2021年数学中考一轮单元总复习达标精准突破：专题22二次函数（教师版）.pdf

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1、专题2 2二次函数士，单元知识点呈现知识点一：二次函数的基本概念与特征1 .二次函数的概念：一般地，形如y =o r 2 +f e c +c （。，从c是常数，。*0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a w O,而，c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2 .二次函数丫 =6 2+区+。的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.a,6,c是常数，a是二次项系数，）是一次项系数，c是常数项.知识点二：二次函数的基本形式及其性质1 .尸 加 的性质：（a的绝对值越大，抛物线的开口越小）a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上(0

2、,0)y轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随x的增大而减小；x =0时，y有最小值0.a 0时，y随x的增大而减小；x 0向上（0,C）y 轴x 0 时，y随x的增大而增大；x 0 时，y随x 的增大而减小；x =0时，y 有最小值c.a 0 时，y随x的增大而减小；x v O 时，y随x 的增大而增大；x =0时，y 有最大值c.3.y =a（x-/?）2 的性质：（左加右减）a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上（/?，0）X=hx /z 时，y 随x的增大而增大；时，y随x 的增大而减小；x =/z 时，y 有最小值0.ah Bt,y随x的增大而减小；时，），随x 的增大而

3、增大：x =/z 时，y 有最大值0.4.y =+A 的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上（6,k）X=hx /7 时，y随x的增大而增大；x /?时，y随x 的增大而减小；x =/?时，y 有最小值k.。0向下（h,k）X=h时，y 随x的增大而减小；工0)【或下(Z =依 2+笈+。的比较从解析式上看，y =a(尤一与2+欠与、=奴 2+法+。是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者,即=人+21+处至，其中/?=_2,%=竺 七 8.(la)4 a 2a 4 a知识点五一：二次函数y 二以?+f e r +c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数)=加+法+c

4、 化为顶点式y =(x-4+女，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图,一般我们选取的五点为:顶点、与 y 轴的交点(0,c)、以及（o,c）关于对称轴对称的点（2儿 c）、与x 轴的交点（5，0）,（x2,0）（若与X轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与），轴的交点.知识点六：二次函数y=ax2+加+。的性质1.当时，抛物线开口向上，对称轴为x=-K,顶点坐标为-22a1 2a4 ac-b24 a当时，y 随x 的增大而减小；2a当x -2时，y 随x 的增大而增大；2a当x=-2时，y

5、有最小值.2a 4 a2.当a -2时，2a）,随X的增大而减小;当时，2ay 有最大值处二4 a知识点七：二次函数解析式的表示方法1.一般式：y=cue+hx+c（a,b,。为常数，。0）；2.顶点式：y=a（x-h）2+k（a,h,%为常数，aw O）；3.两根式：y=a（x-x）（x-x2）（。/0,为，是抛物线与工轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点，即/-4 a c W 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.知识点八：二次函数的图象与各项系数之间的

6、关系1.二次项系数a二次函数 =以 2+笈+。中，a 作为二次项系数，显然axO.(1)当a 0 时，抛物线开口向上，”的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开越大；当。0 的前提下，当时，一(0,即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当6=0 时，-(=0，即抛物线的对称轴就是y 轴；当b 0，即抛物线对称轴在y 轴的右侧.在 o 时，-(0,即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当。=0 时，-(=0，即抛物线的对称轴就是y 轴；当b o 时，-(0，即抛物线对称轴在y 轴的左侧.总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置.的符号的判定：对称轴x =-2 在 y轴左边，贝在y轴的右侧，则。

7、0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与)，轴交点的纵坐标为正；当 c =0 时，抛物线与)，轴的交点为坐标原点，即抛物线与)，轴交点的纵坐标为0；当 c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负.总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.总之，只要。，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.知识点九：二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1 .关于x 轴对称y =汗+6 x+c 关于x 轴对称后，得到的解析式是丫=-渡 bx-c；y =a(x-/?)2+k关于x 轴对称后，得到的解析式是y =-(%-/

8、?)-kx2.关于y 轴对称y=ax2+b x +c 关于y 轴对称后，得到的解析式是y=ax2-bx+c；y=ax hy+k关于y 轴对称后，得到的解析式是y-ax+k；3 .关于原点对称y=ax2+f a x +c 关于原点对称后，得至！J 的解析式是y =-G?+f e r-c ；y =a(x 关于原点对称后，得到的解析式是y =a(x+)2 A ；4 .关于顶点对称(即：抛物线绕顶点旋转1 8 0。)丫 =加+6 x+c 关于顶点对称后，得到的解析式是y-ax2-bx+c-；2ay =a（x-犷+%关于顶点对称后，得到的解析式是尸-“（x-犷+左.5.关于点（加，）对称y =a（x-）

9、+/关于点（“，）对称后，得至I J 的解析式是y =-a（x+/2-2/M）-+2 一 左根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此时永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.知识点十：二次函数与一元二次方程1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程o x?+/?x +c =O 是二次函数y =0 时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：（1）当=

10、从-4ac 0 时，图象与x 轴交于两点A（x ,0）,3（8 2，）（*产 电），其中的不，当是一元二次方程ax2+bx+c=0（。X 0）的两根.这两点间的距离AB=|x2-x,|=物 而纱，.（2）当 =（）时，图象与x 轴只有一个交点；（3）当4 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y 0；当。0 时，图象落在x 轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:A0抛 物 线 与X轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根=0抛 物 线 与X轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有

11、两个相等的实数根A0抛 物 线 与X轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.对点例题解析【例 题1（2020枣庄）如图，已知抛物线y=a?+bx+c的对称轴为直线x=l.给出下列结论:ac 0；2a-b=0；a-b+c0.其中，正确的结论有（）C.3个 D.4个【答案】C【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与 X 轴、），轴的交点，综合进行判断即可.【解析】抛物线开口向下，a 0,与 y 轴交于正半轴，因此c 0,于是有：a c 0,正确，由对称轴x=l,抛物线与x轴的一个交点为（3,0）,对称性可知另一个交点为（-1,0）,因此“-b+c=0,故正确，综上所述，正确的结论有。【例

12、 题2】如图，抛物线y=x 2-b x+c 交 x 轴于点A（1,0）,交 y 轴于点B,对称轴是x=2.（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P,使AP AB 的周长最小？若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.【答案】见解析。1-b+c=0【解析】（D 由题意得，|b=212解得 b=4,c=3,二抛物线的解析式为.y=x 2 -4x+3；（2）,:点A 与点C关于x=2对称,，连接BC与 x=2交于点P,则点P即为所求，根据抛物线的对称性可知，点 C的坐标为（3,0）,y=x2-4x+3与 y 轴的交点为（0,3）,二.设直线BC的解析式为：y

13、=kx+b,f3k+b=0l b=3，解 得,k=-1,b=3.J.直线BC的解析式为:y=-x+3,则直线BC与x=2的交点坐标为：（2,1）.点P的交点坐标为：（2,1）.【点拨】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键.【例 题 3（2020杭州）在平面直角坐标系中，设 二 次 函 数 力=/+扇+小yax+bx+（a,b是实数，2 0）.（1）若函数力的对称轴为直线x=3,且函数 的图象经过点（m b）,求函数 的表达式.（2）若函数 的图象经过点（r,0）,其中rW O,求证：函数九 的图象经过点（之 0）.r

14、（3）设函数力和函数力 的最小值分别为加和，若加+=0,求加，的值.【答案】见解析。【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可.（2）函数 的图象经过点（r,0）,其中r/0,可得J+b H a=O,推 出i +=o,即“（1）2+b-+=0,推出工是方程这2+法+1的根，可得结论.r（3）由题意。0,Ik,a Jn=43 J 根据机+=0,构建方程可得结论.4-4-U【解析】（1）由题意，得到一9=3,解得b=-6,.函数 的图象经过（a,-6）,2-6a+a=-6,解得。=2或3,/.函数 y i =7-6 x+2 或 y=J?-6 x+3 .（2）,函数声的图象经过点（八0）,其中一W 0

15、,2Ar +br+a=O r1 7 1即 a(-)+b-+1=0,r r1 o；一是方程ax+b x+l的根,即函数力的图象经过点（；，0）.(3)由题意。0,*tn=74 m+n=0t4a-b2 4a-b2-+-=0,4 4a(4-.)(+)=0,.Z+l0,.4a-b2=0,/7?n 0.单元核心检测 二次函数单元精品检测试卷本套试卷满分120分，答题时间90分钟一、选 择 题（每小题3 分，共 30分）1.（2020泸州）已知二次函数y=/-2bx+2b2-4c（其中x 是自变量）的图象经过不同两点A（1 -4机）,B（2b+c,m）,且该二次函数的图象与x 轴有公共点，则 b+c的 值

16、 为（）A.-1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由二次函数y=/-2bx+2b2-4c的图象与x 轴有公共点，:.-2b）2-4X 1X （2Z?2-4C）2 0,即 庐-4cW0,由抛物线的对称轴x=-券=/?,抛物线经过不同两点A -b,m）,B C2b+c,m）,.1-b+2b+cb=-2-即，c=b-1,代入得，2-4(fe-1)W 0,即(b-2)2 0,因此匕=2,c=b-1=2 -1 =1,:b+c=2+1 =32.(2 02 0绥化)将抛物线y=2 (x -3)2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是()A.y=2(x -6)2 B.y

17、=2(x -6)2+4C.y=2 x D.y=2jc+4【答案】c【分析】根 据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.【解析】将将抛物线y=2 (x-3)2+2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y=2 (%-3+3)2+2,即 y=2 x +2；再向下平移2个单位为：y=2?+2-2,即y=2，.3.(2 02 0滨州)对称轴为直线x=l的抛物线)=2+云+。(队6、c为常数，且a#0)如图所示，小明同学得出 了以下结论：“6c 4 ac,4a+2 6+c 0,3 a+c 0,a+h：m(am+h)(，为任意实数)，当x 0,c 0,：.b=-20,.abc0,/.b2 4 acf故

18、正确：当x=2时,y=4a+28+cV0,故）错误；当 x=-1 时，y=a-/?+c0,/.3a+c0,故正确；当 x=l时，y 的值最小，此时，y=a+/?+c,而当 xm 时，y=am2+bm+c,所以 u+b+c&am“+bm+c,H i a+banf+bm B|J a+bm（am+b）,故正确，当 x V-l 时，y 随 x 的增大而减小，故错误.4.（2020成都）关于二次函数y=/+2 x-8,下列说法正确的是（）A.图象的对称轴在y 轴的右侧B.图象与y 轴的交点坐标为（0,8）C.图象与x 轴的交点坐标为（-2,0）和（4,0）D.y 的最小值为-9【答案】D【分析】根据题目

19、中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题.【解析】.二次函数 y=/+2 r-8=(x+1)2-9=(x+4)(x-2),.该函数的对称轴是宜线x=-1,在y轴的左侧，故选项A错误；当x=0时，y=-8,即该函数与y轴交于点(0,-8),故选项8错误；当y=0时，x=2或x=-4,即图象与x轴的交点坐标为(2,0)和(-4,0),故选项C错误：当x=-1时，该函数取得最小值y=-9,故选项D正确5.(2 02 0河北)如图，现要在抛物线y=x (4-x)上找点P (“，b),针对匕的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若6=5,则点尸的个数为

20、0；乙：若6=4,则点P的个数为1；丙：若匕=3,则点尸的个数为1.下列判断正确的是()A.乙错，丙对 B.甲和乙都错 C.乙对，丙错 D.甲错，丙对【答案】C【分析】求出抛物线的顶点坐标为(2,4),由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即可得出结论.【解析】y=x (4-x)=-/+4x=-(x -2)?+4,.抛物线的顶点坐标为（2,4）,二在抛物线上的点P的纵坐标最大为4,甲、乙的说法正确；若=3,则抛物线上纵坐标为3的点有2个，丙的说法不正确.6.（2 02 0南充）关于二次函数yax-4a x -5 （a WO）的三个结论：对任意实数m,都 有x =2+m与皿=2-相

21、对应的函数值相等；若3启4,对应的y的整数值有4个，则一g ，=/-4a r -5的 对 称 轴 为 直 线 广 券 =2,la.x=2+m与X2=2-m关于直线x=2对称,.,.对任意实数m,都有x i=2+m与 汹=2 -m对应的函数值相等；故正确；当 x=3 时，y=-3 a-5,当 x=4 时,，y=-5,若 a 0 时，当 3 Wx W4 时，-3 a-5 y W-5,.当3 W x W 4时，对应的y的整数值有4个，若“V O 时，当 3 Wx W4 时，-5 W y V-3 a-5,.当3 W x W 4时，对应的y的整数值有4个,4一2 V a 0,抛物线与x轴交于不同两点A,

22、B,且48 W6,.,.0,2 5。-2 0。-5 2 0,.(16a 2+2 0a 0；飞a-5 N 0.D 1,若a 0,2 5 a-2 0a-5 W0,.(16a2+2 0a 0,5 a-5 0.-5综上所述：当a V-,或时，抛物线与x轴交于不同两点A,B,且A 8 W6.7.(2 02 0甘孜州)如图，二次函数y=a (x+1)?+%的图象与轴交于A (-3,0),8两点，下列说法错误 的 是()A.a0B .图象的对称轴为直线x=-1C.点8的坐标为(1,0)D.当x 0时，y随x的增大而增大【答案】D【解析】观察图形可知x+c的图象经过（-3,0）与（1,0）两点，关于x的方程0

23、+辰+。+/=0（m 0）有两个根，其中一个根是3.则关于x的方程o r 2+f e r+c+=0（0 n m）有两个整数根，这两个整数根是（）A.-2 或 0 B.-4 或 2 C.-5 或 3 D.-6 或 4【答案】B【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程/+云+,+=0（0 n 0）有两个根，其中一个根是3.方程a/+b x+c+m=0（，0）的另一个根为-5,函数y=a+fe r+c的图象开口向上，关于x的方程&F+fe x+c+”=0（0/J4 acB.abc0C.a-c 0,c 0,=/?2-4 ac 0,白=一1，/.fe=2 a 0

24、,h2 4 a c,故A选项不合题意，：.abc0,故B选项不合题意，当 x=-1 时，y V O,/a-人+cV 0，-+cV O,即a-c 0,故C选项符合题意，当/=/时，y=F+为 +c,当x=-1时，y有最小值为a-b+c,2/.am+。？+c2 -b+c,.-b,故。选项不合题意.10.（2 02 0衢州）二次函数y=，的图象平移后经过点（2,0）,则下列平移方法正确的是（)A.向左平移2个单位,向下平移2个单位B.向左平移1个单位,向上平移2个单位C.向右平移1个单位,向下平移1 个单位D.向右平移2个单位,向上平移1 个单位【答案】C【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定

25、系数法解决问题即可.【解析】4、平移后的解析式为y=（x+2）2-2,当x=2时，y=1 4,本选项不符合题意.B、平移后的解析式为y=（x+1）2+2,当x=2 时，y=l l,本选项不符合题意.C、平移后的解析式为y=（x -1）2-1,当x=2 时，y=0,函数图象经过（2,0）,本选项符合题意.。、平移后的解析式为y=（x -2）2+1,当x=2时，y=1.本选项不符合题意.二、填 空 题（10个小题，每空3 分，共 33分）11.（2 02 0泰安）已知二次函数y=o?+厩+c（小Ac 是常数，a W O）的），与 x的部分对应值如下表:0；当 x=-2时，函数最小值为-6；若 点（

26、-8,“），点（8,以）在二次函数图象上，则力 2；方 程cvT+bx+c-5 有两个不相等的实数根.其中，正 确 结 论 的 序 号 是.（把所有正确结论的序号都填上）【答案】.【分析】任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图象与系数之间的关系进行判断即可.【解析】将（-4,0）（0,-4）（2,6）代 入 丫=2+法+。得,16a 4b+c=0c=4 f解得,4a+2b+c=6a=1b=3c=-4J 抛物线的关系式为y=x2+3x-4,a=l 0,因此正确;对称轴为x=-|,即当x=-,时，函数的值最小，因此不正确；把（-8,yi）（8,）2）代入关系式得，”=6

27、 4-2 4-4=3 6,=64+24-4=84,因此正确；方程 ax+bx+c=-5,也就是,+3x-4=-5,即方/+3x+l=0,由 b1-4 ac=9-4=50 可得 J C2+3X+1=0有两个不相等的实数根，因此正确；正确的结论有：12.（2020哈尔滨）抛物线y=3（x-1 ）2+8的 顶 点 坐 标 为.【答案】（I,8）.【分析】已知抛物线顶点式y=a（x-/）2+k,顶点坐标是（儿k）.【解析】抛物线y=3（x-1）2+8是顶点式，顶点坐标是（1,8）.13.（2020 无锡）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y 轴：【答案】），=/（答案不唯一）.【分析】根据形如y

28、=/的二次函数的性质直接写出即可.【解析】图象的对称轴是），轴，.函数表达式y=、2（答案不唯一），故答案为：y=，（答案不唯一）.14.（2 02 0上海）如果将抛物线y=/向上平移3 个单位，那 么 所 得 新 抛 物 线 的 表 达 式 是.【答案】y=+3.【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解.【解析】抛 物 线 向 上 平 移 3 个单位得到y=/+3.15.（2 02 0黔东南州）抛物线y=ax 2+b x+c（.W 0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（-3,0）,对称轴为x=-l,则当y 0 时，x的 取 值 范 围 是.【答案】-3 x l.【分析】根据物线与

29、X轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与X轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y 0 时，X的取值范围.【解析】：物线丫=。/+版+。（a W O）与x轴的个交点坐标为（-3,0）,对 称 轴 为 尸-I,.抛物线与x 轴的另一个交点为（1,0）,由图象可知，当y0时.，x的取值范围是-3 x 2a；a x 2+b x+c=0的两根分别为-3 和 1；a -2b+c 0.其 中 正 确 的 命 题 是.（只要求填写正确命题的序号）【答案】.【解析】由图象可 知 过（1,0）,代入得到a+b+c=0；根据-2-=-1,推出b=2a；根据图象关于对称轴对2a称，得出与X轴的交

30、点是（-3,0）,（1,0）；由a -2b+c=a -2b -a -b=-3 b V 0,根据结论判断即可.由图象可知：过（1,0）,代入得：a+b+c=0,正确；h-=-1,2a，b=2a,.错误；根据图象关于对称轴对称,与 X 轴的交点是(-3,0),(1,0),.正确；Va-2b+c=a-2b-a-b=-3b0,.错误.故答案为：.18.如图，抛物线y=-x2+2x+m(m 淅=”或号).【答案】.【解析】由二次函数根与系数的关系求得关系式，求得m 小于0,当X=X2-2时，从而求得y 小于0.抛物线 y=-x2+2x+m(m 0Am0*/X|+X2=2AX1=2-X2x=X0/.y 0

31、 故答案为.1 9.二次函数y=-x2-2x+3的 图 象 的 顶 点 坐 标 为.【答案】(-1,4).【分析】把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可.(解析】y=-2x+3-(x-+2x+l-1)+3=-（x+1）2+4,二顶点坐标为（-1,4）.20.（2020乐山）我们用符号田表示不大于x 的最大整数.例如：1.5=1,-1.5=-2.那么：（1）当-l 0 时 x 的取值范围.（2）平移该二次函数的图象，使点。恰好落在点A 的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.【答案】见解析。【分析】(1)利用待定系数法求出小再求出点C 的坐标即可解决问题.(2)由题意点C

32、平移的A,抛物线向右平移2 个单位，向上平移4 个单位，由此可得抛物线的解析式.【解析】(1)把 8(1,0)代入 y=a+4x-3,得 0=。+4-3,解得 a=-,y=-x+4x-3=-(x-2)+1,(2,1),.对称轴x=2,B,C 关于x=2 对称，：.C(3,0),当 y0 时，l xV3.(2)VD(0,-3),.点。平移的A,抛物线向右平移2 个单位，向上平移4 个单位，可得抛物线的解析式为丫=-(x-4)2+5.22.(10分)(2020泸 州)如图，已 知 抛 物 线+历代 经 过A(-2,0),B(4,0),C(0,4)三点.(1)求该抛物线的解析式；(2)经过点8 的直

33、线交)，轴于点力，交线段AC于点E,若BD=5DE.求直线BD的解析式；已知点Q 在该抛物线的对称轴/上，且纵坐标为1,点尸是该抛物线上位于第一象限的动点，且在/右侧，点 R 是直线BO上的动点，若PQR是以点。为直角顶点的等腰直角三角形，求点P 的坐标.【答案】见解析。【分析】(1)根据交点式设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入抛物线交点式中，即可求出“，即可得出结论；(2)先利用待定系数法求出直线AC的解析式，再利用相似三角形得出比例式求出B F,进而得出点E坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；先确定出点Q的坐标，设点P(x,-#+x+4)(1 4V4),得出P G=x-l,GQ=吴+/

34、3,再利用三垂线构造出尸Q G 会 Q R，(A 4S),得出 R H=G Q=-1 v2+x+3,Q H=P G=x-1,进而得出 R(2-x),最 后 代 入 直 线 的 解 析 式 中，即可求出x的值，即可得出结论.【解析】(1).抛物线 y=o?+b x+c 经过 4(-2,0),B(4,0),设抛物线的解析式为y=a (x+2)(x-4),将 点。坐 标(0,4)代 入 抛 物 线 的 解 析 式 为(x+2)(X-4)中，得-8=4,/.a=一亍，抛 物 线 的 解 析 式 为 尸 (x+2)(x-4)=一充+犬+4；J L L(2)如 图 1,设直线AC的解析式为ykx+b,将点

35、 A (-2,0),C(0,4),代入=丘+中，得。=0,.(k=2,直线A C的解析式为y=2%+4,过点E 作 E/L L x 轴于凡O D/EF,:.XBODSABFE,_O_B _B_D =,BF BE:B(4,0),OB=4,；BD=5DE,.BD BD 5DE 5BE-BD+DE-5DE+BE 6.BE 6 A 24,BF=BD xOB=耳 x 4=可，24 4 OF=BF-OB=g -4=J,4 4 19将 x=一5代入直线AC：y=i+4中，得 y=2 义(耳)+4=亍 4 12:E(r，-)，5设直线BD 的解析式为y=mx+n,(4m+n=0：.4,12,5 =2/.直线B

36、D 的解析式为尸-Jx+2；.,抛物线与x 轴的交点坐标为A(-2,0)和 8(4,0),.抛物线的对称轴为直线x=l,.点 Q(1,1),如图 2,设点尸(x,-1?+x+4)过点P 作 PG_L/于 G,过点R 作于”，1 2 1 9/.PG=x-L GQ=+x+4-1=-+x+3,：P G l,：.ZP G Q 90Q,=NGPQ+NPQG=90,PQR是以点。为直角顶点的等腰直角三角形,：.P Q=R Q,/PQR=90,：.ZPQ G+ZR Q H=90,：.Z G P Q Z H Q R,:A P Q G d Q R H (/L4S),1 2*RH=GQ2彳 一+4+3,QH=PG

37、=x 1?1 9:R(2广+工+4,2-x)由知，直线B D 的解析式为尸-%+2,.x=2 或 x=4(舍)，当 x=2 时，=-1?+x+4=-1 x4+2+4=4,2 2：.P (2,4).y23.（8 分）（202。济宁）我们把方程（X-,*）2+（y-）2=j 称为圆心为（如）、半径长为r 的圆的标准方程.例如，圆 心为（1,-2）、半径长为3 的圆的标准方程是（x-1）2+（y+2）2=9.在平面直角坐标系中，O C 与轴交于点A,B,且点B 的坐标为（8,0）,与 y 轴相切于点。（0,4）,过点A,B,。的抛物线的顶点为E.（1）求O C 的标准方程；（2）试判断直线AE与O

38、C 的位置关系，并说明理由.【答案】见解析。【分析】（1）如图，连接CO,C B,过点C 作 CM_L48于 例.设 O C 的 半径为八在RtaBCM中，利用勾股定理求出半径以及等C 的坐标即可解决问题.（2）结论：AE是O C 的切线.连接4C,C E.求出抛物线的解析式，推出点E 的坐标，求出AC,AE,CE,利用勾股定理的逆定理证明NCAE=9（T即可解决问题.【解析】（1）如图，连接CD,C B,过点C 作 CM_LA8于 M.设O C 的半径为r.与y 轴相切于点。（0,4）,：.CDOD,?4C D 0=4C M 0=NDOM=90,四边形ODCM是矩形，：.CM=OD=4,CD

39、=OM=r,：B（8,0）,.08=8,：.B M=S-r,在 Rt Z k C M B 中，VB C2=C M2+B M2,=4 2+(8-r)2,解得r=5,：.C(5,4),.0C 的标准方程为(%-5)2+(y-4)2=2 5.(2)结论：A E是0 c的切线.理由：连接A C,CE.：CM1AB,：.AM=B M=3,；.A (2,0),B(8,0)设抛物线的解析式为y=a (x-2)(x-8),把。(0,4)代入y=a (x-2)(x-8),可得。=*,抛物线的解析式为产,(x -2)(x -8)=#一表+4=*(x -5)2 抛物线的顶点E(5,9-4254-9-44+C E-A

40、 C=5,：.ZCAE=90,，A E是O C的切线.2 4.（1 2分）（2 02 0甘孜州）如图，在平面直角坐标系x Oy中，直线=区+3分别交x轴、y轴于A,B两点，经过A,B两点的抛物线），=-f+b x+c与无轴的正半轴相交于点C （1,0）.（1）求抛物线的解析式；（2）若P为线段A B上一点，N A P O=N A C B,求A P的长：（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N,使得以A,P,M,N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析。【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可.（2）求出A 2,O A

41、,A C,利用相似三角形的性质求解即可.（3）分两种情形：以为平行四边形的边时，点M的横坐标可以为2,求出点M的坐标即可解决问题.当A P为平行四边形的对角线时，点M的横坐标为-4,求出点M的坐标即可解决问题.【解析】（1）由题意抛物线经过8（0,3）,C（1,0）,c=31+b+c=O解 此：二 抛物线的解析式为y=-x2-2x+3(2)对于抛物线y=-7-2%+3,令 y=0,解得x=-3 或 1,(-3,0),(0,3),C(1,0),：.OA=OB=3OC=f AB=3近,V ZAPO=ZACB9 ZPAO=ZCAB,AP AO ,AC AB 丝 34 3V2：.AP=2y/2.(3)

42、由(2)可知，P(-1,2),A P=2&,当 AP为平行四边形的边时，点 N 的横坐标为2 或-2,：.N(-2,3),N(2,-5),当 AP为平行四边形的对角线时，点 N 的横坐标为-4,：.N(-4,-5),综上所述，满足条件的点N 的坐标为（-2,3）或（2,-5）或（-4,-5）.2 5.(1 2分)(2 02 0聊 城)如图，二次函数y 0?+法+4的图象与x轴交于点A (-1,0),B(4,0),与y轴交于点C,抛物线的顶点为),其 对 称 轴 与 线 段 交 于 点E,垂直于x轴的动直线/分别交抛物线和线段8 C于点尸和点八 动直线/在抛物线的对称轴的右侧(不含对称 轴)沿x

43、轴正方向移动到B点.(1)求出二次函数y=n f+h x+4和B C所在直线的表达式；(2)在动直线/移动的过程中，试求使四边形OEF P为平行四边形的点P的坐标：(3)连接C P,C D,在动直线/移动的过程中，抛物线上是否存在点尸，使得以点P,C,尸为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】见解析。【分析】(1)由题意得出方程组，求出二次函数的解析式为y=-/+3x+4,则C(0,4),由待定系数法求出8 c所在直线的表达式即可(2)证OE尸F,只要。E=P凡 四边形。a乎即为平行四边形，由二次函数解析式求出点。的坐标，由直线8 c的解析式求出点E的坐

44、标，则。E=当，设点P的横坐标为f,则尸的坐标为：C,-广+3 f+4),F的坐标为：(t,-t+4),由。E=P F得出方程，解方程进而得出答案;(3)由平行线的性质得出/C E C=/C F P,当Z P C F=N C C E时，P C F s/c E,则 一=,得出方CE DE程，解方程即可.【解析】(1)将点 A(-1,0),B(4,0),代 入)-af+forH,得.0 =a-b+4e1 0 =1 6 a+4 b+4 解得：片=/，3 =3.二次函数的表达式为：y=-/+3 x+4,当 x=0 时，y=4,：.C(0,4),设3。所在直线的表达式为：y=mx+n,将 C (0,4)

45、、B(4,0)代入 y=g+，得：仁=1上,1 0 =4 m +n解得：:二;L.BC所在直线的表达式为：y=-x+4；(2)：E _ L x 轴,P凡L x轴,J.DE/PF,只要D E=PF,四边形。E F P即为平行四边形，y=-，+3 x+4=-(x-9)3 25 点。的坐标为：(二，2 4将 x=m弋入 y=x+4f 即 y=+4=擀，一,3 5 点E的坐标为：(；，-),2 2.八1 r 25 5 15 阳 彳-2=彳,设点P的横坐标为3则尸的坐标为：(r,-F+3/+4),厂的坐标为：(/,-1+4),:PF=-/+3/+4-(-/+4)=-Z +4/,01 q由D E=P F得

46、:-+4/=蛾，解得：“=(不合题意舍去)，/2=|，q o 5 o q 21当 t=引寸，-产+3什4=-(-)2+3X 5+4=4，2 Z 45 21 点尸的坐标为(-,);2 4(3)存在，理由如下：如图2所示：由(2)得：PF/DE,；,/C E D=N C F P,又YNPC尸与NDCE有共同的顶点C,且NPCF在NOCE的内部,:/PCF#/DCE,，只有NPCF=NC)E时，X P C F s X C D E,PF CF.=,CE DE3 5VC(0,4)、E(-,-),2 2.。=哥+(4 _ 务2=挈,由(2)得：O E=竽，P F=-/+4 f,F 的坐标为：G,-r+4)

47、,：.CF=y/t2+4-(-t+4)2=V 2 z,.-t2+4 t V 2 tA 3V2=-41 5一(-t+4)=3,4解得：T，当也 匚 可1 6时rH.，-，2+c3-d4=-(/1 6)、2 +31 x-1 6y+,4.=2854,1 6 8 4，点 P的坐标为：(二,).5 2 5图 22 6.（8分）（2 0 2 0 黔东南州）黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品,需 6 0 元；购进2 件甲商品和3 件乙商品，需 65 7t.（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当 U W x W

48、 1 9 时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x 之间存在一次函数关系，小 y之间的部分数值对应关系如表：销售单价x(元/件)1 1 1 9日销售量y (件)1 8 2请写出当U W x W 1 9时，)，与x之间的函数关系式.(3)在(2)的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x(元/件)定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？【分析】(1)设甲、乙两种商品的进货单价分别是“、人元/件，由 题 意 得 关 于 的 二 元 一 次 方 程 组,求解即可.(2)设y与x之间的函数关系式为y=鬲x+，用待定系数法求解即可.(3)根据利润等于每件的利润乘以销售量列出函数

49、关系式，然后写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案.【解析】(1)设甲、乙两种商品的进货单价分别是、&元/件，由题意得：(3a+2 b=6 02 a+3 b=6 5 解得：仁3甲、乙两种商品的进货单价分别是1 0、1 5元/件.(2)设y与x之间的函数关系式为y=%x+仇，将(1 1,1 8),(1 9,2)代入得：1 1的+瓦=1 8 解得 f f c i =-21 9/C j+br=2，用 匕=4 0，与x之间的函数关系式为)，=-2 x+4 0 (1 1 W1 9).(3)由题意得:w=(-2 x+4 0)(x-1 0)=-2?+6 0 x-4 0 0=-2 (x-1 5)2+5 0 (1 1 WXW1 9).当x=1 5 时，w 取得最大值50.当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50 元.