.9 3 3 95y由问题的几何意义可知，当。=-9,从而8=2 时，旋35,转体的体积最小，于是所求曲线为丁=-+2%尤3%5 X12 5.求基级数X 二+的和函数，并由3 5 7此求级数-1-F.的和。3 5 7r3 r5 r7解:令5(%)=%-可+可 亍+，则 S(0)=0 且有S(x)=l-x2+/_/+.=71 +X又S(x)S(0)=J 3 山=告力=arctan xS(x)=arctan x于是 1+-+.=arctan 1=3 5 7 4