2023年新高考数学大一轮复习专题37求曲线的轨迹方程（解析版）.pdf

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1、专 题 3 7 求曲线的轨迹方程【考点预测】曲线的方程和方程的曲线在直角坐标系中，如果是某曲线c（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程/（x,y）=O的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（完备性）（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（纯粹性）那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线.事实上，曲线可以看作一个点集C,以一个二元方程的解作为坐标的点也组成一个点集F,上述定义中o C =F 条件（2）o F u C【方法技巧与总结】一.直接法求动点的轨迹方程利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：（1）建系：建立适当的坐标系（2）设点：设

2、轨迹上的任一点P（x,y）（3）列式：列出有限制关系的几何等式（4）代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为苍y 的方程式化简（5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）.简记为：建设现代化，补充说明.注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线.二.定义法求动点的轨迹方程回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点尸和满足焦点标志的定点连起来判断.熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为尸的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等.当看到以上的标志的时候要想到

3、曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程.三.相关点法求动点的轨迹方程如果动点尸的运动是由另外某一点p 的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x,y）,用（x,y）表示出相关点尸，的坐标，然后把p 的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点p 的轨迹方程.四.交轨法求动点的轨迹方程在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交 点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数.五.参数方程法求动点的轨迹方程动点”（x,y）

4、的运动主要是由于某个参数。的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的x=f（p）坐标，即，再消参.y=g（s）六.点差法求动点的轨迹方程圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其 基 本 方 法 是 把 弦 的 两 端 点 仇乙,月）的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得芭+9，y+%，石-，%-必等关系式，由于弦4 3 的中点尸（匕）的坐标满足2x=X1+x”2y=x+%且 直 线 钻 的 斜 率 为?三 个，由此可求得弦A 8中点的轨迹方程.【题型归纳目录】题型一：直接法题型二：定义法题型三：相关点法题型四：交轨法题型五：参数法题型六：点差法题型七：立体几何与圆锥曲线的

5、轨迹题型八：复数与圆锥曲线的轨迹题型九：向量与圆锥曲线的轨迹题型十：利用韦达定理求轨迹方程【典例例题】题型一：直接法例 1.（2022 全国高三专题练习）已知点P 是 椭 圆=+口 =1上任意一点，过点P 作 x 轴的垂线，垂足为6 4则 线 段 的 中 点 N（x,y）的 轨 迹 方 程 为.-【答案】+/=16【解析】因为轴，垂 足 为 且 PM的中点为N（x,y）,所以P（x,2y）,又因为P 是椭圆+4 =1上任意一点，6 4所以+我 包=1,即K+y 2=l.6 4 6故答案为：（+y2=i.【方法技巧与总结】如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于

6、表达，那么只需把这些关系“翻译”成 含 的 等 式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤,也不需要特殊的技巧，所以被称为直接法.例 2.(2 0 2 2 河南河南模拟预测(理)已知平面上的动点尸到点。()，()和 4 2,0)的距离之比为走，则点P2到x 轴 的 距 离 最 大 值 为.【答案】46【解析】设 P(x,y),因为动点尸到点0(0,0)和4 2,0)的距离之比 为 巫，27(x-0)2+(y-0)2 _ +所以/、,=，+(丫-0/2x2+/_ 3(x-2)2+y2 4,4 x2+4 y 之=3(x2-4 x +4)+3 y 2,x2+y2+l2x=2(

7、K+6)2+y 2 =4 8,所以点P的轨迹是以(F O)为圆心，4G为半径的圆，所以点P到尤轴的距离最大值为4 百，故答案为：4G例 3.(2 0 2 2.全国高三课时练习)已知点P(x,y)到定点M(0,|的距离比它到x 轴的距离大g .(1)求点尸的轨迹C的方程；【解析】依题意网，1+卜川,整理得/=2 竺x2(x2-2 y)=0可得V=2 y 或x=0,当x=0 时，转化为y-；=-0-；),所以y-*0,此时转化为 y-g =g-y =|y|+；,|y|=-y,所以y o.所以尸点的轨迹C 的方程为v=2 y 或 x=0(y 4 0).例 4.(2022.湖南.模拟预测)已知平面直角

8、坐标系中有两点(-2,0),6(2,0),且 曲 线 上 的 任 意 一 点 P 都满足|P耳卜|尸闾=5.求曲线G 的轨迹方程并画出草图；【解析】设 P(x,y),由题设有.&+2)2+y2=5,整理得至ij(9-4 x+4+y2)(x2+4x+4+y2)=25,故Cl：x4+2x2y2-S x2+Sy2-9 =0,其草图如下图所示：例 5.(2022.湖南湘潭.高三开学考 试)已 知 A B 两点的坐标分别为(-2,0),(2,0),直线AP,8尸 的交点为P,且它们的斜率之积-!求点P 的轨迹E 的方程；【解析】设点尸的坐标为(乂刃，由题设得“”怎=一匚上；=一!(X二2),x+2 x-

9、2 4故所求的点P 的轨迹E 的方程为其+/=心 A2).4题型二：定义法例 6.(2022 全国高三专题练习)已知定点A(1,1)和 直 线&x+y-2=0,那么到定点A 和到定直线L 距离相等的点的轨迹为()A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线【答案】D【解析】点 A(1,1)在直线L 上，所以到定点A 和到定直线Z.距离相等的点的轨迹为过A(1,1)且与直线 L垂直的直线.故选：D.【方法技巧与总结】若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法.例 7.（2 0 2 2 全国高三专题练习）已知圆尸：（x 2+丁

10、=1,动圆尸与圆尸外切，且与定直线x=-3 相切，设动点尸的轨迹为.求 E的方程；【解析】设 P（x,y）,圆P 的半径为R,由题可知，点尸在直线x=-3 右侧，因为圆P 与定直线x=-3 相切，所以R =x+3.又圆尸与圆尸外切，所以R=|PF|+l =J（x 2 y +y 2 +1 ,所以x+3 =J（x-2）+y 2+l,化简得y8 x,即E的方程为y?=8x.例 8.（2 0 2 2 江西南昌三模（理）已知两条直线乙：2x-3y+2=0,l2-3 x-2 y +3 =0,有一动圆（圆心和半径都在变动）与 心 4 都相交，并且4,4 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值2 6,2 4,则

11、动圆圆心的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.直线【答案】C【解析】设动圆圆心的坐标为（x,y）,半径为，圆心到4，4的距离分别是4,4，则公+=产，J/+1 22=r2,所 以 石 _#=2 5,又因为心 吐白1 3 x-2 y +3|Y f|3 x-2 y +3|Y旧）屈）r|2 x-3 y +2|Y二得（川.，即察所以动圆圆心的轨迹方程为（X+1）-22=1，65 65由方程可知，动圆圆心的轨迹为双曲线.故选：C例 9.（2 0 2 2 上海市大同中学高三开学考试）已知定点P（TO）和定圆Q:X2 +V=8X,动圆和圆2外切,且经过点尸，求圆心M 的轨迹方程2 2【答案】双曲线三

12、-二=1 的左支4 1 2【解析】结合图象可得，|M Q|-|M P|=4,可得a=2,c=4,则 b=2 后,M 的 轨 迹 为 双 曲 线 亡=1 的左支.4 1 2故答案为双曲线工-上=1 的左支.例 1 0.（2 0 2 2 全国高三专题练习）设动圆加 与 轴相切且与圆。:/+/-2%=0 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为.【答案】或 y =0（x 0）【解析】设 A/（x,y）,+/=1 +国r.xZ 0,y 2 =4 苍x 0,y =0 ,即 轨 迹 方 程 为=4 x或 y =0（x l）【解析】由题，设动圆M 的半径为，圆C 1 的半径为彳=3,圆C 2 的半径为4=1，当动

13、圆M 与圆&,圆C 2 外切时,|M G|=3+r,|M G|=l +,所以 M Ct|-|M G|=（3+厂）一（1 +厂）=2,因为圆心G（0,3）.G（0,3）,即g=6,又2 1）例 1 2.（2 0 2 2.全国高三专题练习（理）设圆/+尸+2 k-1 5 =0的圆心为A,直线/过点8（1,0）且与x 轴不重合，/交圆A 于C,。两点，过 8 作 A C的 平 行 线 交 于 点 E .证 明|E 4|+|E B|为定值，并写出点E的轨迹方程;【解析】由题意可知I明=|A。，故ZA CD=ZA P C,又 B AC,故/E B =Z A C D.故N BO =N 4）C,所以|阿=|

14、回,故|刚+|国=|E 4|+|即=|明，又圆+标准方程为+1）2 +y=16,从而|初=4,所以|E 4|+|B|=4.由题设得A（T,O）,B（1,O）,|AB|=2,山椭圆的定义可得点K的轨迹方程为?+?=1,（0）例1 3.（2 0 2 2全国高三专题练习）已知P是圆4:（-1）2 +丫2 =1 6上的动点，M是线段A P上一点，3（-1,0）,且求点M的轨迹C的方程【解析】由题意知A（l,0）.|网=4.因为|PM|=|何可，所以|M 4|+|M B|=|M 4|+|PM T M =4 AB|=2,所以点M的轨迹C是以A.B为左、右焦点，长轴长为4的椭圆.V-2 V2设椭圆C的标准方

15、程为=+=1（。/2 0）,则a=2,c=l,a b-,2所以从=/一0 2 =3,所以点M的轨迹C的方程为上+二=1.4 34 9例1 4.（2 0 2 2河南郑州高三阶段练习（理）如图，己知圆的方程为（x+l）2 +y 2=,圆巴的方程为8求动圆圆心M的轨迹C的方程;【解析】设动圆M的半径为，动圆M与圆片内切，与圆心外切，.可 凡=乎-,且眼 周=孝+.于是，|岬|+|M闾=2 0|耳闻=2,所以动圆圆心M的轨迹是以耳，亮为焦点，长轴长为2也 的 椭圆.从而，a=y/2,c=,所以6=1.故动圆圆心M的轨迹C的方程为、+丁=1 .例15.（2022山东潍坊模拟预测）己知圆M与圆小（x+2/

16、+y2=1外切，同时与圆F”（x 2）2 +丁=49内切.说明动点的轨迹是何种曲线，并求其轨迹方程；【解析】设圆M的半径为，由圆M与 圆 个（x+2+y 2=i外切，得：也”|=+1,由圆 M 与圆 F”（x 2）2 +V=4 9 内切，得：|g|=7-r,故|/4|+1M鸟|=8|g|,则动点M的 轨 迹 是 心为焦点，长轴长为8的椭圆，故椭圆的短半轴长为用，=2 6，故椭圆的方程为+d =1 .16 12例1 6.设圆9 +2+2x-15=0的圆心为A,直线/过点8（1,0）且与x轴不重合，/交圆A于C,O两点，过3作4 C的平行线交4）于点E,求点E的轨迹方程.【解析】因为|ADR AC

17、|,EBUAC,ft ZEBD=ZACD=ZADC,所以|E 8|=|E|,故|E4|+|B H E 4|+|E 0=|A）|,又圆A的标准方程为（x+1产+/=1 6,从而|A）|=4,所以|E4|+|EB|=4由题设得 A（-l,0），8（1,0）,|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：:+4=1（丫W0）题型三：相关点法例17.（2022全国高三课时练习）设A B分别是直线y=2x和y=-2 x上的动点，且满足|A B|=4,则A 3的中点M的轨迹方程为（）A.x2+=1 B.16C.x2-=l D.16【答案】A【解析】设A&,2 x J,凤孙一2刍），M（x,y）,）广+二1

18、612 X V-=116因为M为A8的中点，则加（笥 上,占-“2）,故=号1,y=x,-x2,又因为|AB|2=（x,-x2）2+（2玉+2超）2 =16,所以y2+（4x=16,即/+=1 ,所以点M的轨迹方程为x?+会=1 .故选:A.【方法技巧与总结】有些问题中，所求轨迹上点M（x,y）的 几 何 条 件 是 与 另 一 个 已 知 方 程 的 曲 线 上 点 相 关 联 的，这时要通过建立这两点之间关系，并用x,y表示x,y,再x,y将代入已知曲线方程，即得x,y关系式.例18.（2022全国高三课时练习）已知,A3C的顶点8（-3,0）,C（l,0）,顶点A在抛物线y=f上运动，则

19、ABC的重心G的 轨 迹 方 程 为.【答案】y=g（3x+2）2（产0）【解析】设G（x,y）,由点G为,ABC的重心，得,t=-3+1 +/3-T.%=3x+2Jo=3y,所以又A（知 先）在抛物线y=/上，所以=只，即3y=（3X+2）L又点4不在直线8 c上，所 以%*0,即y*0,所以所求轨迹方程为y=g（3x+2）2（，*0）.故答案为：y=g（3x+2）2（0）例19.（2022全国高三课时练习）当点P在 圆/+丁=1上变动时，它与定点Q（3.0）的连线PQ的中点的轨迹方程是（）A.x2+6x+5=0 B.x2+y2-6x+S=0C.x2+y2-3x+20 D.x2+y2+3x+

20、2=0【答案】C【解析】设P&,y j,尸。的中点M的坐标为（x,y）,%,+3PF，=2x-3b =2y又：点尸在圆Y+y2=1上,，（2X-3）2+4/=1,BPX2+y2-3x+2=0,故选：C.例20.（2022全国高三课时练习）已知A、B分别是直线 =等 和 =-*x上的两个动点，线段AB的长为2石，P是AB的中点.求动点P的轨迹C的方程.【解析】设尸（x,y）、4（占，%）、B（x2,y2）._%1 +X2九 一 7 P是线段A3的中点，,V=2L1A,2：A、8分别是直线y邛x和 产-冬 上 的点,y=x6 .%=一 /3,：.（xl-x2）2+（y1-y2）2=12,A 12/

21、=12,二动点P的轨迹C的方程 为!+V=1.题型四：交轨法例21.（2022 四川凉山高三期末（理）设 椭 圆!+4 =1的上、下顶点分别为A、B,直线丫 =桃与椭圆交4 8于两点M、N,则直线AM与直线8N的交点尸一定在下列哪种曲线上（）A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆【答案】B【解析】设尸（x,y）,M（%,加），则 N（$,m）,又 A（O,2 0）,8（O,-2 0）,连结 AN则江+史=1,即8 =2/24 8由椭圆的对称性可得阳,272-?7-2/2-m 8-m2 _乂心 NBN=-x-=-=-2“0 X。X。所以原左外，=上二 延x d逑=2,B U y2-2 x2=8

22、X X所以点尸在双曲线产2 f =8匕故选：B在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交 点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数.2 2例 2 2.（多选题）（2022.江苏.南京市第一中学高三开学考试）已知椭圆C：工+汇=1 （a 2）的离心率为a 2,过点P G,1）的直线与椭圆C 交于A,B两点，且 满 足=动点。满足=则下列3结论正确的是（）A.=3B.动点Q 的轨迹方程为2x+3y-6=0C.线段。Q（。为坐标原点）长度的最小值为主叵13D.线段OQ（。为坐标原

23、点）长度的最小值为名叵13【答案】ABD【解析】对于A：由椭圆C:片+片=1（。2）的离心率为 赵，得、仁 2 =且，所以。=3,故A 正确；a 2 3 N a 3对于 B：设人（王,%）,3（%2，%），0（加，“），4 2=（1_%,1_乂）,尸 3=（工 2_1,%_1），A Q =（m-xl,n-yt）,Q S =（x2-f n,y2-n）,由 A P =A P B,A Q =-A Q B,得l-A-=4 r2-l）J玉;士=；+彳 两式相乘得片%考=1_万），同理可得n i-xl=-A x2-n i）,Xj-AX2=7?Z（1-X）,，y-=（i）,彳+方 _ 义2 -+y =（1一

24、把）（/+。山题意知4 0 且2/1,否则与AQ=-2Q B矛盾，.,2+=1,，动点。的轨迹方程 为 尹 5=1,即直线2x+3y-6=0,故 B 正确；3 2 /对于C、D：所以线段。长度的最小值即为原点到直线的距离,min=鼠 jZ,1 1 V4+9 13故 C 错误，D 正确.故选：ABD.例 23.(2022北京市朝阳区人大附中朝阳分校高三阶段练习)在矩形A8氏4 中，A A =8,A B =6,把边A 3分成等份，在 的 延 长 线 上，以BB的分之一为单位长度连续取点.过边A 8上各分点和点火作直线，过9 8 延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，如图建立平面直角

25、坐标系，则点尸满足的方程是.【答案】j 1-=l(x 4,y 0)【解析】设第m组对应直线A P与A B交于点R，A P 与 BB的延长交于点。，作 P ，x 轴丁点，作QK，x轴于点K,设尸(x,y),c m 6/H-m n c,S m贝 ij A R =A B =,A K =B B =n n n n因为 P H/A R,所以 A P H A：R A,.P H R A 口 门所以二777=二 77，即&ny了 _ ,x+4ArH AfA因为PH Q K,所以.APa AQKf所嚼啜y _ 6 _ 3n即 x 4 8/n 4 m,n2 c 2 2x 得7 =整理得=x-16 16 16 9所以

26、点尸满足的方程是1d=l(x*4,”0).2 2故答案为：-=l(x 4,y 0).16 9例 2 4.（河北省邢台市名校联盟2 02 2 届高三上学期开学考试数学试题）已知4、&为椭圆C：x?+:=l 的左右顶点，直线x =/与 C交于AB两点，直线A A和 直 线 交 于 点 求 点 尸 的 轨 迹 方 程.【解析】由题意得A （-L。），4（1,0），设4（%，%），6（如一为）（%工 0），P（x，y）,则 kp%=%,卜 人,=2 时，即上=上=4彳 与 上=工1 X +1%+1 x-x0-l 付 /一 1 片-1 又：点（%，%）在 c上，即*_ 1 =一?，得石=3,一 一 =1

27、（k0）；例 2 5.（2 02 2 河南新蔡县第一高级中学高三阶段 练 习（理）己知反比例函数丫=的图像C是以x 轴与yX轴为渐近线的等轴双曲线.（1）求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；（2）设 A、&为 双 曲 线 C的两个顶点，点1/（公,九）、N（%,x 0）是双曲线C上不同的两个动点.求直线A 与&N交点的轨迹E的方程；1|y =【解析】根据题意可得，反比例函数=5的顶点和焦点均在y=x 上，联立x 解得x=i,故双曲线Xy=x。的顶点坐标（1,1）,（-1,-1）.所以该等轴双曲线的焦距为42（r+r）=4,所以焦点坐标为（2co s4 5o,2co s4 5 ）,即（夜,夜），卜夜

28、,-夜）因为点材伍，儿）、N（%,%）是双曲线C 匕不同的两个动点，故修,%*1.设 E（x,y）,A（U），4（T，T），-1根据A，M,E,Az，N,E 分别共线，且（为,为）在双曲线C上，%=丁，W y-l =.V o-l =-r o =1，且x-l x0-1 x0-1 XQy+1 _ 3 +1 _ _ /+1 _ 2工讦=/=丁 1=*，两式相乘有上二！四=-1，即斗匚=一1,化简得V+y 2=2（xH l）.即轨迹ET人0+1 x-X+1 X的方程为Y+V=2（1）例 26.（2022 全国高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，。为原点，F（1,O）,过直线/：x=4左侧且不在x

29、轴上的动点P,作于点”，N/演E 的角平分线交x 轴于点M,且|尸川=2|用目，记动点P 的轨迹为曲线C.（1）求曲线C 的方程；已知曲线C与x轴正半轴交于点A，过点5（T,0）的直线 交 C于4,8 两点，AS=4 8 S，点 7 满足AT=B，其中几 1,证明：ZAITB=2ZTSO.【解析】（1）设P（x,y）（y fO），因为P x 轴，所以ZHPM=NPMF,因 为 为 N”尸 尸 的角平分线，所以NHPM=NFPM,所以 I尸 尸 I MF NFPM=NPMF,M F=P F,所 以 局=号=不P H P H 2即 J（I）一?。化简整理得二+=,因为尸不在x 轴上，x-4 2 4

30、 32 2即曲线C 的方程为：+/1（0）（2）易知直线4的斜率存在且不为0,设4的方程为x=%y-4（mw0）.联 立 方 程 组 4 3 一,消 x 整理得（3祥+4）产 24加）+36=0,x=m y-4所以A=（-246 y-4 x（3加 之+4）x 3 6 0,得m 2或m 一 2,设A（M，X）,B（W，%）,则/+M=y,y2=.3m+4 3m+4由AS=43S得所以4=工，%设丁（与，%），由 47=478,得%-M=2（%-%），2 x _ _ _ _ _ _而Z V 一 .X+彳 .2）.2）1%-3，.+4-3所 以）0 一 一 一 、，一 ,-）4,加 -，1+X J+

31、2L%+为，4加 tny2 3m2+43所以 =tn yQ-4 =m x 4 =-1,m所以点-I,/在直线x =1上，且为H O,又因为S（T,0）与A（2,0）关于直线x =-l对称，所 以 是 等 腰 三 角 形，（或者证明直线T S与直线咐 的斜率互为相反数）所以 N T S A=7 ,5 ,因为乙4 7 8=N T S A+0,60)的离心率为2,尸?为双曲线C的左、右焦点，A(2,3)是双曲线C上的一个点.(1)求双曲线C的方程；(2)若过点8(4,0)且不与渐近线平行的直线/(斜率不为0)与双曲线C的两个交点分别为M,N,记双曲线C在点例，N处的切线分别为心4,点 P为直线4 与

32、直线4的交点，试求点P的轨迹方程(注：若双曲线2 2的方程为a-今=1,则该双曲线在点国,为)处 的 切 线 方 程 为 等-繁=1)【解析】（1）据题意e =2,则c =2 ,a4 9点A（2,3）在双曲线C上，则r W=l,a n 4 3又吩=c2-a2=3/,则一 y T =，c r优6 72=1 /=3 ,C2=4 v2.双曲线C的方程为=3（设 M（F，y）,N G 2,%），直线/：x=（y+4 /w 土丁,x=ty+4联立 2 y2=（3 r-l）/+2 4 0-+4 5 =0 ,x-=13 =（2 4 厅一4 4 5 乂 3*+1 8 0 =3 6*+1 8 0 0,y+%由题

33、知，切线4：西-个=1,切线，”和-牛=1，mxx-=1记尸（1%），贝 I卜 3,mx2=13两式相加得力（工 +工2）（,1；）2）=20一口（必+%）+8 一”；.2）=2 ,一 2 4，将 X +必=一 一;代入得1-4 2 =3/一 4 优；3 r-l两式相减得得?（百一）一 也 产 =0=/加（%）-心泻=0，由y 工必得，联立和得1 一 4 m=1 无-=1（1 一 4 根）.3 加3 3m 3n i2 70）到直线/：x-y-2 =0 的距 离 为 述.2（1）求抛物线C的方程；（2）设点P（%,%）为直线/上一动点，过点P作抛物线C的两条切线A4,P B,其中A,8为切点，求

34、直线A8的方程，并证明直线A 8 过定点Q;（3）过（2）中的点。的直线加交抛物线C于A,8两点，过点A,B分别作抛物线C的切线乙，4,求4,1交点M 满足的轨迹方程.【解析】设抛物线的方程为f=2 p y,；抛物线C的焦点F（0,c）（c 0）到直线/：x-y-2 =0 的距离为当，!一 号2|=%,解得c =i或c=_ 5 （舍去），V 2 2/.=1,P =2 ,2二抛物线C的方程为X2=4），.丫 2 丫 2 Y设尸（与，/-2）,设切点为（乂），曲线C：y=二，/=-,4 4 2x2则切线的斜率为 互 上 a=y，J，化简得V -2 x x+4%-8 =0 ,x-/2设 A（&,予,

35、S（x2,-）,则A，是以上方程的两根，则 x,+x2=2x0,xtx2=4/-8,k-4 4 _%+七 _ *，x-x2 4 2直线A B 的方程为：尸 子 吟(x-x,),整理得y=x-竽+与，2 2.切线R 4 的方程为-土=%(-再)，整理得 =土 一生，且点P(x,%)在切线办上,4 2 2 4二 为=如 一 手，即直线4 8 的方程为：y=x-yQ,化简得X M-2 y-2%=0,又,.=玉 2,%(x 2)2y+4=0,故直线A B 过定点Q(2,2).设 A*,)例三，-)，过A 的切线y=*f)+乎,过 8 的切线y=(f)+与，则 交 点 苧，竽)2 4设过。点的直线为y=

36、k(x2)+2,联立卜火产-2)+2,得l2_4履+8%_8=0,x=4y/.玉 +/=4攵，x1x2=8%-2,.M(2k92 k-2),.y=x-2.点M 满足的轨迹方程为X-y-2 =o.2 2例 30.(2022 上 海 高三专题练习)双曲线-马=1 的实轴为A A 2,点尸是双曲线上的一个动点，引A Q A P,尸，A。与&Q 的交点为Q,求点。的轨迹方程.【解析】设Q(x，y),外 叼 儿)，4(一。,0),45,0),由题意可知X。*a,x +a,否则点尸(或点Q)和点A(或点4)用合，不符合题意；Q A Q J.A P,A.Q 1A.P,利用垂直斜率关系可得yx+ayx-a=-

37、%+。，两式相乘得上=7x-a2 =1 龙。j-2 2又点尸在双曲线5-与a b2 21上，.与-咚=1,a2 b2即 弋 与XQ-a a将其代入式得-/二 与=1，化简整理得：a2x2-b2y2=ax a）x-a a所以点。的轨迹方程为：a2-b2y2=a x +a）例 31.（2022全国高三课时练习）已知点P（-2,2）、。（0,2）以及直线/:y =x,设长为正的线段A3在直线/上 移 动（如图所示），求直线9和QB的交点M 的轨迹方程.【解析】如图所示，.点A、8 在直线y=x 上，设点A、8、例的坐标分别为（。,。），传,。），（x,y）,其中行.当y=2 时，由p（2,2）、A（

38、4,a）、用（x,y）三点共线,得黄=W解 出 得 鲁 营 ,由。（0,2）、B也 b）、M（x,y）三点共线,得去=白，解出从加不由条件|/网=应,得a(b-a)=&.：.b=a+l.,由、式得二处+1.x-y+2 x-y+4整理得/_ 丁 +2 _ 2），+8=（）.当y=2时，两直线出 和QB的交点M 与点尸（-2,2）或点Q（0,2）重合，得点P 和点。的坐标都满足方程.总之，式就是点M 的轨迹方程.式可改写成0 +D二（x+1）=1.8 8 轨迹的图形是双曲线，它的中心是点（-L-1）,焦点在直线x=T 上.例 32.（2022新疆皮山县高级中学高三期末（文）已知A（28sO,4si

39、n。）,5（2 sin aT c o s0）,当O eR 时,线段A 3的中点轨迹方程为（）9 9AA.-r-y-=112 8R 3.D .-1-=12 8D.-18 2C.=18 2【答案】B【解析】A 4中点坐标为2sinO+2c os。4sin。一 4c os。22即(sin6+c os6,2sin 2c os。)，x=sine+c os。y=2sin6-2c os。x=sinO+c os。y f =sin。-c os。22/.f +=(sin 6+c os 0 y+(sin 0-co s=2,2 8故选：B【方法技巧与总结】有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容

40、易发现（或经分析可发现）该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，解距或时间等）的制约，即动点坐标（x,y）中 的 分 别 随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法.例 33.（2022全国高三专题 练 习（理）已知曲线C:y=2 x+2和直线I：尸依（厚0）,若 C 与/有两个交点A 和B,求线段AB中点的轨迹方程.【解析】依题意，由.y=*2_2x+2 分别消去x,y 得:y=kx(2-l)x2+2x-2=0,(N1y+2 62攵 2=0,设 A 8 的中点为P(x,y),则在中分别有:=%+=()2 l-k2 9 亍乂 +%Kk 小又对应满

41、足发 2-1x0A=4fc2-4 x(-2k2)x(*2-1)0y+必=自 72k2=匚 淳 0,解得 也 必 2,y 4 2,所以所求轨迹方程是小产产0(尤 2,y 72).4x例 34.(2022.江西景德镇.高三期末(理)已知两条动直线/,：y=7与4：丫 =兄(A*0,4 为参数)的交点为P.求点P 的轨迹C 的方程；4xy=一【解析】设点P(x,y),联立卜=彳，消去参数彳得y2=4x(y*0),2 0因此，点 P 的轨迹C 的方程为V=4 x(y K 0)；例 35.(2022.北京市第五十七中学高三期中)P 是圆V +丁=4 上的动点，P 点在x 轴上的射影是 ,点 M满足。P=

42、2DM.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过作弦且弦被Q 平分，求此弦所在的直线方程及弦长;(3)过点N(3,0)的直线/与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A,B,求 以 O A,。8 为邻边的平行四边形OAEB的顶点E 的轨迹方程.【解析】设 M(x,y),则。(x，0),由D p =2 D M，得解x，2y),因为点P在圆f +y 2=4 上，所以V+4 y 2=4,故点M的轨迹C的方程为：+/=1；4 设该弦所在的直线 为%且与椭圆交于 点/优，%），G小,%），则 立+W=1，亡+为2=1；又点Q（l，3 是弦长F G 的中点，4 4 2则占+天=2,%+乂=1,勺=五 二 邑，由-

43、得=9-匕 4 y3+y4 x3-x4即匕=-3,又该直线过点Q（l，；）,所以直线方程为：y-g =-g（x-l）,1 .y =x+112即 产-+1，联立椭圆方程，得，解得=0,=2,2 r 2 1+y-=14所以弦长为 F G =1+k：x3-x4 =5；（3）设石（B y）,由题意知直线/的斜率存在,设/：y -2代入方程工+丁=1,得（1 +4 公）三 一2 4 x+3 6 A：2-4 =（）,4.=（一 2 4%2）2 一 4（1 +4-）（3 6 公 _4）0,得 0/,设 A&,y j,8（毛，y2）,4*2 6k则 +招=7，所以 y +必=火（七 一3）+乂-3）=k（占

44、+x2）-6k1 +4/:1+4 K又四边形O A E B为平行四边形，2 4 d _ 6k所以O E =O A +08=（士 +x2,+y2）=（+4 2）1 +42），2 4 k 2X=又O E =（x,y）,所以，1+4 A ,消得，x2 4-4 y2-6 x=0,-6Ky=T 7T1 +4 A r1 Q又0 公 g,所以0 x ,Q所以顶点E的轨迹方程为：x2+4/-6 x=0（0 x =以 与 抛物线产=2 内（p 0）分别相交于A,B两 点（异于原点。）与直线/：y=2 x+p 分别相交于P,Q两点，且4&=-2.求线段AB的中点M的轨迹方程；【解析】联立=,2PX,解得：=兽，y

45、=Kx 勺把 =袈 代入y=勺1得：丫 =内=鼻,同理可得：则线段AB的中点M的坐标为/1 6月&k2）因为2芯=-2,所以p pX =+r=61y/+2 =.及 k2P（片+后）P（fcl+fe2）2+44 4P依+网）-2消去K+&得：y2=p x-p2所以线段AB的中点M的轨迹方程为y2=p x-p2例37.（2。22.江苏.周市高级中学高三阶段练习）已知直线/：焉+品5可。目与坐标轴的交点分别为 A,B,则线段A3的中点C的轨迹与坐标轴围成的图形面积为（）n 乃 冗 一A.-B.-C.-D.2 4 8【答案】D【解析】不妨设A为直线与X的轴的交点，B为直线与y的轴的交点，则 A（sin

46、e,0）,3（0,c ose）,设c（x,y）,则f +且x（）,y0,故C的轨迹与坐标轴为，,4 U J 16故选：D.例 38.(2022 全国高三课时练习)已知曲线G：+耳=1(6 0)所围成的封闭图形的面积为4石，曲线的内切圆的半径为撞，记 C?是以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆.3(I)求椭圆G 的标准方程;(2)设 AB是过椭圆C?中心的任意弦，/是线段AB的垂直平分线，M 是/上异于椭圆中心的点，|加。|=川。4|(0 为坐标原点，/IHO),当点A 在椭圆G 上运动时，求点M 的轨迹方程.2 2【答案】三+汇=1;5 4 +(=万(/140).【解析】(1)C,:凶+团=1

47、(“6 0).a b二G 的轨迹为对角线长分别为2a,2b,边长为 正 寿，原点为内切圆圆心的菱形,其顶点分别为(0,土 力,(土 q 0),2ab=4 氏所以由题意得，g b 2书所以=5,从=4,所以C2的标准方程 为!+?=1 .(2)设4%)，当 所 在 直线的斜率存在且不为0 时，设A 8所在直线的方程为=依 化。0),E l I-2 2f+4 =1 r汨 2 20 o 20A25；可 H=会y=kx所以|的+小婴答,设M(x,y),由 题 意 得=分|。4(60),即/=万.迎 些),4+5攵 之又因为直线/的方程为丫=-丁K20 1 +八 一r.U X4+5 yX即2=一一，所

48、以+yX，又因为V +V#。，所以上+工=万.4 5易得当A B 所在直线的斜率不存在时，(4 0)且*=4/1 2；A 8 所在直线斜率为0 B 寸，M 0/)且丫2=5/1 2,上式仍然成立.综上所述，点 M的轨迹方程为三+*=万(2=0).4 5题型六：点差法例 3 9.(2 0 2 2 全国高三专题练习)椭圆片+y 2 =i,则该椭圆所有斜率为;的弦的中点的轨迹方程为42V4V4以所【答案】y=(r4 2 x 4 2)【解析】设斜率为3的直线方程为y =g x+b,与椭圆的交点为A(x，y J,B(X2，%)，设中点坐标为(x,y),则9=4空7 号=九X，两式相减可 得 丘 W 特

49、困=(%_%)也+%)，+)符2)，即 T 八 八 1 4J ，,4+y =%2由于在椭圆内部，由,得一+bx+b2-1=0,y =L +6 2I 2所以A=-2 伍2 1)=0 时，即 直 线 与 椭 圆 相 切，此 时 由 土 i x+1 =0 解得x=式 或 x=-五,所以-0 x 所求得轨迹方程为y =-(-V2 x V2).故答案为：y =-j(-7 2%V2).【方法技巧与总结】圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法.例 4 0.(2 0 2 2 全国高三课时练习)斜率为2的平行直线截双曲线f -丁=所得弦的中点的轨迹方程是【答 案 -2丫 =0（型 或玛.33【解析】设

50、直线为y =2 x+/,与双曲线交点为（,%）,（多,必），联立双曲线可得：3 f+4 i r+，2+1 =0，则 =1 6，-1 2（，+1）=4/_ 2 0,即胴 道或机 -石，所以玉+工2=-普，故y+必=2（再+工2）+2%=-卑，则弦中点为（一军,一；）,所以弦的中点的轨迹方程为x-2 y =0（x型 或x-毡）.3 3故答案为：工 一2丫 =。（%2或 彳 -越）3 3例41.（2 0 2 2.全国高三专题练习）已知椭圆?+冷=1的弦A B所 在 直 线 过 点 求 弦A B中点尸的轨迹方程.【解析】设8（孙），弦A 5的中点尸（苑,则x+x2=2xy +%=2 y+将A B代入椭