2023届高考数学专项练习圆锥曲线大题含答案.pdf

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1、2023届高考数学专项练习圆锥曲线大题含答案第一讲、轨迹方程问题一、直接翻译法直接法是将动点满足的几何条件或等量关系直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，步骤如下：（1）设求点的轨迹方程为P Q,y）：（2）由 已 知 条 件 建 立 关 于 的 方 程；（3）化简整理。例 1（阿波罗尼斯圆）已知直角坐标平面上点Q（2,0）和圆。：+靖=1,动点“到圆C的 切 线 长 与 的 比 等 于 常 数 4（1 0）（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.解:如右图，设M N 切于圆N,则动点M组成的集合P=M MN A MQ-,式中/1 0,因为圆的半径|O N|=1,所以一 Q N=

2、一 1设点M的坐标为（,9），则y/x2+y2-l=A/Q 2 y+/整理得（小一 1）（砂+始）+（1+4矛）=0 经检验,坐标适合这个方程的点M的点都属于这个集合。故这个方程为所求轨迹方程。当4 1时,方程化简为片鲁，他表示一条直线,该直线与。轴垂直且交于点信,0）;当 以 1时，方程化为（x -居T+.=/甘笑它表示圆，圆心（兴口0）X 1 7 x X 1 7半径为J1+3*M2-i|例 2 设。为坐标原点，动点M 在椭圆C：今+娟=1上，过”做 劣轴的垂线，垂足为N,点P 满 足 而=y/2NM，求点P 的轨迹方程；解:设 由 题 意 可 得 N Q 0,0）,设P Q M，由点P 满

3、 足 丽=方 丽？可得；（多一新,？）=J5（0,y）,可得;r-Z o=O,y=J/o,即有处）=7,%=+代入方程V 22专+才=1,可 得/+才=2,轨迹为圆二、定义法分析动点的轨迹满足某种曲线的定义，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.步骤如下：（1）画图寻找儿何关系（2）根据曲线的定义写出轨迹方程例 1 已知动圆P 过定点4(-3,0),且在定圆B：Q-3)2 +靖=6 4 的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程.解:设动圆P 和定圆B 切于点M.动点P 到定点A(-3,0)和定圆圆心B(3,0)距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|+|P B|=|PM|+|P B|=|B

4、M|=8/点P 的轨迹是以A,B 为两焦点，半长轴为4 的椭圆，b=e A.点P 的 轨 迹 是 居+早=1 V例 2 设圆C 与两圆(/+通产+姬二久(c 遍)2 +靖=4 中的一个内切，另一个外切.求。的圆心轨迹心的方程.解:两圆半径均为2,两圆圆心”(胡,0),尸 2(禽,0);由题意得；|C 员H C E I=4=2a V 历用|=2 6=2c,可知圆心C 的轨迹是以原点为中心，/焦点在多轴上，且实轴为4,焦距为2底的双曲线，所以a=2,c=%,/=(j 2=i 轨迹L 的方程为手一炉=1 三、相关点法据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程，步骤如下：(1)设求轨迹的点为P(

5、c,y),相关点为Q Q。,%);(2)根据点的产生过程，找到(rr,y)与(xo,y0)的关系，并将布，站用/和y 表示；(3)将(缺,%)代入相关点的曲线，化简即得所求轨迹方程。例 1 如图所示，已知P(4,0)是 圆/+姬=36 内的一点，A、B 是圆上两动点，且满足=90,求矩形APB Q的顶点Q 的轨迹方程解:设A B,P Q 的中点均为凡设R 的坐标为(期)，则在R t A A B P中，|4?|=|PA|又R 是AB的中点，依垂径定理:在R t O A R中，|A R =A O|C 7?|2=36 (x i +y)2)又|4R|=|PR|=7(i 4)2+y,2,所以有(电 一

6、4y+y：=36(式+谭)即：2+需 _ 421-10=0 .此点R 在一个圆上，当A 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动.设Q Q,g),因为R 是P Q 中点，=空代入方程对+谭一4 0-10=0 得(号 与 部 修)2_ 4 匹/-1 0 =0整理得：+必=56为所求Q 的轨迹方程四、参数法求两曲线的交点轨迹时.，山方程直接消去参数，或先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程,也称之交轨法（1）引入参数；（2）将求轨迹的点（。,妨用参数表示;（3）消去参数；（4）研究范围。例 1设点4 和B 为抛物线靖=功力。0）上原点以外的两个动点，已知。4，0 3,_L力

7、氏求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？解：方法一 如图，点A,B在抛物线城=4 p x 上，设 从 警,以）归 偿，物）,“（切OA.OB的斜率分别为%、kO B.：.kO A=VA=石4 P也h 人_ 访4pVA4P由 O A _L 4B,得知4 k08=羊 占 二-1 依点力在A B上 且 讥=4 p,=4 p 的VAUB一得此一*=（勿+珈）（以一枷）=4p（-翊）易得kA B=品 B UB直线4 B 方程（y W）=泮 卜 一 条）y -OM _L A B,kOM-kAB=-故 k。脑=T=女 中W十UB 一 气 直线O河方程?/=町萨/（3）设 点M（x,y l则 e y 满足

8、（2）、（3）两式，将（2）式两边同2.2时 乘 以-哀,并 利 用 式，可得 翳拜（挈）+甯=七+等，整 理 得 岩 蟾+电 一（/+必）=0 （4）由（3）、（4）两式得一右以珈一（+才）=0由式知，切1yB=-16p2.12；2 +娟 _ 4卬；=0 因 为A、B是原点以外的两点，所 以 x 0所 以M的轨迹是以（2p,0）为圆心，以2 P为半径的圆，去掉坐标原点.底 二 设 A(xl,yl),B(x2,y2),M(x,y)(x=0),直线 A B 的方程为 x =m y +a由0 河_ 1_43,得 力=-岂X由靖=4p x及 1=m y+a,消去的得才4P m y 4p a=0（y所

9、以%为=-4pa,Xix2=（,寿=Q 2所以，由OA O B,得x Ix-2=一为所以/=4p a=Q=4p故x =m y+4p,用m =代入，x =,g+4P 等式两边同时乘以力得 x2+y2-4p x=0（x W 0）故动点M的轨迹方程为x2+y2 4p x =0（x W 0）,它表示以（2p,0）为圆心,以2P为半径的圆，去掉坐标原点。第二讲、弦长和面积问题方法一:圆锥曲线中的面积问题经常会涉及到弦长公式和点到直线的距离公式.弦长公式：(1)若直线AB的方程设为y =k x +771，4 如%),6(t2,%)，则 A B =Vl+fc2*X1 X2=+12J(/I+2)2 4C2=V

10、1+fc2*若直线AB的方程设为x =m y+九 4 m%),6(力 2,%),则 A B=V l+m2*|弘-%|=+m?J (%+%)2 _ 4y l y?=+a注：其中a 指的是将直线的方程代入圆锥曲线方程后，化简得出的关于/或y 的一元二次方程的平方项系数,指的是该方程的判别式.通常用 A B=V l +i e-或|AB|=4 7 万 3 衿计算弦长较为简便点到直线距离公式：砌;:。.VA2+B2此时$=十出48|.方法二：(割补法)如图，当已知直线与坐标轴的交点时，也可用S OB=j-O M y-y.,求其面积.例 1 已知椭圆C:三+若=l(a b 0)的短轴长等于2,右焦点F 距

11、 C 最远距离为3。(1)求椭圆C 的方程；(2)设 O 为坐标原点,过 F 的直线与C 交于A、B 两点(A、B 不在x 轴上)，若。声=+G百，求四边形AOBE面积S 的最大值.解：(1)由已知得=3 +。=32=/+。2.所求椭圆C 的 方 程 为 竽+亨=1设 1:%=%+1则由，与C的方程消x得：(3j+4)靖+6切一 9=0 设A(x i、y)、%+%=3 产+4B Q?、%）_g-：AOB E为平行四边形，丽后I*-S=2 sAAOB=E 为I=1 令 V t2+1-m l 得 S =由双勾函数的单调性易得当m 1即 t =0 时，Sma x=3例 2（割补法）如图，已知点P是

12、n 轴左侧（不含9 轴）一点，抛物线C：娟=4x上存在不同的两点A,B满足PA,的中点均在。上.设 中 点 为 M,证明：PM 垂直于y 轴；若 P是半椭圆/+牛=l（xb 0）,四点E（l,l）,乌（0,1）,R=（一1，空），R=（1，空）中恰有三点在椭圆。上.求。的方程；（2）设直线I不经过P2点且与。相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为一1,证明：/过定点.解：椭圆的对称性，鸟（-1,空）,R（l,乎）两点必在椭圆C上,又R的横坐标为1,椭圆必不过.乌（0,1）,8（-1,空空）三点在椭圆c上。把 （0,1）,8（1,率）代入椭圆C,得：万 2 -1,.，解得 a 2

13、 =4,=l,I a2 +b2=1 椭 圆C的 方 程 为 告+阿=1.证 明：当斜率不存在时，设l:x =mtA(mfyA)tB(m9/直 线P i A与直线P.B的斜率的和为-1,.取+如N=普1+鹭1=M =T解 得 m =2,此 时I过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足。2 c ,a r +4 K 4 =0整理，得(1 +妖?)/+8 kb c +4/-4 =0,+。2=丁 普 兴 巡 2=半匕房，1 +4k 1 +4k-则 kP.i A+k pi N-+y-,yt-k x i +b,y.2-k x-2+b_ x-2(k x +b)-X2+x(k x-2+b)Xi _ 2k x i

14、x-i+6(x 1 +x-2)x +x-2)_ 1X1X2 XX-2=(2 k+l)a；iX2+(6 1)(x i+x2)0,(2k +(b 1)1 得*=08 kb 2 8 k+4/4 8 kb 2 +8 kb =8 k(b -)+4(b +1)(6 -1)=4 (2k+b +1)(6 1)1 +4 f c2 _ 1 +4 f c2 1 +4 2又b 卢1 b =-2k -1,此时 =-6 4 f c,存在总使得 0 成立二直线，的方程为y =k c-2k-l当c =2 时，y=-l ；过定点(2,-1)例 2(垂直弦过定点模型)椭圆C：5+=l(a b 0)的离心率为十，其左焦点到点P(2

15、,l)的 距 离 为 何(1)求椭圆。的标准方程(2)若直线Z:y =f o r +m 与椭圆C相交于A3两点(4B不是左右顶点)，且 以 为 直径的圆过椭圆C的右顶点。求证:直线I过定点，并求出该定点的坐标解：(1),设左焦点 E(-c,0),|PE|=V(-c-2)2+(o-l)2=V T o,解得 c =1,e =-y,a 2,由 b a2 c2 3,椭圆方程为专+号 1.(2)由 可 知 椭 圆 右 顶 点 0(2,0),设 A(如4),8 3,%),以AB为直径的圆过D(2,0),/.D A D B(A B 为直径圆的性质 R t A BD)D A DB,：.D A-D B =0,：

16、D A =x -2,y,DB (x2-2,阴)，/.D A D B Qi 2)(a；2 2)+%为=2 (z i+工 2)+4 +yxy.,0(1)联立直线与椭圆方程:.,_ 8m k.22 陪w2 整 理 得(3 +4k2)x2+8m k x+4(m2 3)=04(m2 3)皿政=4”+,%=&+m)(f a r 2 +m)=k2x i X2+m k x +X2)+rn r,4 启(芯-3)8 m卜 i n k止+3+-=嘴 答 代 入 到D A-D B=4(m 2-3)+2 .8m k+4 +4 奴+3 +4 f c2+33 那 一1 2 k24 k2+3=0,4 妒+3,+16*/喘+1

17、2+3病-丁。,.,W+16m fc+4 f c 2.0,即(7 m+2k)(m+2 f c)=0,：.m=或z n =-2 k,当 z n=尹c 时,1:g =k r =k x 告),；.Z 恒 过 信,0)当?n二一2 人时,，：沙二人/一2 卜=k 3 2),/恒 过(2,0),但(2,0)为椭圆右顶点，不符题意，故舍去，.恒过 信,0).例 3(垂直弦中点弦过定点模型)己知椭圆。:=l(a b 0)经过点,且椭圆的禺心率为e=4(1)求椭圆的方程(2)过椭圆的右焦点尸作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于4c 和 B,。，设线段A C,B D的中点分别为P,Q,求证:直线P Q 恒过一个定

18、点解：(1)由e=/，得 今=+，即 a 4c2 4(a2b2),即 3a2-4b2,由椭圆过点知，/+=1 联立得：浸=4,=3椭圆方程：号+号=1(2)椭圆右焦点F(l,0)证明过定点：当直线AC的斜率不存在时，AC：=1,则3。：9=0.由椭圆的通径得P(l,0)又 Q(0,0),此时直线P。恒过y =0的所有点；当直线AC的斜率存在时，设 AC：y=可一 1)(k W 0)则B D -.y-1)rC又设点4%),。(例).联立方程组+4g=12消去少并化简得:(4fc2+3)x2 8k2x+4fc2-1 2 =0,所以力i+g=4k2+3，%+例=k(=+g 2)=fc.(盖一 2)=

19、一号-P(1，-春)由题知，直线B D的斜率为一 看 同 理可得点Q(春，卷/3k +3 卜1 _ 4+3必十 4/+3 _ 7k 吉绅 p c 护3fc _ 7k /4 2 4 至 二 序二 1)，直线尸(方程:4+3k2 4k2 +3即 4gR2+(7x 4)fc-4y =0A y(k2 1)4-fc(7x-4)=0令 4y=0,7L4=0,-4J/=0,解 得 c=0.故直线P Q 恒过一个定点 信,0);直线A C 的斜率不存在时,P Q 恒过y=0 的所有点，亦过定点(右,0);综上可知，直 线PQ恒过一个定点(告,0)例 4(动圆过定点)如图，在平面直角坐标系x O y中，离 心

20、率 为 挈 的 椭 圆。：，+护=l(a 6 0)的左顶点为4过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆。交于P,Q 两点，直线P A,Q A分别与y轴交于M,N两点,当直线PQ的 斜 率 为 挈 时，|PQ|=273(1)求椭圆。的标准方程(2)试问以M N 为直径的圆是否过定点(与PQ的斜率无关)？请证明你的结论解：设 P(如察多。)，.直 线PQ斜 率 为 察 时，P Q =26,O P=Xo+(-XO)2=3,/.x f l =2,(-r c0)2=1,e =域=逐清=挈，化 为=2/.C 的 标 准 方 程 为 宇+等=L,a2=2b2联立(2 ,1 蓝+至=1.a 2 =4,/=2.

21、方法一 以M N为直径的圆过定点F(+V 2.0).下面给出证明：设 P Q o,%),则 Q(Xo,V o),且 号 +要=1,即 Xo+2 y g =4,V A(2,0),二直线P4方程为：3/=/5(t+2),身 勺)，直线 Q A 方程为：y =+2),要y),以M N为直径的圆为3 0)位-0)+(,一 二 端)(?一 不 甥)=，(圆的直径式：A f Q i 加,/(附例)圆的方程：Q)3力 2)+(g%)(g%)=0j 即证：设圆上异于M,N两点的一点PAtAPMN屏M际W=竺二五支二选=1即+y 2 要 4+点 了 =0,鬲-4 =一2 需，.+娟+券y 2 =0(要使得与PQ

22、斜率无关等价于与如为无关即y =0)令 片 0,/+必 _ 2 =0,解 得x +V 2,：.以M N为直径的圆过定点尸(2,0).方法二 设 P(g ),则 Q(xo,%)，4-2,0),直线 P 4 方程为：y =2Q+2)与 C联立：x2+2k2(x+2)2 =4,整理得：(2k2+l)x2+8k2x +8k2 4 0 xAx o =.+j 解得：Xo=2 ,2 代入 y =+2)得：%=从 全 普+2)=2J+1P(2 4 1,2 +1 )从而 M-会2)3),4 2,0)，的Q=一壶A Q:y =-&Q+2),因为MN 是 A P,A Q 与夕轴的交点，:.M(0,2 k),N(0,

23、一番)以M N为直径的圆的圆心为(0,羯，半径7=|气 产|圆的方程为：/+(9 _ 喙ip：(当 抖 y整理可得：/+92_岑 沙=2令夕=0,解得2=土血第四讲、定值问题1.常见定值问题的处理方法：(1)确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示(2)将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数。2.定值问题的处理技巧：(1)对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置(例如斜率不存在的直线等)求出定值,进而给后面一般情况的处理提供一个方向。(2)在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢(3)巧妙利用变量间

24、的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算例 1 己知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为 =今 妨 右 焦 点，双曲线的实轴为4 4,P 为双曲线上一点(不同于4,4)，直线4 P,4 P 分别与直线=1交于M,N 两点(1)求双曲线的方程(2)试判断丽？前是否为定值，若为定值，求出该值;若不为定值，请说明理由解：(1)右焦点尸(5,0)在立轴上，求渐近方程和一车 =0,y=g;r,a=3,b=4双曲线方程为：等 一 条=1;方法一(2)4(3,0),4(3,0)/(5,0)设。3 ),河偿,)A A P =(rc+3,y),A M =(-,%)河三点共线

25、/.Q +3)%等 沙=0(两 向 量 对 应 比 值 相 等).%=看 气 河 信，告)，同理偿，-各)且尸(5，。)历=(T贵)网=甘二用)询 前=赞一靖.7 r=笔,.总 上 所 述 询 前=025 25 x-9 x-9 9 方法二(2)由 可 得：4(一 3,0),4(3,0),设 PQo,%)设A P ：?=瓦3+3),联立方程%=旦 解得:M(5,等瓦)y k(4 3)、x=9,可得:N(?,-聋的)国=(-畏明加(-黑-斡.西 网=鎏 一 罟 龄 下 面 考 虑 计 算ktk2的值：k i =r b r，k2=4rZD ZD X()T O X()Ok k 2 =*,PQo,%)在

26、双曲线上詈条=1=T/Q=1 半。16=普(曷-9)办 也=工=华出一9 y 向江.向=义 _ _ 垩 =o25 25 9 U所 以 两 丽 为 定 值例 2己知 椭 圆+=l(a&0)的离心 率 为,且过点(A/5,)(1)求椭圆方程(2)设不过原点。的直线，：夕=m+小依0 0),与该椭圆交于/?,。两点，直线0,(：的斜率依次为禽，后,且满足4k =禽十%,试问：当k变化时，/是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论;若不是，请说明理由解：(1)依题意可得(V 2 Y(2 ,1 2 19 I 19a-b-c _aT1解得 Q =2,b=1Q2=+C2.椭 圆 c 的方 程 是 宇+婿

27、=1(2)当k变化时，m2为定值，证明如下：y =k x +m由 (x2)得,(1 +4 fc2)x2+8 k mT 4-4(m2 1)=0设 P(H1,%),Q Q 2,%).则 为+。2=-普赤,人 g=4,?直 线 OP、OQ的斜率依次为khk2,且4k =比+后,.4 A =黑 +黑=越 及乎.+，电 广 成,得 2 k 3；任2 =m(xi+X2)(3),8 fem2 fc=m-客+1 ,整理可得：2k =-，弘m=*_ i =_m24 7?r 4 4 7 7 r 44 依+1病=4,经检验满足40,可知m2 为定值，与 k的取值无关例 3 已知椭圆。：，+方=l(a b 0)的离心

28、率为 1，半焦距为c(c 0),且 a c=1,经过椭圆的左焦点F,斜率为fci(fci丰0)的直线与椭圆交于AB两点，O为坐标原点(1)求椭圆C的方程(2)当口=1时，求 SA M E的值 设 灭(1,0),延 长 分 别 与 椭 圆 交 于 C,。两点，直线CD的斜率为口，求证：备 为定值上 二2 r o解：(1 )由题意，得 4 a 3 解得 一 ./=a2 。2=5a c =1 1 c=2故椭圆。的 方 程 为 号+=1()由(1 ),知 F(2,0),直线 A B 的方程为 y =x +2,由 b 0)上，椭圆。的左焦点为(一1,0)(1)求椭圆C的方程(2)直线，过点T(m,0)(

29、z n 0)交椭圆。于 河,N两点，力 3 是椭圆。经过原点。的弦，且 MN人B,问是否存在正数次,使得浅为定值？若存在，请求出T H的值;若不存在,请说明理由。MN解：(1)椭 圆C的左焦 点 为(1,0),.c=l,椭 圆C的右焦点为(1,0)可得 2a=J(1 +I)2+(-+(1 I)2+(=,+9 =4 解得 a=2,A fe2=a2 c2=4 1=3,椭 圆c的标准方程为 +=14 o 设 直 线 l:g=44k Q-r n),且V (匹 如 小 3,物),由 4=1y =k(x m)得(3+4k2)x2 Sk2m x+4fc2m2 12=0,g +2=8k 2mA MN =+k2

30、 J16(12-3病)肥+93+4fc2、y =k%4fc2=1,CQ2=4k2 病 12得 x2=3+4A:2123+4兴设 4 3,%)出(力4,为)得 A B=V1+fc2|a；3 x4 得|AB|2=IW_4.w1+k248(1+肥)3+4妒16 (12 3m2)奴+9由4而 64fc4m2 16(3+4fc2)(fc2m2-3)=16(12 3m2)fc2+9/.当 12-3/=9 即 恒=1 时=4 为定值，当k不存在时，定值也为4,.m=l例 5 如图，已知椭圆C:+V =l(a b 0)的离心率 为 挈，以椭圆。的左顶点T为圆心作圆T-.(x +2)2+y2=r r 0),设圆

31、T 与椭圆C 交于点M,N(1)求椭圆。的方程；(2)求 丽 前 的 最小值，并求此时圆T的方程(3)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点，且直线M P,N P分别与N轴交于点R,S,O为坐标原点,求证：|OR|O S|为定值.解：根据题目可得，a=2,因 为 e=坐，所 以c =心,2又因为b2 a2-c2,所 以 b=l,综上所述，椭 圆C的 标 准 方 程 为*+必=1由题可知，点 河 与 点 N 关 于 7 轴对称，设 M Qi,%),N(如一%),不妨设以 02由于点M在椭圆C上，所 以 痈=1 一 等，已知了（一2,0）,则加=（为+2,%）,T N-（x i +2,-y J,T

32、M-T N-（+2,%）（a;i+2,-y,）=（+2）2 诵=（勾 +2）2 （1-詈）=,居 +421+3=,（01+春）2春由于一2为V 2,故 当 x,=-4 时，%=卷 两 前 取得最小值为一春O O O又因为点“在 圆 T 上，代入圆的方程得到产=果，综上所述，T M T N取得的最小值为一 此 时 圆T方程为（x+2）2+y2=4y-OZ J 设 PQo,佻），则直线MP的方程为n-y 尸 件 耿）,.9 9 9 2人 八阳”1%6。功 F=1HFFI”以）+曲%#匚 1、1 g2 y 02 而2%2令 片 0 得邮=下1 同 理 3=T，所 以 磔.绮=嘘 一 搞 又因为点M和

33、 点P均在椭圆上，所以谖2=4（1湍），就2 =4（1 诵）,介 入 俎 小 小 一 4（1?片 2）*2 4（1 n；2）n：2 _ 4（喏2_：2）_ A4弋入 XR。XS 得 Xf t Xs 2-Z 2 -2Z 2 4,%2 V 12%2-V i 2 O R O S =I翊I 肉|二 m，综上所述，Q R|O S为定值4第五讲、切线问题求曲线上一点的切线方程：过 椭 圆 E :=2 p y(p 0)上 1 点E :a?=2 p y(p 0)作切线，则切线方程为：E :a?=2 p y(p 0)证明：(此步骤必须牢记，在大题中要体现)设过E：a：2 =2 p y(p 0)的切线方程为：？一

34、%=k(x -x o)J椭园方程联立，利用E:x2=2p y(p 0)求斜：；k 过 抛 物 线 E：/=2 p y(p 0)上一点、E ：土 2 p y(p 0)作切线，则切线方程为：E：x2 2p y(p 0)证明：(此步骤必须牢记，在大题中要体现)设过E：a=2 =2 p 3(p 0)的切线方程为：=k(x Xo)1J抛物线方程联 v.,利用 E-.x2-2p y(p 0)若为开口向上或开口向下的抛物线，求导，代点，求出切线的斜率,利用点斜式求出切线的方程。曲线外一点的切点弦方程 过 椭 圆 E ：E 2 =2 p y (p 0)外一,点E:X2=2p y(p 0)作椭圆的两条切线，则两

35、切点连线方fi-为：E:/=2p y(p 0)证明：(此步骤必须牢记，在大题中要体现)设两切点为4 办)、用 如%)，则切线R4：*+甥 =1；ar bz同理切线PB：爷+噌 =：!：a b点P在两切线.，则有：平+警=1 1，平+喀=1 ,ar b-o r bl构造直线 I ：E:x2=2p y(p 0),则由可知点4 6均在直线”；即了 线AB的方程为E ：工 2 =2p y p 0)E:/=2 p g(p 0)外 点 E:/=2 的 30)作抛物线的两条切线，则两切点连线方程为：E:X2=2p y p 0)证明同上。例 1(与圆有关的切线问题)如图，在平面直角坐标系。？中，椭圆。过 点(

36、6，十)，焦点E(-V 3,0),(V 3,0)，圆O的直径为尸囱。(1)求椭圆。及圆。的方程；(2)设直线/与圆O相切于第一象限内的点P设直线I与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；直 线，与椭圆。交于43两点.若 OAB的面积为呼，求直线I的方程。解：焦点FI（-V 3,0）,F2（V3,0）.C=V3乌+=1，又因为。2 万=。2=3,解得：a=2,b=lar b，椭圆。:号+才=1,圆O 的方程：/+娟=3（2）（1）由题意可知直线I与 圆 O 相切，也与椭圆C相切，且切点在第一象限因此k 定小于0 可设直线I的方程为y =k x +m,（k 0）2由圆心（0,0）到直线I的距离等

37、于圆半径V 3,可 得 力 近=3（距离公式），JL十 片即 m2=3+3k2；由k x +m 可 得（如之+1）d+gkmrr+4m24=0 =(8km)2-4(4fc2+l)(4m2-4)=0可得 m2=4k2 +1/.3k2+3=4k2 +1结合 k V 0,772 0,解得 fc=V2,m=32 2 _ o可得 x2-2y/2x+2=0y =k x +m解 得 c=l 故 点P的坐标为(2,1)(法二)设直线与圆的切点PQo,%),则满足加+必=3,故直线/的方程为:联立：（43+萧）之 24/。力+36-4肃=o./与椭圆只有一个交点，.二 0即=（一 24gy 一 4（4 60+%

38、2）（36-4萧）=48请（加-2）因为点尸位于第一象限，即力 0 0,例 0,故/0=血,%=1故 点P的坐标为（2,1）设 4 如 9）,8 3,）联立直线与椭圆方程得（4/c2+l）x2+8kmx+4m2 4=0fc 0结合(1),由 m2=3+3fc2 k 0 _所 以|g _ 阂=J(+b 0）的 离 心 率 为 平,焦距为2 2,斜率为k 的直线，与椭圆河有两个不同的交点 求椭圆M 的方程;（2）设P（-2,0）,直线P A 与椭圆河的另一个交点为。，直线P B 与椭圆M 的另一个交点为。，若 C D 和点Q（-孑，十）共线，求 K解：由题意可知：焦 距 2c=2 2，则c =0

39、椭圆的离心率e=F =坐，a o则a=g =a2-c2=l,.椭圆M的 标 准 方 程 为 导+才=1;设 4 3,）,3（如为）,设 直 线PA的 斜 率 如 4=普 亍，直 线PA的 方 程 为y =X 乙d+3 寸=3-y（x+2）,联立 y=i-9（x+2）,消去沙整理得（播+4 i+4+3端）+12扁vU 十乙 X I/+（12忧-3犹一 12为 12）=0由 谖+3端=3 代入上式得，整 理 得（4.+7）2+（12 4冠）土一（7鬲+124i）,=07*+12 _ 7a；i+12X X c4x i +7,X c-一 7+4为/7xi+12 y y 7+4c 7+4c贝 U 比=一

40、 筌 皆 +2）=7:%11同理可得 D(_ 7 g+1 _ h _I刊 埋 口”寻.y 7+4”7+4g由Q（T尚，则 加=（金,需 等O D=（_ 1_ 2%一 仇 _ 7）4（4次+7）2（7+4x2）由C.D 与 点 Q（一孑，十）共线可得Q C 与 Q D 共线,n,i 1 2y,)4政7 1 2y,4x i 7 _A 4(4+7)2(7+4T2)=4(4x2+7)2(7+4)%一 四一=%一整理得%一为=2(次)，则直线AB的斜率k=累 第=2,./的值为2.例 3（与抛物线有关的切线问题）已知曲线。：片 弓，。为直线y=专上的动点，过。作。的两条切线，切点分别为A,A（1）证明:

41、直线AB过定点：（2）若以E（0,5）为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段4B的中点，求四边形AD B E的面积.解：设 （t,-1-）,A（a：i,y1）,则 x i-2y1.%+J由 于 沙=z,所以切线D A的 斜 率 为 如 故 为 二 全 二 -整理得2 施1 2%+1 =0.设B（x 2,y j,同理可得2 切2-2%+1 =0.故直线AB的方程为2 比 2 y+1 =0.所以直线AB过 定 点（0,十）.（2）由 得直线AB的 方 程 为 片 加+,1。=板+万，由，9 可得力2 2 旅 一1 =0.于是 C i +g=2 1,6 i N 2=1,乃 +沙 2=*3 1 +/2

42、）+1 =2 产 +1,A B=V 1 +t2 x i x2=V 1 +t2 x J(%i +g)2 4 力 成 2 =2(产 +1).设山也分别为点D,E到直线AB的距离,2，产+1则&=廿+1 以2 =因此，四边形AD B E的面积5 =十|力口|（4 +办）=（产+3）因 2+1.设M为线段AB的中点，则 河,严+十）.由于 E M YAB,而 E M =(t,t2-2l),A B 与向量(1 1)平行，所以 t+(t2-2)t =0解得：=0 或 1=1 当 t =0 时，5 =3;当1=1 时，5 =4 V 2第六讲、常见的几何条件的翻译与转化L常见几何条件的转化(1)角度条件的转化

43、若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率k若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角,从而利用向量数量积的符号进行判定(2)点与圆的位置关系可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系,但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定:若点在圆内，AAC B为钝角，再转为向量：团 0)(3)三点共线问题通过斜率:任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线通过向量:任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线(4)直线的平行垂直关系:可转化为对应向量的平行与垂直问题,从而转为坐标运算：4=(,%)工=(2,9 2)，则 a,b 共线=

44、xYy.2 x2y；a b x i x2+yAy.2 0(5)平行(共线)线段的比例问题:可转化为向量的数乘关系(6)平行(共线)线段的乘积问题:可将线段变为向量,从而转化为向量数量积问题(注意向量的方向是同向还是反向)2.常见几何图形的转化 三角形的“重心”:设不共线的三点4 3 1皿)出(6,%),。(伪,为)，则AAB C的重心(2)三角形的“垂心”:伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零三角形的“内心”:伴随着角平分线，由角平分线性质可知(如图)：Z P _ L 4 7JQJ_AQI在AB AC的角平分线上=A P =A Q=今裁XT Jg1 W(4)

45、P是以O A O B为邻边的平行四边形的顶点=D P =D A+D B(5)P是以。为邻边的线上菱形的顶点：P在4 8垂直平分(6)共线线段长度的乘积:若A,8,。共线，则线段的乘积可转化为向量的数量积，从而简化运算，(要注意向量的夹角)例如：为=才已AB,AC-BC=-AC-BC例1(三点共线问题)如图：A B分别是椭圆C：+g*=l(a b 0)的左右顶点，F为其右焦点，2是 A F,FB的等差中项，一 是的等比中项(1)求椭圆C的方程(2)已知P是椭圆C上异于A,B的动点，直线I过点A且垂直于x轴，若过F作直线F QJ_AP,并交直线，于点Q。证明：Q,R B三点共线解：(1)乎 +号=

46、1 2 X 2=(a+c)+(a c)=a=2,(V3)2=(a+c)(a c)(2)由(1)可得：C(2,0),B(2,0),F(l,0)设AP：y=kQ+2),设P(如 幻，联立直线与椭圆方程可得：=(47+3)7+l d k,2x+16fc2-12=0 y 做 力 *2)另一方面，因为FQ_L4PRQ：g=狄/-1),联立方程：b 0)的右焦点为R,M 为上顶点，O 为坐标原点，若O M F的面积为十，且椭圆的离心率为 辱(1)求椭圆的方程；(2)是否存在直线Z交椭圆于P,Q 两点，且使点F 为的垂心？若存在，求出直线%的方程;若不存在,请说明理由.解:菅+y2=1 设P3I,%),Q(

47、6,%),由 可 得：A f(0,l),F(l,0).媪F=1 .尸 为 中。河的垂心/.MF A.PQ：.kPQ=-A=1L P Q-.yx+m 由 F 为 的 垂 心 可 得：A1PJ_ FQM P=(Xi,yl-1),F Q=3-1,%)：.MP-FQ=Xx(X2 Y)+(1)%=0 因为P,Q 在直线g=6+m 上qj=+7 7 2，1 _ ，代入可得：力式电-1)+(X 1+771 1)(X2+m)=0y2=X2r Tn即 2X IX 2+(xi+x2)(m 1)4-m2-m =0 考虑联立方程：也xz+2y=2得 3x24-4mx+27n2 2=0.=16m2 12(2m2 2)0

48、=m2 3.二 一 年 逆 皿 二 二 幺 代 入 可 得：Jo2,Z7%.2,|_(7 n _ i).+m2-m 0 解得：m -或 m =1当m =l 时，ZPQM不存在，故舍去当z n=-时，所求直线，存在，直线，的方程为夕=c 寺例 3(角度问题的转化)如图,椭圆吊 +b 0)的一个焦点是F(L0),O 为坐标原点.(1)若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；(2)设过点F 且不垂直力轴的直线I 交椭圆于A 3 两点，若直线 Z绕点尸任意转动，恒有|。4+|OB|2 AB2,求 a 的取值范围.解:OM-MN=冬=c-；-=c=l=a=2,b=V32 o tan

49、60 3椭圆方程：+萼=1T t O(2)设 2:y=%(a：1),A(x i,y1),B(x2,y2)；Q川2 +QB|2 A B2：.c o s ZA O B=。一挑祸。Z.A O B 为 钝 角O A O B =x X2+%。联立直线与椭圆方程:a?/n /+a%T V =而 整理可得:(a2fc2+b2)x2 2a2k2c+02k2 滔/=。+2Q%2 Q2炉一 Q%2,i 2 a2k2+b2,1X2 a%2+b2%纳二k2(6l)(x2 1)=k?Xi X2 fc2(iCi 4-X2)+k _ p.a2k2-a2b2 _ ,2.2 a*i a2k2+b2&Q2k2+十年一k2b2-a

50、 W _a2 0 8+%a2k2 +b2a2fc2-a2b2+k 2b2-a W)a2b2恒成立：.d2+b2d2b2 0 fe2=a2 1/.2a2 1 a2(a2 1)a 的 取 值 范 围 是(七 医,+8)例 4(点与圆的位置关系)设A,B分别为椭圆1+舌=1(a b 0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为1(1)求椭圆的方程；(2)设P为直线工=4 上不同于点(4.0)的任意一点，若直线4 P,3 P 分 别 与 椭 圆 相 交 于 异 于 的 点 M,N,证明：点 3在 以 为 直 径 的 圆 内解：(1)依题意可得a=2c,且到右焦点距离的最