2022高考二轮复习数学第2讲 圆锥曲线的方程与性质.pdf

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1、第2讲圆锥曲线的方程与性质高 考 定 位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的第一问的形式命题；2.直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.真题感悟考点整合 明差向理要向 真 题 感 悟 1.（2021.新高考H卷）抛 物 线 的 焦 点 到 直 线 y=x+l的距离为近，则=()A.1C.2也B.2D.4答 案 B解 析 抛物线的焦点坐标为弓，o j,其到直线%y+1 =0 的 距 离d =-0+1AJ 12+(-1)2也，解得：“=2（/?=-6 舍去）.2

2、.（2021 全国甲卷）已知Fi,凡是双曲线。的两个焦点，尸为C上一点，且/F1PF2=60,|P|=3|P B|,则 C 的离心率为（）R近D 2C.市D.y13答 案 A解 析 设|PB|=m,|PQ|=3制根 0),则/1 1=m2+9加一2 3 2加(05 60。=y7 m,所以C的离心率e=A 务|P靠命=骁=坐3 .（2 0 2 1.新高考I 卷）已知。为坐标原点，抛物线C：尸=2。必?0）的焦点为尸，P为 C上一点，P F 与x 轴垂直，Q为x轴上一点，且 P Q L O P.若|F Q|=6,则 C的准 线 方 程 为.3答 案 x=-2解析 法一 由题意易得|。尸|二乡PF=

3、p,Z O P F=Z P Q F,所以t an/O P F=tan Z.PQF,2所 以 =鬻，即）=6 解得P=3,所以C的准线方程为x=*1吠 1 I 卜 Q I P 。2法二 由题意易得|。川=乡PF=p,PF=OF-FQ,即p 2=/6,解得=3或=0（舍去），3所以C的准线方程为尸一宗9 ,24 .（2 0 2 1 全国甲卷）已知F i,尸 2 为椭圆C：金+；=1 的两个焦点，P,Q为椭圆C上关于坐标原点对称的两点，且|P Q|=|B B|,则 四 边 形 P R Q F 2 的面积为答 案 8?2解析 法一 由椭圆C：金+亍=1可知尸1 冏=4 4.由P,。为C上关于坐标原点对

4、称的两个点，且|尸。|=用凡|,得|P O|=|Q O|=2 小（。为坐标原点），?2所以P,Q既在椭圆太+；=1上，又在圆f+产1 2 上.不妨设点P在第一象限，由 忖+9=1，得怦,等，y+/=i 2 、）由对称性，得四边形P B Q F 2 的面积S四边形PFQFi=2sAPFi3=2 XFiF2-yp=2 X X 4 小 X 羊=8.法二 由椭圆方程知，。=4 =2,则。=亚 二 P=2 4.由点尸在椭圆上，得伊川+|P B|=8,所以 I P B f+I P 刑 2+2|PB|.|PB|=6 4 .由椭圆的对称性及0|=尸1 人|知，四边形P A Q 乃是矩形.在 RCPAB中，由勾

5、股定理得I P B F+I P BFEFEF，所以|P F l|2+|P 尸 2|2=4 8.由一得|P F i H P B|=8,所以S四边形尸,。尸 2 =|。5 小上向=8.法三 由题意，得P B L P F 2,四边形P B Q F 2 是矩形，：.SAFPF2=b2-tan 45=4,：.S 四边形 PFQF2=2S4FPF2=8.5.（2020全国II卷）已知椭圆G：+3=1（。比 0）的右焦点尸与抛物线C 2的焦点重合，G 的中心与C 2的顶点重合.过户且与x 轴垂直的直线交。于A,B两点,交 C 2于 C,。两点，且|C|=g|AB|.求 G 的离心率；设M 是 G 与 C 2

6、的公共点.若眼目=5,求。与 C 2的标准方程.解（1）由已知可设C 2的方程为V=4cx,其中 c=q*b2.Z?2 h2不妨设A,C在第一象限，由题设得A,8 的纵坐标分 别 为-p C,。的纵2b2坐标分别为 2c,-2 c,故|AB|二 丁,|C D|=4c.4 8 c（c、2由|8|=也 3|得 4C=K，E|J 3 X-=2-2 .J J C t C|FiF2|)；(2)双曲线：|MR|一|MF2|=2a(2a 方0)(焦点在x轴上)或，+7=1(。人0)(焦点在y轴上);9 22 V2(2)双曲线：$一%=l(a0,/?0)(焦点在x 轴上)或%/=l(a 0,匕 0)(焦点在

7、y 轴上)；(3)抛物线：y2=2 px,y1=2 px,x2=2 py,x2=-2/?y(/?0).3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a,b,c 之间的关系在椭圆中：a2=h2+c r；离心率为6=彳=0,0)的渐近线方程为尸土,焦点坐标Fi(c,0),尸 2(c,0).双曲线，一盘=l(a00)的渐近线方程为尸士声,焦点坐标R(0,c),尸 2(0,c).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程抛物线y2=2*S0)的焦点雄，0),准线方程x=一 抛物线f=2py0)的焦点电，?，准线方程=一4.弦长问题直线与圆锥曲线相交的弦设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入，即当斜率为上直线与圆

8、锥曲线交于 A(x”y i),B(X2,”)时，AB =yT+J?x%2|=-/l+Z:2/(x i+X 2)24XIX2.(2)过抛物线焦点的弦抛物线y2=2px(p0)过焦点F 的弦A B,若A(xi,yi),B(X2,券)，则x ix 2=4，NA=-p 2,弦长|AB|=+x 2+p.热点聚焦分类突破 研 热 点 析 考 向热点一圆锥曲线的定义及标准方程【例 1】(1)已知A 为抛物线C：y2=2px(p0)上一点，点A 到 C的焦点的距离为 1 2,到y 轴的距离为9,则p=()A.2B.3C.6 D.92(2)(2021江南十校联考)已知椭圆C：言+尸=1(。1)的左、右 焦 点

9、分 别 为Fi,过 F i的直线与椭圆交于M,N 两点，若MNF2的周长为8,则MFiFz面积的最大值为()A坐 B市C.2 s D.3J2.2(3)设双曲线C的方程为$一方=1(4 0,b 0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,切的直线为/.若C的一条渐近线与/平行，另一条渐近线与/垂直，则双曲线。的 方 程 为()C.j 一 炉=1 D.x2y2=1答 案(1)C (2)B(3)D解 析(1)设 A(x,y),由抛物线的定义知，点A 到准线的距离为1 2,即x+?=1 2.又因为点A到y轴的距离为9,即x=9,所以9+5=1 2,解得p=6.(2)由椭圆定义 十 附 刊=|+|N B|=

10、2 a,所以M N E 2 的周长为|M N +M F2 +NF2=MFI|+N Fi|+M Fi+|N B|=4 a=8.则 4 =2,故 C=6 2 1=小.故 面 积 的 最 大 值 为 去2。6=比=小.由y 2=4 x,知焦点坐标为(1,0),则过点(1,0)和点(0,份的直线方程为x+5=1.?2易知京一3=1的渐近线方程为5+1=0和?一看=0.v 0),则下M|K(x-1)2+4X=6,解得x=5(无=一7舍去).从而点M的坐标为(5,2 0易得点 M 5,0),从而 SAFMN=3(XNXF)M M=3X4X 24=4小.热点二圆锥曲线的几何性质考向1离心率问题7?【例2】(

11、1)(20 21 武汉二模)已知尸i,尸2是双曲线C：5一方=l(a 0,b 0)的左、右焦点，过点B且斜率为坐的直线交y轴于点M交双曲线右支于点M,若=尸2川，则双曲线。的离心率为()A.&B.布C.2 D.小(20 21.全国乙卷)设8是椭圆C：5+1=1 3*0)的上顶点，若。上的任意一点P都满足|P8|W 2b,则C的离心率的取值范围是()A.惇,1)B(2 0C.j o,当 D.(0,；答 案(1)B(2)C解 析(1)因为N在y轴上，所以|N B|=|N 3|=|M N|,所 以 为 直 角 三 角 形，则MF2上F1F2且N是MFI的中点，抉所以网尸2|=，在 R t A M F

12、2F i 中，k M F i=j=W.|r i F 2|J所以 2。=小 兄 则 Za c u d c24),所以小e 22e 小=0,解得6=小(舍去e=一事(2)法一 依题意，B(0,b),设 P(acos 仇 A i n。)，问 0,2K),因为|P5|W 2b,所以对任意。0,2兀),(a c o s。)2+(加i n。-从恒成立，即(a 28 2)s i n 2e+2/s i n +3 Z2a2 0 对任意 9 f0,2兀)恒成立.令 s i n。=f,1,1,八。=(/)0+227+3。2“2,则原问题转化为对任意r w 1,1,恒有/W2 0成立.2b 2因为人-1)=0,所以只

13、需一2()W 1即可，所以2序则离心率e=-J 1-乎,所以选C.法二 依题意，8(0,b),设椭圆上一点P(尤o,冲)，则|y o|W b,）+,=1，2可得/=/一3用，则|PB|2=x+（yob）2=x+y 2 b yo+b2d=一庐卜2/?y o+/+2w 4庐因为当 y o=-b 时,|PB|2=4 Z?2,拄所以一/W力，得2/,所以离心率e=W坐，故选C.探 究 提 高1.求离心率，利用公式e=?求解，椭 圆 中/=/一 加，双 曲 线 中/=层+/.2.求离心率的取值范围，根据题设条件及几何图形，先建立关于，b9 c的齐次不等式，再转化为关于。，。的齐次不等式，进而转化为关于e

14、的不等式，解出e的范围.【训 练2】已知产为双曲线C：J-=l（0,匕 0）的右焦点，A为C的右顶点,8为C上的点，且8尸垂直于x轴.若A B的斜率为3,则C的离心率为.答 案2解 析 设B（c,YB）,由题意知”0,因为8为双曲线C：一/=1上的点，所 以冬一=1.所以%=。，则V 0,/?0)的两条渐近线分别交于。，E两点.若ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为()A.4 B.8C.16 D.32(2)(2021.天津卷)已知双曲 线:一g=l(a0,Q 0)的 右 焦 点 与 抛 物 线 产2PMp0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A,8两点，交双曲线的渐近线于C,。两点，若9。=

15、蛆a引，则双曲线的离心率为()AS B.小C.2 D.3答 案(1)B(2)A解 析(1)由题意知双曲线的渐近线方程为y=%.因为D,E分别为直线x=a与双曲线C的两条渐近线的交点，所 以 不 妨 设b),E(a,b).所以 SODE=CIDE=-c i-2.b=c ib=S 则/=/+庐2 2 =1 6,当且仅当Q=2啦 时等号成立，所 以c24.故曲线C的焦距2c的最小值为8.(2)设双曲线:一$=1(4 0,。0)与抛物线丁2=2。刈90)的公共焦点为(c,0),则抛物线9=2(/?0)的准线为x=c.把x=c 代入双曲线方程，得了一次=1,吩 2 Z?2 h解 得y=,所 以 又 因

16、为 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 尸 土 机 所 以 I S=华，所以华：=当，即。=也 6 所以/=,2 =52,所以双曲线的离心率=丸二币.考向3 抛物线的焦点弦【例 4】已知抛物线C V=3 x 的焦点为R 斜率为|的直线/与。的交点为A,B,与x 轴的交点为P.(1)若|A F|+|5W=4,求/的方程；(2)若办=3而，求|A 3.解 设直线/：y=x+t,A(x i,y i),B(X 2,yi).由题设得需，0),故IA FI+IB/|.又|A F|+|B F|=4,所以 x i+x 2=.由一法+可得9/+1 2 -1 求+4及=0,ly=3x其中/=1 44(1 -2

17、。0,即 其，E l l 1 2 (t 1)则 X+工2=-g.从而二方,得t=一亲满足/0).所以直线/的方程为尸 全3，7(2)由舒=3而可得1 =-3.由 卜2 可得y22 y+2 t=0,所以y i+*=2.b=3 x由联立，得y i =3,且”=-1.代入。的方程得X I=3,X 2=1.故=yl(x i%2)2+(y i y 2)2=3 探 究 提 高 涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系与弦长公式|A B|=、l+d|X LX 2|,设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义，如抛物线中过焦点厂的弦长|A3|=XA+X8+P.【训 练4】过抛物线寸=4

18、x的 焦 点 厂 的 直 线 交 抛 物 线 于 点 交 准 线 于 点P,交y轴于点0，若 应=丽,则依阴=.9答 案I解 析 由V=4 x得/(1,0).由对称性知，不妨分析直线AB的斜率大于0的情形，作出图象.如图所示，设点B,尸在准线上的射影分别是点G,K.根据抛物线的定义可知，原 点。是 线 段 的 中 点，所 以Q是线段尸产的中点，PQ=QP.又 的=而 可 得 闿=2所 以 幽1=闿=2APQ-FB,所以|G B|一|P 8|_ 3.因为|W=2,所以|G B|=3,则点伙初，”)的坐标为(2,2啦),所 以 直 线 的 方 程 为y=2啦(九一1),代入V=4 x,得点A的横坐

19、标以 为;.1 9于是|A5|=|AF|+|BF|=XA+XB+2=2+2+2=1热点三直线与圆锥曲线的位置关系/v2【例5】(2 0 2 1.南京诊断)已知椭圆C：，+方=l(a0 0)的左顶点为A,右焦点为F,过点A作斜率为为-的直线，与椭圆C的另一个交点为8,且0为坐标原点.(1)求椭圆的离心率e；(2)若 b=l,过点F 作与直线A B 平行的直线/,/与椭圆C相交于P,。两点，求直线0P的斜率与直线0Q 的斜率乘积；点M满足2 而=舁，直线M。与椭圆的另一个交点为N,求蹈的值.n j r解(1)由已知得|OA|=a,|0 8|=1,AB AF-,则4/咽，.9&)代入椭圆C的 方 程

20、 得 意+急=1，.,.p=5,a=y 5 b,c=y a2b2=2 b,故椭圆的离心率e=.(2)由(1)可得。=1,a=y5,c=2,椭圆。的方程为微+y 2=l.依题意,得直线/为 x=，5 y+2,设 P(x i,y i),Q(xi,).联立,.得 8 y 2+4小 y 1=0,/0 恒成立.x+5 v 5 则 y i+y 2=_ y W=1-8/.XiX2=6/办1+2)(/”+2)=3丁 1 户+2 小。1+2)+4=和因此 k opk oQ=7.设点N(X3,”)，设 =九.,.M W=W(OA 0,得一3 左 去设 M（x i,yi）,N（X2,2）,nl,-3 2 F 6 4

21、 3一8则用+X 2 =汨 彳 无 2 =布 了又;直线+1=电。+2），人 /H 一2 (yi+1)x=4,得”=-L将 yi=Z(x i+4)代入，得 yp-(2%+1)(x i+4)X i+2同理yQ-+1)(x2+4)X2+2.”+Q=-(2 Z+1)3+14+X诏2+42XIX2+6 Cx i+%2)+1 6=-(2+1)-(.+2)(一+2)-2 （6 4 一8）:6 义（一3 2 丁）4+1 4 庐+1 +1 6=（2 Z+1 ）（.+2）（.+2）_ 1 2 8 Z r-1 6-1 9 2+6 4+1 6=-（2 +1 （4 F+1）（阳+2）（及+2）=0,：.PB =B Q

22、,=专题训练对接高考 求落实迎高考SSSsWWWsWHsWSSSS?!?!1!?!?.（巩固提升一、选择题1.设抛物线的顶点为O,焦点为凡 准线为/,P是抛物线上异于。的一点，过 P作P Q 1 1于 Q.则线段F Q的垂直平分线（）A.经过点。B.经过点PC.平行于直线OP D.垂直于直线0P答 案 B解 析 不妨设抛物线的标准方程为V=2pxS0）,如图所示，连 接P F,则|PR=PQ,则QPF为等腰三角形，二。尸的垂直平分线过点P.2.（2021.新高考I 卷）已知b2是椭圆C：5+，=1 的两个焦点，点加在。上，则 的 最 大 值 为（）A.13 B.12C.9 D.6答 案 C?2

23、解析 由椭圆 C ：，+亍=1，得 IMF1I+MF2=2X3=6,则卜眼刑IM尸2|）2=32=%当 且 仅 当=时等号成立.故选C.y2 V 2O3.（2021 西安模拟）已知双曲线U 一方=l（a0,40）的渐近线与圆x22x+y2+4=0 相切，则此双曲线的离心率等于（）A.72 B.小C.辛 D.2答 案 C3 1解析 由圆f 2x+y2+w=0,知圆心C（l,0）,半径/=,又双曲线:一%=1 的渐近线为bxay=Q,因此由，4则 =3比.o c2 cP+b2 4 ,_ /4 2 3 e-=U _ _ V=，故 3 -4 .设Ei,B是双曲线C：x2一餐=1 的两个焦点，。为坐标原

24、点，点 P在 C 上且|0 P|=2,则尸尸尸2 的面积为（）答 案 B解 析 法 一 由题知 a=l,b=小,c=2,Fi(-2,0),g(2,0),如图，因为|。用|=|。尸2|=|0曰=2,所以点P 在以尸1尸2为直径的圆上，故/为_LPE2,则|PFI|2+|PF2|2=（2c）2=16.由双曲线的定义知|PB|-|PF2|=2a=2,所以|P尸 1 12+IPgF-2PFIPF2=4,所以|PB|PE2|=6,所以 P/E的面积为3P4|尸网=3.故选B.法二 由双曲线的方程可知，双 曲 线 的 焦 点 仍 在x轴上，且尸归2|=2/两=4.而-q=i,3设点P的坐标为（尤0,yo）

25、,贝M 3 解得伙）|=,m=2,1 1 3故P FiB 的面积为引F1 F2 I如）|=1 X 4 0,万 0）,则其渐近线方程为y=x,又一条渐近线的倾斜角为6 0。，所以称=ta n6 0。，即=小，所以只要满足菅=仍的双 曲 线 色=1（。0,匕 0）均符合题意，例如：x2=l,x2 型-4=1 等.8.点P是双曲线方=l（a 0,）右支上一点，Fi,放分别是双曲线的左、右焦点，点/是 PR E2的内切圆圆心，记/PB,/PB,/八尺的面积分别为5 i,S 2,S,若2 2 1 s恒成立，则 双 曲 线 的 离 心 率 的 取 值 范 围 是.答 案（1，2 解析 设三角形P BB内切

26、圆的半径为r,则 S&iPF=PFir,SAiPF2=PF2r,SiFF2=FF2r=cr,cr1-2Qr即又 e l,二 l+2庚=16.又庚=8%2,则道+8 x 24=0,由 X 2 0,则 X2=-4+2小.由于4 3 与光轴不垂直，设直线A B的方程为y=k(x-2).y=k(%2),则 由7 整理得-(+S)x+=09)L=8X,所以 X I X2=4,则 x i =4+2 下.故|履 用 一|3网=阳 一改|=8.11.(2021.北京卷)已知椭圆E：5+g=心 0)过点A(0,2)，以四个顶点围成的四边形面积为4小.(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点P(0,3)的直线/斜率为

27、公 交椭圆于不同的两点8,C,直线AB,A C 交y=-3 于点M,N,若|P M|+|P N W 15,求人的取值范围.解(1)因为椭圆E过点A(0,-2),所以8=2.又以四个顶点围成的四边形面积为4小，由 攵gx2 a X2匕=2 a b=44,则a=小.因此椭圆E的标准方程为卷+?=1.(2)由题意可得，直线/的方程为 =自-3,设3(x 1,y i),C(X2,2).联立0,故抄1或上一1.由根与系数的关系，得._ -30%30%25X 1+X2-5+4-5 2 +4 为 无2_5M+4,24进而可得丁1+丁2=2 0 1+1 2)6 =-5.+4，yy2=(kx 3)(te-3)=

28、lxxxi3k(x+x2)+93620F=5d+4 直线AB的方程为+2=喑-令y=3,则 彳=一 滞，故 点 从 一 含，一3).直线AC 的方程为什2=匹yz+厂2，尢2令 尸 3,则尸 一 篇,故 点 从 一 需？一3).X I X2|PM+IPM=正 +灰=xi（户+2）+及（yi+2）（yi+2）（竺+2）xi（正 一1）+冗2（届-1）w+2 （yi+/）+42kx、X2-（元1+X 2）y y+2 （yi+”）+42 k X-”5 炉+430k5d+436-20-485 好+4 5 庐+4 4=|5川 W15,即|&|W3,解得一34W 3.综上，人的取值范围为-3,-1)U(1

29、,3.能力突破?212.（2021 石家庄模拟）已知双曲线C：%_g=l（a 0,比 0）与函数 尸 百。2 0）的图象交于点P,若y=G 的图象在点P处的切线过C的左焦点F（4,0）,则。的离心率是（）y r?+4 y n+3A.4 B,4即+2。4 D.印答 案 D解析 设尸的坐标为（加，ym）,m 0.由F（4,0）,得直线P E 的斜率依 黑.设兀r)=5，x 2 0,则/(x)=12代,则y=也的图象在P处的切线斜率为了（=所以1 yfm2 ym m+4即 2+4=2Z,解得 Z=4,所以 P(4,2).易知双曲线的右焦点为A(4,0),连接2 1,则 2 a=PFPA=/6 4+4

30、-/0+4=2Vn-2,即 a=y/T j l.又 c=4,所以C的离心率0=：=吗 1.9 913.（2021 浙江卷）已知椭圆$+衣=1伍乂 0）,焦点为 F i（-c,0）,F2（C,0）（C 0）.若过B的直线和圆（x 好+尸/相切，与椭圆在第一象限交于点P,且PF2X轴，则该直线的斜率是_ _ _ _ _ _ _；椭圆的离心率是_ _ _ _ _ _ _ _.答案 2 5 亚解析 设过尸1的直线与圆的切点为M,圆 心 0),则|AM =c，|AF i|=|c,所以|M Q|=察，所以该直线的斜率4=篇=病=唔2。因为PEL轴，所以|P B|=，从又内b 2|=2小 所以 仁 乎=券

31、号/=，解得e=坐2 214.(2021 天津卷)已知椭圆方=1(。人 0)的右焦点为尸，上顶点为B,离心率 为 邛 且|5 F=小.(1)求椭圆的方程；(2)直线/与椭圆有唯一的公共点M,与y 轴的正半轴交于N,过 N 与B尸垂直的直线交x 轴于点P.若M P/B F,求直线/的方程.解(1)易知点 F(c,0),8(0,h),故|3 F|=，？TP=a=小.因为椭圆的离心率e=：=亭，故 c=2,b=y a2c2=l,y2因此，椭圆的方程为方+V=L(2)设点M(x o,y o)为椭圆+尸=1上一点，先证明直线MN的方程为箸+y o y =1.c-OX,亍+y o y=l,联立 :y+y2

32、=1 消去 y,y o 并整理得x2-2x ar+x 8=O,J=4 x 84%S=0,2.因此，椭圆-+y 2=l在点恢扰，y o)处的切线方程为等+m=1.在直线MN的方程中，令x=0,可得y=9,由题意可知y）0,即点A（0,直线B F的斜率为kBF=-=-所以直线PN的方程为y=2%C N 0在直线PN的方程中，令y=0,可得x1而即点4。）因为M P 3 F,则如尸=跖尸，即yo2M 1 2xo yo+1xo+o2-yo1T整理可得(xo+5yo)2=O,所以x（）=5yo.又因为写+的=1,所以6H=1.因为加 0,故”=*，次=一 平，所以直线/的方程为一*t+*y=l,即xy+#=o.