2023届高考数学专项练习数列的综合应用含答案.pdf

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1、2023届高考数学专项练习数列的综合应用【题型归纳目录】题型一:数列在数学文化与实际问题中的应用题型二:数列中的新定义问题题型三:数列与函数、不等式的综合问题题型四:数列在实际问题中的应用题型五:数列不等式的证明题型六:公共项问题题型七:插项问题题型八:蛛网图问题题型九:整数的存在性问题（不定方程）题型十:数列与函数的交汇问题题型十一:数列与导数的交汇问题题型十二:数列与概率的交汇问题题型十三:数列与几何的交汇问题【典型例题】题型一:数列在数学文化与实际问题中的应用例1.（2 0 2 3 全国高三专题练习）历史上数列的发展,折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利

2、数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,1 3,2 1,3 4,5 5,8 9,即 R（l）=R（2）=-1）+2）（n 3,n N）,此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列&,则瓦 +_I+i 2（）2 的值为（）A.2 6 9 6 B.2 6 9 7 C.2 6 9 8 D.2 7 0 0例2.（2 0 2 2 新疆喀什高三期末（文）7 0 周年国庆阅兵活动向全世界展示了我军威武文明之师的良好形象，展示了科技强军的伟大成就以及维护世界和平的坚定决心，在阅兵活动的训练工作中，不仅使用了北斗导航、

3、电子沙盘、仿真系统、激光测距机、迈速表和高清摄像头等新技术装备，还通过管理中心对每天产生的大数据进行存储、分析，有效保证了阅兵活动的顺利进行，假如训练过程中第一天产生的数据量为用其后每天产生的数据量都是前一天的q（q l）倍，那么训练几天产生的总数据量为（）例3.（2023全国高三专题练习）大衍数列来源于 乾坤谱 中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题.其前1 0项依次是0、2、4、8、1 2、1 8、24、32、4 0、5 0,则此数列的第21 项

4、是（）A.200 B.21 0 C.220 D.24 2例4.（2022全国模拟预测（理）孙子算经 是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在 算书九章大衍求一术 中将此问题系统解决.“大衍求一术”属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”.现有一道同余式组问题:将正整数中，被 3除余2 且被5 除余1的数，按由小到大的顺序排成一列数，则281是第几个数（）A.18 B.19 C.20 D.21例5.（2022山西太原三模（理）斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐

5、波那契数列是用如下递推方法定义的：5 =a?=1，*=a,I +a,T 3,n C N）.已知.+汨+汨+*是该数列的第100项,则m=（）Q?nA.98 B.99 C.100 D.101【方法技巧与总结】解决数列与数学文化相交汇问题的关键I读懂题意匕一 惠 航 一 丢 海 孕 攵 花 的 者 酒 南福更蕾.:乐 上 而 一由窗熹;涵矗鎏亲薮疥最辱百薮河最宣布；I构造模型L 关系式的模型：0 二二二二二二二二二二二二二二二I.犍越刑 利用所学知识求解数列的相关信息，如求，四 妲 时;指定项、通项公式或前“项 和 的 公 式；（2）解答数列应用题需过好“四关”|审题关口一存 前面迸月a 7 以意

6、迎翻海便 一一：0nV|求解关H 求解该数列问题0I 还原关H 两丽泰的结巢速面酉实底而戢用题型二:数列中的新定义问题例6.（2022陕西长安一中模楹现测（理）意大利数学家列昂纳多 斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列 an 满足的=1,a.2=1,厮=即一+若将数列的每一项按照下图方法放进格子里,每一小格子的边长为1,记前n 项所占的格子的面积之和为S“，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为c “，则其中不正确结论的是A.S n+l-Qn+1+Qn+1*QnC.Q i+。3+。5+O 2 n-I=Q2n-1B.Q +电 +。

7、3+。几=a,+2 1D.4(cn-cn_ 1)=7 r an_2-an+i(n 3)例7.（2022全 国 三 专 题 练 习）意大利数学家列昂那多 斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”（斐波那契数列）：1,1,2,3,5,8,1 3,2 1,3 4,5 5,，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列 册 满足：的=1,a 2 =1，怎+2 a+i +a”，若&3 +2时，S anSn-an.求&；(2)设数列 与 的前几项和为方,若我;W (4+9)2 恒成立，求4的取值范围.例18.(20

8、22全国商三专题练习)设等差数列 斯 的前九项和为S“，S3 5VO,Sx 0.若对任意的正整数0都有S”S*,则整数k=()A.3 4 B.3 5 C.1 8 D.1 9例19.(2022四川省泸县第二中学模拟覆测(文)已知等差数列 斯 的前n项和为S“，S4=2 S2+8,a2=3.若对任意n e M且n 2,总 有 富 丁 +#+甘 丁 恒成立，则实数A的最小值为()6 T O3 1 1A.1 B.-j-C.D.J4 o o例20.(2022河南模拟fit测()已知数列 4 中，Q i =J,%二1%办=Wr，则满足册 焉 的n的最4 C Ln-T ZQ n+1 71 1 i 1 U U

9、 U大值为()A.3 B.5 C.7 D.9例21.(2022四 川 树 植 中 学 商 三 开 学 考 试(理)己知 数 列 an的 首 项 =1,且 满 足a ma“=(-y)n(n e N D ,则存在正整数期使得(a“一 4)(%田+川V 0成立的实数1组成的集合为()A.(-8,-4)U 层,+8)B.(1,1)C.(y,l)D.-j)U&+8)例22.(2022宁夏银川一中三模(文)已知数列 a 满 足 的=2,5 =小+(3)”5 2且n e A T),若a“VM 恒成立，则”的最小值是()A.2C.D.3B T例23.(2022浙江高三专题练习)数列%的 前 项 和 为&,且

10、5 +3 a 2 +3 -%“=n-3”，若对任意n N*,&(一 1 尸7d 恒成立，则实数4 的取值范围为()A.-3,4 B.-2 V2.2 V2 C.-5,5 D.-2 V2 -2,2 72 +2 例24.(2022全国高三专题练习)已知数列%的通项公式为保=2)，前n项和为S”，若实数4 满足(1)演 F(n)恒成立 Q a F(n)ma x；a 成 力 恒成立o a V F(n)mM.题型四:数列在实际问题中的应用例26.(2022上海长宁二M)甲、乙两人同时分别入职A B 两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：A 公司第一年月基础工资数为3 70 0 元，以后每年月基础工资比上

11、一年月基础工资增加3 0 0 元；B 公司第一年月基础工资数为4 0 0 0 元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的L 0 5倍.(1)分别求甲、乙两人工作满1 0 年的基础工资收入总量(精确到1 元)(2)设甲、乙两人入职第n 年的月基础工资分别为a、b0元,记 c“=a,-b,讨论数列 册 的单调性,指出哪年起到哪年止相同年份中的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由.例27.(2022全国商三专题练习)保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部 署.2021年7月，国务院办公厅发布 关于加快发展保障性租赁住房的意见 后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁

12、住房相关政策或征求意见稿.为了响应国家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米,其中有25万平方米是保障性租赁住房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%,另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米.(1)到哪一年底,该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米？(2)到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?例28.(2022内蒙古海拉尔第二中学商三期中(理)某高校2021届毕业生春季大型招聘会上，两家公司的工资标准分别是：A公司许诺第一年的月工资为3

13、000元，以后每年月工资比上一年月工资增加300元；B公司许诺第一年月工资为3500元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上增加5%.若某人被两家公司同时录取,试问：(1)若此人分别在力公司或B公司连续工作(n e N*)年，则他在第九年的月工资收入分别是多少？(2)此人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资总收入作为应聘的标准，此人应该选择哪家公司？参考数据：1.051%1.629.例29.(2022全Bl高三专题练习)商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款5 00万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2 002 年初动工，年底竣工并交付使用，公寓

14、管理处采用收费偿还建行贷款形式(年利率5%,按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费1 8 万元.其余部分全部在年底还建行贷款.(1)若公寓收费标准定为每生每年8 00元,问到哪一年可偿还建行全部贷款；(2)若公寓管理处要在2 01 0年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元(精确到元)？(参考数据：I g l.7 3 4 3 =0.2 3 9 1,l g l.05 =0.02 1 2,1.05，=1.4 7 7 4)例30.(2022全 国 三 专 题 练 习)在如图所示的数阵中，从任意一个数开始依次从左下方选出来的数可组成等差数列，如：2,4,6,8,;依次选出来的数可

15、组成等比数列，如：2,4,8,1 6,.12 23 4 44 6 8 85 8 1 2 1 6 1 6记第7 1 行第7 n 个数为/(m m).(I )若门3,写出/(7 i,l),f(n,2),/(7 2,3)的表达式，并归纳出/(n,m)的表达式;(I I)求第1()行所有数的和S e例31.(2022全 国 模 拟 测(文)某企业年初在一个项目上投资2 千万元，据市场调查,每年获得的利润为投资的5 0%,为了企业长远发展，每年底需要从利润中取出5 00万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目.设经过年后，该项目的资金为“万元.(1)求证:数列 a“一 1 0 0 0 为等比数列；(2

16、)若该项目的资金达到翻一番,至少经过几年？(I g 3 0.5 ,lg2 七0.3)例32.(2022辽宁实事中学模拟f l 测)冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病.新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，人感染了冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.日前正在世界范围内广泛传播，并对人类生命构成了巨大威胁.针对病毒对人类的危害，科研人员正在不断研发冠状病毒的抑制剂.某种病毒抑制剂的有效率为60%,现设计针对此抑制剂的疗效试验:每次对病毒使用此抑制齐 1 J,如病毒被抑制，得分为

17、2 分,如抑制剂无效，得分1分，持续进行试验.设得分为ri 6 N D时的概率为Pn.(1)进行两次试验后，总得分为随机变量X,求X 的分布列和数学期望：求证:品 得.例33.(2022全国商三专题练习(理)足球运动被誉为“世界第一运动”.深受青少年的喜爱.(I)为推广足球运动，某学校成立了足球社团，由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取,规则如下:踢点球一次，若踢进,则被录取;若没踢进,则继续踢,直到踢进为止，但是每人最多踢点球3 次.下表是某同学6 次的训练数据，以这15()个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率.为加入足球社团,该同学进行了“点球测试”，每次点球是

18、否踢进相互独立，他在测试中所踢的点球次数记为&求的分布列及数学期望；点球数203030252025进球数101720161314(H)社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练,从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人,接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，第 几次触球者是甲的概率记为R,即E =L 求 2,R(直接写出结果即可)；证明：数列 阿一j 为等比数列，并判断第19次还是第20次触球者是甲的概率大.【方法技巧与总结】现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识

19、去解决.(1)数列实际应用中的常见模型等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数,则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第n 项 为与第九+1项 a+l的递推关系还是前n 项和S“与 前 +1项和&+1之间的递推关系.在实际问题中建立数列模型时，一般有两种途径:一是从特例入手，归纳猜想,再推广到一般结论:二是从一般入手，找到递推关系,再进行求解.一般地,涉及递增率或递减率要用等比数列,涉及依次增加或减少要用等差

20、数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列,在解决问题时要往这些方面联系.解决数列实际应用题的3 个关健点根据题意,正确确定数列模型；利用数列知识准确求解模型：问题作答,不要忽视问题的实际意义.题型五:数列不等式的证明例34.(2022淅江模拟预测)已 知 正 项 数 列 满 足 a()=0,a L i-=2(n+l),n e N.(1)求证：殳包C 况；(2)求证：1-+-+0),其中a 为实常数.(1)若函数9位)=/3)-告 方 0 定义域内恒成立，求 a 的取值范围；(2)证明：当a=0 时，/尊 4 1；X(3)求证：4+H-V ln(l+n)C 1+4 +!+,H-.2 3 n+1

21、 2 3 n例36.(2022广州二#)已知数列 a J和 bn满足 =，且对任意nC N”都有册+&=1,马巴=丁%.an 1 an(1)求数列 4 和 6 的通项公式；证 明 卷+詈+岩+.+益 她+小 小+鲁+詈+.例37.(2022秋 泰山区校级月才)设函数/(x)=x2+bi n(x+1),其中b w 0.(1)讨论函数人力)的单调性；(2)当 n W N+且 外2 时证明不等式：+1)(：+1)(5 +1n +1,例38.(2021山东 晶 祥县第一中学高三，!中)已知函数/(c)=I n/a;+1,力(0,+8),g(力)=s i n x ax(a 6 R).(1)求/(力)的最

22、大值；若 对 V 为e(0,+8),总存在ge(0,f)，使得/团)g(g)成立,求实数Q的取值范围；(3)证明不等式s i n(/)”+s i n 信)”+s i n(V (其中e 是自然对数的底数).例39.(2021四川射洪中学高三月考(文)已知函数/=I n c 6+1,x G (0,H-o o),g(x)=eT ax.(1)求/Q)的最大值；(2)若对Va?i (0,+8),总存在 1,2 使得/()成立，求 Q 的取值范围;证明不等式：()+()”+()黄 例40.(2021全国高三专题练习)已知正项数列 册 的前r i 项和为Sn，且 Sn=马 将 曲.(1)计算。1、电、电，猜

23、想数列 厮 的通项公式；(2)用数学归纳法证明数列%的通项公式；(3)证 明 不 等 式+-7 H -v+H -7 V -T-对任意n G N*恒成立.a ai a：3 *4例41.(2021全国高二单元测试)设数列 斯 的前几项和为&,已知2 S =a6一 2e+1(九 N )，且 的=5.(1)证明$+1)为等比数歹I,并求数列%的通项公式；(2)设bn=l o g 3(%+2 ),且 方=+=H-证明 Tn 2；bt bi f e(3)在(2)的条件下,若对于任意的r i N*不等式6(1+n)-An(bn+2)-6 0 恒成立，求实数1 的取值范围.例42.（2021全国通三月 2 时

24、，证明不等式 l n+1）（专+1）（.+1）+崇 +.+4-1 1n+l ,【方法技巧与总结】（1）构造辅助函数（数列）证明不等式（2）放缩法证明不等式在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法.放缩时常采用的方法有:舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式的分子（或分母）.放缩法证不等式的理论依据是：A B,B CA C；A B,B Cn A 2 0 2 2 成立，则n的最小值为.例51.（2022全国造二课时练习）在-9 和 3 之间插入几个数，使这2 个数组成和为-2 1 的等差数列，则n=（）A.4 B

25、.5 C.6 D.7例52.（2022全国高二专题练习）已知数列%的通项公式为%=2,在如和a 2 之间插入1 个 数%，使 的,Xn，a 2 成等差数列;在电和&3 之间插入2 个数矶 如，使 a Z,狈,劣2 2，&3 成等差数列；在 a”和 an+i 之间插入n个数/“名 处,/%,4”,使%,纵,私,工知,4”,册+1 成等差数列.这样得到一个新数列&：a,xn,a2,工 2 1,电2,&3，%,7 3 2,g3g，记数列 b n 的前项和为S”,有下列结论:Xn,+C C”2 T-h Xn n=3 2 电。=8 6%=3 0 7 2$5 5=1 4 3 3 7 其中，所有正确结论的个

26、数是（）A.1 B.2 C.3 D.4例53.（2022全国商二课时练习）已知数列 a“满足斯=2 九一1,在时,a.之间插入n个 1,构成数列 b“：a 1，L a?，1，1，a：”1,1,1,，则数列 bj 的前1 0 0 项的和为（）A.2 1 1 B.2 3 2 C.2 4 7 D.2 5 6例54.（2022全国高二专题练习）在 a,b 中插入九个数，使它们和a,b 组成等差数列a,a”,b,则如+a?+,+(1”=()A/上八 R n(a+b)(n+l)(a +b)(n +2)(a +6)A.n(a+b)B.-C.-D.-例55.(2022全国高二乐时练习)等比数列 斯 的通项公式

27、为a =2 -3，-,现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列值,那么1 6 2 是新数列也,的A.第 5 项 B.第 1 2 项 C.第 1 3 项 D.第 6 项例56.(多选题)(2022吉林松原；三月)在数学课堂上,为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1 的常数列，在此数列的第n(n N,)项与第n+1 项之间插入首项为2，公比为2,的等比数列的前n项,从而形成新的数列%,数列%的前n项和为&，则()A.a2o-2 i 2，B.a.2 0 2 i =2 C.S,2 n2 i =3 x 2f i 3+5 9 D.S2 0 2 1 =2G 4 3例

28、57.(多选题)(2022湖南 永州市第一中学高三月才)在数学课堂上，教师引导学生构造新数列:在数列的每相邻两项之间插入此两项的和,形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列 1,2 进行构造，第 1 次得到数列1,3,2；第 2 次得到数列1,4,3,5,2；第 5 N*)次得到数列1,0,如g,，磔，2；记 0n=1 +的+2 2-E+2,数列%的前n项为S”,则()A.f c +1 =2 B.a+|=3 a 3 C.a =-(n2+3 n)D.Sn=-(3n+l+2 n 3)题型八:蛛网图问题例58.(2022秋虹口区校级期中)已知数列 a 满足：a,=0,an+

29、1=1 1 1(6 +1)an(n e N*),前?i 项和为S”,则下列选项错误的是()(参考数据：ln 2-0.6 9 3,ln 3*1.0 9 9)A.伍2”.1 是单调递增数列，电”是单调递减数列B.a+an+1 ln 3 二C.5 2 侬 0,a+1=瞋-an+1,打e N.,&表 示数列 马前n 项和，则下列选项中错误的是()A.若 0 V a点 则 叫 V I B.若 4 V a V L 则 斯 递减C.若 a 1=4,则S 4-2)D.若 a 1=2,则$2000-y例60.(2022.浙江模拟)已知数列 an 满足：的=0,即+尸 ln(e +1)-a(n G N*)，前n项

30、和为S”(参考数据：ln2g0.6 93,ln3七1.099),则下列选项中错误的是()A.m2 一 1 是单调递增数列，%”是单调递减数列B.a,+an+1 ln3C.S2n2o6 6 6D.(Z-2 n l 0,且屣=3 鼎|一 2a n+依 e N*),下列说法正确的是()A.若%=g,则 an an+l B.若 囚=2,则%1+(y)nC.。+。5&2a 3 D.|。“+2-M+1I 1 4+1 一例62.(多选题)(2022秋9 月份月考)已知数列QJ满足：。1 =0,an+i=ln(ea,+1)an(n N*),前?2项和为Sn(参考数据：ln2 x 0.6 93,ln3 x 1.

31、099),则下列选项正确的是()A.a.是单调递增数列，伍加 是单调递减数列B.a +an+1ln3C.S2()20 3 时，(%+an_i)(Sn 2S“-i +Sn_2)=1.从上述三个条件中任选一个,完成以下问题:(1)求数列%的通项公式;设数歹I J “，满足6,=l,bn=an-ann 2),试问 bn中是否存在连续三项比也+1 也+,使得专，十，1构成等差数列？请说明理由.例68.(2022辽宁辽阳二)2%,为等差数列，且 a：,=之为等比数列，且电=率 从两O I Z7 1 -1 )4个条件中任选一个,补充在下面的问题中，并解答.在数列 4 中，如=5.求 册 的通项公式；已 知

32、%的前几项和为S“，试问是否存在正整数p,q,r,使得S p g a-？若存在，求p,q,r的值;若不存在，说明理由.例69.(2022全 国 三 专 题 练 习(理)等差数列 4(*)中，,a 2,a：,分别是如表所示第一、二、三行中的某一个数,且其中的任意两个数不在表格的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669(1)请选择一个可能的 电，电，组合，并求数列 a 的通项公式.(2)记(1)中您选择的%的前九项和为 砺,判断是否存在正整数M使得的，痣，&+?成等比数列？若存在，请求出卜的值;若不存在,请说明理由.例70.(2022天津第华中学模拟覆测)已知数列 an

33、的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2 的等比数列.数列 an 前n项和为S n,且满足S：t a4,g+期,=2+a,t(1)求数列 s i 的通项公式；(2)求数列 m 前2k项和S2k；(3)在数列 an 中，是否存在连续的三项am,am+1，am+2,按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m 的值;若不存在，说明理由.例71.(2022浙江舟山市田家炳中学高三开学考试)己知数列%是公差大于0 的等差数列，其前n项和为Sn，且 a2-a3=1 5,SJ,S 2，S 成等比数列.(1)求数列%的通项公式；(2)设b,=一2 (n 6 N),其前n 项和为M，则是否

34、存在正整数m,n(m丰n)，使得T2,Tm,北成等差数Qn,%+1歹 U?若存在，求出的值;若不存在,请说明理由.例72.(2022河南扁阳中学模楸H 测(文)已知等差数列%的前八项和为S”,公差dK 0,a-=8,且 a：,是 何与a,的等比中项.求 4 的通项公式；(2)设bn=含,是否存在一个非零常数力，使得数列 吼 也为等差数列?若存在，求出t 的值;若不存在,请说明理由.题型十:数列与函数的交汇问题例73.(2022龙泉畀区校於一模)已知定义在R 上的函数/是奇函数且满足/既-x)=/(x),/(-2)=3,数列QJ 是等差数列，若 的=3,a7=1 3,则/(a 1)+-+/(。3

35、)T-F/(a2()i5)=()A.-2 B.-3 C.2 D.3 7 4.(2022.日展模拟)已知数歹U%的通项公式%=+岑，则|-02|+|0 2-03|+-+|09!)-0 1()0|=()A.1 5 0 B.1 6 2 C.1 80 D.2 1 0例75.(2022新郑市校级模叔)已知等差数列 an的前n项和为5t，若(a2-l)3+2 0 1 0(a2-1)=1,(a2 M 9-1)X +2 0 1 0(C l 2 O 0 9 _ 1)_ 1，下列为真命题的序号为()$20 0 9=20 0 9；$20 1 0 =20 1 0 ；O 20 0 9 V&；$20 0 9 V S)-A

36、.B.C.D.例76.(2022科仁寿县月#)设等差数列 时 的前n 项和为&,已知(%1 尸+20 1 2(%1)=1,(aM0!)-I)3+20 1 2(&20 9-1)=一1，则 下 列 结 论 中 正 确 的 是()A.$2 0 1 2=20 1 2,C Z.20 0 9 0,4C.$2 0 1 2=20 1 1 ,。20(1 9 V 0-4 D.*590 1 2=20 1 1 ,。20 0 9例77.(2022.珠海校级模拟)已知函数/(x)=s inx+tan a项数为27的等差数列a“满足a”(与 田，且公差 d X 0,若/(at)+/(a2)H-l-/(a27)=0，当/(&

37、)=0 时，则 k 的值为()A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.1 1例78.(2022秋江 苏期中)已知定义域为H 的函数/()满足/(工)=2/3 +2),当 工 0,2)时，/(工)=0),曲线y =/(,)在点(1,/(I)处的切线在y轴上的截距为1 1T-求 Q；(2)讨论g Q)=(2)2的单调性；设 Q =L Q n+i=/(M)，证明：2n-2|21 nan l n7|0,Q 0),曲线g=f(c)在点(1,/(!.)处的切线在y轴上的截距为ln3 求 a；(2)讨论函数gQ)=f(x)-2x(x 0)和 无=f(x)-会了 3 0)的单调性；设 ai=L 册+i=/(a

38、),求证：士/7-2 2).例81.(2022大侯区校级模拟)已知/(力)=asinrr,g(c)=lnrc,其中a E R(y=g x)与 g=g Q)关于直线夕=力 对称)(1)若函数GQ)=/(1 )+g 在区间(0,1)上递增,求a 的取值范围；证明：f s i n J V ln2；fc=i 一十叼(3)设 F(x)=gTQ)-mx2-2(。+1)+b(zn V 0),其中FQ)0 恒成立，求满足条件的最小整数b 的值.例82.(2022揭FB一模)已知函数/(力)=。，9(,)=1114,其中0 6 7?,(6 2 2.718).(1)若函数F(x)=/(T)一 gQ)有极值1,求

39、a 的值；(2)若函数G(x)=f(si n(x-1)-gQ)在区间(0,1)上为减函数，求。的取值范围;(3)证明：叫 卜；3）的数列%称为斐波那契数列，又称黄金分割数列.如图，依次以斐波那契数列 狐 各项为边长作正方形，在每个正方形中取半径为该正方形边长、圆心角为90的圆弧，依次连接圆弧端点所成的曲线被称为斐波那契螺旋线（也称“黄金螺旋”）.下图圆心角为90的 扇 形 中 的 曲 线 是 斐 波 那 契 螺 旋 线的一段，若在该扇形内任取一点，则该点在图中阴影部分的概率为（）例87.（2022河南温县第一高级中学商三月才（文）意大利数学家斐波那契在他的 算盘全书 中提出了一个关于兔子繁殖的

40、问题:如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里,又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1,1,2,3,5,8,13,2 1,，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是4 =5T+册_ 2（九3,neN*）,其中=1,色=1.若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（）A R 673 r n J7 43 2021 2 2021例88.（2022全国商二乐时练习）已知随机变量只能取三个值g,如 如 其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是（）A.fo,4-1

41、B.-,4-1 C.3,3 D.0,1例89.（2022河北衡水第一中学商三月才（理）甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子,观察底面点数，若两个点数之和为5,则由原掷骰子的人继续掷;若掷出的点数之和不是5,就由对方接着掷.第一次由甲开始掷，设第n 次 由 甲 掷 的 概 率 为 则 2,的值为（）例90.（2022江苏海安高级中学高二期中）根据中国古代重要的数学著作 孙子算经 记载，我国古代诸侯的等级自低到高分为:男、子、伯、侯、公五个等级，现有每个级别的诸侯各一人，君王要把50处领地全部分给5 位诸侯，要求每位诸侯都分到领地且级别每高一级就多分小处

42、（m 为正整数），按这种分法，下列结论正确的是（）A.为“男”的诸侯分到的领地不大于6 处的概率是-1B.为“子”的诸侯分到的领地不小于6 处的概率是十C.为 伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是1D.为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是4题型十三，数列与几何的交汇问题例91.（2022全国商三专题练习）已知等差数列%的首项为例，公差为d,其前几项和为S”,若直线？=g a iz +n i与圆（x-2）2+y=l 的两个交点关于直线工+9-d=0 对称,则数列 g 的前100项和等于（）A 110010 nB-19090 0r 9998 Dn-1例92.（2022全国牌三专慝练习）已知

43、各项都不相等的数列 a,J m=1,2,3，2015,圆 仁 招+婿 一 4z 4y=0,圆。2：/+婿-2%2一2（12016-八 9=0,若圆Q 平分圆G的周长，则 4 的所有项的和为（）A.2014 B.2015 C.4028 D.4030例93.（2022浙江牌考真题）已知 a,b 6 R,ab 0,函数=ax2+b（x R）.若/（s-t）,f（s）J（s+t）成等比数列，则平面上点（s,t）的轨迹是（）A.直线和圆 B.直线和椭圆 C.直线和双曲线 D.直线和抛物线例94.（2022江西德亭商三月#（理）已知A B C D -4 H G R 为单位正方体,黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱

44、向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，白蚂蚁爬行的路线是4 4 -4 D -，黑蚂蚁爬行的路线是A B-B BL，它们都遵循如下规则:所爬行的第i+2 与 第 i 段所在直线必须是异面直线（其 中 i 是自然数），设白，黑蚂蚁都走完2 0 n 段后各停止在正方体的某个顶点处,这时黑，白两蚂蚁的距离是A.1B.V 2C.V3D.0二、多选题例95.（2022 吉林 长春市第二实收中学方二期中）已 知 双 曲 线 及 招 一 炉=瑞 标%*且 7142019）,设直线工=2 与双曲线 区 在 第一象限内的交点为4“点 人 在 E”的两条渐近线上的射影分别为5,C.，记A nB na的面积为“，则

45、下列说法正确的是（）A.双曲线的渐近线方程为=c B.a=251gC.数列 a j 为等差数列 D.0,+02+-+02019=-例96.（2022湖北黄石商三开学考试）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，是圆。招+才=疗 上两个不同的动点，E,是 A 4M 的中点，且满足O Mn-ON+2宓 2 =0&e N*）.设Mri,Nn到直线l：73x +y+n2+n=0 的距离之和的最大值为a,.,则下列说法中正确的是（）A.向 量 质 乙 与 向 量 由”所成角为120B.|O,|=nC.an=n2-F 2nD若鼠=吊,则数列 诬 二 1忘二 的前 项和为数列的综合应用【题型归纳目录】题型一:数

46、列在数学文化与实际问题中的应用题型二:数列中的新定义问题题型三:数列与函数、不等式的综合问题题型四:数列在实际问题中的应用题型五:数列不等式的证明题型六:公共项问题题型七:插项问题题型八:蛛网图问题题型九:整数的存在性问题(不定方程)题型十:数列与函数的交汇问题题型十一:数列与导致的交汇问题题型十二:数列与概率的交汇问题题型十三:数列与几何的交汇问题【典型例题】题型一，数列在数学文化与实际问题中的应用例1.(2023全国商三专题练习)历史上数列的发展,折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5

47、,8,1 3,2 1,3 4,55,8 9,即 F(l)=R(2)=1,F 2)=-1)+Fa-2)(n 3,n N),此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列&,则瓦 +&2 +&3 H-+i 2()2 的值为()A.2 6 96 B.2 6 97 C.2 6 98 D.2 7 0 0【答案】A【解析】解：由题意得:数列他 为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,所以该数列的周期为6,所以瓦+b+也;+2 0 2 2,=3 3 7(8 +i 2 +d),=3 3 7 X 8 =2 6 96,故选：A例2.(2022鼾喀什寄三朝

48、末(文)7 0 周年国庆阅兵活动向全世界展示了我军威武文明之师的良好形象，展示了科技强军的伟大成就以及维护世界和平的坚定决心，在阅兵活动的训练工作中，不仅使用了北斗导航、电子沙盘、仿真系统、激光测距机、迈速表和高清摄像头等新技术装备，还通过管理中心对每天产生的大数据进行存储、分析，有效保证了阅兵活动的顺利进行，假如训练过程中第一天产生的数据量为用其后每天产生的数据量都是前一天的q(q 1)倍，那么训练几天产生的总数据量为()A.aq B.(i(i C.；-D.：-丫？1 Q 1 Q【答案】D【解析】根据题意可知每天产生的数据量是以Q为首项，q(q l)为公比的等比数列，所以训练7 1 天产生的

49、总数据量为,故选:D例3.（2023全国商三专题练习）大衍数列来源于 乾坤谱 中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题.其前1 0 项依次是0、2、4、8、1 2、1 8、2 4、3 2、4 0、5 0,则此数列的第2 1 项是（）A.2 0 0 B.2 1 0 C.2 2 0 D.2 4 2【答案】C【解析】根据题意，数列的前1 0 项依次是0、2、4、8、1 2、1 8、2 4、3 2、4 0、5 0,其中奇数项为0、4、1 2、2 4、4（）,I

50、2 1 22 1 4 2 1 72 1有 Q，1=2 =0,a3=-2 =4,a5=-:2 =1 2,即=入=2 4,故其奇数项上的通项公式为a,尸 正 尹，故a2 1=2 1；1 =2 2 0,故选:C例4.（2022全国模楹我测（理）孙子算经 是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在 算书九章大衍求一术 中将此问题系统解决.“大衍求一术”属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为 中国剩余定理”.现有一道同余式组问题:将正整数中，被 3除余2 且被5 除余1 的数，按由小到大的顺序排成一列数，则2 8 1 是第凡个数（）A.1 8 B.1