2023年高考数学总复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例.pdf

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1、第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例,最新考纲，1 .理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2 .了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4 .能运用数量积表示两个向量的夹甬，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5 .会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6 .会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.考向预测考情分析：平面向量数量积的概念及运算，与长度、夹角、平行、垂直有关的问题，平面向量数量积的综合应用仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题.学科素养：通过平面向量数量积的计算及应用考查数学运算、逻辑推理的核心素养

2、.积 累 必 备知识基础落实赢得良好开端一、必记5个知识点1 .向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和 儿 作 鼐=，O B=Z,则 就是向量。与方的夹角.(2)范围：设 6是向量a与 6的夹角，则(T W 0 W 1 8 0。.(3)共线与垂直：若 6=0。，贝!j a 与 6；若 9=1 8 0。，则。与 8；若 9=9 0,则 a 与 b.提醒 只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角.2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a,8的夹角为仇则数量_ _ _ _ _ _ _ _ 叫做。与 b的数量积，记作a b投影_ 叫 做 向 量 a在 b方向上的投影，一 叫做向量。在 a

3、方向上的投影几何意义数量积a b等于a的长度间与方在a的方向上的投影_ _ _ _ _ _ _ _ 的乘积3.平面向量数量积的性质设 a,b都是非零向量，e 是单位向量，。为 a与仇或e)的夹角.贝U(l)e a=a e=|a|c o s 0.Q _ L bo.(3)当。与同向时，ab=a-b；当。与 b反向时，。心=一 悯.特别地,a a=或者=.(4)c o s 3=.(5)a b W 4 .数量积的运算律(1)交换律:a b=b a.(2)数乘结合律：(脑)力=.分配律：(a+b c=.5 .平面向量数量积的坐标表示设向量a=(x i，y i),力=(“2，2)，向量。与的夹角为仇则数量

4、积a b=_模间=_ _ _ _ _ _ _ _夹角cos 0=_向量垂直的充要条件a _L b=a b=0_二、必明5 个常用结论1.求平面向量的模的公式(1)片=04=或=Vi5；(2)|aZ|=7(a b)2=Va 2 2a-b+b2；(3)若 a=(x,y),则 =依 +y2.2.有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a 与 8 的夹角为锐角，则有a 3 0,反之不成立(因为夹角为0 时不成立)；(2)两个向量。与 5 的夹角为钝角，则有a0 0,则 a 和力的夹角为锐角；若 0*0,则 a 和 b 的夹角为钝角.()(4)若 a力=0,则 a0 或 b0.()(5)(a b)-c=a(

5、b-c).()(6)若 a 6=c(aW 0),则 b=c.()(二)教材改编2.必修PM例 6 改编 设 a=(5,7),%=(6,t),若。=-2,则 f 的值为()3 2 3 2A.-4 B.4 C.-D.-7 73.必修4P1 0 8习题T6改编 已知同=2,步|=6,a )=-6 次，则。与方的夹角夕为()C.e D.史3 6(三)易错易混4.(不理解向量的几何意义致误)己知而=(一 1,2),点 C(2,0),0(3,-1),则向量屈在而 方 向 上 的 投 影 为；向 量 而 在 崩 方 向 上 的 投 影 为.5.(向量效量积的性质不熟致误)若平面四边形ABCD满足M +U5=

6、0,(AB-AD)-AC-0,则 该 四 边 形 一 定 是.(四)走进高考6.2021全国乙卷 已知向量 a=(l,3),b=(3,4),若(。一劝)_L b,则 2=.提 升 关 键 能 力 考点突破掌握类题通法考 点 一 平面向量数量积的运算 基础性1.2 0 2 2 河南高三月考 已知向量a,b 的夹角为120。,且同=1,b=2,则3-3处(2+%)=()A.-8 B.-5 C.2 D.1 92.2 0 2 2 定远县育才学校高三开学考试 正四面体A 3 C D 棱长为a,点 E,F分别是B C,AD的中点，则 靠 屈 的值为()A.cr B.-cr C.-a2 D.a22 4 43

7、 .己知向量a,6满足a 0+a)=2,且。=(1,2),则向量在a方 向 上 的 投 影 为()A.匹 B.一更 C.庄 D.这5 5 5 54 .已知正方形A 8 C。的边长为2,点 P满 足 养=家 魂+前)，则 而=；P B -P D反 思 感 悟 计算向量数量积的三个角度(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a 7 =|a|b|c o s 6(6 是 a与 b的夹角).(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解.(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解.考 点 二

8、平 面 向 量 数 量 积 的 应 用 综合性角 度 1 平面向量的模 例 1 (1)2 0 2 2 苏州中学高三月考 已知非零向量a,的夹角为6 0。，且幽=1,2a-b=1.则|a|=()A.|B.1 C.V 2 D.2(2)2 0 2 2.福建南平市监测 已知单位向量e i，e 2 的夹角为号，则断一然1 的最小值为()A.匹 B.i C.匡 D.三2 2 2 4反思感悟1 .求向量模长的方法利用数量积求模是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(l)a2=a a=|a|2 或|a|=，a a；(2)|o 6|=J(a b)2=J a。2 a -b +b?:(3)若 0=(x,y)

9、,则|a|=5/x 2+y 2.2 .求向量模的最值(范围)的方法(1)代数法，先把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解；(3)利用绝对值三角不等式|一例Wa b W+仍|求模的最值(取值范围).角度2平面向量的夹角 例 2 (1)20 20 全国卷HI 已知向量Q,b满足同=5,|回=6,a b=-6,则 c os (a,a+占=()(2)20 22山西省八校高三联考 已知向量4=(-1,2),单位向量b满 足 (a+同)=当则向量a,b的夹角6为.听课笔记：反 思 感 悟 求向量夹角问题的方法(1

10、)定义法：当”，是非坐标形式时，求 a与 b的夹角仇 需求出a 仍及，仍|或得出它们之间的关系，由c os 6=得 求 得.|a|b|(2)坐标法：若已知a=(x i,巾)与Z (%2,竺)，则 c os a,b=%1%2+为、2a,be 0,兀 .(3)解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解.角度3平面向量的垂直例3 (1)已知平面向量。=(1,-3),6=(4,-2),若痴一方与垂直，则 2=()A.-1 B.1 C.-2 D.2(2)已知向量屈与前的夹角为1 20。，且|屈|=3,|正|=2.若而=，屈+而，且而J _ 前,则实数7的值为.听课笔记:反思感悟有关平面向量垂

11、直的两类题型利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题第一步计算出这两个向量的坐标第一步 根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量乐一”的数量积为0 即可已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数【对点训练】I.2022合肥市第六中学高三模拟 若单位向量a,b 满足(a-28)-(a+b)=一 右 则心 一 等于()A.1 B.V2 C.V3 D.竽2.2022河北武强中学高三月考 已知非零向量a,b 满足=2向，且仍=0,则 a与 b 的夹角为 13.2022四川遂宁市高三模拟 已知向量a=(2,1),b=(-3,-1),且初一a 与

12、a 垂直,则 k=.考 点 三 平面向量的综合 应 用 综合性角 度 1平面向量与三角函数 例 4 2022湖北高三月考 已知向量 a=(V5sinx,cos x),b=(cosx,cos x).(1)若。b,且 x(IT,0),求 x 的值；(2)若函数1/(x)=2a仍一 1,且求 sin Q x-)的值.听课笔记：反 思 感 悟 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角

13、函数在定义域内的有界性，求得值域等.角度2平面向量与解三角形 例 5 在ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边，向量 m=(2sinB,2-cos 28),=(2sin2 g +，-1)m n.(1)求角8 的大小；(2)若 a=V5,b=,求 c 的值.听课笔记：反思感悟 本例的第(1)小题，利用向量垂直的充要条件将问题转化为三角方程，使问题获得解决.第(2)小题突出了余弦定理和正弦定理的应用.本例不仅考查了解三角形的技巧和方法，还注重了分类讨论思想的考查.【对 点 训 练】1.2022河北武强中学高三月考 已知向量a=(cosa,3),ft=(sin a,-4),a/b,则3

14、 sin a+cosa2 cos a-3 sin a的值是()A-1 B.-22.2022河南洛阳模拟 在ABC中，内角A,B,C 所对的边分别为a ,c,且(。一鱼明出4=(c+b)(sin C-sin B),设。是 AB的中点，若 8=1,则A8C面 积 的 最 大 值 是()A.V 2-1 B.V2+1C.3-2A/2 D.3+2或3.2022福建泉州模拟 已知函数负x)=d-e,其中d=(2cosx,V3sin 2x),e=(cos x,1),xWR.(1)求函数y=/(x)的单调递减区间；(2)在ABC中，内角4,B,C 所对的边分别为a,b,c,火 4)=-1,a=，且向量”?=(

15、3,sin 8)与 二 sin 0 共线，求边长匕和c 的值.微专题23平面向量与三角形的“四心”逻辑推理三角形的“四心”：设。为 A B C 所在平面上一点，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,则(1)0 为 A B C 的外心=|福|=|而|=|前 尸 就(2)0 为 4 B C 的重心Q靠 +而 +次=0.(3)0 为 X A B C 的 垂 心=位-0 B =0 B 0 C =0 C -O A.(4)0 为 A B C 的 内 心=而+。而+c前=0.类 型 1 平面向量与三角形的“重心”问题 例1 2 0 2 2 山东莱州一中高三开学考试。是平面上一定点，4,B,C是平面上不共线

16、的三个点，动 点 P满 足 丽=嬴+4两+屈），4 G 1 0，+8）,则 P的轨迹一定通过 A B C的（）A.外心 B.垂心C.内心 D.重心解析：令。为 BC的中点，则 丽=血+/1（屈 4-A C）=0 A+2 A A D,于是有寿=2 2 前，二点A、D、P共线，即点P的轨迹通过三角形A B C 的重心.答案：D类型2 平面向量与三角形的“内心”问题 例 2 在 A B C 中，4 B=5,A C=6,co s A=a 0 是a A B C 的内心，O P=x O B+yO C,其中x,ye 0,1 ,则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（）A 1 0A/6 门 1 4 nA.-B.-3

17、 3C.4 3 D.6&解析：根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以。5,0C为邻边的平行四边形及其内部，其面积为 B O C 的面积的2倍.在 A 3 C 中，设内角A,B,C所对的边分别为，b,c,由余弦定理2=+/co sAy得 a=7.设 A B C 的内切圆的半径为r,贝 岭 cs i n A=#Q+0+C,解 得 尸 半，所 以 S z x B o c=：XX.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2SBOC=1 4-7 63 ,答案：B类型3 平面向量与三角形的“垂心”问题 例3己知。是平面上的一个定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动 点 P满足而=砺+*-口+中：。

18、,）,2 G（0,+8）,则动点尸的轨迹一定通过 A B C 的（）|AB|COS D|AC|C O S CA.重心 B.垂心C.外心 D.内心解析：因 为 而=嬴+，2+上）,所以 寿=丽-市=2（扁J +辞 下），|AB|cos B|AC|cosC所 以 前 丽=瓦 一B+华）=一|前|+|近|）=o,所以前，而，所以点p|AB|COS B|AC|cos C在8 c的高线上，即动点P的轨迹一定通过 ABC的垂心.答案：B类型4平面向量与三角形的“外心”问题 例4 已知在 ABC中，AB=,BC=y/6,A C=2,点。为 ABC的外心，若 而=x通+），前，则有序实数对（x,），）为（）解

19、析：取A B的中点M和A C的中点N,连 接OM,O N,则而0 N AC,0 M=AM AO=；A B-（xAB+yAC）=E-x）AB-yAC,ON =AN -AO=逐 一 （x A B+），AC）=g-y）AC-xAB.由而!，得（：一x）通2一），丽 屈=o,由丽J _前，得（：_ y）前2 _ x前.丽=0,又因为 玩2 =（近 通）2 =近2 _ 2近.而+通2,所 以 前.屈=叁 手 画=_a 把代入、得 一 2 x+y=解得 x=g,故实数对（X,y）为G，|）.答案：A类型5平面向量与三角形的“四心”问题 例 5 已知向量0P1,0P2 OP3满足条件OP +OP2+0。3=

20、0，|OP1I=|西1=1哂1=1,求证：2 P 3是正三角形.证明：由已知条件可 得 函 +呵=鹤，两边平方，得西-尾=/同理 0 2 2 -0 2 3=0 2 3,OP 1=一 点即 N Pl。尸2=/P2OP3=N Pl 0P3=120,1。1。2尸产 2P 3l=1P 3P11V3.从而 小2P3是正三角形.第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例积累必备知识1.(l)ZAOB(3)同 向 反 向 垂 直2.|a|6|cos 03.(2)。m=01aleos 0|ft|cos 0 叫cos 02 Va-a(4湍 /I4.(2乂(山)a-(xZ)(3)a c+5 c5.xxi+yyixi

21、x2+yiy2XlX2+jlj2=01.答案：(l)x (2)X(3)X(4)X(5)X(6)X2.解析：因为“0=5 X(6)It2,所以 f=-4.答案：A3.解析：cos 8=咚，又 0 唉兀，则|a|b|2x6 2 6答案：D4.解析：由 点 C(2,0),0(3,-1),得而=(1,-1),所以向量靠 在 而 方向上的投影为|丽|cos AB,而 =一 越，向量而在丽方向上的投影为|而|cos AB,而 =I CD ZAB I_ _ 3 V 55,*0 3A/2 3-75答案：一T 5.解析：由四边形ABC。满足通+而=0 知，四边形ABCD为平行四边形.又由(靠一AD)-A C=0

22、,即 丽 前=0,可知该平行四边形的对角线互相垂直，所以该四边形一定是菱形.答案：菱形6.解析：因为。一劝=(1,3)2(3,4)=(1 32,34 4),所以由(a劝)可得,3(1 3冷+4(34 4)=0,解得 2=|.答案：I提升关键能力考点一1.解析：V a-ft=lX 2X(-|)=-l.(a-3*)-(2a+*)=2|a|2-5 a ft-3|*|2=2 X l-5 X(-l)-3 X 4=-5.答案：B2.解析：因为点E,尸分别是BC,4。的中点，所以AE-AF=；(AB+AC)：AD=；(AB AD+AC AD)=-(OCOS-+-6?-COS-)=-6F2.4、3 3/4答案

23、：c3.解析：由 a=(l,2),可 得 =遍，由。(。+。)=2,可得。2+/=2,:.ab=-3,向量方在a 方向上的投影 为 答=一 平.故选D.|a|5答案：D4.解析:方 法 一 如 图，在正方形ABC。中，由寿=熊+前)得点尸为BC的中点，|丽尸通,PB PD=PB (PC+CD)=PB PC+PB CD=PB PC=lX lX cos 180=-1.方 法 二 .点=屈+近)，二尸为BC的中点，以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知 4 0,0),仇2,0),C(2,2),D(0,2),P(2,1),/.|PD|=V(2-0)2+(1-2)2=V5,PB=(O,-1

24、),PD=(-2,1),APB.PD=(O,-l)-(-2,1)=-1.答案：V5-1考点二例 1解析：因为非零向量a,b 的夹角为60,且。|=1,所以=|a|-|Z|cos 60=|a|,又因为|2a加=1,所以(2a5)2=1,?P 4(r+b2-4 a b=1,所以 4|“F+|bF-4 乂扣|=1,整理可得：4|a|2-2|a|=0,因为闷W O,解得：|a|=|(2)因为 eie2=le1|e2|cos y=所以|ei一初2=登+22 或-2M re2=22+4+1 =(A+-)2+-,2/4 4所以|g 2e212m.答案：(1)A(2)C例 2解析：(1)由题意得cos(a,a

25、+b)_ a-(a+b)|a|-|a+b|_ a2+ab|a|-Va2+b2+2ab5x725+36-12 35*解析：(2)由 加(a+V b)=苧得a b+|b|2=,*.*b=9 a-b苧，又|a|=V,Acos =-p 而 OWOWT C,；向量 a,b 的夹角答案：D与例 3解析：(1)由已知得4 tb=(24,3 7+2),因为2 a-与 6 垂直，所以(痴一/)/=0,即(24,-32+2)-(4,-2)=0,所以 42一 16+624=0,解得 2=2,故选 D.(2)因为而，前，所 以 而 瓦=0.又屁=/1第 +通，前=由 一 丽，所以(7靠 +而)(而融)=0,即(4一1

26、)前 AB-zAB2+AC2=0,所以 1)1 正|屈|cos 120-9A+4=0.所以ql)X 2 X 3 X(-m-9 Z+4=0.解得 2=套答案：(1)D (2 诒对点训练1.解析：因为“，为单位向量，所以(a 2 b (a+3)=|a F a-b2|Z|2=-a-b 1 =一，所以 a-b=一所以|a 一同=7(a-b)2=V|a|2-2ab+|b|2=V 3.答案：C2 .解析：由题意，设同=2|b|=2 f(f 0),又(a 6)仍=0 0 4。=尻=户，设 a 与 b的夹角为 仇 所以3。=温=条/所以。=去答 案:=3.解析：；a=(2,1),b=(3,-1),比一。=(-

27、3k2,k1),:kb。与 a 垂直，.*.(3k2)X 2+(k1)X1=0,解得上=一1.答案：-三考点三例 4 解析：由。从#V 3s i nxc o s c o s2x=0,即 co s x(V 3s i n%co s x)=0,所以 co s 尤=0 或遮s i n xco s x=0.当co s x=0 时，元 e(一兀，0),则冗=T；当百sin x c o sx=0 时，得 t a n x=3,x(一兀，0),则工=一空.3 6综上，X的值为一9或一千.Z 6(2)j(x)=2a b=2V 3sin x c o s x+2c o s2%1 =V 3sin 2x+c o s 2x

28、=2(fsin Z r+c o s 2x)=2sin(2x +：).由始)=2sin (x +g=l,得 sin (x +封王,所以 sin(2x _)=sin 1 2(x+)_ =_sin g _ 2(x+,)=.c o s2(x +3)=2sin2fx +1 =2 X 1 .6/36 18例 5 解析：(1)因为/n _ L ，所以帆/2=0,所以 2sin 8-2siM (E +?)+(2c o s28(1)=0所以 2sin B c o s 管+B)+c o s 282=0,所以 2sin B+2sin2B+(l 2sin2B)2=0.所以sin8=因为OVBVTT,所以3=匕或5=空

29、.2 6 6(2)因为。=遍 /?=1,所以8=方法一 由余弦定理，得 =/+c22 ccos A所以 c23 c+2=0,所以 c=l 或 c=2.方法二 由正弦定理，得.即最=二，所以sinA=金因为04兀，所以A=2sin B sin A-sin A 2 32或 A=g.若 A=?,因为 8=；,所以所以 c=2.若 A=-y 则 C=7t-=,所以3 3 o 2 3 3 6 oc=Z?=l.综上所述，c=l 或 c=2.对点训练1.解析：因为向量。=(cosa,3),b=(sin a9 4),a/b.9.-4cos a=3sin a,K P tan a_ 4=3f,3 sin a+co

30、 sa _ 3 tan a+1 _ -4+1 _ 1 :.2 c o sa-3 sin a 2-3 tan a 2+4 2套u 末奈.rAl2.解析：(V2Z?)sin A=(c+b)(sin C-sin B)=(izy/2h)a=(c+Z?)(ch)=a2y2ab=c2b2,所以 c2=2+b2仇 由余弦定理可知：c1=a2+b2-2abcos C,因此有cosC=孝，；C e(0,兀)，.=m，因为。是 AB的中点，所以 有 而=*禄+森)，平方得：CD2=i(CA2+CB2+2CA C B 4=b2+a2+2 b a-b2+a2+V2ba=4,因为序+房？仇 所以 4y2ah2ah=ah

31、2(2V2),SABC-ab sin C a b X2X(2一鱼)=近 一 1.2 4 4答案：A3.解析：(l)Ax)e=2cos2V3sin 2x=l+cos 2xV3-sin 2 x=l+2 co s(2x+；),令+兀(攵 E Z),解 得 配一+所 以 负 工)的单调递减区间为3 6 3kn ,kn+外(kZ).因为#A)=l+2 co s(2A+)=-l,所以 c o s(2A+力=-1.又上 2 4+,所以2 A+-7 1,即4=/因为=迎，由余弦定理得 2=匕 2+/2Z?ccos A=S+c)23bc=7.因为向量雁=(3,sin B)与=(2,sin。共线，所以2sin B=3sin C,由正弦定理得2 b=3 c，由可得6=3,c=2.