2022年下半年全国教师资格证考试初中数学教资考试高频考点汇总整理.pdf

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1、全国教师资格证考试初中数学教资考试高频考点【汇总整理】高频考点数学目 录第一模块数与代数.1第一章函数.1【考 点 1函数的性质.1【考点2】指数函数.1【考点3】对数函数.2第二章数列.3【考点4】等差数列.3【考点5】等比数列.3第二模块图形与几何.5第一章立体几何.5【考点6】线面位置关系.5【考点7】面面位置关系.5第二章解析几何.7【考点8】圆锥曲线.7第三模块统计与概率.9第一章排列组合.9【考点9】排列.9【考 点 10】组合.9第二章概率.10【考 点 11几何概型.10【考 点 12古典概型.10【考 点 13】条件概率.11第四模块数学史.12【考 点 14古典时期的希腊数

2、学.12【考 点 15微积分的诞生.12【考 点 16】千古谜题.12第五模块高等数学.14第一章极限与连续.14【考 点 17】函数极限存在的条件.14【考 点 18】两个重要极限公式.14【考 点 19】等价无穷小代换.14【考点20】洛必达法则.14【考点21】函数在一点处连续.15【考点22】函数在区间内（上）连续.15【考点23】函数间断点的类型.15【考点24】闭区间上连续函数的性质.16第二章导数及微分.17【考点25】导函数的定义.17【考点26】可导与连续.17【考点27】求曲线上一点处的切线方程与法线方程.17【考点28】函数的单调性.17高频考点数学【考点29】函数的极值

3、.18【考点30函数的最值.18【考点31】微分的运算法则.18【考点32微分中值定理.19【考点33一元函数可导、可微、连续之间的关系.19第三章积分.20【考点34】不定积分的性质与公式.20【考点35定积分的性质.20【考点36】牛顿一莱布尼兹公式.21【考点37】定积分的求法.21【考点38】定积分的应用一一求平面图形的面积.22【考点39】定积分的应用一一求旋转体的体积.22第四章空间解析几何.22【考点40】空间向量的直角坐标运算律.22【考点41】空间向量的位置关系.22【考点42】空间向量的数量积.23【考点43】空间向量的向量积.23【考点44】旋转曲面.23【考点45】锥面

4、.24【考点46】柱面.24【考点47】椭球面.24【考点48】抛物面.25【考点49】双曲面.25【考点50】空间平面及其方程.26【考点51】两平面间的夹角.26【考点52】空间直线及其方程.27【考点53空间中两条直线位置关系的判定.27【考点54】空间中两条直线的夹角.28第五章多元函数微分.29【考点55】高阶偏导数.29【考点56】可微分的条件.29第六章级数.30【考点57】收敛级数的基本性质.30【考点58绝对收敛和条件收敛.30【考点59】收敛半径.30【考点60】常见函数基级数展开式.31第六模块线性代数.33第一章行列式.33【考点61】行列式的性质.33【考点62】余子

5、式与代数余子式.34【考点63】行列式的计算.34第二章矩阵.35【考点64】矩阵的运算.35【考点65】矩阵的秩.35高频考点数学【考点66】逆矩阵.35第三章线性方程组.37【考点67克莱姆法则.37【考点68】极大线性无关组.37【考点69】线性方程组的解.37第四章二次型.39【考点70】矩阵正负定性的判定.39第七模块课标与教学论.41第一章课程标准.41【考点71】课程基本理念.41【考点72高中数学学科核心素养.41【考点73高中数学课程目标.41第二章案例分析.42【考点74】案例分析.42第三章教学设计.43【考点75教学设计.43高频考点数学第一模块数与代数第一章函数【考

6、点1】函数的性质1 .单调性：一般地，设函数y =/(x)的定义域为/,如果对于定义域/内的某个区间。内的任意两个自变量再，与，当 玉 时，都 有 )/仇)，那么就说函数/(力在区间。上是增(减)函数。2 .奇偶性：一般地，对于函数/(x)的定义域内的任意一个X,若：有/(-x)=/(x),那么/(X)就叫做偶函数;(2)有=那 么 就 叫 做 奇 函 数。3 .周期性：若 T 为非零常数，对于定义域内的任意一个x,使/(x+T)=/(x)恒成立，则/(x)叫做周期函数，7 叫做这个函数的一个周期。【考点2】指数函数1 .定义：一般地，函 数 夕=优(a 0,且。工1)叫做指数函数。其中x 是

7、自变量，函数定义域是R。2.指数函数的图象与性质：a 的范围0 a图象yyOXOX恒过点(0,1)(0,1)定义域RR值域(0,+00)(0,+00)单调性T奇偶性非奇非偶非奇非偶周期性无无对称轴无无1高频考点数学对称中心无无【考 点3】对数函数L定 义：一 般 地，函 数y =l o g“x叫 做 对 数 函 数，其 中x0,a 0且a x l。对 数 函 数 的 一 般 形 式 为j V =l og,1x(aO J iab x 0)，。为底数，x为真数，它实际上就是指数函数的反函数，它们的图象关于直线y =X对 称。因此指数函数对于4的规定，同样适用于对数函数.2.对数函数的图象与性质a的

8、范围0 a 1图象恒过点(1 0)(1,0)定义域(0,+o o)(0,+0 0)值域RR单调性T奇偶性非奇非偶非奇非偶周期性无无对称轴无无对称中心无无【练习】下列函数中，既是偶函数又在(0,+0 0)上 单 调 递 减 的 是()。A./(x)=ex-l B./(x)=-+xC/(x)=/D./(x)=I g|x|【答案及解析】【答 案】C2高频考点数学【解析】A 选项，函数/(x)=e-l 既不是奇函数也不是偶函数，故错误；B 选项，函数/(x)=+x是奇函数，故错误；C 选项，函 数/(力=/是 偶 函 数，/(x)=F，故当x 0 时，/(x)0,所以/(x)在(0,+0 0)上为减函

9、数；当 x 星田=(2+1)%*1；S2n Sn 5 a-$2/成等差数列。【考点5】等比数列1 .概念：一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(4 4 0)。2.通项公式：an=aq(n eN*,q w O,q H O)ax(-q-_ ax-qa3 .前 项和公式：S,=-q -q q(q =i)4 .性质(解题时常用到的)3高频考点数学=qmf,其中,a为第m，项;an若阳+=P+夕，则 Q =Q p Q g；若三个数等比，常设色，卬 4q;q等比中项：小 b,C成等比数列，6叫做与

10、C的等比中项，则=a.c；S“，S2 n-Sn9 S3”-S2八 成等比数列。【练习】已知%、均为等差数列，其前项和分别为s,，T ,若 2 =2 出，则 组 等 于（）。T,+3 b”C.2B.8D.H8【答案及解析】【答案】B 解析 J 根据 SM=2%+9）=2 9 4,y 29伍）蜃）=,则 空=8=2x29+2=2 2 bl5 T29 29+3竺=。故本题选B。32 84高频考点数学第二模块图形与几何第一章立体几何【考点6】线面位置关系直线与平面的位置关系位置关系图示表示方法公共点个数直线在平面内aaQ U Q无数个直线在平面外平行aaa II a0个相交27aCa=A1个1.直线与

11、平面平行判定定理1：平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行。判定定理2：一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行。性质定理1：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线和该直线平行。2.直线与平面垂直判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。性质定理1：如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线垂直于平面内任意一条直线。性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行。【考点7面面位置关系平面与平面的位置关系位置

12、关系图示表示方法公共点个数两平面平行4_/a/30个5高频考点数学两平面相交a C/3=a无数个（有一条公共直线）1.平面与平面平行判定定理1:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。判定定理2：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。判定定理3：垂直于同一条直线的两个平面平行。判定定理4：平行于同一条平面的两个平面平行。性质定理1：如果两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。性质定理2：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。性质定理3：如果两个平行平面有一个垂直于一条直线，

13、那么另一个平面也垂直于这条直线。2.平面与平面垂直定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直，记作：a 10。判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直。性质定理1：如果两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。性质定理2：如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。【练习】下列叙述正确的有（）个。（I）如果两条直线没有交点，那么这两条直线互相平行；（2）在同一平面内，两条直线不是平行就是相交；（3）过直线外一点只能作一条直线和该直线平行；（4）在同一平面内，已知直线a 6,直线a c，那么直线b/c

14、.A.O B.1C.2 D.3【答案及解析】【答案】D【解析】（1）在同一平面内，如果两条直线没有交点，那么这两条直线互相平行，故错误；（2）在同一平面内，两条直线不是平行就是相交，故正确；（3）过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行，故正确；（4）在同一平面内，已知直线a 6,直线a c,那么直线b c,这是平行公理，故正确。综上，6高频考点数学正确的结论有3个。故本题选D。第二章解析几何【考点8】圆锥曲线1.椭圆(1)标准方程：与+彳=1(a 6 0)(2)定义域：x|-a S x V a;值域：卜(3)长轴长2 a,短轴长26,焦距2c,a2=b2+c 2(4)准线方程：x =C2.双

15、曲线2 2(1)标准方程：-=1 (a 0,6 0);(2)范围：司工2。或X$-;巾e R;(3)实轴长2a，虚轴长26,焦距2c，c2=a2+b2(4)准线方程：x=oc3.抛物线(1)标准方程：y2=2px(p 0),p为焦参数；(2)焦点：(go)通径8|=2p;(3)准 线:x=-E;(4)焦半径：AF =1 +y ,过焦点弦长|/却=再+p。【练习】己知圆的方程为W+/=4,由圆上任意一点/向x轴作垂线，垂线段的中点为N,则点N的轨迹方程 为()。B.+y2=1【答案及解析】7高频考点数学【答案】B【解析】设点A f坐标为(公,%),点N坐标为(x,y),N为垂线段的中点，所以工=

16、工0，2=盟，点在圆上，f+(2 2=4,即5 +/=i。故本题选B。8高频考点数学第三模块统计与概率第一章排列组合【考点9】排列1 .定义：从个不同元素中取出机（团）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 个中取加个元素的一个排列。2.排列数：从”个不同元素中取出加（机0 ）个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出?个元素的排列数，用符号A：表示。排列数公式：（1）A：=（一 1）（-m+1）,n,G N 并且加（2）A：二 ,加、3.全 排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列。全排列数：A：=x（-1）x（-2）x x 3x 2 x l正整数1 到的连乘积，叫做

17、的阶乘，用!表示。即 A：=加。规定：0!=l o【考 点 1 0）组合1 .定义：从个不同元素中取出加（机v ）个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出加个元素的一个组合。2 .组合数：从个不同的元素中，取 出/（机v ）个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出加个元素的组合数，用符号C：表示。组合数公式：/.、Am+*乂口（1）C =-2-=-n,z n e N ,并且机A：ml（2 ）C：=,加、。mn-my.规定：C：=l。3.排列与组合的关系：9高频考点数学从 个不同元素中取加个元素的无重排列是从 个不同元素中取加个元素的无重组合后，对取出的加个不同元素进行全排列得到的，即A

18、：=C：A：。4.组合数的性质：（1）c：=C；r C：=C：+I-C：-【练习】2016里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛。若小赵这时打开电视,随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有（）。A.6 种B.24 种C.36 种 D.42 种【答案及解析】【答案】B【解析】第一步从4个没转播的频道选出2个共有A：种，再从2个报道的频道中选1个有A；种，根据分步计数原理可知，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有A：A；=24（种）。故本题选B。第二章概率【考 点1

19、1几何概型1.概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。2.特点：（1）所有可能出现的基本事件为无限个；（2）每个基本事件发生的可能性相等。1概率小小 EQ 构成事件颛区域的几何度量（面积或体积）.（厂试验所有可能结果构成的区域的几何度量（面积或体积）【考 点12古典概型L特点（1）所有可能出现的基本事件为有限个；（2）每个基本事件发生的可能性相等。10高频考点数学2.概率公式,=事件Z包含的基本事件的个数=m（广 所 有 基 本 事 件 的 个 数-7【考 点 1 3】条件概率1.概念：对事件4和 8,在已知事件

20、8发生的条件下，事件/发生的概率，称为8发生时/发生的条件概率,记为尸（41 5）。2.概率公式：P（川 8）P(AB)尸，其中尸（8）0。【练习】教材丢了，其落在公司、落在路上、落在家里的概率分别为4 5%、3 0%、2 5%,其中落在上述三个地方被找到的概率分别为0.7 5、0.4、0.1。试求找到教材的概率。【答案及解析】【答案】0.4 8 2 5【解析】事件8表 示“找到教材”，事件4表 示“教材落在公司”，事件4表 示“教材落在路上”，事件 4表 示“落在家里”,则 p（5）=尸（4）P（M4）+P（）P（M4）+P（4）P（8|4）=0.4 5 X 0.乃 +0.3 X 0.4 +

21、0.2 5 x 0.1 =0.4 8 2 5,所以找到教材的概率为 0.4 8 2 5。11高频考点数学第四模块数学史【考 点 14古典时期的希腊数学1.伊奥尼亚学派泰 勒 斯（公元前625前 547年），是伊奥尼亚学派的创始人。是现在所知的古希腊最早的数学家、哲学家，是古希腊数学的先行者。泰勒斯在数学上最深远的贡献是引入命题证明的思想。从泰勒开始，命题证明成为希腊数学的基本精神。2.毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯（约公元前560前 480年），致力于哲学和数学的研究。主要成就：（1）勾股定理与勾股形数。（2）多边形数：“多边形数”也 称“形数”，就是形与数的结合物，用点排成的图形。（3）不可公度：

22、他们认为任何量都可以表示成两个整数之比。在几何上相当于说：对于任意给定的两条线段，总能找到第三条线段，以它为单位（即公度）线段将能给定的两条线段划分为整数段。3.亚历山大学派时期（I）欧几里得（公元前325前 265年）原本是用公理化方法建立起演绎体系的最早典范。（2）阿基米德（公元前287前 212年）与 牛 顿（英，1642 1727年）、高 斯（德，17771855年）并列，有史以来最伟大的三大数学家之一,有人把他称为“数学之神”。最为杰出的数学贡献是，在 圆的度量中，通过计算圆内接和外切正96边形的周长，求得圆周率约为3.14,这是数学史上第一次给出科学求圆周率的方法。（3）阿波罗尼奥

23、斯（兹）（约公元前262前 190年）【考 点 15微积分的诞生1.牛顿（英，16421727 年）创造性成果：二项 定 理（1665）,无穷级数（1666）以及微积分基本定理。2.莱布尼茨（德，1646 1716年）莱布尼茨微积分思想的产生首先是出于几何的考虑，尤其是特征三角形的研究，如帕斯卡的特征三角形，关注自变量的增量与函数的增量夕为直角边组成的直角三角形。莱布尼茨看到帕斯卡的方法可以推广，对任意给定的曲线都可以作这样的无限小三角形，由此可“迅速地、毫无困难地建立大量的定理”。【考 点 16千古谜题1.三次、四次方程求根公式的发现。12高频考点数学2.高次方程可解性问题的解决。3.伽罗瓦

24、与群论。4.古希腊三大几何问题的解决。【练习】希腊时期，著名数学家（）、海伦创造出了平方后比原数小的近似公式。A.阿基米德 B.笛卡尔C.希尔伯特 D.欧拉【答案及解析】【答案】A【解析】阿基米德是希腊的著名数学家，与海伦一起创造出了平方后比原数小的近似公式。笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家和物理学家，希尔伯特是德国的著名数学家，欧拉是瑞士的著名数学家。故本题选A。13高频考点数学第五模块高等数学第一章极限与连续【考 点 17函数极限存在的条件函数极限存在的充要条件是左右极限存在且相等，即lim/(x)=4 o lim/(x)=lim/(x)=AoX T XQ X-XQ X T 与+【考 点

25、18两个重要极限公式1 .sinx 11.hm-=1X T O X2.lim 1 +=6或 lim(l+=eX T 8(X J V-0 3.方法：遇到形式的极限，通常都需要将其化为（1 +Q,的形式；或者利用对数恒等式，再利用洛必达法则；也可以先取对数，再利用洛必达法则（真数部分大于0）。【考 点 19等价无穷小代换当x 7 0时的等价无穷小量，则有sin x x;tan x x;arcsin x x;arctan x x;ex-1-x;ln(l+x)x;(1+x)2-1 2x；1-cosx-;屋 一1 xln。2【考点20洛必达法则1.法 则型)设(1)lim/(x)=0,limg(x)=0

26、,（2）X变化过程中，r（x）,g x）皆存在,（3）Iim 4 4 =J （或 8）；g（x）则 lim 4 4 =/（或 8）。g（x）注意：如果lim/契不存在，则不能得出l i m 4 4 不存在。g（x）g（x）14高频考点数学2.法则2 (湃)设(1)l i m/(x)=o o,l i m g(x)=o o,(2)x变化过程中,/(X),皆存在，(3)l i m =A(或8)；g (x)则 l i m 4 4 =/(或8)。g(x)【考点21】函数在一点处连续1.定义1：若l i m/(力=/(%),则称f(x)在点/处 连 续(或A r r O时，X 与2.定 义2：设 函 数y

27、 =/(x)，如 果1加/(彳)=/仇)，则 称 函 数/(x)在 点x 0处 左 连 续；如果X T%)l i m /(x)=/(/)，则称函数/(x)在点/处右连续。K T XQ3.函数在一点连续的充要条件y =/(x)在点x 0处连续=/(x)在X。处既是左连续，又是右连续。【考点22】函数在区间内(上)连续1.开区间内连续：如果函数y =/(x)在 开 区 间 6)内的每一点都连续，则 称 在 与 内 连 续。2.闭区间上连续：如果函数y =/(x)在开区间(a,b)内连续，在区间端点a右连续，在区间端点6左连续，则称/(x)在闭区间 a,b 上连续。【考点23】函数间断点的类型1.第

28、一类间断点设%是 函 数y =/(x)的间断点，如果/(x)在间断点与处的左、右极限都存在，则 称/是/(x)的第一类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。可去间断点：若l i m/(x)=N,而/(x)在点与无定义，或有定义但为卜儿 则称X。为/(x)的可去间断点；跳跃间断点：若函数/(X)在点与的左、右极限都存在，但l i m/(x)H l i m/(x),则称点与为函数15高频考点数学/(X)的跳跃间断点。2.第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。(至少一个单侧极限不存在。)常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。【考点24】闭区间上连续函数的性质定

29、理 1：(有界性定理)闭区间同 可上的连续函数必在 a,句上有界。定理2：(最大值最小值定理)闭区间 a,6 上的函数/(x),必在 4可上有最大值和最小值，即在a,可上，至少存在两点5与 0，使得对。，b 上的一切x,恒 有/低)/(x)f /明)，此处/(5)，/(5)就是在 a,句上的最小值与最大值。定理3：(介值定理)设/(x)在 a,可上连续，加与M 分别为在 a,可上的最小值与最大值，则对于任一实数c(加V c s A/),至少存在一点/?,使/()=c。定 理 4：(零点定理或根的存在定理)设/(x)在 a,可上连续，/(a)./(6)0,则至少存在一点b),使/(，)=0。【练

30、习】.(ex+e2 4-1yl/吉出(、1.l i m -的 值 为()i o I n Jn+IA.e B.evIC.e D.e.工(+a x 2.设/()=晟)在x =O 处连续，则常数a 的 值 为()oe,x =OA.l B.OC.-D.e2【答案及解析】1 .【答案】B16高频考点数学【解析】由题意，原式=l i m(l +e*+e+e”_NX TOnX X X J”+1e-o故本题选B。2.【答案】A1l+ax、2x【解析】因为/(x)=l匚 A。1 1 -axi o 1 1 -arl i mX TOl-a r +2arA27-=lim-ax J X T Ol-axlax 1-ax

31、2x=l i m ea=e,所以常数a的值是1。故本题选A。X TO、二,所以l i mI1 +ax-、元.=e,lim1 +a r*x =O第二章导数及微分【考点25】导函数的定义导函数：若/(x)在区间/内每一点可导，则/(力在/内任一点的导数是x的函数，称为/(x)的导函数，记为尸(力或y，或 今 或 坐1,即/()=驰/(x +A x)-/(x)Ar=l i mA-0 x+h)-f(x)【考点26可导与连续定理：若函数y =/(x)在点与处可导，则y =/(x)在点/处必连续。1.逆命题不成立，即“连续不一定可导”;2.逆否命题成立，即“不连续一定不可导”。【考点27求曲线上一点处的切

32、线方程与法线方程1.切线斜率：函数/(x)在点/处的导数/(X。)在几何上表示曲线y =/(x)在点(%,/(x。)处的切线斜率，即/(x()=%切。2.切线方程：y=/(x)在点(/,/(/)处的切线方程为y-/优)=/,(x0)(x-x0)o3.法线方程：y =/(x)在点(%,/(%)处的法线方程为y _/(4)=J-(x-x0)oJ(%)【考点28】函数的单调性定理：设函数y=/(x)在 a,可上连续，在(a,6)内可导。1 7高 频 考 点 数 学(1)如果在(a,6)内/心)0,那么函数y=/(x)在 a,b 上单调增加;(2)如果在(a,6)内/心)/(%)(或/(x)/(%),

33、则称/(X。)是函数/(x)的极小值(或极大值)。可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：(1)确定函数x)的定义域；(2)求导数/(X);(3)求方程/，(x)=0的全部实根，x,x2-0,所以人(x)在R上单调递增;(2)/(x)=l +x,有唯一的实数解x =-l，而 (x)=l-x +x 2-X2-3+x2-2,若 x =-l 时，0 ；若 x =0 时，0：若 x w-l,x w O 时，L L(=山,当X V-1时，0,当x -l时，,(x)0。综上所述，可知 (x)0,即力(x)在 R 上单调递增。(0)=1 0,=1 0.所以工(x)在2 3 2 1(-1,0)

34、上有唯一的实数解，因此，上,(x)在R上有唯一的实数解。第三章积分【考点34】不定积分的性质与公式1.性质性质 1：J /(x)+g(x)d x =J/(x)d x +J g(x)d x：性质 2：j A/(x)d x =Z;J/(x)d x (左为常数，左 w 0)。2.积分公式(1)Jkd x=kx+C(人为常数)(2)卜=+1+C(0(3)J =I n x +C(4)p i n x d x =-c o s x +C(5)J e，d x =e +C(6)(c o s x d x =s i n x +C(7)f aJd r =+CJ I n a(8)r d x 1-1 -+-x72=a r

35、c t a n x +C(9)r d x r 2 j )1 oCv AUA-Idil A i(1 0)J s e c x t a n xd x=s e c x +CJ COS X J(1 1)(1 2)J e s c x c o t x d x =-c s c x +C(1 3)r d rJ7/i-%2=a r c s i n x +C【考点35定积分的性质1.枳分的运算性质20高频考点数学j (x)d x =U：/(x)d xf /(力 士 g(x)d x =/(x)d x g(x)d xJ 7(x)d x =j 7(x)d x +J 7(x)d xJ c d r =c(b-a)(c 为常数

36、)2 .积分的保序性：如果在区间 a,目上，恒有 x g(x),则有f/(x)d x W：g(x)d r。3 .积分估值定理：如果函数/(x)在区间 a,可上有最大值”和最小值7 M,则mb-a)J /(x)d x 4 .积分中值定理：如 果 函 数/(x)在 区 间 上 可 上 连 续，则 在 a,切 内 至 少 有 一 点;，使得f/(x)d x =/(f)(b-a)，h 5 .对称区间上奇偶函数的积分性质：设/(x)在对称区间-a,a 上连续，则有如果 x)为奇函数，则 J：/(x)d x =O;如果/(x)为偶函数，则 匚 x)d x=2 (x)d r。【考点36】牛顿莱布尼兹公式如果

37、函数/(x)在区间 a,可上连续，且尸(x)是/(x)的任意一个原函数，那么“b/(x)d x=F(x)=尸伍)一尸(a)。a上述公式称为牛顿莱布尼兹(Ne w t o n-L e i b ni z)公式，又称为微积分基本公式。【考点37】定积分的求法1 .换元积分法设 函 数/在 区 间 a,可上连续，并且满足下列条件：(1)x=p(t),且 a =p(a),b=(p(/3)；(2)p(f)在区间 a,例上单调且有连续的导数“(小 当 t 从 a变到网寸，0(，)从 a 单调地变到6,则有f/(x)d r=7 0(3 p(f)d f。2 .分部积分法21高频考点数学设函数=(力和v=v(x)

38、在区间 a,同上有连续的导数，则有J：(x2(x)=(x)v(x)-v(x)dW(x)oa上述公式称为定积分的分部积分公式。【考点3 8 定积分的应用一一求平面图形的面积计算由区间 a,6 上的两条连续曲线y=/(x)与y=g(x),以及两条直线x=a与x=6所围成的平面图形的面积，所求平面图形的面积N 为/=C|x)-g(x)|d x。【考点3 9】定积分的应用一一求旋转体的体积计算由区间 a,句上的连续曲线y=/(x)、两直线x=a与x=6及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积，所求旋转体的体积为：展 可:/(x)了d x。【练习】已知平面上一椭圆，长半轴长为a,短半轴长为

39、6,0 b axbx+avby+a_bz=0。【考点42】空间向量的数量积1 .向 量 的 数 量 积：已 知 向 量G,b,则co s a,6 叫 做 a,b的 数 量 积，记 作 a A,即a-b=ab co s(a,8 。2 .空间向量数量积的性质：a-e=a co s(a,e);a i.b a-b=0;a=a-a3.夹角公式：co s（,力=a b%b,+%b，+a也mi 闻加：+片+%2.如、片 十 后【考点43】空间向量的向量积1 .两个向量与b 的向量积（外积）是一个向量c,记作c=a x 6,它 的 模 是 x.=，其中8为 与 8 间的夹角。c 的方向垂直于a 与b 所决定的

40、平面（即c 既垂直于a，又垂直于b）,c 的指向按右手规则从a 转向6来确定。2.向量积的坐标表示式 a =axi+avj +a.k.b=bxi+bvj +b.k,则Qxb=bz-%by)i+(%bx-j +(%by-或Qxb=%，生b、b、,bz【考点4 4】旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫旋转曲面的母线和轴。设在y O z 坐标面上有一己知曲线C,它的方程为/（y,z）=0。把这曲线绕z 轴旋转一周，得到一个以z 轴为轴的旋转曲面，就有旋转曲面的方程为23高频考点数学旋转曲线绕哪个轴旋转，该轴对应变量不变，另外的变量将缺的变量

41、补上改成正负二者的完全平方根的形式，即得旋转曲面方程。【考点45】锥面直线绕直线旋转，两直线的夹角a（0 a 其中，a =c o t a。【考点46】柱面1.定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线形成的轨迹叫做柱面。其中定曲线C叫做准线，动直线刀叫做母线。2.特征：x,y,z三个变量中若缺其中之一（例如y）,则表示母线平行于y轴的柱面。3.几个常用的柱面：圆柱面：/+/=/?2（母线平行于z轴）抛物柱面：y2=2x（母线平行于z轴）【考点47】椭球面丫2丫2 2 2把x O z面上的椭圆二+=1绕z轴旋转，所得的曲面称为旋转椭球面，其 方 程 为=2L +=i,再a c a c把旋转椭球按沿

42、y轴方向伸缩2倍，便得椭球面方程:a2 2 2x y z.24高频考点数学【考点48】抛物面1.椭圆抛物面把xOz面上的抛物线a=2绕2轴旋转，所得曲面叫做旋转抛物面，再把此旋转曲面沿夕轴方向伸缩2倍，即得椭圆抛物面方程:2.双曲抛物面（鞍形曲面）用平面x=，截此曲面，所得截痕/为平面x=，上的抛物线-y2=Z-J,此抛物线开口朝下，其顶点a坐标为x=l,y=0,z=j 当Z变化时，/的形状不变，位置只作平移，而/的顶点轨迹 为平面y=0上的抛物线2=*。因此,a得到双曲抛物面的方程:以/为母线，L为准线，母线/的顶点在准线L上滑动，且母线作平行移动，这样【考点49双曲面1.单叶双曲面25高频

43、考点数学2 2 2 2 2把x O z面 上 的 双 曲 线 三-=1绕z轴旋转，得 旋 转 单 叶 双 曲 面 匕=一 一=1,把此旋转曲面沿夕轴a c a c方向伸缩2倍，即得单叶双曲面方程：4+4-4=Iaa2 b2 c2r2 v2 2 2 2 2与-%+1=1和-0+4+1=1也是单叶双曲面。a2 b2 c2 a2 b2 c22.双叶双曲面把x O z面上的双曲线鸟-1=1绕x轴旋转，得 旋 转 双 叶 双 曲 面 耳 一 上 三=1,把此旋转曲面沿y轴方向伸缩2倍，即得双叶双曲面方程:Cx2 _y2 _z/下 一7f v2 Z2 v2 v2/与-二+二=1和-三+斗-二=1也是双叶双

44、曲面。a2 b2 c2 a2 b2 c2【考点5 0 空间平面及其方程1.平面的点法式方程：/l（x-xo）+5（-o）+C（z-zo）=O 2.平面的一般方程为：Ax+By+Cz+D=0.【考点5 1】两平面间的夹角1.定义：两平面法线向量之间的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角。2.设平面亿：&X +8以+G z +R=0,心：x +&y +C z Z +A=0,法线向量分别是：勺=（4,与 G），”，=（4 2，B?,0 2 ）按照两向量夹角余弦公式有:26高频考点数学3.几个常用的结论：设平面1和平面2的法向量依次为叫=（4，Bi，G）和 2=（4,B2,C2）两平面垂直：+5,S,+

45、C C,=0 （法向量垂直）；两平面平行:两平面重合:A一222工=G-GG-G-=-A4A4（法向量平行）;平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点4（x 0,%,z ）,平面的方程为4 c +W+C z +D=0,则点到平面的距离为d =也 +孙+。?|。XIA2+B2+C2【考点52】空间直线及其方程1.直线的点向式方程：在空间直角坐标系中，若。（与，为，Z。）是直线/上的一个点，s =（m,p）为/的一个方向向量，则 称 上 生=匕 及=31为直线/的点向式方程（也叫标准式或者对称式）。m n px=xQ+mt2.直线的参数方程：设=1=匕%=-2.=/,得方程组b=为+而，则称此方

46、程组就是直线的参m n pz =z 0 +pt数方程。3.直线的一般方程:AyX +By+Cxz+4=04工 +B2y+C2z+2 =0其中4,B,C）与A2,B2,C 2不成比例。【考点53】空间中两条直线位置关系的判定设 两 条 直 线4与4的 方 程 为：小 口L =q L =_,方向向量,12：网 i P i二=2二及 =，方向向量B=（巧，2，P，），由它们的方程构成的方程组：加 2 2 P 1x-xx y-yx z Z 叫P i（1）X -X?J一%=Z Z 2,用 2 n2 P l若方程组（i）有无穷组解，则4与4重合;27高频考点数学若方程组（1）只有一组解，则4 与4 相交，

47、且方程组的解即为4 与 4 的交点坐标；若方程组（1）无解，且 与$2，即S IX$2=0，则4 与 4 平行；若方程组（1）无解，且S|XMWO，则4 与 4 异面直线。【考点54】空间中两条直线的夹角两相交直线/,与i2所形成的4 个角中，把不大于5 的那对对顶角e叫做这两条直线的夹角。若 4 与4 的方向向量分别为与，,，显然有：c os9=|c os（s,s2）|=.$2 L1 1 21 IsJ-ll（I）若k，规定4 与 4 的夹角为0；（2）对于异面直线，可把这两条直线平移至相交状态，此时，它们的夹角称为异面直线的夹角；（3）若/1 4 =M$2=0 =mm2 +nn2 +P P

48、1 0 【练习】1.平面工+上+三=1与平面2x+3y-4z=l 的位置关系是（）。2 3 4A.相交但不垂直 B.互相垂直C.平行但不重合 D.互相重合2.下列方程表示为旋转单叶双曲面的是（）。A 1 2rz2 X2/Z2 _2 3 3 4 5 4C.x2+y2+z2=1 D.%2 j；2 z2=1【答案及解析】1.【答案】A【解析】平面工+上+三=1的法向量是外2 3 4 1=平面2x+3y-4z=l 的法向量是乙 式 2,3,-4）,所以不平行于，又因为2 x O,可见两个平面的位置关系是相交但不垂直。故本题选A。2.【答案】B2 2 2 2 2 2【解析】A选项，二+匕+二=1为旋转椭

49、球面，故不符合题意；B选项，土 一 匕+二=1 为旋转单2 3 3 4 5 428高频考点数学叶双曲面，故符合题意；C选项，x2+y2+z2=1为球面，故不符合题意；D选项，X2 _/-Z2=1为旋转双叶双曲面，故不符合题意。故本题选B。第五章多元函数微分【考点55】高阶偏导数设 函 数z=/(x,y)在 区 域。内 具 有 偏 导 数?,(X,y),崇=小，刃，那 么 在。内fx(x,y),fyx,y)都是x,y的函数。如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数z=/(x,y)的二阶偏导数。按照对变量求导次序的不同，有下列四个二阶偏导数:件 愁“(X,力 包(包)=点=4(一),dx2)d

50、ydx)dxdy 号、j泰d(区dzy1=丽d2z厂 力G(力、就d 豆(dz上 d谈2z“fa、)。其中第二、三两个偏导数称为混合偏导数。同样，可得三阶、四阶、以及阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。【考点56】可微分的条件1.必要条件：若函数z=/(x,y)在点(x,#处可微分，则该函数在点(x,y)的偏导数卷，,必 定 存在，且函数z=/(x,y)在点(x,y)的全微分为dz=浮 加:+浮 加。2.充分条件：如果函数z=/(x,y)的偏导数卷，,在 点(x，#连续，则称函数在该点可微分。总结：由1和2可知二元函数的可导、可微、连续的关系如下图所示：/(X,y)连续/：(X，