平面向量高考真题专练提升30道.pdf

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1、专练02：平面向量高考真题专练提升30道一、单选题1.（2 02 1年浙江省高考数学试题）已 知 非 零 向 量 工 员 乙 则=尻是“2 =5”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件2.（2 02 0年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标H D）已知向量a,5满足|引=5,出|=6,a-b=-6 则c o s =（）A 3 1 R 19 17 19A.-D.-C.-L）.-3 5 3 5 3 5 3 53.（2 02 0年新高考全国卷I 数学高考试题（山东）已知P 是边长为2的正六边形A38E F 内的一点，则 而.而 的取值范围是（）A.（2

2、,6）B.（-6,2）C.（-2,4）D.（T 6）4.（2 019 年北京市高考数学试卷（理科）设点A,B,C不共线，则“福 与 急 的夹角为锐角”是“府+砌|明”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.（2 019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标H）已 知 丽=（2,3）,A C=（3,t）,|BC|=I,则 福 册=A.-3B.-2C.2 D.36.（2 018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）在4 A B C 中，A D为 8 c 边上的中线，E 为 AP 的中点，则 丽=3 1 1 3 A.-A B A

3、C B.-A B A C4 4 4 43 1 一 一 3 C.-A B+-A C D.-A B+-A C4 4 4 47.（安徽省蚌埠二中2 019-2 02 0学年高二下学期开学检测文科数学试题）设 向 量 均为单位向量，则“113 B|=|3 2 +向 是”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.（2 019 年一轮复习讲练测5.3 平面向量的数量积及应用）如图，在平面四边形A BC。中，AB1BC,AD1CD,ZBAD=2O,AB=AD=,若点E 为边CO 上的动点，则 荏.砺 的 最 小值为9.（2 017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数

4、学（新课标2卷精编版）已知AABC是边长为2的等边三角形，P 为平面A 8 C 内一点，则 丽（而+画的最小值是（）34A.2 B.C.D.12 310.（2 019 年一轮复习讲练测5.3 平面向量的数量积及应用）设M2 为非零向量，贝 存在负数久，使得小=2 ”是的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件11.（2 017 年全国普通高等学校招生统一考试 数 学（浙江卷精编版）如图，已知平面四边形 A BC。，ABLBC,AB=BC=AD=2,8=3,A C 与 8。交于点 0,记I=OAOB,/2=OBOC,IOCOD,则A .11I2I3 B

5、.11I3I2 C.13 11I2 D.2I 1I312.（2 016 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版）已知向量 2 =（1,。，5 =（3,-2）,且（a +5）_ l _ 5,则A.-8 B.-6C.6D.8试卷第2页，共5页二、填空题13.（2 02 1年全国高考乙卷数学（理）试题）已知向量=（1,3）石=（3,4）,若贝 A =.14.（2 02 1年全国高考甲卷数学（理）试题）己知向量=（3,1）石=（1,0）,2 =+女尻若a _ L c，则/15.（2 02 1年全国新高考I I 卷数学试题）已知向量+加+=。，同=1,W=，=2,ab-bc-c-a=1

6、6.（2 02 1年浙江省高考数学试题）已知平面向量五,（#6满足卜卜1,|4 =2,4 i=0,（5）-。=0.记向量2 在,加方向上的投影分别为x,y,在3 方向上的投影为z,则r+V+z?的最小值为.17.（2 02 0年全国统一高考数学试卷（理科X新课标I ）设&石为单位向量，且团+5|=1,贝 I I 万 _ 51=.18.（2 02 0年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标H）已知单位向量：工的夹角为4 5,左二一了与二垂直，则 k.19.（2 02 0年江苏省高考数学试卷）在AABC中，AB=4,AC=3,N5 A C=9 0。,。在边BC上，延长A。到 P,使得A P=9,若

7、雨=，”方+弓-，）户 C （帆为常数），则 CO 的长度是2 0.（2 02 0年浙江省高考数学试卷）设不，1 为单位向量，满足|2 冢-己区夜，2 =1+段,b-3et+e2,设B 的夹角为。，则c o s 2 g的 最 小 值 为.2 1.（2 019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标HI）已知。石为单位向量，且无5=0,若E =2d-辰,贝！|c o s =.2 2.（2 019 年天津市高考数学试卷（文科）在四边形A 8 C O 中，A D/B C,AB=2AD=5,Z A =3 0，点E 在线段C B 的延长线上，且则 而.荏=.2 3.（2 019 年全国统一高考数学试卷（

8、理科）（新课标I ）已知双曲线C：-1=1（0力 0）的左、右焦点分别为尸”F 2,过 K 的直线与C的两条渐近线分别a-b-交于A,B 两 点.若 用=丽，用.空=0,则 C的离心率为.2 4.（2 0 1 8 年全国卷I I I 理数高考试题文档版）已知向量占（1,2）,5=（2,-2）,c=（l,/l）.若cH（2a+b）,贝”=.2 5.（2 0 1 7 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1 卷精编版）己知向量G 与B 的夹角为 6 0。，|1|=2,区|=1,则+2 b 1=.2 6.（广东省广州市广东仲元中学2 0 1 6-2 0 1 7 学年高一第二学期期末考试数学试

9、题）在 中，Z A =6 0 ,A B=3,A C =2.若 丽=2 祝，AE =A A C-A B（A e R）,且 而 通=-4，则/I 的值为.2 7.（2 0 1 7 年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷精编版）在同一个平面内，向量区，丽,配 的 模 分别为1,1,0,西 与 玩 的 夹角为a ,且 t a n a=7,而 与 阮 的夹角为 4 5 ，O C =m O A +nOBm,n e/?）,贝！|根+=.2 8.（2 0 1 7 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版）已知I，工是互相垂直的单位向量，若 也&一 最与1+入团的夹角为6 0。，则实数入的值是一

10、.三、双空题2 9.（2 0 2 1 年北京市高考数学试题）已知向量a,5 忑在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则（a+b）-c=；a b=试卷第4页，共5页30.(2021年天津高考数学试题)在边长为1的等边三角形4B C中，。为线段BC上的动点，且交AB于点E.。尸 4 3且交A C于点尸，则12而+丽|的值为;(DE+DF)D A的最小值为.参考答案1.B【分 析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详 解】如图所示，。么=月=5,0。=己8A=万一5,当ABJ-OC时，与c垂直，(a B)c=0,所 以a,=1成 立，此时彳力很，=不是万=坂的充

11、分条件，当万=5 时，&-5=0，(a1 4 =0,c=0 .c=a.c成 立，7工=3.是0=5的必要条件，综 上，=W是 =尸的必要不充分条件故选：B.2.D【分 析】计 算 出7仅+9、卜+q的 值，利用平面向量数量积可计算出cos j =|t z|+6 z*/?=5 _ 6 =1 9.卜+囚=yla+2a-b+b=A/25-2X6+36=7 ,-a-(a+b 1 9 1 9因此，cos=.|-|a +q 5 x 7 3 5故选：D.【点 睛】答案第1 页，共 16页本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.3.A【分析

12、】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到丽在而方向上的投影的取值范围是（-1,3）,利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB的模为2,根据正六边形的特征，可以得到Q 在福方向上的投影的取值范围是（T，3）,结合向量数量积的定义式，可知而福等于丽的模与所在通方向上的投影的乘积，所 以 而 通 的取值范围是（-2,6）,故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.4.C【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.【详解】三点不共线,AB+ACBCAB-AC I A B

13、 +A C 12 1 A B -A C I2 A B A C A C的夹角为锐角.故“而 与 女 的夹角为锐角”是“I瓶+而1 1反T的充分必要条件，故选c.答案第2页，共16页【点睛】本题考查充要条件的概念与判断、平面向量的模、夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.5.C【分析】根据向量三角形法则求出3 再求出向量的数量积.【详解】由 册=*-通=(l j-3),|BC|=V12+(-3)2=1,得f =3,则 配=(1,0),A B.B C =(2,3)l,O)=2 x l +3 x O =2 .故选 C.【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大.6.A【

14、分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求 得 砺=；而+：死，之后应用向量的加法运算法则三角形法则，得至U 配=函+而，之后将其合并，得到3 1 3 BE=-B A +-A Cf下一步应用相反向量，求得=：AC,从而求得结果.4 4 4 4【详解】根据向量的运算法则，可得BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA+-(E+AC=-B A+-B A+-A C=-B A+-A C,2 2 2 4 2 4V 7 2 4 4 4 4一 3 一 1 一所以=-A C,故选 A.4 4【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向答案第3 页

15、，共 16页量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.7.C【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】因为向量石均为单位向量所以|-3B|=|3a+B|。(3可=(3a+E)O a-6a-b+9b=9a+6a-b+b l-6 a b +9=9+6 a b +lo a b=0 o a _L/?所以“I -3 昨 132+BI”是 d”的充要条件故选：c【点睛】本题考查的是向量数量积的应用和充要条件的判断，属于基础题.8.A【详解】分析：由 题 意 可 得 为 等腰三角形，BCD为等边三角形，把数量积亚.诙

16、分拆，设 历=f反(0 W 1),数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。详解：连接BD,取 A D 中点为0,可知A3。为等腰三角形，而所以BCD为等边三角形，BD=6。设 诙 小 配(04/41)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2 3 _ _ _2AE.BE=(AD+DE)(BD+DE)=ADBD+DE(AD+BD)+D E=+BDDE+DE=3/2-/+-(0 /1)2 2所 以 当1时，上式取最小值2W1，选 A.4 16点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。答案第4页，共16页9

17、.B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可.【详解】建立如图所示的坐标系，以8c中点为坐标原点，则 A(0,6),仅-1,0),C(L O),设 P(x,y),则 百=(r,G-y),/喑P C =(-x,-y),贝 I J 丽 丽 +P C)=2x2-26 +2y2=2x2+(y -今-.当x =0,y =立 时，取得最小值2x(4)=-。，2 4 2故选：B.10.A【详解】试题分析：若UvO,使帆=几，则两向量?，反向，夹角是180。，那么/n-n=|m|n|c o s l 80o=-|m|n|0；若”90。，O A O C ,O B 0 函

18、 丽无 丽，故选C.【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.列出方程组求解未知数.本题通过所给条件结合数量积运算，易得NAO8=NCOO 9 0，由AB=BC=AO=2,C=3,可求得OA OC,O B O D,进 而 得 到 /,/2.12.D【分析】由已知向量的坐标求出a+5 的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案.【详解】a=(3,-2),;.a+b=

19、(4,m-2),又(2+5)_Lb,/.3x4+(-2)x(m-2)=0,解得 m=8.故选D.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题.13.5【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出.【详解】因为2-4=(1,3)-/1(3,4)=(1-3九3 4孙 所 以 由(-砌，分可得，3 0-3 4)+4(3 44)=0,解得2=，.3故答案为：.【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设 二(%,凹)石=(%，%)，答案第6页，共16页a&a-5=Oxlx2+yl2=O,注意与平面向量平行的坐标表示区分.【分析】利用向量的

20、坐标运算法则求得向量C的坐标，利用向量的数量积为零求得左的值【详解】.=(3,1),5=a+kb=(3+&,1),.ac,.-.a-c=3（3+A：）+lx l=0,解得左=-3故答案为：-.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量=(内,x)，=(%,%)垂直的充分必要条件是其数量积+%=。.15-2【分析】由已知可得R +B+2=0,展开化简后可得结果.【详解】由已知可得(a+B+c)=-2-2-2（一 一 一 a+b+c+2 a +bc+c Q=9+2（GB +BC+C（7Q故答案为：16.-5【分析】设2=(1,0)出=(0,2),=(九)，由平面

21、向量的知识可得2 x+y-右 z=2,再结合柯西不等式即可得解.【详解】由题意，设是=(1,0),5=(0,2),乙二(九),则(一行卜=?-2=0,即加=2，答案第7 页，共 16页又向量7在Z B方向上的投影分别为x,y,所以d =(x,y),所以在 方向上的投影2=(，尸=(：)+1=2x-2+y,c ylnr+n2+V 5E R 2x+y +/5 z =2,所以x2 +V+z 2=2?+俨 +(土 石(x2+/+z2)(2 x+y +z)2=|,X =%_ y _ z 3当且仅当，2-7+5即.y =时，等号成立，2 x+y +/5 z =2出所以V +y 2 +z 2的最小值为2故答

22、案为：y .【遍视频r:【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由平面向量的知识转化出x，z之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值.1 7.6【分析】整理已知可得：|+q=加+,再利用 石为单位向量即可求得五出=-1,对卜-4变形可得：卜=-2 a 2+忖，问题得解.【详解】因为 荒为单位向量，所 以 鼻=例=1所以k+囚=,(+很)=J”|+2。为+忖=八+2a-b=解得：2a b=-答案第8页，共16页故答案为：G【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.1 8.2【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.【详解】由题意可得

23、：a b =x 1 x cos45=乙，2由向量垂直的充分必要条件可得：1-二=0,即：kxa a b=k-=0 解得：k=-.2 2故答案为：也.2【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.1 9.5或0【分析】根据题设条件可设丙=/而(，0),结合雨=如冲+(|-*与 反“三点共线，可求得2,再根据勾股定理求出B C,然后根据余弦定理即可求解.【详解】AD,尸三点共线,可设方=/而(20),/PA=mPB+|-帆网AA.PD=tnPB+*即Y*3 rn22PC,答案第9页，共16页3若加工（）且，工万，则 良D,

24、C三点共线,即几=3,2.A尸=9,A AD=3,AB=4,AC=3,N fi4c=90。，BC=5,设C=x,4 C D A =e,PIijBD=5-x,ZBDA=TT-0.,根据余弦定理可得cose=A“：半 二4c,cos（万-e）=2AD-CD 6人小十心一族（5一4一72ADBD6(5-x)，.*cos+cos(-0)=0,.尹 葭 M=0,解得x=，6 6(5-x)51 Q 8的长度为最当帆=0 时，PA=PC,C,。重合，此时CQ的长度为0,当 初=|时，雨=|方，仇。重合，此 时 率=1 2,不合题意，舍去.1 Q故答案为：0 或1.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定

25、理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设PA=APD（/l0）.2 0.竺29【分析】ir ir 3利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得G刍2 j,再根据向量夹角公式求cos?6 函数关系式，根据函数单调性求最值.【详解】U U LQ 2e1 e21(1-3 5 +3 q q 32 2 85 +3x 3 2 9-4OQ故答案为：【点 睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.2 1.3【分 析】根 据R M?结合向量夹角公式求出忙I,进一步求出结果.【详 解】因 为3=2 4一出5,a b=0 f所以无 2 =2d2

26、-y5a b=2 f|c|2=4|a|2-4舟 石 +5 1 5r=9,所 以|)|=3,a c 2 2所 以C OS=J4+4+4=273故答案为2石.点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式.(2)a=y d l常用来求向量的模.答案第13页，共16页【详解】_ _ _ _ 1 _ _ 2 _.AB AC=3x2xcos600=3,AD=-AB+-A C，则_ _ _ 1 _ _ 2 _ _._ _ 2 2/?1 2 3A D A E(-A B+-A C)(A A C-A B)=-x 3 +_ x4_ _ x9一_x3=-4=A=.3 3 3 3 3 3 11【考 点】向量的数量

27、积【名师点 睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量,利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的血，而己知模和夹角，选作基地易于计算数量积.27.3【详解】以0 4 为x 轴，建立直角坐标系，则A(l,0),由 玩 的 模 为 正 与 丽 与 玩 的 夹 角 为 a,且tancr=7 知，cos a-,sina-,可得 C10 10 7555,8(cos(a+45),s加(c+45),_ _3(3 4)_ _r z af 1 7)(3 4)5=m 5n 5 7一，由。C=mOA+O 8可得匕，W=?一 ,？，|m=-,n =,5 5

28、；5 5 J 5 5 J 7 4 4 4 =n:.m+n=3,故答案为3.(方法点睛本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系，属于难题.向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：(1 )平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差);(2 )三角形法则(两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和)；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便.2 8.显3【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出入的值.【详解】解：由题意，设=(1,0),=(

29、0,1),则 G q-/=(&,-1),答案第14页，共16页=(1,X)；又夹角为6 0。，-弓)(q +九 e,)=/3 X=2 xy/1 +x c o s 6 0,即6-入=(1+不，解得入=且.3【点睛】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题.2 9.0 3【分析】根据坐标求出1+5 ,再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】以万石交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则a=(2,1)出=(2,-1)忑=(0,1),=(4,0),(a +i )c=4 x 0 +0 x l =0,/.aS=2 x 2+l x(-l)=3.故答案为：0；3.3 0.1 2 0【分析】

30、答案第15页，共16页设BE=x,由（2而+而了=4曲：4丽.力F+丽?可求出；将（诙+。尸）.雨化为关于x的关系式即可求出最值.【详解】设BE=x,x e(0,；1,.ABC为边长为1的等边三角形，DELAB,NBDE=30,BD=2x,DE=拒x,DC=-2x,：DFHAB,.(回C为边长为l 2x的等边三角形，DE1DF，(2BE+DF)2=4BE+4BE-DF+DF=4x2+4x(1 -2A)XCOS0+(1-2x)2=1，:.2BE+DF=1,.(DE+DF)DA=(DE+DF)(DE+EA)=DE+DFEA=(V3X)2+(1-2X)X(1-X)=5X2-3X+1=5X-+非，3 11所以当“左 寸，(方+市)3的最小值为益.故答案为：1；工.答案第16页，共16页