2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-2022年高考真题)第8讲 计数原理与概率统计(含详解).pdf
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1、第8讲计数原理与概率统计、单选题I.(2022.全国.高考真题(理)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为呂,。2,,且 P 3 P 2 P l 0.记该棋手连胜两盘的概率为P,贝 ()A.P 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛,p 最大C.该棋手在第二盘与乙比赛,P 最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛,P 最大2.(2022全国高考真题)有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同排列方式共有()A.12 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种3.(2022
2、全国高考真题)从 2 至 8 的 7 个整数中随机取2 个不同的数,则这2 个数互质的概率为()A.-B.-C.D.6 3 2 34.(2022.全国.髙考真题(理)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:95%90%櫛85%80%田75%70%65%.*.讲座刖.*一.-讲 座 后 则(.*.;.*.水.123456789 10居民编号A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的
3、正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差5.(2022全国高考真题(文)从分别写有1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片中无放回随机抽取2 张,则抽到的 2 张卡片上的数字之积是4 的倍数的概率为()A.:B.C.I D.I 6.(2021.全国.髙考真题)某物理量的测量结果服从正态分布N(Io,),下列结论中不正确的是()A.越小,该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.0I的概率相等D.该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落
4、在(10,10.3)的概率相等7.(2021全国高考真题(理)将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行培训I,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1 名志愿者,则不同的分配方案共有()A.60 种 B.120 种 C.240 种 D.480 种8.(2021全国高考真题(理)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于I 的概率为()9.(2021全国高考真题(理)将 4 个 1和 2 个。随机排成一行,则2 个 不相邻的概率为()A.-B.-C.I D.-3 5 3 510(2021.全国.高考真题)有 6 个相同的球,分别标有数字
5、1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1 个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则()A,甲与丙相互独立 B,甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立二、多选题11.(2021.全国.高考真题)下列统计量中,能度量样本不,,X的离散程度的是()A.样本%,,毛的标准差 B.样本司,X”的中位数C.样本,,X的极差 D.样本F,,X”的平均数12.(2021全国高考真题)有一组样本数据,,,当,由这组数据得到新样本数据以,,,,其中=玉+c(
6、i=l,2,),c 为 非 零 常 数,则()A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同三、填空题13.(2022全国高考真题)已知随机变量X服从正态分布N(2,2),且 尸(2 2.5)=14.(2022全国高考真题(文)从甲、乙等5 名同学中随机选3 名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为.15.(2022全国高考真题)(I T(X+的展开式中X的系数为(用数字作答).16.(2022.全国.高考真题(理)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平 面 的 概 率 为,17.(2022上海高考真
7、题)在 卜+-J的展开式中,含项的系数为18.(2022上海高考真题)已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字,则比2134大的四位数的个数为19.(2021.北京.高考真题)在(丄 戸 的 展 开 式 中,常 数 项 为.X四、解答题20.(2022全国高考真题)在某地区进行流行病学调查,随机调查了 100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图:据用该组区间的中点值为代表);(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 20,70)的概率;(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间140,5)的人口
8、占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间140,50),求此人患这种疾病的概率.(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.0001).21.(2022.全国.高考真题)医疗团队为研究某地的种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了 100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100人(称为对照组),得到如下数据:不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?(2)从该地的人群中任选人,A
9、表示事件“选到的人卫生习惯不够良好 ,B表示事件“选到的人患有该疾病,開片与陽的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的项度量指标 记该指标为R(i )证明:P(A I B)P(A I B)P(AlB)P(AjB)(i i)利用该调查数据,给出P(AIB),P(A|的估计值,并利用(i)的结果给出R 的估计值.附西 欝 爲 葡P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82822.(2022全国高考真题(理)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得分,没 有 平 局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠 军.已知甲学校在三个项目
10、中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率;(2)用 X表示乙学校的总得分,求 X 的分布列与期望.23.(2022全国高考真题(文)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了 10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:)和材积量(单位:m3),得到如下数据:样本号i12345678910总和根部横截面积0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量力0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9K)
11、IO IO并计算得 i2=0.038,;=1 6158,J /=0.2474.I=I i=l i=l(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.f(丁)(一 刃 _ _ _ _ _附:相 关 系 数,二相 “,1.896 1.377.(i-)2l(yi-y)2V i=I i=l24.(202L全国高考真题)种微
12、生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设个这种微生物为第0 代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2 代,该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表 示 1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=Pj(i=0,l,2,3)(1)已知“=().4,P=().3,P2=().2,p3=0.1,求 JE(X);(2)设 P 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,P 是关于X的 方 程:为+外 +=的个最小正实根,求证:当E(X)1时,P=I,当E(X)1时,p P 2 P l 0.记该棋手连胜两盘的概率为P,贝 ()A.P 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该
13、棋手在第二盘与甲比赛,p 最大C.该棋手在第二盘与乙比赛,P 最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛,P 最大【答案】D【解析】【分析】该棋手连胜两盘,则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率Z:该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率厶:该棋手在第二盘与両比赛且连胜两盘的概率%i.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘,则第二盘为必胜盘,记该棋手在第二盘与甲比赛,比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为,则此时连胜两盘的概率为7则 Z=J (1 一 2 )P P3+0 P (1 -P3)+;(1 )四 Pz+P3P1(I-P 2)=P(P2+P3)-2p2P3;记该棋手在第
14、二盘与乙比赛,且连胜两盘的概率为P乙,则 P乙=(I-PP2Pi+AP2O-P3)=P2(p+p)-2PiP2P3记该棋手在第二盘与丙比赛,且连胜两盘的概率为P丙则 P丙=(I-PI)P3P2+Pl P3(1-P2)=P3(Pi+P2)-2p P2 P3则内、-P乙=p(p2+p3)-2 p p2p3-P2(Pl+P3)-2PlP2P3=(Pi-P2)P3 P乙-P内=P2(P1+P3)-2p P2P3-P3(P+P2)-2 p P2P3=(p2-P 3)p 0 卩 P甲 P乙,P乙 70%,所以A 错;讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等了 90%,所以讲座后问
15、卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B 对;讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C 错:讲座后问卷答题的正确率的极差为l%-80%=20%,讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%20%,所以D 错.故选:B.5.(2022全国高考真题(文)从分别写有1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片中无放回随机抽取2 张,则抽到的 2 张卡片上的数字之积是4 的倍数的概率为()A.-B.-C.-D.I5 3 5 3【答案】C【解析】【分析】先列举出所有情况,再从中挑出数字之积是4 的倍数的情况,由古典概型求概率即可.【详解】从 6
16、 张卡片中无放回抽取2 张,共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)15 种情况,其中数字之积为4 的倍数的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)6 种情况,故概率为掲=|.故 选:C.6.(2021.全国.高考真题)某物理量的测量结果服从正态分布N(Io,),下列结论中不正确的是()A,越小,该物理量在一次测量中在(9910.1)的概率越大B,该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.该物理量在一次测量中小于9.9
17、 9与大于1 0.0I的概率相等D.该物理量在一次测量中落在(9.9,1 0.2)与落在(1 0,1 0.3)的概率相等【答案】D【解析】【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A,为数据的方差,所以越小,数据在=1 0附近越集中,所以测量结果落在(9.9,1 0.1)内的概率越 大,故A正确;对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于1 0的概率为0.5,故B正确;对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于1 0.01的概率与小于9.9 9的概率相等,故C正确;对于 D,因为该物理量一次测量结果落在(9 9 1 0.0)的概率与落在(
18、1 021 0.3)的概率不同,所以一次测量结果落在(9.9,1 0.2)的概率与落在(1 0,1 0.3)的概率不同,故D错误.故 选:D.7.(2021全国高考真题(理)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训I,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名 志 愿 者,则 不 同 的 分 配 方 案 共 有()A.6 0 种 B.1 20 种 C.24 0 种 D.4 8 0 种【答案】C【解析】【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,然后利用组合,排列,乘法原理求得.【详解】根据题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各
19、项目中分配1名志愿者,可以先从5名志愿者中任选2人,组成一个小组,有 髪 种选法;然后连同其余三人,看成四个元素,四个项目看成四个不同的位置,四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!种,根据乘法原理,完成这件事,共有C;x 4!=24 0种不同的分配方案,故 选:C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题,属基础题,关键是首先确定人数的分配情况,然后利用先选后排思想求解.8.(2021.全国.高考真题(理)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于的概率为()【答案】B【解析】【分析】设从区间(0,1),(1,2)中随机取出的数分别为丿,则实验的所有结果构成区域为。=(羽
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