2023年高考数学真题与模拟训练专题09平面向量试题含解2023年高考数学真题与模拟训练专题09平面向量试题含解析.pdf

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1、2023年高考数学真题与模拟训练2023年高考数学真题与模拟训练专题 9 平面向量一、选择题1.（2 0 2 1 浙江高考真题）己知非零向量a,。,c,贝 a.c =6c”是=的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件2.（2 0 2 1.全国高考真题）已知。为坐标原点，点 6（c osa,si n e）,（c o s-s i n/?）,B（c os（a+/）,si n（a +4），A（l,0）,则（）A.网=|丽|B.网=网c.OA OPI=OPX OP2D.0 A o p=O P10 P33.（2 0 2 0 全国高考真题（理）已 知 向 量ci

2、,满足 I。1=5 ,|=6 ,a-b 6 则 c os（a M +）=（）A 3 1 n 1 9 1 7 c 1 9A.-B.-C.D.3 5 3 5 3 5 3 54.（2 0 2 0 全国高考真题（文）已知单位向量，匕的夹角为6 0。，则在下列向量中，与力垂直的是（）A.a+2b B.2a+b C.a 2b D.2a b5.（2 0 1 9全国高考真题（文）已知非零向量&石满足H =2”，且（-6），/,则a与的夹角为兀 冗 2 兀 5 兀A.-B.-C.D.63 3 6T T6.（2 0 1 8浙江高考真题）已知“、b、e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a与 e 的夹角为百，向

3、量b满足）2-4 e.b +3 =0,则卜-司的最小值是（）A.V 3-1 B.V 3 +1 C.2 D.2-G二、填空题7.（2 0 2 1 天津高考真题）在边长为1 的等边三角形ABC中，。为线段BC上的动点，且交48 于点。尸 AB且交AC于点F,则1 2 8E+O F|的值为；(OE+O F D4的最小值为8.(2 0 2 1 北京高考真题)a =(2,1),8=(2,-1),c =(0,l),则(a+6)-c=；a-b=.9.(2 0 2 1 全国高考真题(理)已知向量a =(3,l)1 =(l,0),c =a +%。.若则=.1 0.(2 0 2 1.全国高考真题)已知向量a +c

4、 =0 ,忖=1,忖=口=2 ,a-b+b-c+c-a=-1 1.(2 0 2 1 全国高考真题(理)已知向量a =(l,3)=(3,4),若(a 4 b),/?,则 4=.1 2.(2 0 2 0 浙江高考真题)设e；,6 2 为单位向量，满足|2 勺-6 2 区a,e ，=3 e,+e2,设a，h的夹角为6，则c os2 0的最小值为1 3.(2 0 1 9江苏高考真题)如图，在中，。是 8 C的中点，E 在边AB上，B E=2EA,AD与 CE 交于点。.若A B-A C =6AO-E C，则二二的值是.1 4.(2 0 1 9天津高考真题(文)在四边形 ABCD中，A D/B C,A

5、B =2 g，A D=5,N A=3 0 ,点 在线段C8 的延长线上，且 4 =BE，则2 21 5.(2 0 1 9上海 高 考 真 题)在 椭 圆 亍+与=1 上任意一点P,。与 P关于X轴对称，若有耳P-&P W 1 ,则耳P与 工。的夹角范围为1 6.(2 0 2 1.江苏高考真题)已知向量 =(-2 百 si n x.c os?，6 =(c osx,6),设函数/(x)=a-Z?.(1)求函数/(x)的最大值；(2)在锐角,ABC中，三个角A,B,C所对的边分别为a,b,。，若 于 =0,b=布,3 si n A 2 si n C =0,求.A8 C 的面积.1 .已知a=(0,-

6、2),/?=(-1,1),c=(x,y),若+_乙=0，则1+2 c|=()A.2 72 B.币 C.2 D.V 1 02 .在，A3C中，点。是线段6 C(不包括端点)上的动点，若A B =x A C +y A Q，则()A.x B.y 1 C.x+y D.孙 13 .设是直线4 ：a/+4 y +G=0的一个方向向量，是直线4 ：4元+么丁+0 =。的一个法向量，设向量 与向量九的夹角为。，则|c os6|为()aa2 b闻B-击：+牙 击2；地2D.I她+她|4 .如图所示的，ABC中，点。是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段A 3的中点，则D E=()1 1 1-1 5 1 5 -

7、1-A.B A B C B.B A B C C.-B A B C D.B A +-B C3 6 6 3 6 3 6 35 .在.A B C。中，A O 与 的夹角为,，34=1 ,|=2,D E=E C，则6 .已知向量a=(根,2),6=(1,-1),|a-b|=|a|+|z|,则实数加=.7.已知向量e的模长为1,平面向量加，满足：|m-2 e|=2,|-e|=1,则 机.的 取 值 范 围 是.r .8.已知平面内非零向量a,b，C ,满 足。=2,网=3,a-h =3 若c?一2 6。+8=0，则,一的取 值 范 围 是.9.在 A B C 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c

8、,且(a +Z?)(si n A -si n B)=(匕+c)si n C.（1）求角A的大小;（2）若点。是8 C的中点，且A O =&，求 A B C的面积的最大值.1 0.（兀已知向量。=|si n xI（2,/?=(si n x,c os x),fx=a-b.（1）求/（x）的最大值及/（X）取得最大值时X的取值集合M ；（J JT（2）在.A B C中，a、b、c分别是角A、B、。的对边，若 一+eM且c =l,求.ABC面积的最2 4大值.1 1.已知函数/(x)=4 si n x c os 若 关 于x的方程“X）-加一 6 =0在X G 上有解，求实数机的取值范围;（2）设rA

9、BC的内角A满足/（A）=g +1,若A 6-A C =4,求BC边上的高AO长的最大值.专题9 平面向量一、选择题1.（2 0 2 1浙江高考真题）已知非零向量a,。,c,贝i“a.c =6c”是 a =b”的（）A.充分不必要条件C.充分必要条件【答案】BB.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件r r r【解析】若a-c =-c，则(a-匕)c =O,推不出“=；若a=b,则a.c =c必成立，故 c=b.c 是a=的必要不充分条件故选：B.2.(2021.全国高考真题)已知。为坐标原点，点(c o s a,s i n a),鸟(c o s 6，一 s i n/?),(c o s(a+0

10、,s i n(a+0),A(l,0),则()A.0 Pt =0 P2 B.AP=AP2C.OA OP3=OPCOP2 D.OA OP,=OP2 OP.【答案】A C【解析】A：O P=(c o s a,s i na),O P2=(c o s y f f,s i n/?),所以|O 1|=J co s?a+s i n2y=l，O P2=7(c o s)2+(-s i n)2=1，故|O|=|O|,正确；B：=(c o s a-1,s i n a),A P2=(c o s /?-1,-s i n/?),所以I A PX|=/(c o s fz-l)2+s i n2 a=7 c o s2 6 z-2

11、c o s a+14-s i n2 a=,2(1-c o s a)=4 s i n2y=2|s i ny|,同理1|=J(c o s夕一 +s i i?尸=21 s i n，|,故|不一定相等，错误；C：由题意得：O A-O P=l x c o s(a+/?)+O x s i n(a+/?)=c o s(a+/?),O PX-O P2=c o s a-c o s +s i n c r (-s i n/?)=c o s(a+/?),正确；D：由题意得：。4。勺=l x c o s a+O x s i na=c o s a,O P2.O P3=c o spx c o s(a+0 +(-s i n

12、尸)x s i n(ez +J 3)=c o s(p+(a+p)=c o s(a+2p),故一般来说Q 4.O。鸟 鸟 故 错误；故选：A C3.(2020.全国高考 真 题(理)已知向量h a,人满足|。|=5,|。|=6,a b=6,贝i J c o s(aM+b)=()【答案】D【解析】卜=5,|“=6,Q.b=-6，/,（4+）=忖 4-6tZ?=52-6 =19.,+=d（a+b）=J j +2a.Z?+/?”=425-2x6+36=7，+19 19因止匕，COS=.,4 =-=.卜，。+闿 5x7 35故选：D.4.（2020全国高考真题（文）已知单位向量，的夹角为60。，则在下列

13、向量中，与垂直的是（）A.。+2。B.2a+h C.a-2 b D 2a-b【答案】D【解析】由已知可得：a力=|d W，cos60=lx lx g =；.2 1 5A：因为（a+2Z?）-Z?=a +2Z?=+2xl=w O,所以本选项不符合题意；2 2B：因为（2a+切 出=2 a/+H=2XL+1=2WO,所以本选项不符合题意；2C：因为9-2 h）包=。2 2/=2、1 =3#0,所以本选项不符合题意；2 271D：因为（2。一切历=2 a 7-/=2x 一1 =0,所以本选项符合题意.2故选：D.5.（2019全国高考真题（文）已知非零向量a”满足H=2”，且（a-/?），,则a与匕

14、的夹角为兀 兀 一 2兀 5兀A.-B.-C.D.6 3 3 6【答案】B.2,a b _|2 _ 1【解析】因为（a b）_Lb,所以3-力 力=。为一。-=0,所以牙，所以cos6=p p j_ 2升2 一/，71所以a与的夹角为不，故选B.7 T6.（2018浙江高考真题）已知。、b、e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为1,向量b满足4为+3=0,贝*词 的 最 小 值 是（）A.V3-1 B.73+1 C.2 D.2-百【答案】A【解析】设a=(x,y),e=(l,0),b =(2,)，则由(a,e)=g 得 a e=J dc o s ,x =J x*2 3+y2,/.

15、y +A/3X,【答案】1 20【解析】设=为边长为1的等边三角形，D EL A B,NBDE -30,B D -2x,D E /3x,D C=1 2x ,。/A 3,为边长为1 2x的等边三角形，DE 1 DF，2,2(2B E+D F)2=A B E+4B E-D F +DF=4 x2+4 x(1-2x)x c o s 0+(1-2x)2=b:.2B E+D F|=1,.2(D E+D F)D A =(D E+D F)(D E+EA)=D E +DF E A=(Gx)2+(l-2x)x(l x)=5 Y 3x +l =5(x-2 +)t 10 J 203 11所以当x =一 时，(O E+

16、O F A D 4的最小值为.10 20故答案为：1；.3 2v由 7 4 e/+3 =0得 汴+*-4/n+3=0,(m-2)2+n2=1,因此4的最小值为圆心（2,0）到直线y =J i r的距离=6减去半径1,为6-1.选A.二、填空题7.（2021 天津高考真题）在边长为1的等边三角形A B C中，。为线段B C上的动点，且交A B于点E.。产 A B且交A C于点七则12B E+D F的值为；（D E+D F）D A的最小值为8.(2021北京高考真题)a=(2,1),/?=(2,-1),c=()/)，则S+b)-c=；a-b=【答案】0 3【解析】a=(2,1),6=(2,-1),

17、C=(0,1),：.a+b=(4,0),(a+0)=4 x 0+0 x1=0,二 a-6=2x2+1*(-1)=3.故答案为：0；3.9.（2021 全国高考真题（理）已知向量a=（3/）/=（l,0）,c=a+攵6 若“，c，则=【答案】-宇.【解析】a=（3,l）1=（l,0）,；.c=a+=（3+Z,l）,c,/.4z*c=3（3+Z:）4-lxl=0,解得=一5，故答案为：-.10.（2021全国高考真题）已知向量q+0+c=0,卜卜1,卜卜卜卜2,a-b+b-c+c-a.9【答案】【解析】由已知可得（Q+0+C）=a+02+c2+2（a.0+0.c+c a）=9+2（a.0+0.c+

18、c a）=0,因 止 匕，a-h+b-c-c-a=29故答案为：.11.（2021 全国高考真题（理）已知向量a=（l,3）=（3,4）,若（；）,/?,则;1=3【答案】g【解析1 因为a 血=（1,3）/1（3,4）=（1-3 4 3-4 4）,所以由（a-肪）_L6可得，33（1 3/1）+4（3 44）=0,解得丸=巳.3故答案为：.12.（2020浙江高考真题）设e；,62为单位向量，满足|2 q。2区 点，a=ex+e2,b=3et+e2,设a，8的夹角为。，则cos?。的最小值为【答案】=29【解析】Q 2-|(1-z-)3 5+3 4 9 3 5+3 x-42829.故答案为：

19、.13.（2019江苏高考真题）如图，在cA 6 C中，。是8C的中点，E在边A3上，BE=2EA,A D 与 C E 交A Q于点。.若A8-AC=6AO-EC，则7 K的值是.A C【答案】73.【解析】如图，过点D作DF/CE,交A B于点F,由BE=2EA,D 为 B C中点，知BF=FE=EAAO=OD.AEB D C6 AO-EC=3 AD-(AC-A)=-(AB+AC)-(AC-AE)=|(AB+时 A J：回=|AC g AB?+京4 AB.AC3(2 1 2 2、1 2 3 2=-AB.AC AB+AC =AB.AC AB+-AC=AB.AC,2(3 3)2 2得 LA B?

20、=2A C；即|A B|=6|A C|,故 空=G.2 2 11 1 1 AC14.（2019天津高考真题（文）在四边形ABC。中，AD/BC,AB=2栏，AD=5,NA点 在线段C 8的延长线上，且A=B E，则B .AE=.【答案】一 1.30,【解析】建立如图所示的直角坐标系，则8（20,0）,。（智,g）.因为AO8C,ZBAD=30,所以NCB4=150,因为 AE=8 E，所以 N54E=NABE=30。，所以直线5E的 斜 率 为 半，其方程为y=，（x-2 j i），直线A E的 斜 率 为 咚 其 方 程 为 尸 条.y=由,y-y-(X 25),百-X3得 x=6,y=-1

21、,所以E（、行,一1）.所以8Q.AE15.（2019上海高考真题）在椭圆土+匕4 21上任意一点P,。与尸关于x轴对称，若有则 耳尸与5 Q的夹角范围为【答案】乃-arccos；,乃【解析】由题意：片（一起,0）,6（、回,0）设p（x,y）,Q（x,-y）,因为耳P gP W l,则一一2+丁412 2与 +5 =1 结合=4-2 y2-2+y2/G1,2F,P F2Q _x 2 _ 2 _ y 2 _ x2-2-y2MM-卜 可y 2卜+y 2-而+2+疔：（2岳2 2与土 +二=1结合，消去X,可得:4 287 23所以乃一arccos-,乃本题正确结果:1万 一 arccos 一,万

22、316.（2021.江苏高考真题）已知向量a=卜2Gsinx.cos?x）,b=（cosx,6）,设函数/（x）=。包.(1)求函数/(X)的最大值；(2)在 锐 角.ABC中，三个角A,B,。所对的边分别为。，b,c,若/(B)=O,h=近,3sinA 2sinC=0,求qABC的面积.【答案】/(x)nux=2 +3；(2)空.【解析】因为a=(-2括sinx,cos?，/=(cosx,6),所以函数f(x)=a.b=-23 sin xcos x+6 cos2 x=一6 sin 2x+3 cos 2x+32A/3 sinf 2x+j+3.当sin(2x+g3 =l 时，f(x)皿=2 6+

23、37T(2)_,48。为锐角三角形，.0 3 ,.2 5乃28+乃 1B.ylC.x+ylD.xy 1【答案】B【解析】设8 0 =X 8 C(0/1 1),所以 A。A B =4 A C；L 4 8,所以(1 2)A B =AOXAC,所以A B =AD-1-2所以x=r,y-.1 A 1 A,所以X =-0,1 -A1-2=l zA A=i+上y1-A 1-A又 x+y =1-21-2T 盯=-3 1,故选：B.3 .设d是直线4 ：4 x+Z v+c=。的一个方向向量，是直线4 ：4元+优丁+0=。的一个法向量，设向量d与向量的夹角为。，则|c os6|为（）|w+IA8+点B.“二 丝

24、I a：+b；如 +%2D.何生一匕也|Ja；+b；1L|2哥 7?2【答案】C【解析】由题意，d是直线4 =。的一个方向向量，则d =（4，-q）,是直线4 ：。/+6 2 +。2 =0的一个法向量，=（。2，打），则 c os 0-d-na2bl-ab2I4H*:+月也;+优故选：c.4.如图所示的，ABC中，点。是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则DE=(1 1 1 1 5 1 5 1A.BA BC B.BA BC C.BA BC D.-B A +-BC3 6 6 3 6 3 6 3【答案】B【解析】依题意，DE=DA+AE=-A C-B A =-B C +-B A-B

25、 A =-B A-B C ,3 2 3 3 2 6 3故选：B.5.在 ABC。中，角力与 的夹角为 与，=1 ,|=2,DE=EC，则=【答案【解析】解：AE D8=（AO+OE）（DA+C）=+（-AD+AB）2 1 1 2 2 1 1 2 1 271 1 ,=-AD+ADAB ABAD+-A B =-AD+-A B A D +-A B =-l+-x2xcos +-x 222 2 2 2 2 3 26.已知向量a=(m,2),b=(l,-1),卜一司=同+问，则实数机=.【答案】-2【解析】因为a=(根,2),/?=(1,-1),所以一。=(加-1,3),又卜可=同+忖，所以,(阳1丫+9

26、 =1“2+4+7 1 7 1，则 n r -2 m +0 =m2+4+2 +2也/+8 所以-m+2 =J 2，2 +8，整理得机2+4机+4 =0，解得 z =-2.故答案为：-2.7.己知向量e的模长为1,平面向量机，满足：|机-2 e|=2,|一 e|=1,则?.的 取 值 范 围 是.【答案】【解析】由题意知：不妨设。=(1,0),?=(x,y),=(a,。)，则根据条件可得：(%2)2+y2=4,(a-1)2+b2-1,根据柯西不等式得：m-n =ax+by-a-i)x+by +x因 为 卜-1)彳 +勿|V +/&2 +y 2 ,(a-l)x+/?y+XA/4X+X,x-4 x

27、a-i x+by +x,当且仅当区=(a l)y时取等号；令1=届,则r+?=；(r+2)2 l,又(x2 y+/=4,则0 KXW4,2-所以t e 0,4 ,当=4时，-(+2)-1 =8,即他.48；_ 一 max产 1 2-。7=!0一2)2 -1,而 rw o,4 ,所以当 f=2 时，-(？-2)-1 =T,即“2-1，故 力”的4 4 -min取值范围是-1,8 .8.已知平面内非零向量a,b，c,满 足。=2，忖=3,a-b=3,c2-2/?.c+8=0则卜一。|的取 值 范 围 是.【答案】5/7-1,77+1【解析】|。|=2,|3=3,.以=3,cosv=-=,1 1 1

28、 1 2x3 2兀又。,（）,4 ,，4,的夹角为,建立如图所示直角坐标系，设。4=a,03=Z?,0C=c,则 4(2,0),B J,设 C(x,y),c2-2b-c+S=Q +8=0 n (x+y =1,则点c在以为圆心,1为半径的圆上,|c-|的取值范围转化为圆上的点到定点（2,0）的距离的范围，圆心（|,乎 卜 点（2,0）的 距 离 为/,一 2）+乎=币,/.c-a I的取值范围为近-1,近+1.故答案为：4一1,、万+19.在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,K(+/?)(sin A-sin B)-(h+c)sin C.（1）求角A的大小；（2）若点。是BC

29、的中点，且AO=及，求AA3C的面积的最大值.【答案】（1）y;（2）25/3.【解析】（1）由题意得（。+加（。一切=S +C）C,r.b+c?-a2=-bc,cos A.-,A G(0,万),A 1 31.(2)AD=；(A8+AC)2 1 -2 2 1 0 0AD=-(AB+AC+2AB-AC)=-(AB2+AC2-AB AC)4 4.2 2(2AB-AC 当且仅当AB=AC时，等号成立.4.AB-AC 8,S=-A5-ACsinl20 ；(2)J +&M,：.+=Z:+,C=2k/r+,k e Z,2 42 412 32=1=a2+b2 2abcos C=a2+b2 ab ab，当且仅

30、当。时，等号成立,所 以/4 1,5小/=-ahsinC ab/3 sin2 x+l-G =sin2x+2-COS X-+ly/32=1 +sin2x-cos2x=2sin 2x+1,I 3 J又xe，所以2x-、e,则卜,1所以/(x)在 区 间 上 的 值 域 为G +L3.由 /(%)m V3=0可得/(%)=m+G ,所以m+#e G +l,3,即zel,3-百;(2)由/(A)=g +1,即2sin(2A-qJ+l=G +l,可得sin 2 A-?J=芋，0 4 打，：.-2 A-,则2 4-工=工 或2A e =主，解得A=工或2.3 3 3 3 3 3 3 3 271由 4?AC

31、=4，即be8sA=4,所以4=,则c=8，由余弦定理，得 =J/2+c,2 2Z?ccos A=J/?2+c?-be 之 N 2bcb c=2及，由三角形的面积公式可得S ABC=-bcs i n A =-a A D,ABC 2 2即8 3=L a-A O.所以4。4峥=222 2V2所以8C边上的高AO长的最大值为J 3.专题1 0 等差数列一、选择题1.（2021.北京高考真题）4 和%是两个等差数列，其 中 去（1WZ45）为常值，4=288,a,=96,=1 9 2,则4 =（）A.64 B.128 C.256 D.5122.（2021.北京高考真题）数列 aa是递增的整数数列，且%

32、之3,4+%+4 =100,则的最大值为（）A.9 B.10 C.11 D.123.（2020浙江高考真题）已知等差数列 ”的前“项和S”公差得0,幺4 1.记人尸S 2,儿+尸S2“+2-S2”,a几cN*，下列等式不可能成立 的 是（）A.24=2+6 B.2b4=b?+b6 C.=a2a D.b；=b2b&4.（2019全国高考真题（理）记S“为等差数列 a 的前项和.已知邑=0,%=5,则A.an=2 n-5 B.an=3n-10 C.Sn-2rr-8 D.Sn=-n2-2 n二、填空题5.（2021江苏高考真题）已知等比数列%的公比为心且 16q,42,%成等差数列，则4 的值是6.

33、（2020海南高考真题）将数列 2-1 与 3-2 的公共项从小到大排列得到数列%,则 斯 的前项和为.7.（2020全国高考真题（文）记 5“为等差数列 4 的前项和.若=-2,4+4 =2,则工0=-8.（2019江苏高考真题）已知数歹！a“（eN*）是等差数列，S”是其前项和.若g4+4 =，Sg =27,则 58的值是.9.（2019全国高考真题（理）记 S,为等差数列 飙 的前项和，4=3 4,则 生=.三、解答题10.（2021.天津高考真题）已知 4 是公差为2 的等差数列，其前8 项和为64.2 是公比大于0的等比数列，仇=4也一仿=48.（I）求 q 和 2 的通项公式；（I

34、I）.记%=2,+；，eN*,bn（i）证明归一。2“是等比数列；（ii）证明 J 半1 可 成立的的最小值.1 2.(2 0 2 1 全国高考真题)已知数列%满足 =1,%+1,“为奇数,4+2,”为偶数(1)记d=%,，写出4，仇,并求数列也,的通项公式;(2)求 4 的前2 0 项和.1 3.(2 0 2 1.全国高考真题(理)已知数列%的各项均为正数，记 S ,为 4 的前,项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.数列 a,是等差数列：数列 疯 是等差数列；4=3q.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.2 11 4.(2 0 2 1 全国高考真题(理)记 S“为

35、数列 的前项和，2 为数列 S 的前几项积，已知不+丁 =2.(1)证明：数列 是等差数列；(2)求 4 的通项公式.1 5.(2 0 1 9 江苏高考真题)定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“例一数列”.(1)已知等比数列 m 满足：44=%，4 3-4%+4 4 =0,求证:数列 小 为“仞一数列”；1 2 2(2)已知数列 瓦 满足:4=1，不=不 一 厂，其中S,为数列 d 的前项和.求数列 儿 的通项公式；设 2 为正整数，若存在 M 数列”以,对任意正整数鼠当仁?时，都有Q级火 线+1成立，求?的最大值.16.(2 0 19北京高考真题(文)设 斯 是等差数列,a i=-10,

36、且“2+10,俏+8,出+6成等比数列.(I )求 斯 的通项公式；(I I )记 斯 的前n项和为S,”求 S,的最小值.1.若数列 4 为等差数列，且 q=q,%=%,则c os/o=（）R 62A-I1C.2D.-也22 .记 为 数 列 a,J 的前项和，己 知 点 在 直 线 y =10-2 x,若有且只有两个正整数n满足S之k ,则实数Z 的取值范围是（）A.(8,14 B.(14,18C.(18,2 0 jQ 1D.。8彳 3 .已知S“为等差数列 4 的前项和，a,+S5=-1 8,，=4,则下列数值中最大的是（）“一16邑36A.C.邑25邑一49B.D.4.在正项等比数列

37、7中.2=4.%=16 .满足出。3品=屋+1 则机=（）A.4B.3C.5D.85.已知数列 4 的前 项和为S“，且 S“=g/+g ,若 a2 +1，则数列 的前项和6 .数列 4的前项和为S,a“+2 S“=3 ,数歹U也 满足3,=；(3 4+2 4山)(e N*),贝 擞 歹|也 的 前10项和为.7.设公差不为0的等差数列%的前八项和为S”.若数列 ,满足：存在三个不同的正整数r,s,使得990 S+S外,见成等比数列，也成等比数列，则-!一 的最小值为an8.已知定义在 0,+8)上的函数八幻满足x)=15|xl|,0 x 2.设 /(x)在 2 -2,2 )(G N)上的最大

38、值记作a,S,为数列 a,的前n项和，则Sn的最大值为.9.设等差数列 ,的前八项和为S“，首项4=1,且S,-4 5 =12 .数列出 的前项和为7；,且满足4=1也M=2Z,+1.(1)求数列%和 也 的通项公式;(2)求数列4%的前n项和.10 .已知数列%满 足 品 +为+/+L+U；=!l,GN*.(1)求数列 a“的通项公式；(2)设等差数列也 的前项和为S,且S,=g/一；+左，令=bn-an+k n2,求数列 q,的前“项和I I.已知数歹U可 满足4H。恒成立.(1)若%。“+2=履”+；且4 ，当 1g 4 成等差数列时，求上的值；(2)若%a,+2 =2 a“+：且 为

39、0,当=1、4=1 60时，求生以及%的通项公式；(3)若%4+2 =；%+|。“+3，q=T，/G4,8,a2Q2Q 0 ,设 S,是 a“的前项之和，求 S2 0 2 0 的最大值.专题1 0 等差数列一、选择题1.(2 0 2 1.北京高考真题)4和 也 是两个等差数列，其中4 Z 4 5）为常值，4=2 88,%=9 6,4=192,则 4=()A.6 4 B.12 8 C.2 5 6 D.5 12【答案】B【解析】由 已 知 条 件 可 得 吟，则 么=她=96嗜92=6 4,因此，192 +6 4 =12 8a q 2 88-2 2故选：B.2.(2 0 2 1 北京高考真题)数列

40、 4是递增的整数数列，且q之3,4+%+-+4=10 0,则的最大值为()A.9 B.10 C.11 D.12【答案】C【解析】若要使“尽可能的大，则q，递增幅度要尽可能小,不妨设数列 q 是首项为3,公差为I的等差数列，其前 项和为5.，则a,=+2,S=11 xll=8810 0,所以的最大值为I I.故选：C.3.（2 0 2 0浙江高考真题）已知等差数列 小 的前项和S”公差分0,幺W 1.记仇=$2,儿+i=S2+2-S2“,dw N*，下列等式不可熊成立的是（）A.244=42+%B.2b4=b2+bs C.a：=4 4 D.b：=b2b夕【答案】D【解析】对于A,因为数列 4为等

41、差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4+4 =2 +6可得，2 a 4 =+4，A正确;对于 B,由题意可知,bn+i=S2n+2-S2n=a2n+l+a2n+2,bt=S2=at+a2,：.b2=a3+a4,a=%+,6=Q +%2，h =a5+a e -2b4 =2(%+4),+6=。3+。4+4 1 +6 2 .根据等差数列的下标和性质，由3 +11=7+7,4 +12 =8+8可得b2+4 =%+4 +4 +%2=2(%+4)=4 B 正确;对于 C,Q；=(4 +3 d)(4 +d)(4 +7d)=2 d -2 =2 d(d 4),当 q=d 时，a；=a2a,C 正确；对于 D

42、,b；=+%)2 =(2%+13 1)2 =4 q2 +5 2 4 d+16 9d2,Z?2 a =3+g)(4 5 +4 6)=(2 I+5 d)(2 q+2 9d)=4 z z；+6 8qd+14 5 dtZ?4 -b2b=2 4 J2 16 qd=8d(3 d 2 r4).当 d 0时，q 。即 b仇 0 ；当d 0时，%N d,，3 d-2 q =d +2（d a J 0,D不正确.故选：D.4.（2019全国高考真题（理）记5“为等差数列 4 的前项和.己知64=0,a5=5,则A.an=2/?-5 B.an=3n-10 C.Sn=2n2-8n D.S-n2-2 n【答案】Ad,【解

43、析】由题知，V 1 2,解得 ，4=2 -5,故选A.-u a=2%=q+44=5 i二、填空题5.（2021.江苏高考真题）已知等比数列 4 的 公 比 为 且16q,4a2,%成等差数列，则夕的值是【答案】4【解析】因为%为等比数列，且公比为夕，所以。2=4 V，%=4,夕2 且 4 工。，qWO.因为16q,4a2,%成等差数列，所以 16q+/=2 x 4生，有 16q+q q2=2x4q-q,q?84+16=0,解得q=4.故答案为：4.6.（2020海南高考真题）将数列 2-1与 3-2的公共项从小到大排列得到数列 斯,则 斯 的前项和为.【答案】3九2 一 2九【解析】因为数列

44、2一1是 以1为首项，以2为公差的等差数列，数列 3-2是 以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列 4 是 以1为首项，以6为公差的等差数列,所以 q的前“项和为“4+皿 尸-6=3”2-2，故答案为：32-2.7.(20 20全国高考真题(文)记5“为等差数列 4 的前项和.若=-2,a2+a6=2,则【答案】25【解析】4 是等差数列，且G =-2,a2+a6=2设 4 等差数列的公差d根据等差数列通项公式：an=q +(1)4可得 4+4 +4+54=2即：-2+d +(-2)+5d 2整理可得：6d =6解得：d=根据等差数列前项和公式：S“=叫+(丁)/

45、e N*可得：Sl 0=10(-2)+10 xP -1),=_20 +45-25/.S10=25.故答案为：25.8.(20 19江苏高考真题)已知数列 4 (N )是等差数列，S,是其前项和.若。2%+。8=，59=27,则S8的值是【答案】16.02a+.=(%+)(+4d)+(q +7 d)=0【解析】由题意可得：9x8$9=9 4+弓-4=274=-5 8 x7解得：,则S 8=8 q+d =T0+28 x2=16.d=2 2s9.(20 19全国高考真题(理)记S“为等差数列 斯 的前项和，6#0，4=3 q,则 谭=.【答案】4.s 10 x9S 1O 6Z|H-U|【解析】因2=

46、3 4，所以q+d=3 q,即2 4=,所 以 詈=-=4 .S，5%+也。25%2三、解答题10.(20 21天津高考真题)已知 凡 是公差为2的等差数列，其前8项和为64.是公比大于0的等比数列，a=4也一优=48.(I)求 q和 ,的通项公式；(I I)记%=4“,(i)证 明 归-。2“是等比数列；(i i)证明 J手二 0)，所以4-伪=4/-44=4 0-q)=48,解得q =4(负值舍去)，所以勿=如7=4,河；(I D(i)由题意，1=%,+元=42+/,所以d -c2 =卜 +J-3+白 卜2.4,所以产0,且举著=卡=4，Cn C2 n 乙一所以数列归-G,是等比数列;(i

47、 i)由题意知,4,=(2T)(2+1)=4/-1 4、2-4 -2.22 2-22所以E K Z I 4/2 =1 _n _归V 2-22 -42-2 7 2 2 T所以k=l、5 弋 k 1 2 3 n设(？河=牙+下+齐 +广,n i I1 1 2 3 n则/=吸+耍+m+1-两式相减得支,=1+;+/+击号=一1-2=2-r +2T 4即：2一5 2一6,整理可得：(1)(-6)0,解得：“6,又 为正整数，故的最小值为7.12.(20 21.全国高考真题)已知数列 4 满足 =1,为奇数,+为偶数 记。=%,，写出4，4，并求数列 2 的通项公式;(2)求%的前20项和.【答案】(1

48、)4=2,d=5；(2)30 0.【解析】(1)由题设可得4=4 =4+1 =2,4=g =。3 +1 =4+2+1=5又 a2k+2 =a2k+l+1，a2k+=a2k+2-(%e N)故。2*+2=4+3,即a”=2+3,即。加一2=3所以 ,为等差数列，故4=2+(l)x3=3 l.(2)设。“的前 20 项和为 S 20 ,则 S 20 =%+4 +%+。20，因为 4=%1，“3 =”4 1，。1 9 =。20 1 所以$20 =2(%+。4+8 +。20)1。z(9x10 =2低+么+Z?9+Z?1O)-1O=2XI1OX2+-X3 1-10 =30 0.13.(20 21全国高考

49、真题(理)已知数列 4 的各项均为正数，记S”为%的前项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.数列 4 是等差数列：数列#7是等差数列；4=3 4.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】选作条件证明：设=an+b(a 0),则 S.=(a +0 1，当 =1 时，q=S =(a +b)2；当上 2时，an-Sn 5_,=(a+Z?y a(2an a+2b)；因为 4 也是等差数列，所以(a+)2 =a(2 a a +2 Z?),解得。=。；所以=。2(2一1),所以4=3 4 .选作条件证明：因为4 =34,%是等差数列，所以公差d =%-4 =

50、2 ai,所以 S =叫 +1)d=,即 y S =,因为呢二一厄=弧(建+1)一如律=狐,所以 后 是等差数列.选作条件证明：设=a n+b(a 0),则 Sr l=(an +b,当=1 时，4=S =(o +b)2；当九之 2时，an=Sn-Sn_=(6Z H+Z?)2-an a+b =a(2 a n-a +2b；因为。2 =3%,所以a(3a +给)=3(a+人)2,解得8=0或力=-*；当。=0时，4=。2,4,=/(2 -1),当N2时，a,*=2满足等差数列的定义，此时 4 为等差数列；当。=-空时，J s =an +b=an-a,=一日2吐%=S“-S,i =缶一下=一 而 而，